ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
MA THỊ THÚY HỒNG
SỬ DỤNG PHẦN MỀM MINH
HỌA MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ
YẾU TỐ THAY ĐỔI
Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 60.46.01.13
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS. TRỊNH THANH HẢI
THÁI NGUYÊN - NĂM 2014
Mục lục
Mục lục i
Lời cảm ơn ii
Mở đầu 1
1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2
1.1 Phần mềm "Vi thế giới" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Sử dụng phần mềm "Vi thế giới" để biểu diễn, minh họa kết
quả bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 MINH HỌA KẾT QUẢ MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ YẾU TỐ
THAY ĐỔI TRONG CHƯƠNG TRÌNH THPT 15
2.1 Bài toán về tính tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1 Bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.2 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Bài toán về điểm cố định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.1 Bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.2 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Bài toán quỹ tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.1 Bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.2 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

THPT, với mỗi dạng sau khi đưa ra định hướng giải quyết luận văn sẽ lựa
chọn một vài ví dụ cụ thể và đưa ra lời giải chi tiết.
- Nhiệm vụ chính của luận văn là sử dụng phần mềm minh họa kết quả của
lời giải bài toán.
- Trong luận văn ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo gồm hai
chương:
Chương I: Kiến thức chuẩn bị
Chương II: Minh họa kết quả một số bài toán có yếu tố thay đổi trong
chương trình Toán ở trường phổ thông.
Trong quá trình viết luận văn cũng như quá trình xử lý văn bản chắc chắn
không tránh khỏi những hạn chế thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý của
các thầy, cô các bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện hơn.
Thái nguyên, tháng 9 năm 2014
Học viên
Ma Thị Thúy Hồng
1
Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Phần mềm "Vi thế giới"
Khái niệm "Vi thế giới" được đề cập lần đầu vào những năm 60 thế kỷ
XX từ việc xác định đặc trưng cho vũ trụ hoạt động của người máy. Có thể
nêu lên các đặc trưng cơ bản của một "Vi thế giới" là:
(1) Một môi trường gồm những đối tượng và những quan hệ.
(2) Một tập hợp những thao tác cho phép hành động trên những vật thể
và cho phép tạo ra những vật thể mới, tạo ra những quan hệ mới.
Với các thuộc tính "cấu trúc", "động", "liên tục" và tính tương tác rất
cao, các vi thế giới cung cấp các chức năng cơ bản để mô hình hóa các bài
toán và nghiên cứu bài toán trên các mô hình, chẳng hạn các vi thế giới cho
phép người sử dụng:
(1) Tạo ra các đối tượng cơ bản như điểm, đoạn thẳng, các mối quan hệ

Trình tự xây dựng mô hình như sau:
(1) Xác định hệ trục toạ độ Oxy.
(2) Lấy một điểm X(x; 0) bất kỳ thuộc miền xác định của hàm số và điểm
M(m, 0) bất kỳ thuộc miền giá trị của tham số.
(3) Tính giá trị y = f(x, m).
(4) Dựng điểm Y (x; f(x, m)).
Bước 3: Đưa ra mô hình trực quan của bài toán.
Ta sẽ sử dụng các chức năng để thay đổi tham số và nhận được mô hình
trực quan của bài toán.
Ví dụ 1.1 Xét bài toán: "Chứng tỏ rằng đồ thị hàm số y =
(m+1)x+m+2
x+m+2
luôn luôn đi qua hai điểm cố định bất chấp m (ngoại trừ một vài giá trị của
m mà ta sẽ tìm ra)".
Việc sử dụng "Vi thế giới" để minh hoạ kết quả như sau:
Bước 1: Xác định bài toán:
Trong trường hợp này, mối quan hệ giữa các yếu tố được cho bới biểu thức
giải tích: y =
(m+1)x+m+2
x+m+2
, trong đó m là giá trị thay đổi nhận giá trị thực.
Bước 2: Xây dựng mô hình biểu diễn hàm số:
Sử dụng phần mềm Geometry Cabri thì các thao tác chính như sau:
- Chọn chức năng P oint on Object lấy X(x; 0), M(m; 0) bất kỳ trên trục Ox
- Chọn chức năng Equation and Coordinates: cho hiện toạ độ của hai điểm
X, M ra màn hình.
- Chọn công cụ Calculate: tính giá trị của hàm số trong đó x là hoành độ điểm
X, m là hoành độ của điểm M.
- Chọn chức năng Measurement Transfer: lần lượt bấm chọn giá trị vừa tính
được sau đó chỉ vào trục tung Oy. Ta xác định được điểm Y thuộc Oy.

MB và xác định giao của đường tròn này với tia AM (gọi là điểm F ).
- Tiếp tục vẽ đường tròn tâm F, bán kính F M. Gọi giao của đường tròn này
với tia AM là I.
Việc chứng minh quỹ tích bài toán là cơ bản đối với học sinh, cụ thể: vì
góc

MIB không đổi nên tập hợp các điểm I sẽ là cung chứa góc dựng trên
đoạn thẳng AB (điểm I luôn nhìn đoạn thẳng AB với một góc có tan luôn
bằng
1
2
)
Bước 3: Minh họa mô hình quỹ tích.
- Chọn lệnh Display/T raceP oint xác định thuộc tính để lại vết khi chuyển
động cho điểm I rồi chọn lệnh Display/AnimatePoint cho điểm M chuyển
động ta thu được hình ảnh trực quan của quỹ tích điểm I.
Hình 1.3: Hình vẽ minh họa.
Bước 4: Khai thác bài toán cho học sinh khá, giỏi:
6
Ta có thể mở rộng bài toán cho học sinh khá giỏi bằng cách đặt những
câu hỏi sau:
Ta đã nhận dạng được quỹ tích là cung chắn góc dựng trên đoạn thẳng
AB nhưng cụ thể cung đó nằm trên đường tròn tâm nào? Hãy xác định tâm
và bán kính của đường tròn chứa quỹ tích này?
Trong bài toán ta đã xác định được quỹ tích điểm I thoả mãn MI = 2MB.
Nếu tỷ số không phải là 2 mà MI = k.MB (với k là số thực bất kỳ) thì quỹ
tích điểm I như thế nào?
Trong trường hợp tổng quát, AB không phải là đường kính mà chỉ là một
dây cung. Quỹ tích điểm I như thế nào?
Minh họa bài toán mở rộng với phần mềm Sketchpad.

đưa chuột ra màn hình vẽ một thanh trượt ngang. Độ dài thanh trượt cho ta
số thực k.
- Tiếp tục thao tác tương tự như đối với bài toán ban đầu: vẽ đường tròn
đường kính AB(O, OA); vẽ tia AM với M là điểm bất kỳ thuộc đường tròn
(O, OA);
- Chọn lệnh Measure/Length để đo độ dài đoạn thẳng MB và AB
- Chọn lệnh Measure/Calculate để tính giá trị k.BM và k.AB
- Chọn lệnh Construct/Circle by Center + Radius để dựng đường tròn tâm M,
bán kính k.MB. Giao của đường tròn với tia AM cho ta điểm I(MI = k.MB)
8
- Chọn lệnh Construct/Perpendicular Line để dựng đường thẳng đi qua điểm
A và vuông góc với AB- đây chính là tiếp tuyến At với đường tròn (O, OA)
tại điểm A.
- Chọn lệnh Construct/CirclebyCenter + Radius để dựng đường tròn tâm A,
bán kính k.AB. Giao của đường tròn với At cho ta điểm G(AG = k.AB)
Sau khi nối điểm I với điểm G và nối I với B, học sinh hoàn toàn bằng mắt
thường phát hiện được góc

GIB luôn vuông. Từ đây học sinh nhận dạng chính
xác quỹ tích điểm I là nửa đường tròn đường kính BG và phần đối xứng qua
AB.
Hình 1.5: Hình vẽ minh họa.
Để thấy rõ tác động khi tỷ số k thay đổi nên quỹ tích điểm I, học sinh chỉ
cần nhấp chuột vào thanh trượt để kéo cho giá trị k thay đổi.
Ngoài việc quan sát sự biến đổi của quỹ tích, học sinh còn đưa ra được các
nhận xét lý thú khi k = 0; k là dương nhỏ thua 1, k = 1 và k > 1.
c) Mở rộng quỹ tích với trường hợp AB là một dây cung
Ta sử dụng các chức năng dựng hình của Sketchpad lần lượt dựng:
- Đường tròn tâm O, đường kính EF , dây AB song song với EF .
- Lấy điểm I trên tia AM về phía M sao cho MI = k.MB.

tiếp xúc với một đường cong cố định nào đó chính là bài toán tìm hình bao
của họ đường cong d(m). Với phương pháp tìm hình bao được giới thiệu trong
chươnh trình hình học vi phân ở bậc Đại học: Để tìm hình bao của họ đường
cong F(x, y, m) = 0 (m là tham số) là ta tiến hành khử tham số m từ hệ
phương trình.

F (x, y, m) = 0
F

(x, y, m) = 0
Vận dụng cách làm này vào bài toán trên ta có hệ phương trình.

2m + 2x = 0(1)
x
2
+ (2m + 1)x + m
2
− 1 = y(2)
Từ (1) ta có m = −x, thế vào (2) và rút gọn ta được:
x
2
− (2x −1)x + x
2
− 1 = y ⇔ y = x − 1.
Vậy họ đường cong (dm) luôn tiếp xúc với đường thẳng y = x − 1.
Bước 2: Xây dựng mô hình bài toán:
Ta dùng phần phần mềm Geometry Cabri xây dựng mô hình của bài toán
bằng cách sử dụng các chức năng công cụ của Geometry Cabri như sau:
- Chọn Show Axes: Để cho hiện hệ trục toạ độ Oxy.
- Chọn P oint on Object: Lấy các điểm X(x; 0), M(m; 0) bất kỳ trên trục Ox.

đó cho m thay đổi và quan sát hình ảnh đồ thị hàm số (P m) trên màn hình.
Hình ảnh trực quan cho thấy họ các đường cong tương ứng với giá trị a = 2
12
không còn luôn tiếp xúc với đường thẳng y = x −1 nữa.
Câu hỏi 2: Với trường hợp cụ thể a = 2, hình ảnh trực quan cho thấy rõ
tính chất luôn tiếp xúc với đường thẳng của họ (P m) không còn đúng nữa,
nhưng liệu (P m) có thể luôn tiếp xúc với một đường nào khác không?
Tiếp tục thử nghiệm với một vài giá trị khác của a = 1. Kết quả trực
quan vẫn cho thấy "hình như" họ các đường cong này luôn tiếp xúc với
một Parabol. Đến đây học sinh đưa ra "dự đoán" đồ thị của họ Parabol
(P m) : y = ax
2
+ (2m + 1)x + m
2
− 1 với a là một số thực bất kỳ a = 1 luôn
tiếp xúc với một Parabol.
Xuất phát từ giả thuyết (P m) luôn tiếp xúc với parabol, dẫn đến bài
toán mở rộng: Tìm điều kiện của các hệ số b, c, d để parabol có phương trình
y = bx
2
+ cx + d luôn tiếp xúc với (Pm).
Việc đi xác định các hệ số dẫn đến việc giải hệ phương trình và kết quả
đã chỉ ra được trong trường hợp a = 1, (P m) luôn tiếp xúc với một parabol
cố định có phương trình là y = (a −1)x
2
+ x −1(1) và hình ảnh trực quan một
lần nữa minh họa cho kết quả của bài toán một cách sinh động.
- Khi a > 2: Họ (P m) luôn ở "tiếp xúc bên trong".
Hình 1.8: Hình vẽ minh họa.
Tiếp tục khai thác tính trực quan của Geometry Cabri, ta sẽ thu được

).
ii. Định hướng giải quyết bài toán
Phương pháp 1: Phương trình hoành độ giao điểm của (C
m
) và (L
m
)
f(x, m) = g(x, m) ⇔ f(x, m) − g(x, m) = 0(1)
(C
m
) tiếp xúc với (L
m
) ⇔ (1) có nghiệm bội.
Chú ý:
a) Phương pháp 1: Phương trình f(x) = 0 (f(x) là đa thức bậc  2) gọi
là nghiệm α bội k nếu f(x) = (x − α)
k
.q(x) với q(α) = 0, k  2
15
Khi k = 2 gọi là nghiệm kép.
Các trường hợp đặc biệt của phương pháp 1:
(1) là phương trình bậc hai: (1) có nghiệm kép ⇔= 0, (

= 0)
(1) có nghiệm x
0
: (1) ⇔ (x − x
0
)g(x) = 0.
(1) có nghiệm kép

= f(x, m), m là tham số và đồ thị (L):
y
2
= g(x)
Chứng minh rằng (C
m
) luôn tiếp xúc với một đồ thị cố định (L). Viết phương
trình của (L).
Phương pháp thường dùng:
a)Trường hợp 1: Biết dạng (L) viết phương trình của (L) trong dạng
mẫu mực.
(L): y
2
= g(x)
Ví dụ (L) là đường thẳng, (C) là đường Parabol có trục song song với trục
tung Oy.
Phương pháp 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm (C
m
) và (L)
f(x, m) = g(x) (1)
(C
m
) tiếp xúc với (L), (∀m) ⇔ (1) có nghiệm kép (∀m).
Khai thác điều kiện có nghiệm kép với mọi m của phương trình (1) dưới
hình thức đồng nhất thức đa thức theo m để tìm g(x).
16
Phương pháp 2: Phân tích f(x, m) = g(x) + ϕ(x, m).
Ở đây là hàm số có đồ thị (C) được mô tả;
ϕ(x, m) = 0 có nghiệm kép ∀m;
⇔ (C

đây vừa tiếp xúc với nhau, vừa tiếp xúc với một đường thẳng cố định:
y = mx
2
+ 2(2m + 1)x + 4m + 3, (m = 0).
Giải:
Xét Parabol tùy ý trong các họ đường cong đã cho: (P
m
) và (P
n
) với
m = 0, n = 0 và m = n. Ta sẽ chứng tỏ rằng hai Parabol này tiếp xúc với
nhau tại một điểm cố định. Lập phương trình tương giao của (P
m
) và (P
n
):
mx
2
+ 2(2m + 1)x + 4m + 3 = nx
2
+ 2(2n + 1)x + 4n + 3
⇔ (m − n)x
2
+ 4(m − n)x + 4(m − n) = 0
⇔ (m − n)(x + 2)
2
= 0
17
Phương trình này luôn có một nghiệm kép x = −2. Điều đó chứng tỏ rằng
tất cả các Parabol thuộc họ đã cho đều tiếp xúc với nhau tại điểm A có hoành

= 0, hay k = 2. Vậy phương trình tiếp tuyến cố
định của họ Parabol đã cho là y = 2x + 3.
Kết quả lời giải thể hiện qua đồ họa máy tính
Hình 2.1: Hình vẽ minh họa.
18
Ví dụ 2.2. Chứng minh rằng tất cả các đường thẳng thuộc họ (d
m
) cho
bởi phương trình y = 2mx −m
2
+ 2m đều tiếp xúc với một Parabol cố định có
trục đối xứng song song với trục tung.
Giải:
Vì Parabol cần tìm có trục đối xứng song song với trục tung nên ta chỉ
cần tìm trong số các Parabol có phương trình dạng y = ax
2
+ bx + c với a, b, c
là các hằng số và a = 0. Gọi Parabol này là (P ).
Phương trình tương giao của (d
m
) và (P) là:
ax
2
+ bx + c = 2mx −m
2
+ 2m
⇔ ax
2
+ (b − 2m)x + m
2








a = 1
b = 2
c = 1
Vậy phương trình của Parabol cần tìm là: y = x
2
+ 2x + 1
(Hình ảnh minh họa kết quả lời giải).
19
Hình 2.2: Hình vẽ minh họa.
Ví dụ 2.3:
Cho hai đường cong: y = mx
3
+(1−2m)x
2
+2mx và y = 3mx
2
+3(1−2m)x+
4m − 2. Tìm m để hai đường tiếp xúc với nhau.
Giải:
Hai đường cong đã cho tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi phương trình sau
có nghiệm bội:
mx
3

3
− 2x
2
+ mx +
1−m
2
4
có đồ thị (C
m
).
Chứng minh rằng (C
m
) luôn tiếp xúc với một đồ thị (C) cố định. Viết phương
trình của (C)
Giải:
Cách 1: Phân tích hàm số thành dạng:
y = (−
m
2
4
+ mx − x
2
) + x
3
− x
2
+
1
4
= −(x −

m
):
−
m
2
+ x = 0 ⇔ m = 2x
21
Thay m = 2x vào phương trình của (C
m
) ta nhận được: y = x
3
− x
2
+
1
4
.
Kiểm tra (C
m
) tiếp xúc với (C):y = x
3
− x
2
+
1
4
. Bằng cách lập phương trình
hoành độ giao điểm của (C
m
) với (C) và nhận được (C

4
+ mx + x
3
− 2x
2
+
1
4
− y = 0 vô nghiệm ∀m
⇔  = x
3
− x
2
+
1
4
− y < 0.
Dự đoán phương trình của (C): y = x
3
− x
2
+
1
4
Dùng phương trình hoành độ giao điểm của (C
m
) với (C):y = x
3
− x
2

4
− x
3
+ x
2
+ 1 − (2x − m)
2
Xét đường cong cố định y = x
4
− x
3
+ x
2
+ 1
Để ý rằng phương trình: x
4
− x
3
+ x
2
+ 1 − (2x − m)
2
= x
4
− x
3
+ x
2
+ 1 (1)
⇔ (2x −m)