cbook.vn – Chuyên đề Lượng giác và Phương trình Lượng giác _ Lý thuyết + Bài tập
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
1
Thư viện tài liệu trực tuyến
cbook.vn
Th.S HÀ THỊ THÚY HẰNG (Chủ biên)
CAO VĂN TÚ – VŨ KHẮC MẠNH cbook.vn – Chuyên đề Lượng giác và Phương trình Lượng giác _ Lý thuyết + Bài tập
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
2 LỜI NÓI ĐẦU
Chương trình môn Toán ở trường THPT đã có nhiều thay đổi từ khi Bộ Giáo Dục và
cbook.vn – Chuyên đề Lượng giác và Phương trình Lượng giác _ Lý thuyết + Bài tập
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
3 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU 2
MỤC LỤC 3
CHƯƠNG I: KIẾN THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 5
CHƯƠNG II: CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 8
VẤN ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 8
VẤN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH DẠNG a.sinx + b.cosx = c (
22
0ab
) (1) 13
VẤN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT BẬC HAI ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX . 18
VẤN ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VỚI SINX VÀ COSX 22
VẤN ĐỀ 5: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC HỖN HỢP CHỨA CÁC BIỂU THỨC
ĐỐI XỨNG. 28
VẤN ĐỀ 6: LOẠI NGHIỆM KHÔNG THÍCH HỢP CỦA PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG
GIÁC 30
Phương pháp 1: Phương pháp loại nghiệm trực tiếp. 30
2.6.2Phương trình lượng giác dạng Pitago. 68
2.6.3Sử dụng bất đẳng thức Cosi: 69
Phương pháp 7: Dùng phương pháp khảo sát hàm số. 72
Phương pháp 8: Biện luận phương trình lượng giác chứa tham số. 75
Bài tập tự luyện. 85
CHƯƠNG IV: TUYỂN TẬP 200 BÀI LƯỢNG GIÁC 88
KẾT LUẬN 175
I. 2. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt
a. Cung đối:
àv
os os tan tan
sin sin cot cot
cc
b. Cung bù:
àv
d. Cung hơn kém
:àv
sin sin tan tan
os os cot cotcc
Chú ý: cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém
tan và cot
I. 3. Công thức cộng.
ab
ab
ab
ab
ab
ab
Chú ý: sin bằng sin.cos , cos.sin ; cos bằng cos.cos , sin.sin giữa trừ ; tan bằng tan tổng
chia 1 trừ tích tan.
I. 4. Công thức nhân đôi
2 2 2 2
2
2tan
sin2 2sin .cos os2 os sin 2cos 1 1 2sin tan2
1 tan
a
a a a c a c a a a a a
a
I. 7. Công thức nhân ba
3
33
2
3tan tan
sin3 3sin 4sin os3 4cos 3cos tan3
1 3tan
aa
a a a c a a a a
a
I. 8. Công thức biến đổi tổng thành tích
cos cos 2cos os cos cos 2sin sin
2 2 2 2
sin sin 2sin os sin sin 2 os sin
1
cos .cos os os
2
1
sin .sin os os
2
1
sin .cos sin sin
2
a b c a b c a b
a b c a b c a b
a b a b a b
I. 10. Bảng giá trị lượng giác của các cung đặc biệt
Cun
g
2
0
2
120
3
0
3
135
4
0
5
150
6
0
cos
1
3
2
2
2
1
2
0
1
2
2
2
3
2
1
0
1
3
1
3
║
Chú ý:
sin
2
n
với
0 0 0 0 0
0 ; 30 ; 45 ; 60 ; 90
ứng với
n=0;1; 2; 3; 4
.
Công thức đổi từ độ sang radian và ngược lại:
0
1
1
O
sin
cos
cbook.vn – Chuyên đề Lượng giác và Phương trình Lượng giác _ Lý thuyết + Bài tập
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
8 CHƯƠNG II: CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
VẤN ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Để giải 1 Phương trình lượng giác, nói chung ta tiến hành theo các bước sau:
Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa. Các điều kiện ấy bao hàm các điều kiện để
căn có nghĩa,phân số có nghĩa, biểu thức logarít có nghĩa. Ngoài ra trong các Phương trình
lượng giác có chứa các biểu thức chứa
tanx
va
cotgx
thì cần điều kiện để
tanx
và
cotgx
có nghĩa.
Bước 2: Bằng phương pháp thích hợp đưa các phương trình đã cho về một trong các phương
trình cơ bản .
-Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua sin của góc đặc biệt khi đó đặt m=
sin
. Ta
có:
2
sin sin ,
2
xk
xk
xk
cbook.vn – Chuyên đề Lượng giác và Phương trình Lượng giác _ Lý thuyết + Bài tập
Liên hệ bộ môn:
Khi đó ta có:
2
sin sin ,
2
xk
xk
xk
Vậy phương trình có 2 họ ngiệm
Ví dụ 2: Giải phương trình
3
sin(3 )
42
x
Giải:
Vậy phương trình có hai họ nghiệm .
b) Giải và biện luận phương trình lượng giác
cos ( )x m b
Ta cũng đi biện luận (b) theo m
Bước 1: Nếu
1m
phương trình vô nghiệm .
Bước 2: Nếu
1m
ta xét 2 khả năng:
cbook.vn – Chuyên đề Lượng giác và Phương trình Lượng giác _ Lý thuyết + Bài tập
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
10
-Khả năng 1: Nếu
m
được biểu diễn qua
cos
của góc đặc biệt, giả sử góc
. Khi đó
phương trình có dạng
2
xk
xk
xk
Như vậy ta có thể kết luận phương trình có 2 họ nghiệm
Ví Dụ Minh Hoạ.
Ví dụ 1: Giải phương trình sau:
1
cos
2
x
Giải:
Do
21
cos( ) cos
3 3 2
và
1
3
không là giá trị của cung đặc biệt nên tồn tại góc
0;
sao cho
1
cos
3
Ta có:
cos(2 ) cos 2 2
66
x x k
2 2 ( )
6 12 2
x k x k k
m
không biểu diễn được qua tan của góc đặc biệt , khi đó đặt
m
=
tan
ta được
tan tan , x x k k
Nhận xét: Như vậy với mọi giá trị của tham số phương trình luôn có nghiệm
Ví Dụ Minh Hoạ:
Ví dụ 1: Giải phương trình
tan 3x
Giải :
Do
3 tan
6
nên ta có:
tan 3 tan tan
66
x x x k
tan( ) 2 tan( ) tan ( )
5 5 5 5
x x x k x k k
Vậy phương trình có một họ nghiệm.
cbook.vn – Chuyên đề Lượng giác và Phương trình Lượng giác _ Lý thuyết + Bài tập
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
12
d) Giải và biện luận phương trình lượng giác
cot ( )x m d
Ta cũng đi biện luận theo
m
Bước1: Đặt điều kiện
sin 0x x k k
Bước 2: Xét 2 khả năng
-Khả năng 1: Nếu
m
được biểu diễn qua cot của góc đặc biệt , giả sử
khi đó phương
trình có dạng
(1)
Giải:
Điều kiện
cos( ) 0
4
x
44
x k x k k
(*)
Ta có:
(1)
cot( ) cot
4 3 4 3 12
x x k x k k
Họ nghiệm trên thoả mãn điều kiện (*)
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm.
Ví dụ 2: Giải phương trình
cot(4 35 ) 1
o
x
sin cos (1)a x b x c
trong đó a, b, c
và
22
0ab
được gọi là phương trình bậc nhất đối với
sin ,cosxx
b) Cách giải.
Ta có thể lựa chọn 1 trong 2 cách sau:
Cách 1: Thực hiện theo các bước
Bước 1:Kiểm tra
-Nếu
22
ab
<
2
c
phương trình vô nghiệm
-Nếu
2 2 2
a b c
khi đó để tìm nghiệm của phương trình ta thực hiện tiếp bước 2
Bước 2: Chia cả 2 vế phương trình (1) cho
22
ab
, ta được
2 2 2 2
sin .cos sin .cos sin( )
cc
x x x
a b a b
Đây là phương trình cơ bản của sin mà ta đã biết cách giải
Cách 2: Thực hiện theo các bước
Bước 1: Với
cos 0 2 ( )
2
x
x k k
thử vào phương trình (1) xem có là nghiệm
hay không?
Bước 2: Với
cos 0 2 ( )
2
x
x k k Z
Đặt
tan
tt
Bước 3: Giải phương trình (2) theo t , sau đó giải tìm x.
* Dạng đặc biệt:
.
sin cos 0 ( )
4
x x x k k
.
sin cos 0 ( )
4
x x x k k
.
Chú ý: Từ cách 1 ta có kết quả sau
2 2 2 2
sin cosa b a x b x a b
từ kết quả đó ta có thể áp dụng tìm GTLN và
GTNN của các hàm số có dạng
sin cosy a x b x
,
. Lúc đó phương trình (1) viết được dưới dạng
cos sin2 sin cos2 sin sin(2 ) sin
22
22
2
x x x x
xk
xk
xk
xk
xx
tt
Phương trình (1) sẽ có dạng
2
22
22
21
3 3 2 3(1 ) 3(1 ) 3
11
tt
t t t t
tt
Hay
tan 3 tan ,x x k k
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm
Cách 3: Biến đổi phương trình về dạng
2
sin2 3(1 cos2 ) 2sin .cos 6cos
cos 0 tan 3 tan
Vậy phương trình có hai họ nghiệm
Chú ý: Khi làm bài toán dạng này chúng ta nên kiểm tra điều kiện trước khi bắt tay vào giải
phương trình bởi có một số bài toán đã cố tình tạo ra những phương trình không thoả mãn
điều kiện. Ta xét ví dụ sau:
Ví Dụ 2: Giải phương trình
2 2(sin cos )cos 3 cos2 2x x x x
Giải:
Ta biến đổi phương trình (2)
Ta có:
2 2 2
22
2sin2 2(1 cos2 ) 3 cos2
2sin2 ( 2 1)cos2 3 2
2 ; 2 1; 3 2
2 ( 2 1) 5 2 2
(3 2) 11 6 2
x x x
xx
a b c
ab
c
Đặt
1 3 1 3
cos ; sin
2 2 2 2
xx
Phương trình (3) sẽ được viết thành
1
sin .cos sin .cos sin( ) sin
4
2
x x x
22
44
,
3
22
44
x k x k
k
x k x k
22
12 4 6
x x x x x x
xx
xx
x
xk
xk
k
x k x k
2 2 2 2
a b c d
>0 và P(x) ,Q(x) không đồng thời là các
hàm hằng số . Bằng phép chia cho
22
ab
ta có (*)
sin ( ) sin ( )P x Q x
hoặc
(*)
cos ( ) cos ( )P x Q x
trong đó
,
là các góc phụ thích hợp. Ta xét ví dụ
sau:
Ví Dụ 4: Giải phương trình:
cos7 sin5 3(cos5 sin7 ) (4)x x x x
Giải:
(4)
22
6 12
3
12 2
86
2
x k x k
kZ
k
x
xk
5.
44
sin cos 1 2 2sin .cosx x x x
6.
44
2( 3sin cos ) 7sin2 3(cos sin )x x x x x
7.
31
8sin
cos sin
x
xx
8.
2 2(sin cos )cos 3 cos2x x x x
9.
cos 2cos2 2 2 cos3x x x
10.
23
2cos( ) 6sin( ) 2sin( ) 2sin( )
5 12 5 12 5 3 5 6
x x x x
xem nó có phải là nghiệm của phương trình(1) hay không?
Bước 2: Với
0cosx
chia cả hai vế cho
2
cos x
lúc đó phương trình (1) trở thành
22
2
tan tan (1 tan )
( )tan tan 0
a x b x c d x
a d x b x c d
Đây là phương trình bậc hai theo tan ta đã biết cách giải.
Cách 2: Dùng công thức hạ bậc
22
1 cos2 1 cos2 sin2
sin ; cos ; sin .cos
2 2 2
x x x
x x x x
ta sẽ được phương
trình bậc n theo
tan
. Giải phương trình này ta được nghiệm của phương trình ban đầu.
Ví Dụ Minh Hoạ:
Ví Dụ 1: Giải phương trình :
2
2 3cos 6sin .cos 3 3x x x
(1)
Giải:
Cách 1: Phương trình (1)
3(1 cos2 ) 3sin2 3 3 cos2 3sin2 3x x x x 1 3 3 3
cos2 sin2 cos(2 )
2 2 2 3 2
x x x
22
2
36
4
22
3 6 12
vào phương trình (1) ta có
0 3 3
vô lí.
Vậy
2
2
x k k
không là nghiệm của phươngtrình.
+)Với
cos 0x
Chia cả hai vế của phương trình cho
2
cos x
ta được
22
2 3 6tan (3 3)(1 tan ) (3 3)tan 6tan 3 3 0x x x x tan 1
4
33
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
20
* Chú ý: Không phải phương trình nào cũng ở dạng thuần nhất ta phải thực hiện
một số phép biến đổi thích hợp
Ví Dụ 2: Giải phương trình:
3
sin ( ) 2sin
4
xx
(2)
Giải :
Ta nhận thấy
sin( )
4
x
có thể biểu diễn được qua
sin cosxx
. Luỹ thừa bậc ba biểu
thức
sin cosxx
ta sẽ đưa phương trình về dạng thuần nhất đã biết cách giải
Phương trình (2)
3
Vậy phương trình không nhận
2
2
xk
làm nghiệm
+) Với
cos 0x
. Chia cả hai vế của phương trình (2) cho
3
cos x
ta được :
3 2 3 2
(tan 1) 4(1 tan )tan 3tan 3tan tan 1 0x x x x x x
.
Đặt
tantx
phương trình có được đưa về dạng:
3 2 2
3 3 1 0 ( 1)(3 1) 0
1
4
t t t t t
t x k k
xk
x
k
x
xk
Cách 1: Biến đổi phương trình về dạng :
2
3
(do
2
tan tan 2 0xx
vô nghiệm) nên:
Phương trình (*)
tan 0x x k k
Vậy phương trình có một họ nghiệm
Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng
2
2
2
cos sin
cos sin
cos sin
cos
2
4
2sin cot( )
44
1 cot ( )
sin
4
4
xx
tx
ta được :
32
2
2
2 0 1 2 0 1
1
cot( ) 1 ( )
4 4 4
t t t t t t t
t
hay x x k x k k
Vậy phương trình có một họ nghiệm
Bài tập :
Giải các phương trình sau :
cbook.vn – Chuyên đề Lượng giác và Phương trình Lượng giác _ Lý thuyết + Bài tập
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
22
31
8cos
sin cos
x
xx
8)
2 2 4
(sin 4cos )(sin 2sin .cos ) 2x x x x x cos x
9)
33
cos sin sin cosx x x x VẤN ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VỚI SINX VÀ COSX
a) Định nghĩa: Phương trình đối xứng đối với
sin x
và
cosx
là phương trình dạng
(sin cos ) sin cos 0a x x b x x c
trong đó
,,abc
(1)
b) Cách giải:
Cách 1: Do
2
sin cos 2cos( ) 2cos
4
x x x t
2
1 1 1 1
sin cos sin2 cos( 2 ) cos2 cos
2 2 2 2 2
x x x x t t
nên phương trình (1) trở thành
2
cos 2cos 0
2
b
b x x c
. Đây là phương trình bậc hai đã biết cách giải
cbook.vn – Chuyên đề Lượng giác và Phương trình Lượng giác _ Lý thuyết + Bài tập
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
23
*Chú ý: Hai cách giải trên có thể áp dụng cho phương trình
(sin cos ) sin cos 0a x x b x x c
bằng cách đặt
sin cost x x
và lúc đó
1
2( ) 1 0
2
t
t
2
1
2 0 (*)
2
t
tt
t
Với
2t
không thoả mãn điều kiện nên
(*)
1t
sin cos 1xx
2
2cos sin2( ) 1 0
4
zz
2cos sin( ) 1 0
2
zz
2cos cos2 2 0zz
2
2cos (2cos 1) 1 0zz
2
2cos 2cos 1 0zz
cos 2
2
cos
2
z
zk
3
2
44
3
2
44
xk
xk
Cách giải: Phương trình (1) có thể viết
2 2 2 2
sin cos
( sin cos )
sin .cos
a x b x
c a x b x
xx
( sin cos )( sin cos ) ( sin cos )a x b x a x b x c a x b x
( sin cos ) ( sin cos ) sin .cos 0a x b x a x b x c x x
sin cos 0
sin cos sin .cos 0
(sin 3cos )(sin 3cos ) 4(sin 3cos )sin .cosx x x x x x x x (sin 3cos ). (sin 3cos )sin2 0x x x x x
cbook.vn – Chuyên đề Lượng giác và Phương trình Lượng giác _ Lý thuyết + Bài tập
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
25 sin 3cos 0 (4)
sin 3cos sin2 0 (3)
xx
x x x
Ta có (3)
tan 3 (5)
2
3
4
2
3
xl
l
xl
xx
0 tan
cos sin
sin sin cos cos 0 sin sin cos cos 0
a b b
x
x x a
x x x x x x x x
Đến đây chúng ta đã biết cách giải
Tương tự cho phương trình
(tan sin ) (cot cos ) 0a x x b x x a b
Ví Dụ 3: Giải phương trình
tan 3cot sin 3cos 1 3 0x x x x
(3)
Giải:
Copyright: Tài liệu đại học ©