LỜI NÓI ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong chương trình Toán trung học phổ thông, bài toán tìm đạo hàm, nguyên hàm
và tích phân của một hàm số là không thể thiếu. Đây là lớp bài toán quan trọng, có liên
quan mật thiết với nhau. Tính thành thạo đạo hàm của hàm số, có thể giúp chúng ta suy
luận để hướng tới kết quả của bài toán tìm nguyên hàm, cũng như kiểm tra tính đúng
đắn của kết quả. Ngược lại, tìm thành thạo nguyên hàm, có thể giúp ta tính được nhiều
tích phân đơn giản của các hàm số khác nhau… Tuy nhiên, với nhiều học sinh, việc tìm
được nguyên hàm của một hàm số lại không phải là vấn đề đơn giản. Chính vì lẽ đó, ở
đây tôi xin đưa ra một số phương pháp tìm nguyên hàm nói chung, và phương pháp tìm
nguyên hàm của một số lớp hàm số nói riêng. Đề tài được mang tên “Rèn kỹ năng tìm
nguyên hàm cho học sinh” – hy vọng sẽ giúp các bạn học sinh tạo được các kỹ năng
cần thiết khi tìm nguyên hàm của hàm số.
2. Nội dung đề tài
Trình bày các phương pháp tìm nguyên hàm với những ví dụ minh họa cụ thể.
Đề tài gồm 2 chương:
Chương 1. Kiến thức bổ trợ
Chương này nhắc lại một số công thức lượng giác cần nhớ, cần thiết cho quá
trình biến đổi hàm số; các công thức và quy tắc tính đạo hàm; vi phân của hàm số…
Chương 2. Các phương pháp tìm nguyên hàm
Chương này trình bày một số phương pháp tìm nguyên hàm: Phương pháp
đổi biến số; Phương pháp nguyên hàm từng phần; Nguyên hàm của hàm hữu tỉ; Nguyên
hàm của hàm lượng giác…
Nội dung của chương, được trình bày thành 4 bài:
§1. Định nghĩa nguyên hàm
§2. Một số phương pháp tìm nguyên hàm
§3. Nguyên hàm của hàm hữu tỉ
§4. Nguyên hàm của hàm lượng giác
Tuy nhiên, chúng ta cũng biết rằng, bài toán tìm nguyên hàm là khá phức tạp.
Cho nên, đòi hỏi ở học sinh khả năng áp dụng sáng tạo các phương pháp tìm nguyên
hàm. Và rất thường khi, cũng sẽ gặp nhiều phép biến đổi không theo khuôn mẫu có sẵn

2
π
 
− α = α
 ÷
 
cos sin
2
π
 
− α = α
 ÷
 
tan cot
2
π
 
− α = α
 ÷
 
cot tan
2
π
 
− α = α
 ÷
 

4. Cung hơn kém
2

5. Cung hơn kém
π
( )
sin sinπ + α = − α
( )
cos cosπ + α = − α
( )
tan tanπ + α = α
( )
cot cotπ + α = α

II. Công thức lượng giác
1. Các hệ thức cơ bản
2 2
sin cos 1α + α =
tan .cot 1α α =
sin
tan
cos
α
α =
α
cos
cot
sin
α
α =
α
2
2

+
+ =
−
( )
tan tan
tan
1 tan tan
a b
a b
a b
−
− =
+

3. Công thức nhân đôi
2 2 2 2 4 4
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin cos sinα = α − α = α − = − α = α − α
sin 2 2sin cosα = α α
2
2tan
tan 2
1 tan
α
α =
− α

4. Công thức nhân ba
3 3
3sin sin3
sin3 3sin 4sin sin

sin ,cos ,tanα α α
theo
tan
2
t
α
=
2
2
sin
1
t
t
α =
+
2
2
cos
1
t
t
α =
−
2
2
tan
1
t
t
α =

a b a b
a b
+ −
− = −
sin sin 2sin cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =
sin sin 2cos sin
2 2
a b a b
a b
+ −
− =
( )
sin
tan tan
cos cos
a b
a b
a b
+
+ =
( )
sin
tan tan
cos cos
a b

thì ta có:
' ' '
.
x u x
y y u
=
2. Các quy tắc tính đạo hàm (ở đây
( )
u u x=
;
( )
v v x=
)
( )
' ' 'u v u v+ = +
( )
' ' 'u v u v− = −
( )
. ' '. . 'u v u v u v= +
'
2
' 'u u v uv
v v
−
 
=
 ÷
 
3. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp (ở đây
( )

1
,
2
x
x
=

( )
0x >
( )
'
. . 'k u k u=
( )
'
1
. . 'u u u
α α−
= α
( )
'
2
1 '
, 0
u
u
u u
 
= − ≠
 ÷
 

x
= −
( )
sin ' '.cosu u u=
( )
cos ' '.sinu u u= −
( )
2
'
tan '
cos
u
u
u
=
( )
2
'
cot '
sin
u
u
u
= −
5. Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarít
( )
' .ln
x x
a a a
=

log
.ln
a
u
u
u a
=
( )
'
ln '
u
u
u
=
C. VI PHÂN
Nhớ lại:
( ) ( )
( )
( )
'y f x dy d f x f x dx= ⇒ = =
Vậy có:
•
( )
.d ax b a dx+ =
•
2
1 1
d dx
x x
 

sin
d x dx
x
= −
•
( )
x x
d e e dx=
•
( )
ln
dx
d x
x
=
5
CHƯƠNG 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
Trong chương trình Toán trung học phổ thông, bài toán tìm đạo hàm, nguyên hàm
và tích phân của một hàm số là không thể thiếu. Đây là lớp bài toán quan trọng, có liên
quan mật thiết với nhau. Tính thành thạo đạo hàm của hàm số, có thể giúp chúng ta suy
luận để hướng tới kết quả của bài toán tìm nguyên hàm, cũng như kiểm tra tính đúng
đắn của kết quả. Ngược lại, tính thành thạo nguyên hàm, có thể giúp ta tính được nhiều
tích phân đơn giản của các hàm số khác nhau… Tuy nhiên, với nhiều học sinh, việc tìm
được nguyên hàm của một hàm số lại không phải là vấn đề đơn giản. Chính vì lẽ đó, ở
đây tôi xin đưa ra một số phương pháp tìm nguyên hàm nói chung, và phương pháp tìm
nguyên hàm của một số lớp hàm số nói riêng. Nội dung của chương, được trình bày
thành 4 bài:
§1. Định nghĩa nguyên hàm
§2. Một số phương pháp tìm nguyên hàm
§3. Nguyên hàm của hàm hữu tỉ

f x x
=



= −


Ta thấy ở hai ví dụ trên đều có
( ) ( )
'F x f x=
. Ta gọi
( )
F x
là một nguyên hàm
của
( )
f x
. Vì với
C
là một hằng số bất kỳ, ta có
( )
( )
( ) ( )
'
'F x C F x f x+ = =
nên nếu
( )
F x
là nguyên hàm của

•
( )
( )
( )
'
f x dx f x=
∫
•
( ) ( )
kf x dx k f x dx
=
∫ ∫
,
k
là hằng số
•
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x dx f x dx g x dx+ = +
 
 
∫ ∫ ∫
•
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x dx f x dx g x dx
− = −
 
 
∫ ∫ ∫
3. Sự tồn tại nguyên hàm
Mọi hàm số liên tục trên đoạn

∫
α α
α
3
( )
ln 0
dx
x C x
x
= + ≠
∫
( )
ln 0
du
u C u
u
= + ≠
∫
4
x x
e dx e C
= +
∫
u u
e du e C= +
∫
5
( )
0 1
ln

2
tan
cos
dx
x C
x
= +
∫
2
tan
cos
du
u C
u
= +
∫
9
2
cot
sin
dx
x C
x
= − +
∫
2
cot
sin
du
u C

2 2
2 2
ln
dx
x a x C
x a
= + + +
+
∫
3.
2 2
2 2
ln
dx
x a x C
x a
= − + +
−
∫
4.
ln tan
sin 2
dx x
C
x
= +
∫
7
5.
ln tan

x a
= − +
−
∫
8.
2 2
2 2
xdx
x a C
x a
= + +
+
∫
9.
2 2
2 2
xdx
x a C
x a
= − +
−
∫
10.
2 2 2 2 2 2
ln
2 2
x a
x a dx x a x x a C+ = + + + + +
∫
11.

∫ ∫
•
( ) ( )
2
2 4 3 2 5 4 3
1 4
2 4 4
5 3
I x x dx x x x dx x x x C= + = + + = + + +
∫ ∫
•
1 1
ln
2 2 2
dx dx
I x C
x x
= = = +
∫ ∫
•
( )
2 2 2
1
2
2
x x x
I e dx e d x e C= = = +
∫ ∫
•
( )

x x x
I x e dx e d x e C= = = +
∫ ∫
•
( )
cos
sin
tan ln cos
cos cos
d x
x
I xdx dx x C
x x
= = = − = − +
∫ ∫ ∫
•
( )
sin
cos
cot ln sin
sin sin
d x
x
I x dx x C
x x
= = = = +
∫ ∫ ∫
•
( )
cos2

( )
2 2 3
1
cos .sin cos cos cos
3
I x xdx xd x x C= = − = − +
∫ ∫
•
( )
4 4 5
1
sin .cos cos cos cos
5
I x xdx xd x x C= = − = − +
∫ ∫
9
•
( )
4 4 5
1
cos .sin sin sin sin
5
I x xdx xd x x C= = = +
∫ ∫
•
( ) ( )
( )
2 2
1 3sin cos 1 3sin sinI x xdx x d x
= − = −

1 cos2 1 1 1 1
sin cos2 sin 2
2 2 2 2 4
x
I xdx dx dx xdx x x C
−
= = = − = − +
∫ ∫ ∫ ∫
•
2
1 cos2 1 1 1 1
cos cos2 sin 2
2 2 2 2 4
x
I xdx dx dx xdx x x C
+
= = = + = + +
∫ ∫ ∫ ∫
•
2
1 cos4 1 1 1
sin 2 cos4 sin4
2 2 2 2 8
x x
I xdx dx dx xdx x C
−
= = = − = − +
∫ ∫ ∫ ∫
•
2

x x x
−
= = = = − = − − +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
2. Ví dụ 2. Tìm các nguyên hàm:
Trong Ví dụ này cần chú ý:
( )
( )
2
2
tan 1 tan
cos
dx
d x x dx
x
= = +
•
( ) ( )
3 3 2
1
tan tan tan tan tan tan 1 tanB xdx x x x dx x x x dx
 
= = + − = + −
 
∫ ∫ ∫
( )
( )
2
sin
tan tan 1 tan tan tan

∫ ∫
( ) ( )
3 2 2
tan tan 1 tan tan 1 tanx x dx x x dx xdx= + − + +
∫ ∫ ∫
( ) ( )
3 4 2
1 1
tan tan tan tan tan tan tan ln cos
4 2
xd x xd x xdx x x x C= − + = − − +
∫ ∫ ∫
•
( )
6 6 4 4 2 2
4
tan tan tan tan tan tanB xdx x x x x x dx
= = + − − +
∫ ∫
10
( ) ( )
4 2 2 2 2
tan tan 1 tan tan 1 tanx x dx x x dx xdx
= + − + +
∫ ∫ ∫
( ) ( )
4 2 2
tan tan tan tan tanxd x xd x xdx= − +
∫ ∫ ∫
5 3

( )
1
2 2
2
2 1
1 1
. 2 1
4 4 1 2 2
2 1 2 1
d x
dx dx
I x C
x x
x x
−
−
= = = = − − +
− +
− −
∫ ∫ ∫
•
( )
sin cos
sin cos
ln sin cos
sin cos sin cos
d x x
x x
I dx x x C
x x x x

e e
I dx e e C
e e e e
−
−
−
− −
+
−
= = = + +
+ +
∫ ∫
•
( )
( )
2 2
2
ln 2
2 2
4 4
2
x
x x x
x
x x
x x
x
d e
e dx e dx e dx
I e C

=
+
∫
( )
( )
cos2 1 2cos
sin 2 1 2cos
x x
dx
x x
+
=
+
∫
( )
sin 2
cos2 1 1
ln sin 2
sin 2 2 sin 2 2
d x
x
dx x C
x x
= = = +
∫ ∫
II. PHƯƠNG PHÁP 2. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
11
1. CÁC DẠNG ĐỔI BIẾN SỐ THƯỜNG GẶP
DẠNG CÁCH ĐỔI BIẾN
( )

( )
cos sinf x xdx
∫
Đặt
cost x=
( )
2
tan
cos
dx
f x
x
∫
Đặt
tant x=
( )
2
cot
sin
dx
f x
x
∫
Đặt
cott x=
( )
.
x x
f e e dx
∫

2004 2003 2003
1
1 2004
2004
t x dt x dx x dx dt= + ⇒ = ⇒ =
. Từ đó ta được:
1 3
2 2
1 1 1 2
.
2004 2004 2004 3
I tdt t dt t C= = = +
∫ ∫
( )
3
3 2004
1 1
1
3006 3006
t C x C= + = + +
•
1 1
.
x x
e x e x
I e dx e e dx
+ + +
= =
∫ ∫
Đặt

dt
x t xdx dt xdx= ⇒ = ⇒ =
12
Ta được
2
2
1 1
4 4 4
t t x
dt
M e e C e C= = + = +
∫
•
10
1
x
I dx
x
=
+
∫
Đặt
10 9
10
1 1 10x t x t dx t dt+ = ⇒ + = ⇒ =
. Từ đó ta được:
( ) ( )
10
9 10 8 18 8 19 9
1 10 10

( ) ( ) ( )
11 12 13
11 12 13
1 1 1 1 1 1
1 1 1
11 6 13 11 6 13
t t t C x x x C= − + − + = − − + − − − +
•
( )
2
100
1
x
I dx
x
=
−
∫
(Đặt
1 x t− =
)
•
2
2
x
I dx
x
=
−
∫

2
1 cos sin 2x t xdx dt+ = ⇒ = −
( )
1 1 1 1 1 1
ln
2 2 2 2 2
t dt
S dt dt t t C
t t
−
⇒ = − = − + = − + +
∫ ∫
III. PHƯƠNG PHÁP 3. PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
13
1. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP
Phương pháp này thường được sử dụng khi ta cần tính nguyên hàm của một tích.
Giả sử cần tính
( ) ( )
1 2
.I f x f x dx
=
∫
, ta làm như sau:
Đặt
( )
( )
1
2
e




3. MỘT SỐ VÍ DỤ
Tìm các nguyên hàm:
•
sin2I x xdx=
∫
Theo thứ tự ưu tiên ở trên, với nguyên hàm này là tích của Hàm đa thức với
Hàm lượng giác, nên ta ưu tiên đặt
u x=
Đặt
1
sin 2
cos2
2
du dx
u x
dv xdx
v x
=

=


⇒
 
=

=
 
⇒
 
=
=




2 2 2 2 2
1
1 1
2 2
x x x
I x e xe dx x e I⇒ = − = −
∫
Tính
2
1
x
I xe dx=
∫
Đặt
2 2 2 2
1
2
2
1 1 1 1
1

x
x x x
x x e
I x e xe e C C
− +
= − + + = +
•
2 2
1
1 cos4 1 1 1
cos 2 . cos4
2 2 2 4
x
I x xdx x dx xdx x xdx x I
+
= = = + = +
∫ ∫ ∫ ∫
14
(Hàm lượng giác)
(Hàm mũ)
Tính
1
1
cos4
2
I x xdx=
∫
. Đặt
1
1

Từ đó:
2
1 1 1
sin 4 cos4
4 8 32
I x x x x C= + + +
•
( )
2
2 1
x
I x x e dx
= + +
∫
Với bài này, khi mà bậc của
( )
2P x =
, sử dụng phương pháp Nguyên hàm
từng phần ta phải tiến hành hai lần. Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta cũng có thể sử
dụng một cách khác được chỉ ra ở đây!
• Cách 1: Đặt:
( )
( )
( )
2
2
4 1
2 1
2 1 4 1
x x

u x du dx
dv e dx v e
= + =
 
⇒
 
= =
 
( ) ( ) ( )
1
4 1 4 4 1 4 4 3
x x x x x
I x e e dx x e e C x e C
⇒ = + − = + − + = − +
∫
( )
( )
( )
2 2
2 1 4 3 2 3 4
x x x
I x x e x e C x x e C⇒ = + + − − + = − + +
• Cách 2: Giả sử
( ) ( )
2 2
2 1
x x
x x e dx ax bx c e C
+ + = + + +
∫

2 2
2 2
2 1 2 1 2 3
1 4
a a
x x ax a b x b c a b b
b c c
= =
 
 
⇒ + + = + + + + ⇒ = + ⇔ = −
 
 
= + =
 
Vậy
( )
2
2 3 4
x
I x x e C⇒ = − + +
•
2
cos3
x
I e xdx
=
∫
Đặt
2

I e x e xdx e x I⇒ = − = −
∫
15
Đặt
2
2
2
1
sin3
cos3
3
x
x
du e dx
u e
dv xdx
v x

=

=

⇒
 
=
= −



2 2 2

x
x x e
I C
+
⇒ = +
•
2
lnI x xdx
=
∫
(ĐS:
3 3
1 1
ln
3 9
I x x x C= − +
)
•
3
lnI x xdx
=
∫
(ĐS:
4 4
1 1
ln
4 16
I x x x C= − +
)
•

1
1
dx
u x x
du
x
x
dv dx
v x
x


= + +
=



+
⇒
 
=
 
= +


+

.
Ta được
(

 
⇒
+
 
 
=

=


(
)
(
)
2 2 2
2
.ln 1 2 ln 1 .
1
xdx
I x x x x x
x
⇒ = + + − + +
+
∫(
)
(
)

x
dx
dv
v
x
x


=
=

 
⇒
 
=
 
= −



.
Ta được
1 1
lnI x C
x x
= − − +
•
1 2
2 2
1 1

Từ đó
1 2
ln
x
I I
x
= +
. Từ đó
ln
x
I C
x
= +
•
1
ln
1
x
I x dx
x
−
=
+
∫
.
Đặt
2
2
2
1

. Từ đó
1 1
ln
2 1
x
I x C
x
−
= + +
+
•
( )
3
3
3sin 2 2cos2
sin 2
13
x
x
x x e
I e xdx C
−
= = = +
∫
•
( )
2 2
2 2
2 2 1


⇒ + − + = + + + + + +

( ) ( )
3 2 3 2
2 5 2 4 2 3 2 2 2 2x x x ax a b x b c x c d⇒ + − + = + + + + + +

( )
3 2 2
2 2 1
5 3 2 1
2 3
2 2 2 2
4 2 3
x
a a
a b b
Q x x x e C
b c c
c d d
= =
 
 
= + =
 
⇒ ⇒ ⇒ = + − + +
 
− = + = −
 
 
= + =

= = −
 
∫
Vậy
2sin 2 cosI x x x C= − +
•
( )
sin lnI x dx
=
∫
. Đặt
ln
t
dx
dt dx xdt
t x
x
x e

= ⇒ =

= ⇒


=

Từ đó
( ) ( )
sin ln cos ln
sin

Từ đó
( )
3
2 6 3
1 1
2 2
3 3
t x
I t e dt x x e C= = − + +
∫
•
x
I e dx=
∫
. Đặt
2
2 2 2 2
t x x
x t x t dx tdt I te dt xe e C= ⇒ = ⇒ = ⇒ = = − +
∫
V. TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG NGUYÊN HÀM PHỤ
Giả sử cần tính
( )
I f x dx=
∫
. Khi đó ta tìm nguyên hàm phụ
( )
J g x dx=
∫
sao

+ = = = +
+
∫ ∫
( )
sin cos
sin cos
ln sin cos
sin cos sin cos
d x x
x x
I J dx x x C
x x x x
+
−
− = = − = − + +
+ +
∫ ∫
Từ đó suy ra:
( )
1
2 ln sin cos ln sin cos
2
I x x x C I x x x C= − + + ⇒ = − + +
•
4
4 4
cos
sin cos
x
I dx

2
cos sin cos2 2cos2
1
sin cos sin 2 2
1 sin 2
2
x x x x
I J dx dx dx
x x x
x
−
− = = = −
+ −
−
∫ ∫ ∫

( )
( )
2
2
sin 2
1 sin 2 2
ln
2 2 sin 2 2
sin 2 2
d x
x
C
x
x

J dx
e e
−
−
=
+
∫
Khi đó:
x x
x x
e e
I J dx dx x C
e e
−
−
+
+ = = = +
+
∫ ∫
( )
ln
x x
x x
x x
x x x x
d e e
e e
I J dx e e C
e e e e
−

4cos
sin cos
x
J dx
x x
=
+
∫
Khi đó:
( ) ( )
3 2 2
sin cos
4 4 4
sin cos sin cos
2sin
4
x x dx dx
I J dx
x x x x
x
+
+ = = =
+ +
 π 
 
+
 ÷
 
 
 

( )
2
3 3
sin cos
sin cos
4 4 2 sin cos
sin cos sin cos
d x x
x x
I J dx x x C
x x x x
−
+
−
− = = − = + +
+ +
∫ ∫
Từ đó suy ra:
( )
( )
2
2
1
2 2cot 2 sin cos cot
4 4
sin cos
I x x x C I x C
x x
−
π π

( )
Q x
là đa thức bậc 3, các trường hợp khác làm tương tự):
•
( )
Q x
có các nghiệm đơn khác nhau, giả sử
( ) ( ) ( ) ( )
Q x x a x b x c= − − −
.
Khi đó ta tìm
A
,
B
,
C
sao cho
( )
( )
P x
A B C
Q x x a x b x c
= + +
− − −
.
•
( )
Q x
có nghiệm đơn và nghiệm kép,
( ) ( ) ( )

đó ta tìm
A
,
B
,
C
sao cho
( )
( )
2
P x
A Bx C
Q x x a x px q
+
= +
− + +
b) Bậc của
( )
P x
lớn hơn hoặc bằng bậc của
( )
Q x
. Khi đó ta lấy
( )
P x
chia cho
( )
Q x
và quay về trường hợp a).
2. Bài tập áp dụng: Tìm các nguyên hàm.

6 10 2 3 2 2x x A B C x A B C x A⇒ + + = + + + + + +
( ) ( )
2
6 1
6 10 2 1 2 3
10 3 2 2
1 2 1 2
2 2 3
A B C A
x x
A B C B
x x x x x x
A C
= + + =
 
+ +
 
⇒ = + + ⇒ = ⇒ = + +
 
+ + + +
 
= =
 
Từ đó:
1 2 3
ln 2ln 1 3ln 2
1 2
I dx x x x C
x x x
 

− − − − − −
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
6 26 26 2 3 1 3 1 2x x A x x B x x C x x⇒ − + = − − + − − + − −
Cho
x
giá trị lần lượt bằng 1, 2, 3 ta tìm được
3; 2; 1A B C= = =
Từ đó:
3 2 1
3ln 1 2ln 2 ln 3
1 2 3
J dx x x x C
x x x
 
= + + = − + − + − +
 ÷
− − −
 
∫
•
( ) ( )
2
8 8 2 1
2ln 2 ln 3
6 2 3 2 3
x x
K dx dx dx x x C
x x x x x x
− −

1 2
1 2 2
x x A B C
x x
x x x
+ +
= + +
+ +
+ + +
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
3 13 11 2 1 2 1x x A x B x x C x⇒ + + = + + + + + +
( ) ( ) ( )
2 2
3 13 11 4 3 4 2x x A B x A B C x A B C⇒ + + = + + + + + + +
3 1
13 4 3 2
11 4 2 3
A B A
A B C B
A B C C
= + =
 
 
⇒ = + + ⇒ =
 
 
= + + =
 

 
= = − = −
 ÷
 ÷
− + − + − −
 
 
∫ ∫ ∫
2
1 1
2 ln 2 ln 1
2 1
x dx x x x C
x x
 
= − + = − − + − +
 ÷
− −
 
∫
•
( )
3 2
2
3 2
3 2 3 2
2 2 5
3 4 2
ln 2 2 5
2 2 5 2 2 5

Ta phân tích:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2 2
3 1
1 1 1 1 1
4 3 1 4 1 3
3 1
x x
x x x x
x x
 
+ − +
 
= = −
 
 ÷
+ + + +
 
+ +
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2
1 1 1 2 1 1 1 1 1
4 1 3 4 3 1

x x C
x x
= − − + + − + +
+ +
•
( ) ( )
2 2
3 4
dx
J
x x
=
− +
∫
Ta phân tích:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2
2 2 2 2
4 3
1 1 1 1 2 1
.
49 3 4 49 3 4
3 4 3 4
x x
x x x x

dx
x x x x
 
= − − − −
 ÷
− + − +
 
∫
1 1 1 1 1 3
. . ln
49 3 49 4 343 4
x
C
x x x
−
= − − − +
− + +
22
§4. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC
Trong bài này, chúng ta tìm hiểu một số bài toán tìm nguyên hàm của hàm lượng
giác có dạng khá đặc biệt.
I. Dạng 1.
( ) ( )
sin sin
dx
I
x a x b
=
+ +
∫

a b x a x b
+ + − + +
=
− + +
∫
( )
( )
( )
( )
( )
cos cos
1
sin sin sin
x b x a
dx
a b x b x a
 
+ +
= −
 
− + +
 
∫
( )
( ) ( )
1
ln sin ln sin
sin
x b x a C
a b

K
x a x b
=
+ +
∫
bằng cách dùng đồng nhất thức
( )
( )
cos
1
cos
a b
a b
−
=
−
3. Ví dụ áp dụng
•
sin sin
6
dx
I
x x
=
π
 
+
 ÷
 
∫

cos
6 6 cos
6
2 2
sin
sin sin sin
6 6
x x x x
x
x
I dx dx
x
x x x
 π π 
     π 
 
+ − +
+
 ÷  ÷
 ÷
 
 
   
   
= = −
 
π π
   
 
+ +

   
+ +
 ÷  ÷
   
∫ ∫
•
cos3 cos 3
6
dx
I
x x
=
π
 
+
 ÷
 
∫
Ta có:
sin 3 3
sin
6
6
1 2 sin 3 cos3 cos 3 sin3
1
6 6
sin
6 2
x x
x x x x

x
x x x
 π π
    π
 
+ − +
+
 ÷  ÷
 ÷
 
   
   
= = −
π π
   
+ +
 ÷  ÷
   
∫ ∫ ∫

( )
cos 3
cos3
62 2 2 cos3
ln
3 3 cos3 3
cos 3 cos 3
6 6
d x
d x

∫
Ta có:
cos
cos
3 12
4
1
2
cos
4
2
x x
 π π 
   
π
+ − +
 ÷  ÷
 
   
 
= =
π

2 cos cos sin sin
3 12 3 12
x x x x
 π π π π 
       
= + + + + +
 ÷  ÷  ÷  ÷

x x
dx dx
x x
π π
   
+ +
 ÷  ÷
   
= +
π π
   
+ +
 ÷  ÷
   
∫ ∫
24

sin cos
sin
3 12
3
2 2 2 ln
sin cos cos
3 12 12
d x d x
x
C
x x x
 π   π 
    π

x a x b
+ +
+ + =
+ +

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
sin sin cos cos cos
1 1
cos cos cos cos
x a x b x a x b a b
x a x b x a x b
+ + + + + −
= − = −
+ + + +
Từ đó:
( )
( ) ( )
cos 1
cos cos
dx
I a b
x a x b
= − −
+ +
∫
Đến đây ta gặp bài toán tìm nguyên hàm ở Dạng 1.
2. Chú ý

x x
x x
π π
   
+ +
 ÷  ÷
π π
   
   
+ + =
 ÷  ÷
π π
   
   
+ +
 ÷  ÷
   

cos cos sin sin
3 6 3 6
1
sin sin
3 6
x x x x
x x
π π π π
       
+ + + + +
 ÷  ÷  ÷  ÷
       