cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015.
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
1
Thư viện tài liệu trực tuyến
cbook.vn Tµi liÖu lý thuyÕt + bµi tËp c¬ b¶n

Th.S HÀ THỊ THÚY HẰNG (Chủ biên)
CAO VĂN TÚ – VŨ KHẮC MẠNH cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015.
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
2 MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU 4

Dạng 2: Điều kiện tồn tại tiếp tuyến 46
A. Tóm tắt lý thuyết 46
B. Các ví dụ 46
Dạng 3: Hệ số góc của tiếp tuyến 49
A. Giới thiệu 49
Ta biết rằng
 
0
'fx
là hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số
 
y f x
tại điểm có hoành độ
0
x
.
Trong bài học này, chúng ta quan tâm nhiều hơn đến hệ số góc của tiếp tuyến. 49
B. Các ví dụ 49
Dạng 4: Một số tính chất hình học của tiếp tuyến 51
A. Tóm tắt lý thuyết 51
B. Một số ví dụ 51
Dạng 5: Điều kiện tiếp xúc 55
A. Tóm tắt lý thuyết 55
B. Một số ví dụ 55
VẤN ĐỀ 7: CÁC BÀI TOÁN VỀ GIAO ĐIỂM CỦA 2 ĐƯỜNG CONG 58
cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015.
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
3


101
Dạng 3. Từ đồ thị (C) của hàm số
 
y f x
, suy ra cách vẽ đồ thị (K) của
 
y f x
102
Dạng 4. Từ đồ thị (C) của hàm số
 
 
ux
y
vx

, suy ra cách vẽ đồ thị (L) của
 
 
ux
y
vx

102
Dạng 5. Từ đồ thị (C) của hàm số
 
 
ux
y
vx


, suy ra cách vẽ đồ thị (Q) của
 
 
ux
y
vx

. 106
Dạng 8. Từ đồ thị (C) của hàm số
 
 
ux
y
vx

, suy ra cách vẽ đồ thị (R) của
 
 
ux
y
vx

107
VẤN ĐỀ 12: DIỆN TÍCH – THỂ TÍCH (ÁP DỤNG TRONG THI TỐT NGHIỆP) 119
B. 200 BÀI TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ CÓ ĐÁP ÁN 120
KẾT LUẬN 230


Bộ tài liệu là công trình tập thể của nhóm tác giả biên soạn bao gồm: Th.S Hà Thị
Thúy Hằng (chủ biên), Cao Văn Tú và Ông Vũ Khắc Mạnh.

Viết tài liệu này, chúng tôi đã tham khảo kinh nghiệm của nhiều đồng nghiệp đã giảng
dạy môn Toán nhiều năm ở khối trường THPT. Chúng tôi xin chân thành cám ơn các nhà
giáo, các nhà khoa học đã đọc bản thảo và đóng góp ý kiến xác đáng.

Chúng tôi cũng xin chân thành cám ơn Ban Quản trị của trang cbook.vn đã tận tình
phát triển và khẩn trương trong việc phát hành tài liệu này.
Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp nhận xét của bạn đọc đối với
bộ tài liệu này.
Các tác giả

cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015.
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
5


)()(
lim'
0
xx
xfxf
y
xx





2. Các quy tắc tính đạo hàm.
2.1. Đạo hàm của các hàm số thường gặp : (u = u(x))
 ( C )
/
= 0 ( C là hằng số )
 ( x )
/
= 1
 (x
n
)
/
= nx
n - 1
với (n
2
; nN)



/
/
2
1 u
u
u




với u

0


 
/
/
2
u
u
u

=
x2
1

với (x > 0)




     
/ / /
.g x f u u x

3. Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số
* Định lý: Cho hàm số :
)(xfy 
có đạo hàm trên K
LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC
CÂU HỎI PHỤ LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015.
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
6

a) Nếu
0)(' xf
với mọi
Kx
thì hàm số
)(xf
đồng biến trên K.
b) Nếu
0)(' xf
với mọi
Kx
thì hàm số
)(xf

hxhxK 
và có
đạo hàm trên K hoặc
 
0
\ xK
, với
0h
.
a) Nếu
0)(' xf
trên khoảng
);(
00
xhx 
và
0)(' xf
trên khoảng
);(
00
hxx 

thì
0
x
là một điểm cực đại của hàm số
)(xf
.
b) Nếu
0)(' xf

thì
0
x
là một
điểm cực đại của hàm số
)(xf
.
b. Nếu
)(' xf
đổi dấu từ âm sang dương trên lân cận của điểm
0
x
thì
0
x
là một
điểm cực tiểu của hàm số
)(xf
.)
* Bảng biến thiên minh họa định lý
a)
x
x
0
-h x
0
x
0
+h
f’(x)

cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015.
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
7

- Tính đạo hàm
)('' xfy 
tìm các điểm
n
xxx ; ;;
21
mà tại đó đạo hàm bằng 0
hoặc không xác định.
- Sắp xếp các điểm
n
xxx ; ;;
21
theo thứ tự tăng dần, lập bảng biến thiên.
- Áp dụng định lý đưa ra các điểm cực đại, cục tiểu của hàm số.
5. Phương pháp tìm đường tiệm cận.
5.1 Đường tiệm cận ngang.
Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn
( là khoảng dạng:
);(),;(),;(  ba
)
Đường thẳng:
0
yy 
được gọi là đường tiệm cận ngang của hàm số y = f(x) nếu ít
nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

)(
lim
0
xf
xx
;



)(
lim
0
xf
xx




)(
lim
0
xf
xx
;



)(
lim
0

+ Nếu phương trình (*) có nghiệm kép
)0( 

a
b
xx
2
21

thì f(x) luôn cùng
dấu a và
0)
2
( 
a
b
f
.
x


a
b




f(x)
Trái dấu a


Cùng dấu a
0
Trái dấu a
0
Cùng dấu a

7. Sơ đồ khảo sát hàm số.
* Tìm tập xác định của hàm số.
* Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên:
+) Tính đạo hàm
)('' xfy 
tìm các điểm
n
xxx ; ;;
21
mà tại đó đạo hàm bằng
0 hoặc không xác định. Xét dấu đạo hàm
)('' xfy 

+) Từ bảng xét dấu suy ra chiều biến thiên của hàm số
- Tìm cực trị ( dựa vào bảng dấu của
'y
)
- Tính giới hạn ( Tính các giới hạn tại vô cực và tại các điểm không xác định của
hàm số; tìm đường tiệm cận nếu có)
- Lập bảng biến thiên của hàm số.
* Đồ thị:
- Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố đã xác định vẽ đồ thị hàm số
- Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung

+ cx +d (a

0) )
1.1. Sơ đồ khảo sát hàm số: y = ax
3
+bx
2
+ cx +d (a

0)
* Tập xác định:
RD 

* Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên: Tính
'y

Giải phương trình:
0'y
xét dấu
'y
đưa ra chiều biến thiên của hàm số.
- Đưa ra các giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số ( dựa vào bảng dấu của
'y
)
- Tính các giới hạn:
y
x 
lim
và

- Vẽ đồ thị.

* Nếu a > 0




)(limlim
23
dcxbxaxy
xx



)(limlim
23
dcxbxaxy
xx

* Nếu a < 0




)(limlim
23
dcxbxaxy

biệt
x
y
O

x
y
O

Phương
trình
y’ = 0
có
nghiệm
kép
x
y
O

x
y
O

Phương
trình
y’ = 0
vô
nghiệm
x
y

Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
11

- Đưa ra các giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số ( dựa vào bảng dấu của
'y
)
- Tính các giới hạn:
y
x 
lim
và
y
x 
lim

Chú ý

- Lập bảng biến thiên:
* Đồ thị:
- Xác định các yếu tố đã biết trên trục tọa độ Oxy
- Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung: cho x = 0 tìm y
- Tìm giao điểm của đồ thị vơi trục hoành: Cho y = 0 Giải phương trình
0
24
 cbxax
Tìm x ( Nếu giải phương trình khó quá ta không cần thực hiện
bước này).
2.2. Chú ý : Khi xét dấu của đạo hàm y’
* Nếu phương trình y’ = 0 có một nghiệm là x

x
-


x
1x
2x
3

+


y’
Trái dấu a
0
Cùng dấu a
0
Trái dấu a
0
Cùng dấu a

2.4. Các dạng của đồ thị hàm số bậc bốn: y = ax
4
+bx

* Nếu a < 0


)(limlim
24
cbxaxy
xx

cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015.
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
12

Phương
trình
y’ = 0
có một
nghiệm
x
y
O

x
y
O
* Tập xác định:







c
d
RD \

* Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên:
2
)(
'
dcx
E
y



+) Nếu E > 0


0'y

Dx


dcx
bax
y
x





limlim


Tiệm cận ngang:
c
a
y 

Tính giới hạn


c
d
x
ylim
và


c
d
x

y’

+
+

y

c
a

+
 -


c
a

x
-



* Đồ thị:
- Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung: cho x = 0 tìm y
- Tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành: cho y =0 Giải phương trình:

0


dcx
bax

a
b
x 

- Vẽ một nhánh của đồ thị nhánh còn lại lấy đối xứng qua tâm I(
c
d

;
c
a
) là giao của
hai đường tiệm cận.
3.3. Các dạng của hàm số phân thức dạng:
dcx
bax
y



cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015.
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
14 VẤN ĐỀ 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

Dạng 1: Phương pháp giải bài toán:
Tìm GTNN, GTLN của hàm số y = f(x) trên tập số D.

Phương pháp chung
- Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập số D. Căn cứ vào bảng biến thiên để kết
luận.
Lưu ý 1: Nếu D là đoạn [a; b] thì có thể làm như sau:
- Tính đạo hàm y
’
.
- Tìm các nghiệm của y
’
trong đoạn [a; b], giả sử các nghiệm này là x
1
, x
2


Đặt t = sinx, ta có hàm số theo t:
2
1
()
1
t
ft
tt



.
Ta có:
2
'
22
2
()
( 1)
tt
ft
tt



, f
’
(t) = 0

0

(t)
- 0 + 0 - f(t)
0 1
1
3

0
Từ BBT suy ra:
3
1
)2()inf(  ftM
;
1)0()(  ftMaxf
.
Từ đó có GTNN, GTLN của hàm số ban đầu lần lượt là
3
1

và 1.
 Phân tích sai lầm
Theo lời giải trên thì hàm số f(x) nhận GTNN là
3
1





trên đoạn
 
1;1
.
Bảng biến thiên của hàm số f(t) trên đoạn
 
1;1
như sau:
t

-1 0
1


f
’
(t)

+ 0 -

1

, Miny = 0 khi và chỉ khi:


 2
2
k
.
Nhận xét
Nếu biểu thức xác định của hàm số có thể phân chia thành các nhóm số hạng và giữa
chúng có một mối liên hệ cho bởi các hệ thức toán học cho phép biểu diễn chúng qua nhau
thì ta có thể đưa bài toán đó về bài toán đơn giản hơn bằng phương pháp đổi biến số.
Mối liên hệ giữa các nhóm số hạng trong biểu thức xác định hàm số ở ví dụ trên là rõ
ràng dễ thấy, điều này giúp ta phát hiện cách đổi biến số không mấy khó khăn, tuy nhiên có
những trường hợp mối liên hệ giữa các nhóm số hạng được ẩn kín bên trong, đòi hỏi nhiều
phép biến đổi và có cách nhìn tinh mới phát hiện ra được.

Ví dụ 2: Tìm GTNN và GTLN của hàm số y = sinx + cosx + sinx cosx

Nhận xét và hướng dẫn giải
Xét mối liên hệ giữa hai nhóm số hạng: sinx + cosx và sinx cosx,
Chúng có mối liên hệ với nhau bởi hệ thức dễ thấy sau
(sinx + cosx)
2
= sin
2
x + cos
2
x + 2sinx cosx = 1 + 2sinx cosx,
Nhận xét đó gợi cho ta suy nghĩ, đặt ẩn phụ
sin cos 2sin

2; 2 .




Trên đoạn
2; 2



dễ dàng tìm được GTNN, GTLN của hàm số f(u) lần lượt là -1
(khi và chỉ khi u = -1) và
2
1
2 
(khi và chỉ khi u =
2
).
Từ đó có GTNN, LN của hàm số ban đầu.

Ví dụ 3: Tìm GTNN, GTLN của hàm số y = sin
4
x +cos
4
x +sinx.cosx +1

Nhận xét và hướng dẫn giải
Ta có: sin
4
x + cos

17
8



12
xk

  
hoặc
5
12
xk

  
; Miny = 2


( ).
4
x k k Z

   Ví dụ 4: Tìm GTNN, GTLN của hàm số
1 3 ( 1)(3 )y x x x x      

Nhận xét và hướng dẫn giải
Tập xác định của hàm số là

4 2 ( 1)(3 ) 4, 1;3t x x x       
, từ
đó suy ra
2 2.t  
(hoặc lập BBT của hàm số
( ) 1 3t x x x   
trên
 
1;3D 
để suy ra
2 2.t  
)
Bài toán quy về tìm GTNN, GTLN của hàm số
2
( ) 2
2
t
g t t  
trên đoạn
 
2;2
.
Đáp số: Maxy = 2

x = 3; Miny =
2
5




Lưu ý: Cách tìm ĐK ở bước 4 chỉ áp dụng khi cho x, y bất kỳ. Ví dụ nếu giả thiết cho thêm
x > 0, y > 0 thì phải lưu ý S > 0 và P > 0 để tìm ĐK cho chính xác.
cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015.
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
18 Ví dụ 1: Cho x, y thoả mãn x + y = 1, Tìm GTLN, GTNN của M = (x
3
+ 1)(y
3
+ 1).
Nhận xét và hướng dẫn giải
Đặt S = x + y = 1, P = xy
Ta có: M = (xy)
3
– 3xy (x + y) + (x + y)
3
+ 1 = (xy)
3
– 3xy + 2 = P
3
– 3P + 2.
Lại có 1 = S
2


4P suy ra:
1

M
’
(P)

+ 0 -
4

M
’
(P)


81
64 Từ bảng biến thiên suy ra GTNN không tồn tại còn GTLN của Q bằng 4, đạt được khi
và chỉ khi

+ y
2
= 2, Tìm GTLN, NN của M = 2 (x
3
+ y
3
) – 3xy.
Nhận xét và hướng dẫn giải
Ta có: M = 2(x + y)(x
2
+ y
2
– xy) – 3xy = 2(x + y)(2 – xy) – 3xy (6a),
Ngoài ra biến đổi giả thiết của bài toán ta có: x
2
+ y
2
= 2

(x + y)
2
– 2xy = 2 (6b)
Qua các phân tích trên thấy rằng nếu đặt t = x + y sẽ biểu diễn được xy theo biến t, từ
đó biểu diễn được biểu thức M theo t.
Thật vậy, từ (6b) có:
22
( ) 2 2
22
x y t
xy

trên [-2; 2] là: Max(M) =
13
,
2
Min(M) = -7.

Dạng 4: Tìm GTLN, NN của biểu thức M có 2 tính chất sau:

Tính chất 1: M phụ thuộc vào 2 trong 3 đại lượng: x + y + z, xy + yz + zx hoặc x
2
+ y
2
+ z
2
.
Tính chất 2: Giả thiết cho trước giá trị của một trong 3 đại lượng: x + y + z, xy + yz + zx
hoặc x
2
+ y
2
+ z
2
.
Cách giải:
1. Giả sử biểu thức M có mặt 2 trong 3 đại lượng nêu trên, khi đó có thể đặt một trong
hai đại lượng của biểu thức M là ẩn phụ t rồi dùng giả thiết của bài toán đã cho và kết hợp
hằng đẳng thức (x + y + z)
2
= x
2


3. Quy về bài toán đơn giản.
Ví dụ: Cho x, y , z thỏa mãn x
2
+ y
2
+ z
2
= 1. Tìm GTLN, NN của R = x
3
+ y
3
+ z
3
– 3xyz.
Nhận xét và hướng dẫn giải

Ta có: R = (x + y + z)(x
2
+ y
2
+ z
2
– xy – yz – zx) = (x + y + z)(1 – xy – yz – zx) (7a),
Viết lại giả thiết của bài toán thành: (x + y + z)
2
– 2(xy + yz + zx) = 1 (7b).
Đặt t = x + y + z thì từ (7b) ta có xy + yz + zx =
2
1



, được: Max(R) = 1 ; Min(R) = -1.
cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015.
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
20

Dạng 5: Trường hợp biểu thức ban đầu không có dấu hiệu đổi biến, khi đó quy về việc tìm
GTNN, GTLN bằng cách đổi biến số đối với một biểu thức trung gian.

Ý tưởng: Nếu tìm GTLN, NN của biểu thức M không có dấu hiệu đổi biến số nhưng đánh
giá được M

N thì thay vì tìm GTLN, NN của M ta đi thực hiện bài toán: tìm GTLN, NN
của biểu thức trung gian N.
Ví dụ 1: Cho x, y , z > 0 và x + y + z
3
2

. Tìm GTNN của M = x + y + z
1 1 1
.
x y z
  

Nhận xét và hướng dẫn giải

u

trên khoảng
3
0;
2




(vì
3
3
03
2
u xyz x y z     
).
Dễ thấy hàm số T(u) nghịch biến trên khoảng
3
0;
2




, nên
3
(0; ]
2
3 15

chỉ khi x = y = z.
Ví dụ 2: Cho các số x, y , z thuộc khoảng (0 ; 1) và thỏa mãn xyz = (x – 1)(y – 1)(z – 1).
Tìm GTNN của biểu thức N = x
2
+ y
2
+ z
2
.
Nhận xét và hướng dẫn giải
Biến đổi giả thiết: xyz = (x – 1)(y – 1)(z – 1)

xy + yz + zx = 2xyz -1 + (x + y + z),
Do đó có: N = x
2
+ y
2
+ z
2
= (x + y + z)
2
– 2(xy + yz + zx)
cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015.
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
21

= 2 - 2(x + y + z) + (x + y + z)
2
– 4xyz (9a)

x = y = z. (9b)
Đặt t = x + y + z (0 < t < 3) thì từ (9b) ta có:
3
2
4
2 2 ( )
27
t
N t t f t    
.
Đến đây, bằng cách khảo sát hàm số ta được GTNN của hàm số f(t) trên khoảng (0 ;
3) là
4
3
, đạt được khi và chỉ khi
2
3
t
. Từ đó có: Min(N) =
4
3
, đạt được khi và chỉ khi
.
2
1
 zyxVí dụ 3: Cho các số thực dương thoả mãn: x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức:
.

t
xy
xy
xy
xy
xyyxyx
xyyx
xy
x
y
y
x
yx
xy
y
y
x
x
P











cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015.
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
22 VẤN ĐỀ 4: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
 Dạng 1: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Quy tắc 1:

- Tìm TXĐ của hàm số
- Tính
'( )fx
. Tìm các điểm tại đó
'( )fx
bằng 0 hoặc
'( )fx
không xác định.
- Lập bảng biến thiên
- Từ bàng biến thiên duy ra các điểm cực trị.

Quy tắc 2:

x
.

Ví dụ: Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:
a)
   
2f x x x

c)
 
sin2 2f x x x  

b)
 
2sin2 3f x x

d)
 
3 2cos cos2f x x x   Giải
a) TXĐ: D=R
 
 
 

.
20
20.

 
01f x x

   

Bảng biến thiên:
0x 
,
 
0fx

x

-1 0


y


+ 0 - +
cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015.
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
23

y
1 0


        
,
k

 
8sin2f x x



Tính:
82
8sin
8 2 1
4 2 2voi k n
f k k
voi k n
  



   

    

   


  
,
3
2sin 2 3 2 3 5
2
CD
fn



       



c) TXĐ: D = R

 
1 2cos2f x x


,
 
1
0 cos2 cos
2 3 6
f x x x k



       



   

       
   
   

6
xk


   
là điểm cực đại
Kết luận:
+ Hàm số đạt cực đại tại
6
xk


  
,
3
2
6 6 2
CD
f f k k




2sin 2sin2 2sin 4sin cos 2sin 1 2cosf x x x x x x x x

     

 
sin 0
0
1 2 2
1 2cos 0
cos cos 2
2 3 3
x k x k
x
fx
x
x x k









   



     

+
2 2 4 1 1
2 2cos 4cos 2 4 3 0
3 3 3 2 2
fk
  

     

          
     
     
HS đat cực đại tại các điểm
2
2
3
xk


  2 2 4 9
2 3 2cos cos
3 3 3 2
CD
f f k


    
(*)
Gọi
i
x
là nghiệm của pt
 
0fx


(
i
x
là các điểm cực trị)

     
0
i i i
f x Ax B f x x



    
ii
f x x




)
cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015.
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
25 2) Tính giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số:

 
 
2
ux
ax bx c
y
a x b v x




,
       
 
2
u x v x u x v x
y
vx






Các giá trị cực trị là:
 
 
 
 
 
2
ii
i
i
ii
u x u x
ax b
yx
v x v x a


  


Do đó pt đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là:
2ax b
y
a






02m

Ví dụ 2: Cho hàm số:
 
3 2 2
1
11
3
y x mx m m x     

Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm
1x 

GIẢI
TXĐ: D =
Đạo hàm:
22
21y x mx m m

    22y x m



Hàm số đạt cực tiểu tại

