Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân
CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG ĐIỆN XOAY CHIỀU
(MẠCH CÓ R, L, C MẮC NỐI TIẾP)
Nguyên tắc chung: Để tìm cực trị của một biểu thức nào đó thì chúng ta xuất phát từ công thức tổng
quát của chúng, thực hiện các phép biến đổi theo quy tắc nếu tử số và mẫu số đều là đại lượng biến thiên
thì chỉ để một biểu thức thay đổi (chia cả tử và mẫu cho tử số chẳng hạn )
Bổ đề :
• Bất đẳng thức Cauchy : Cho hai số không âm a, b khi đó
Dấu bằng xảy ra khi a = b
• Hàm số bậc hai , với a > 0 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm
Không nói đến r là r = 0
A. Mạch chỉ có R biến thiên.
A.I. Hiệu điện thế (U).
A.I.1. Giá trị R làm cho U
R
cực đại.
( )
2 2 2
2
R=
( )
1
R
L C
L C
U U
U I R
R Z Z
Z Z
R
= =

≠ R
2
để Z
1
=Z
2
 Không có R
1
≠ R
2
để I
1
=I
2
, U
L1
=U
L2
, U
C1
=U
C2
,
U
LC1
=U
LC2

- Không có R
1

=
+ − −
−
+
U
RL
không phụ thuộc R 
2
L C
2Z Z Z 0
C
− =
 Z
C
=2Z
L
và U
RL
= U
Lưu ý: Nếu cuộn dây có r ≠ 0 thì cũng có kết quả tương tự.
A.I.3.b. U
RC
không đổi khi R biến thiên.
Đoạn mạch RLC nối tiếp mắc theo thứ tự L(r=0), C, R
2 2
2 2 2
2 2
( ) 2
1
C

không đổi khi R biến thiên.
U
R
= const khi R biến thiên  Z
L
= Z
C
và U
R
= U
Lưu ý: Nếu cuộn dây có r ≠ 0 thì cũng có kết quả tương tự.
2
Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân
A.II. Công suất (P).
Xét mạch điện xoay chiều có hiệu hiệu thế hai đầu ổn định :
0
cos( )
u
u U t
ω ϕ
= +
R là một biến trở, các giá trị R
0
, L và C không đổi.
Gọi R
m
== R + r
A.II.1.a. Có hai giá trị R
1
≠ R

1
và R
2
. Theo định lý Viète (Vi-et):
2 2
1 2 1 2
2 2
1 2 1 2
. ( ) ( )( ) ( )
2
m m L C L C
m m
R R Z Z R r R r Z Z
U U
R R R R r
P P
 
= − + + = −
 
⇔
 
+ = + + =
 
 
- Từ đó ta thấy rằng có 2 giá trị R
1
và R
2
khác nhau cho cùng giá trị công suất
1 2

= = ± = ±
−
= = ± = ±
⇒ = ⇒ + =
Tanϕ > 0 nếu Z
L
> Z
C
và Tanϕ < 0 nếu Z
L
< Z
C
Lưu ý: Công thức ở trên khác với trường hợp 2 điện áp tức thời vuông pha:
1 2 1 2
n Ta 1
2
Ta n
π
φ φ φ φ
= − ⇔ − =
A.II.1.b Giá trị của R làm cho P
mạch
cực đại.
- Ta có:
2 2
2
2
2 2
( )
( )

R
−
= +
, áp dụng bất đẳng thức Cauchy(Côsi) cho A
2 2
( ) ( )
2 2
L C L C
m m L C
m m
Z Z Z Z
A R R Z Z const
R R
− −
= + ≥ = − =
- Ta thấy rằng P
max
khi A
min
=> “ =” xảy ra. Vậy:
m L C
R Z Z
= −
- Khi đó giá trị cực đại của công suất là:
2 2 2
max
1 2 1 0 2 0
2
2 . 2 ( )( )
L C

U
P R I R
R Z Z
R R r
= =
+ −
= +
- Đạo hàm P theo biến số R
td
ta có:
2 2
' 2
2 2 2
( )
( )
( ( ) )
L C m
m L C
Z Z R
P R U
R Z Z
− −
=
+ −
Khi
' 2 2
( ) 0 ( ) 0
L C m m L C L C
P R Z Z R R Z Z R Z Z r= ⇒ − − = ⇒ = − ⇒ = − −


0
4
P
R
O
P
max
R=Z
L
- Z
C
- R
0
2
max
2
L C
U
P
Z Z
=
−
2
2 2
( )
L C
U
P r
r Z Z
=

R nhằm định tính được giá trị của công suất sẽ tăng hay giảm khi thay đổi điện trở.
A.II.2. Giá trị R làm cho P
R
cực đại.
- Công suất của biến trở R là
2 2
2
2 2
2 2
0
0
( ) ( )
( ) ( )
R
L C
L C
U U
P R I R
R R Z Z
R R Z Z
R
= = =
+ + −
+ + −
- Đặt mẩu thức của biểu thức trên là :
2 2 2 2
0 0
0
( ) ( ) ( )
2

= + −
- Công suất cực đại của biến trở R là:
2
max
2 2
2 ( ) 2
R
L C
U
P
r Z Z r
=
+ − +
A.II.3. Giá trị R làm cho P
d
cực đại.
- Ta có :
2 2 2
2 2
;
( ) ( )
d d L
L C
P rI U I Z r
U
I
R r Z Z
= = +
=
+ + −

 Z
L
=

Z
C
 Z
min
= R
Lưu ý: Nếu cuộn dây có r ≠ 0 thì cũng có kết quả tương tự.
6
Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân
B.I.2.a Giá trị Z
L
để hiệu điện thế U
Lmax

Cách 1:
Với , đặt
Do hệ số hàm số y đạt giá trị nhỏ nhất khi:
Khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số y là:
Vậy
2 2
axLm L
U
U R Z
R
= +
khi
2 2

- Theo giản đồ vectơ và định lý hàm số sin trong tam giác ta có
:
sin( ) sin
L
U U
α β γ
=
+
- Vì
2 2
sin cos
R
RC
C
U R
const
U
R Z
γ β
= = = =
+
, suy ra

sin( ) sin( )
sin cos
L
U U
U
α β α β
γ β

α
β
γ
Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân
- Tóm lại:
• Khi
2 2
C
L
C
R Z
Z
Z
+
=
thì
2 2
max
C
L
R Z
U U
R
+
=
• Khi U
Lmax
thì hiệu điện thế tức thời ở hai đầu mạch luôn nhanh pha hơn u
RC
một góc

= ⇔ = ⇔ =
+ − + −
- Bình phương và khai triển biểu thức trên ta thu được:
1 2
1 1 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
L L
C L L C C L L C
Z Z
R Z Z Z Z R Z Z Z Z
=
+ + − + + −
- Theo kết quả phần trên khi hiệu điện thế giữa hai đầu cuộn dây cực đại thì
2 2
L C C
Z Z R Z= +

với giá trị Z
L
là giá trị làm cho U
Lmax
. Thay vào biểu thức trên:
1 2
1 1 2 2
2 2
2 2
2 2
L L

1 2
1 2 1 2
2
2
1 1 1 1
2
L L
L m
L L m
Z Z
L L
Z L hay
Z Z L L L L L
 
= ⇔ = = +
 ÷
+ +
 
với giá L
m
là giá trị là cho U
Lmax
B.I.3 Giá trị Z
L
để hiệu điện thế U
LRrmax
.
- Khi R và L mắc nối tiếp nhau thì :
2 2
2 2

để tìm giá
trị của Z
L
sao cho MT
min
khi đó giá trị của U
Lrmax
. Đạo hàm của MT theo biến số Z
L
ta thu được :
2 2 2 2
'
2 2 2
2( )( ) 2 [ ( ) ]
( )
( )
L C L L L C
L
L
Z Z R Z Z R Z Z
MT Z
R Z
− + − + −
=
+
- Cho MT’(Z
L
) = 0 ta có :
2 2 2
0



. Lập bảng biến thiên ta có:
Z
L
0
2 2
4
2
C C
L
Z R Z
Z
+ +
=

+∞
MT’(Z
L
)

- 0 +
MT (Z
L
)

2
2 2
4
2

U
R Z Z
=
+ −
9
Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân
B.II. Công suất (P).
Xét mạch điện xoay chiều có hiệu hiệu thế hai đầu ổn định :
0
cos( )
u
u U t
ω ϕ
= +
L là một cuộn dây thuần cảm có giá trị thay đổi
R và C không đổi.
vậy thì I
max
và giá trị
b. Công suất tỏa nhiệt trên mạch . Do R không đổi nên
Giá trị
Khi đó Z
min
= R

, Cosϕ
max
= 1
B.II.1. Có hai giá trị L
1

− = − ⇔

− = − −


(loaïi)
(nhaän)
- Suy ra :
1 2
0
1 2
0
2 2
L L
L
Z Z
L L
Z L
+
+
= ⇔ =
( L
0
là giá trị để P
max
)
B.II.2. Khảo sát sự biến thiên của công suất theo cảm kháng Z
L.
- Ta có công suất toàn mạch là:
2

Z Z=
10
A
B
C
R
L
Z
L
0 Z
L
= Z
C
+∞P’(Z
L
)
+ 0 -P(Z
L
)
0
Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân
- Bảng biến thiên
-
Đ
ồ
thị của công suất theo Z
L
:
- Nhận xét đồ thị:
• Có hai giá trị của cảm kháng cho cùng một giá trị công suất

P
max
Z
L
= Z
C

2
max
U
P
R
=
2
2 2
C
U
P R
R Z
=
+
Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân
C. Mạch chỉ có C biến thiên.
C.I. Hiệu điện thế (U).
C.I.1. Giá trị Z
C
để U
R
, U
L

2 2
2
L
C L L
L L
R Z R
Z Z Z
Z Z
+
= = + >
thì :
•
2 2
ax
L
Cm
U R Z
U
R
+
=
và
2 2 2 2 2 2
ax ax ax
; 0
Cm R L Cm L Cm
U U U U U U U U= + + − − =
• u
RL
vuông pha với hiệu điện thế hai đầu mạch.

- Khi có hai giá trị C = C
1
hoặc C = C
2
cho cùng giá trị U
C
thì giá trị C=C
m
làm cho U
Cmax
khi
1 2
1 2
1 1 1 1
( )
2 2
m
C C C
C C
C
Z Z Z
+
= + ⇒ =
C I.3. Giá trị Z
C
để hiệu điện thế U
RC
cực đại.
- Khi
2 2

và C có giá trị thay đổi .
Nhận xét: Vì trong công thức tổng trở
2 2 2 2
( ) ( )
L C C L
Z R Z Z R Z Z= + − = + −
do đó ta thấy rằng bài toán
thay đổi giá trị C cũng giống như bài toán thay đổi giá trị L. Do đó khi thực hiện việc khảo sát ta cũng
thực hiện tương tự thu được các kết quả sau:
P
max
khi Z
C
= Z
L

13
A
B
C
R
L
C
m
C
1
C
2
U
C

0
là giá trị làm cho công suất mạch cực đại
Khi đó Z
min
= R

, Cosϕ
max
= 1
,
I
max
Lưu ý: Nếu cuộn dây có r ≠ 0 thì cũng có kết quả tương tự.
C.II.2. Khảo sát sự biến thiên của công suất theo dung kháng.
- Bảng biến thiên:
Z
C
0 Z
C
= Z
L
+∞
P’(Z
C
) + 0 -
P(Z
C
)

2

max
U
P
R
=
2
2 2
L
U
P R
R Z
=
+
Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân
D. Mạch chỉ có ω (hay f) biến thiên.
Không dùng giản đồ mà sử dụng đại số.
Nhiều bài toán cho omega1,2 phải đưa về Zl0=Zc0=x rồi từ đó suy ra mối quan hệ giữa x với
Zl1ZL2ZC1ZC2 dựa trên mối quan hệ giữa các giá trị omega để giải dễ hơn
VD: Mạch có cùng công suất với
Thì =
D.I. Hiệu điện thế (U).
D.I.1. Giá trị ω làm cho U
R
cực đại.
U
R
cực đại  I
max
 Z
min

2
1
( )
L
R L
Z
C
A
Z L
ω
ω
ω
 
+ −
 ÷
 
 
= =
 ÷
 
- Biến đổi biểu thức A ta thu được :
2
2
2 2 2
1
1
R
A
L LC
ω ω

= − −
 ÷
 
- Cho A’(x) = 0 ta thu được
2 2
2
2
LC R C
x
L
−
=
- Vì
2
2
0
L
x R
C
> ⇒ >
khi đó ta thu bảng biến thiên:
x
0
2 2
2
2
LC R C
L
−
∞

L
x R
C
≤ ⇒ ≤
thì A
min
khi x = 0 do A làm hàm số bậc 2 có hệ số
2
1
0a
C
= >
nên hàm số
có cực tiểu ở phần âm, do đó x = 0 làm cho A
min
trong miền xác định của x. Khi đó ω rất lớn làm cho Z
L

rất lớn làm cho I = 0. Do đó không thể tìm giá trị ω làm cho U
Lmax.

Nếu điều kiện đề bài không thỏa mãn R
2
C<2L thì đồ thị có dạng:
16
U
U
C
ω
ω

cho U
Cmax
là:
- Khi
2 2
2
1 1
2 2
C
L R R
L C LC L
ω ω
= = − = −
thì
ax
2 2
2 .
4
Cm
U L
U
R LC R C
=
−
với
2
2L
R
C
>

ω ω ω
= +
Lưu ý:
- Khi ω thay doi
ax ax
2 2
2 .
4
Lm Cm
U L
U U
R LC R C
= =
−
2
2
ax
1
C
Lm L
U
U
ω
ω
 
 
+ =
 ÷
 ÷
 

ax
1
C
Lm L
f
U
U f
 
 
+ =
 ÷
 ÷
 
 
;
2
2
ax
1
C
Cm L
f
U
U f
 
 
+ =
 ÷
 ÷
 

R L
C
ω
ω
= =
 
+ −
 ÷
 
, từ công thức này ta thấy rằng công suất của mạch đạt
giá trị cực đại khi:
0
1 1
0L
C
LC
ω ω ω
ω
− = ⇒ = =
. Với
2
max
U
P
R
=

- Khi đó Z
min
= R và hiệu điện thế giửa hai đầu mạch và cường độ dòng điện qua mạch đồng

1 2
P P
U U
R R
R L R L
C C
ω ω
ω ω
= ⇔ =
+ − + −
19
Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân
- Biến đổi biểu thức trên ta thu được :
1 2
1 2
1 2
1 2
1 1
(1)
1 1
( )(2)
L L
C C
L L
C C
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω


- Ta có
2
2
2
2
1
U
P RI R
R L
C
ω
ω
= =
 
+ −
 ÷
 
- Việc khảo sát hàm số P theo biến số ω bằng việc lấy đạo hàm và lập bảng biến thiên rất
khó khăn vì hàm số này tương đối phức tạp. Tuy nhiên, ta có thể thu được kết quả đó từ những nhận xét
sau:
• Khi ω = 0 thì
1
C
Z
C
ω
= → ∞
làm cho P = 0
• Khi
0

Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân

- Nhận xét đồ thị:
• Từ đồ thị ta thấy rằng sẽ có hai giá trị
ω
1
≠
ω
2
cho cùng một giá trị công suất, điều này
phù hợp với những biến đổi ở phần trên.
E. Một số bài toán khác.
E.I. Các công thức dễ nhầm lẫn.
ax
1 2 1 2
m Lm
L L
L L U
L L U U
= ⇒
≠ ⇒ =
1 2
1 1 1 1
2
m
L L L
 
= +
 ÷
 

L L
L
+
=
ax
1 2 1 2
m Cm
C C
C C U
C C U U
= ⇒
≠ ⇒ =
1 2
2
m
C C
C
+
=
ax
1 2 1 2
C Cm
C C
U
U U
ω ω
ω ω
= ⇒
≠ ⇒ =
( )

2
2
2
2
2
1
MB L C
L C
U U
U r Z Z
Z
R Rr
r Z Z
= + − =
+
+
+ −
U
MB min
= U
r
khi Z
L
= Z
C
21
0
1
LC
ω

ω ω
−
=
−
Chứng minh:
( )
( )
( )
( )
0 ax min
ax
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2
2 2
1 2
1 2
2 2 2
1 1 1
1
2 2 2
2 2 2
2
1 2
2 2 2
1 2 1 2
2
,
1 1
1 1
1 1

= = ⇒ = = ⇒ = = >
   
⇒ + − = + − =
 ÷  ÷
   
⇒ − = − ⇒ − = −
− = − − ⇒ − = − −
−
⇒ − = − + ⇒ =
−
22
U
U
MB
Z
C
0
Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân
F. Cực trị trong máy điện.
F.I.1.
Máy phát điện xoay chiều 1 pha có điện trở trong không đáng kể, mắc vào đoạn mạch nối tiếp RLC.
Rôto có tốc độ quay là n
1
và n
2
thì I
1
= I
2
. Khi rôto có tốc đọ quay là n

2
U
. Khi mắc cuộn 2 với điện áp hiệu dụng
2
U
thì điện áp hiệu dụng ở cuộn 1 khi để hở là
( )
( )
( ) ( ) ( )
1 2 2 2 2
2 2
1 1 1 1
' '
1 2 1 2 1
2
' '
1 2 1 2
' '
'
2 2 2 2
2
2 2 2
'
2 2 2
1 1 2
1 / 1
1 1
1 1
1 1 1
U N N

, U
C
, U
LC
, U
d
cực đại.
A.I.3.a. U
RL
không đổi khi R biến thiên.
A.I.3.b. U
RC
không đổi khi R biến thiên.
A.I.3.c. U
R
không đổi khi R biến thiên.
A.II. Công suất (P).
A.II.4.a. Có hai giá trị R
1
≠ R
2
cho cùng một giá trị công suất.
A.II.1.b. Giá trị của R làm cho P
mạch
cực đại.
A.II.1.c. Khảo sát sự biến thiên của công suất vào giá trị của R.
A.II.2. Giá trị R làm cho P
R
cực đại.
A.II.3. Giá trị R làm cho P

.
B.I.3. Giá trị Z
L
để hiệu điện thế U
RL
cực đại.
B.II. Công suất (P).
B.II.1. Có hai giá trị L
1
≠ L
2
cho cùng giá trị công suất.
B.II.2. Khảo sát sự biến thiên của công suất theo cảm kháng.
C. Sự thay đổi C trong mạch R-L-C mắc nối tiếp.
C.I Hiệu điện thế (U).
C.I.1. Giá trị Z
C
để U
R
, U
L
, U
RL
cực đại.
24
Biên soạn: Nguyễn Hoàng Quân
C.I.2.a. Giá trị Z
C
để U
C

D.I.1. Giá trị ω làm cho U
R
cực đại.
D.I.2.a. Giá trị ω làm cho U
L
cực đại.
D.I.2.b. Có hai giá trị ω
1
≠ ω
2
cho cùng giá trị U
L.
D.I.3.a. Giá trị ω làm cho U
C
cực đại.
D.I.3.b. Có hai giá trị ω
1
≠ ω
2
cho cùng giá trị U
C.
D.II. Công suất (P).
D.II.1. Giá trị ω làm cho P
max
, P
Rmax
, P
dmax.
D.II.2. Có hai giá trị ω
1