ξ2. GIỚI HẠN HÀM SỐ
1. Dùng đònh nghóa, CMR:
a)
x 2
lim(2x 3) 7
→
+ =
b)
x 3
x 1
lim 1
2(x 1)
→
+
=
−
c)
2
x 1
x 3x 2
lim 1
x 1
→
− +
= −
−
2. Tìm các giới hạn sau
a)
3 2
x 0
lim(x 5x 10x)

lim
1 x
1 2x
→
 
−
 ÷
+
 − 
f)
2
3
x 0
x 4
lim
x 3x 2
→
−
− +
g)
x 1
1 x 1 x
lim
x
→
+ − −
h)
x
2
sin x

π −
 Dạng vô đònh
0
0
3. Tìm các giới hạn sau:
a)
2
2
x 2
x 4
lim
x 3x 2
→
−
− +
b)
2
2
x 1
x 1
lim
x 3x 2
→ −
−
+ +
c)
2
2
x 5
x 5x

lim
x 3x 2
→
− − +
− + −
g)
2
3
2
2 6
lim
8
x
x x
x
→ −
+ −
+
h)
4 2
2
3
72
lim
2 3
x
x x
x x
→
− −

3x 14x 20x 8
→
+ + − −
+ + +
l)
3 2
3
x 2
x 3x 9x 2
lim
x x 6

→ −
− − +
− +
m)
2
1
2 1
lim
1 1
x
x x
→
 
−
 ÷
− −
 
n)

+ −
q)
2
3 3
x a
x (a 1)x a
lim
x a
→
− + +
−
r)
4 4
x a
x a
lim
x a

→
−
−
s)
3 3
h 0
2(x h) 2x
lim
h
→
+ −
t)

− + −
−
4. Tìm các giới hạn sau:
A =
8x
18xx4
lim
3
2
2x
−
−+
→
B =
2
2
x 5
x x 30
lim
2x 9x 5
→
+ −
− −
C =
3 2
x 1
x 1
lim
x 2x x 2
→−

2
2x 5x 2
lim
4x 1
→
− +
−
G =
2
2
x 1
2x 3x 1
lim
x 4x 5
→−
+ +
− + +
H =
4
2
x 2
x 16
lim
x 2x
→−
−
+

I =
3

2
x 1
x x x 1
lim
x 5x 6
→
− + −
− − +
M =
3
2
x 2
8x 64
lim
x 5x 6
→
−
− +
N =
3 2
3
x 2
x 2x 6x 4
lim
8 x
→
+ − −
−
O =
3 2

3
x 1
x 1
lim
x 1
→
−
−
5. Tìm caùc giôùi haïn sau:
a)
2
x 0
x 1 x x 1
lim
x
→
+ − + +
b)
2
x 7
x 3 2
lim
49 x
→
− −
−
c)
2
x 2
2 x 2

+ − +
−

g) EMBED Equation.DSMT4
2
2
1
2 3
lim
3 2
x
x
x x
→
− +
− + −
h) EMBED Equation.DSMT4
3
2
2
lim
8
x
x x
x
→
− +
−
i)
2

− +
+ −

EMBED Equation.DSMT4
2
3
1
2 6 4 1
) lim
2 1
x
x x x
m
x x
→
+ + − +
− +
n) EMBED Equation.DSMT4
4
3 2
x 1
x 1
lim
x x 2
→
−
+ −

o) EMBED Equation.DSMT4
3

x 2x
→−
+ +
+
r) EMBED Equation.DSMT4
3
x 1
x 7 2
lim
x 1
→
+ −
−
s)
EMBED Equation.DSMT4
3
0
1 1
lim
1 1
x
x
x
→
+ −
+ −
t) EMBED Equation.DSMT4
3
x 1
x 7 2

2
x 1
x 2 x 1
lim
(x 1)
→
− +
−
6. Tính caùc giôùi haïn sau:
a.
x 0
x 1 x 4 3
lim
x
→
+ + + −
b.
x 0
x 9 x 16 7
lim
x
→
+ + + −
c.
3
x 0
x 1 x 4 3
lim
x
→

+ − +
− +
 Daïng voâ ñònh
∞
∞
7.Tìm caùc giôùi haïn sau:
a)
x
2x 1
lim
x 1
→+∞
+
−
b)
2
2
x
x 1
lim
1 3x 5x
→−∞
+
− −
c)
2
x
x x 1
lim
x x 1

4 3 2
x
x x
x x
→±∞
− −
+ −
g)
3 2
2
2 2
lim
3 1
x
x x
x x
→±∞
− −
− −
h)
4 2
3
3 1
lim
2 2
x
x x
x x
→±∞
− +

l)
2
3 2
lim
3 1
x
x x x
x
→+∞
− +
−
m)
2
3 2
lim
3 1
x
x x x
x
→−∞
− +
−
n)
2
2
x
x x 2 3x 1
lim
4x 1 1 x
→±∞

+
r)
3
3 2
2
lim
2 2
x
x x x
x
→−∞
+ +
−
s)
33 2 2 3 2 2
3
2
( 2 ) 2
lim
3 2
x
x x x x x x
x x
→−∞
+ + + +
−
t)
x
(x x x 1)( x 1)
lim

x
lim ( x x x)
→−∞
+ −
e)
2
x
lim ( x x x)
→+∞
+ −
f)
)23(lim
2
xxx
x
−+−
+∞→
g)
)23(lim
2
xxx
x
−+−
−∞→
h)
2
lim ( 2 4 )
x
x x x
→±∞

+ − + −
n)
)223(lim
2
−++−
+∞→
xxx
x

o)
)223(lim
2
−++−
−∞→
xxx
x
p)
2
lim ( 3 2 1)
x
x x x
→±∞
− + + −
q)
2
lim ( 3 1 3)
x
x x x
→±∞
− + − +

lim ( 2 1 3 )
x
x x x x
→±∞
+ − − −
 Giới hạn một bên
9. Tìm các giới hạn sau
a)
2
2
2
lim
3 1
x
x x
x
−
→
−
+
b)
2
3 1
lim
2
x
x
+
→
−

+
→
+
f)
2 3
x 0
2x
lim
4x x
±
→
+
g)
2
33
lim
2
2
−
+−
−
→
x
xx
x
h)
2
33
lim
2

−→
xx
xx
x
k)
2
33
lim
2
2
2
−+
+−
+
−→
xx
xx
x
l)
3
2
x 1
x 3x 2
lim
x 5x 4
−
→
− +
− +
g)

→
+
π
−
10. Tìm giới hạn bên phải, giới hạn bên trái của hs f(x) tại x
o
và xét xem hàm số có giới hạn tại x
o
không ?

2
2
o
x 3x 2
(x 1)
x 1
a) f(x)
x
(x 1)
2
với x 1

− +
>


−
=



0
o
với x

+ −
>

=

+ −

≤

=

11. Tìm A để hàm số sau có giới hạn tại x
o
:
a)
3
x 1
(x 1)
f(x)
x 1
Ax 2 (x 1)

−

0
= 3
 Giới hạn hàm lượng giác
12. Tính các giới hạn sau:
a)
x 0
sin5x
lim
3x
→
b)
2
x 0
1 cos2x
lim
x
→
−
c)
2
x 0
cosx cos 7x
lim
x
→
−
d)
2
x 0
cosx cos3x

→
+
h)
0
1 sin cos2
lim
sin
x
x x
x
→
− −