N
A
A'
H
O
( )
( ')
CHYÊN ĐỀ HÌNH CHÓP
CHYÊN ĐỀ HÌNH CHÓP
GÓC – KHOẢNG CÁCH
Quan hệ song song – vuông góc là một mảng vô cùng quan trọng trong chương trình
hình học không gian nói chung và trong những bài toán có liên quan đến hình chóp nói riêng. Và
một trong những ứng dụng quan trọng nhất của quan hệ song song – vuông góc trong việc giải các
bài toán hình học không gian cũng như các bài toán có liên quan đến hình chóp là tìm góc và
khoảng cách.Ta đến với những bài toán sau:
Bài 1:∆∆′′∆∆′′∈∆′∈
∆ !"#∆′$%&&'∆∆′()*+
+′,-+&.γ-∆∠++′-α∠+′′-β/0123αβγ
Gii :
450⊥∆′′⊥∆′∈
⇒′⊂
4′&&%+′&&+,
+′′⊥⇒+′+&&′,
⇒+′+,′067
,-+&+′′⊥′,
.+,-8/
′
9
-′+
9
:+

C
x
β
S
A
B
C
F
E
I
+-
C
x
γ
⇒8
9

9
β;
9
γ-8
9
9 9
D D C
9
C C C C
α
β γ β γ
 
+ −

9
-G
9
:FG
9
-SF
9
:FG
9
F
9
-
9
:F
9
-SFG
9
:F
9
⇒F-FG⇒-G
4FP-
SC SA
AC
FQ-
SC SB
AB
⇒FP-FQ
/TU@>=>C@ABPQ&&GF⊥FGVPQ⊥F
4/B
9

Z
π
⇒
Z
C C
9 Z [ 9
CS
AC
π π π
 
= − = =
 ÷
 
F-
9 9
AC SA−
-
ZSA
-
[
9
AB
<BPQ-
9 Z [
  
9 9 9
AB
-
Z
S

SC
SA
= =
⇒
S
S
 D
 S
SCI
SCA
=
9
4/TD9C@AB
S
S
   D Z
D
   S S
SCI EB
SCA AB
+ = + =
 
Bài 3:/AG<0*Y?@+,∈G<.
+-8,-@/AV⊥G<?@F/08@IB
F+F,-
S
π
JF+F+,-
9
π

9

⇔9\
9
;:8
9
]\
9
;:@
9
]-\S
9
:98;@]
9
⇔
S
;
9
\9
9
:98;@;8
9
;@
9
];
9
;8
9
:98
9

S
:^
Z
8;@
;9
9
8
9
;@
9
;S
9
8@
⇔8
9
@
9
;S
Z
8;@-98@8;@;S
S
JLCMF+⊥F+,
<_,+′⊥F++′∈F+/B

`
`  
   
NM SM
NM SAM
SM SAM SMN

9
;@
9
-
9
;:@
9
⇔98
9
-98:9@
⇔8
9
-8:@
Bài 4:0 FG<F⊥G<F-
9
G<0*
<G-9<-<-
/aFGGF
J/aFGF<
Gii :
4b G<
;c-&G
⇒c<0∆cGXU
⇒∠G-
9
π
@⊥G
• /TL@d>=>)BFG-
[


⇒K⊥GK⊥F⇒
K⊥FG
⇒K⊥FG⇒FG⊥KN
N⊥FG
⇒NK⊥FG⇒FG-∠NK
<=?@BK-
N-
99 9 Z

Z
[
a a
a
a
=

  9 Z
Z
[
SI KI SI BC a a
KI a
SB BC SB
a
= ⇒ = = =
⇒K
9
;NK
9
-
9

⊥

⇒

⊥

-∠PG
;FPF<-F
9
⇒FP-
9
S
Z
a
a
-
S Z
Z
a
⇒<P-
Z
Z
⇒P
9
-<PFP-
9
S Z Z S

Z Z Z
a a a=

-
D[
Z

9
;[
9
:9
9
9 9 S Z 9
  [
Z Z Z
a a a=
⇒CPG-
9 9 9
9 
CE CB EB
CE CB
+ −
-
9 9 9
S 9
9
[
Z Z
Z
9 Z
9  9
Z
a a a

PAIG
⇒P-+-FP-
e
9
a
+-P-
9
a
⇒+P0J0
⇒+&&P
⇒∠+F-∠PF
⇒C+F-
9 9 9
9 
AE SA SE
AE SA
+ −
-
9
e
e
e
9 
9
a
a a
=
⇒C+F-
9 e
e

[
S AMC
V SA MC MC SA d SA MC=
5
F+
-
D
[
F+C+F>F+
⇔
Z
Z
9S
a
-
D e 9 e
     
[ 9 e
a
a d SA MC
⇔>F+-
Z
S
a
J
;/d>360 0
<_%&&<%∈F
⇒%&&G
<=?@%Gd>3#0 FG<
;/A !FG>_%%′&&Fi

9

S
9
x a
a
a
+
` `
9
OP OQ x
OD OA
a
= =
⇒
9
`
S
x
OQ =
& &
` `& &
` `   &  
PQ AD
P Q AD
P Q ch PQ ABCD

⇒

=

 
+
 ÷
 ÷
 
;
9
SP PQ x
SD AD
a
= =
⇒%-
9
9
x
;
D D
D
` 9
D
9 9
QQ AQ SA AQ SQ x a x
SH SA AQ AQ
a x a
− −
−
   
+ −
 
= = = = + =

S S ^ S S ^
a ax x
a ax x+ + + − +
-
9
9
9
9 9
a x
a x− +
⇒F
%G
-
9
9
D 9 9
9 9 9 9
a x x
a x a
 
− + +
 ÷
 ÷
 
⇒CG<-
9 9 9
9
9
D D 9
9

a xa
a ax x a a x x
−
− + − +
nj∀8∈\m
9
]
57@8l8-9l8-D
Bài 6:0 XFGfX@Xf*
α
6JV
X@
ϕ
6JV
/01236
α

ϕ

GiiB
;KAIG
FK G FK G
K G FK FGG
⊥ ⊥
 
⇒ ⇒
 
⊥ ∠ = ∠ = α
 


⊥

<Go-oKAIGV
Go
GoK
9
∠
∠ =

;c-
F G

⇒
cU
GV
9
D D Z D Z Z D 
FcK  cK    
9 9 9 9 9 9 Z ^
F
FK
= = α = α = α
∆
;
9 9 9
9 9 9 9
D D GK D   D   S
GoF Fc c   
9 9 C GoK 9 D9 Z D9
9C SC

Z 9
α + ϕ
⇔ α =
9 9 9 9
9
S
Z   S 
9
Z D
9
ϕ
⇔ α = α + ⇔ α =
ϕ
−
Bài 7B0 "XfX@0G<*
Fc- !2G<# !F<
/ap3IaW1>3)Jq
ϕ
#
ϕ
6
JVX@
GiiB
;+,( )AI<G
F, <
F,+ FGG<
+, <
⊥

⇒ ⇒ ∠ = ∠ = ϕ

D
-5
PG<
5
9
 ($*
bB
D D
FG<
5 5
D P
5 95 9 F
= =
/B

9 9 9 9 9
9 9
D  D 
F F, , ,c  , D C D
9 9C
C F,+ C
= + = + = + = ϕ +
ϕ
ϕ
G<P
⊥
F
GP F
⇒ ⊥
9

ϕ
⇒ = − = − =
+ ϕ
+ ϕ
∆
F@AB
9
9
D
9
9
9
D D
D 9
C
D C
5
D C

5 9
D C
D C
9C
5 5
C
5 5 5
ϕ
+ ϕ
ϕ
= =

/B
( ) ( )
,+ ` F+
,+ ` Fi,
F+ Fi, F+,
⊥


⇒ ⊥

= ∩


,+` Fi
⇒ ⊥
+WXBFi
( )
G< Fi ,+
⊥ ⇒ ⊥
<B+
≡
+k
( )
+, Fi+ +, i+
⇒ ⊥ ⇒ ⊥
57@I
( ) ( )
Fi, F+,
⊥
0 L

= +
= − + −
= +
+ − + − + −
⇒ = =
57@rDB
( ) ( )
9 9 9 9 9
9 9
9
9 9
S 9  9
S S
9 9
b a y y a a
x b x a y
bx ay x a
+ − + −
= + + − + −
⇔ + = +
57@fW3IFi+F+,B
9 9
9 9bx ay x a+ = +
J7 7AVfW3IFi,
⊥
F+,i,
⊥
+,
NB
9 9 9

i%
S D[
SJ 9  @ 9@ 
F% i% Fi  J
D[

F+ Fi i+  J 8
S

 J 8
S
i F
S
+ − + −
= =
+ − + −
= + = +
= + = + +
+ +
⇒ = =
/TDB
( ) ( )
9 9 9 9 9
9 9 9 9 9
9 9
9 9 9 9 9 9
9 9 9 9
9 9
9 9 9 9 9
% F% F i i%

<N & &`P
`<`< `P< <N < <N
⇒
⇒ ∠ = ∠ = ∠ = ∠

F <
< F< < F<
< <
⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥


+
`P F
⊥
VC@AB
F<V
t>*#
P`V
`P `
F< <
⇒ =
D
k
⊥
F
9 9 9

> <N & &P`
P 9 P` `
Ze
<N 
u
DS
N 
u
⇒ = + = + =
⇒ = = =

=


⇒


=


CF-
  9 9 u
F u
DS

9
= =

9 9 9
9 9

<N AC
Ze
⇒ ∠ =
Bài 10:0 FG<#G<0*

G< [j∠ =
iIG<JdFi
⊥
G<
Fi-
Z

S

bXhaWLX6FG<
J/a6FGF<
LB
%i>_!>
⊥
<'<G()*Ko
;<_Kc
⊥
Fo
c Fo
∈


Fi G<
G FKo
Ko G

( )
FK < FK >
FKo < > > & &< & &G
Fo < Fo >
KFo F<FG
⊥ ⊥
 
⊥ ⇒ ⇒
 
⊥ ⊥
 
⇒ ∠ = ∠

/>=>)B
Ko-9iK-
Z

9


9 9 9 9
s Z Z
FK Fo Fi iK   
D[ D[ 9
= = + = + =

FKo⇒V
f

KFo [j⇒ ∠ =

V
D
;+WXB
5
FG<
-
D
FG<><FGC <FG
[
∠
/AB
FG-
9 9 9 9
s D DZ
iG Fi   
D[ S S
+ = + =
F-
9 9 9 9
s Z 9D
i Fi   
D[ S S
+ = + =
<&&G
⇒

<FG GFG FG∠ = ∠ = ∠

9 9 9
9 9 9

Bài 11:0 FGX@X*G-G-9
<_Fc#G*cC
 [
c  Fc 
Z Z
= =
Ko()AI
GF
 β
 !2Go
# !FcK
/a6
 β
G
LB
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
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
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