.
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Lý do chọn đề tài:
Với xu thế đổi mới phương pháp giáo dục hiện nay của bộ giáo dục, trong
quá trình dạy học để thu được hiệu quả cao đòi hỏi người thầy phải nghiên cứu
tìm hiểu kỹ chương trình, đối tượng học sinh; đưa ra các phương pháp phù hợp
với kiến thức, với các đối tượng học sinh cần truyền thụ. Như luật giáo dục có
viết: ” Phương pháp GD phổ thông cần phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động
sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi
dưỡng phương pháp tự học, rèn ruyện kỹ năng vận dụng kiến thức, tác động đến
tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh ”.
Trong thời gian giảng dạy, tôi luôn nghiên cứu tìm tòi các phương pháp
mới phù hợp với từng bài dạy và các đối tượng học sinh để truyền thụ các kiến
thức, đặc biệt là trong việc dạy học các định lý. Đó là tôi luôn đưa ra kiến thức
một cách tự nhiên, bằng cách dẫn dắt từng bước cho học sinh tự tìm lấy; phân
tích hướng dẫn các em thấy ý nghĩa, ứng dụng của định lý; sau đó đưa ra hệ
thống bài tập áp dụng tương thích. Với phương pháp truyền thụ như trên tôi thấy
rằng: Trước hết người dạy luôn luôn thoải mái, nhẹ nhàng, say sưa, qua mỗi tiết
dạy thấy đạt được tốt mục đích của mình; đối với học sinh tiếp thu kiến thức một
cách say mê, hứng thú; các kiến thức được các em nhớ lâu và vận dụng tốt trong
quá trình giải và khai thác các bài tập.
Trong số các định lý đã truyền đạt cho học sinh, tôi khá tâm đắc một nội
dung kiến thức trong chương trình hình học 10 là: Định lý Cô sin trong tam giác.
Chỉ với thời lượng nửa tiết học chính khóa, học sinh chỉ có thể hiểu được nội
dung, hệ quả định lý và áp dụng vào giải quyết một vài bài toán cơ bản trong tam
giác. Tuy nhiên việc giới thiệu và chứng minh định lý thế nào để tất cả các em
học sinh hiểu là không hề đơn giản đối với các thầy cô. Đồng thời với những học
sinh khá giỏi, giáo viên cần bổ sung các dạng bài tập áp dụng trong các buổi học
- 1 -
.
thêm để học sinh có cách nhìn nhận tổng quan về định lý Cô sin, cách áp dụng

từ đâu? Nội dung kiến thức nào liên quan đến vấn đề được đặt ra, trình bày nó
như thế nào cho đúng đắn, học sinh dễ dàng tiếp thu, Ngoài ra chúng ta còn
nắm vững hệ thống lý thuyết, phương pháp giải cho từng dạng toán như: Xác
định các cạnh, các góc, độ dài đường trung tuyến trong tam giác; chứng minh các
hệ thức trong tam giác, … có được như thế mới giúp chúng ta giải quyết được
nhiều bài toán mà không gặp phải khó khăn.
II. Thực trạng của đề tài:
Trong quá trình dạy học, chúng ta gặp rất nhiều các định lý, trong số đó có
nhiều định lý quan trọng có tính chất quyết định đến cả nội dung một chương,
một phần lớn trong môn toán; có cả định lý cơ bản; cả định lý có tính chất phức
tạp. Do tính giảm tải chương trình vì vậy nhiều định lý trong chương trình toán
phổ thông đã được thừa nhận tức khi dạy giáo viên chỉ hướng dẫn học sinh cách
vận dụng định lý vào giải toán. Tuy nhiên với nhiều định lý ở dạng cơ bản, tôi
nhận thấy học sinh vẫn gặp khá nhiều khó khăn trong việc phát hiện xây dựng
định lý, định hướng cách chứng minh và vận dụng định lý vào giải toán. Cụ thể
với định lý Cô sin trong tam giác, với dung lượng chỉ có một nửa tiết học, học
sinh khó nắm được nội dung, ý nghĩa của định lý chứ chưa kể đến việc vận dụng
định lý vào giải toán. Vì vậy với mỗi Thầy Cô cần có giải pháp như thế nào để
khi dạy học định lý này và nhiều định lý khác nữa có được hiệu quả cao nhất
III Giải pháp và tổ chức thực hiện:
Nội dung1: Hướng dẫn học sinh cách tìm hiểu nội dung, ý nghĩa của định lý
côsin trong tam giác
Ta đã biết tam giác hoàn toàn xác định khi biết: 3 cạnh, hoặc hai cạnh và một
góc xen giữa, hoặc biết một cạnh và hai góc kề; có nghĩa là khi biết các yếu tố
góc cạnh như trên thì các góc cạnh còn lại sẽ xác định như thế nào? Rõ ràng các
góc cạnh còn lại và các góc cạnh đã biết sẽ có một mối liên hệ! Các mối liên hệ
- 3 -
.
đó người ta gọi là các hệ thức lượng giác trong tam giác. Một trong các hệ thức
đó là Định lý Côsin trong tam giác.

22
−+=
22
ACAB +=
( Vì:
0
=
ACAB
)
Giáo viên cần phát vấn học sinh một số kiến thức về vectơ: Quy tắc 3 điểm, tích
vô hướng,
+ Nếu tam giác ABC không vuông tại A nữa thì liên hệ giữa các cạnh và góc sẽ
như thế nào?
2
2
2
)( ABABBCBC −==
ACABACAB 2
22
−+=
AACABACAB cos 2
22
−+=

Abccba cos2
222
−+=⇔
Hoán đổi vai trò các cạnh, các góc ta tìm được: b
2
, c

.
2. Hệ quả: Từ định lý học sinh rút ra được:
bc
acb
CosA
2
222
−+
=
ca
bac
CosB
2
222
−+
=
ab
cba
CosC
2
222
−+
=

Cho ta tìm được các góc của tam giác khi biết 3 cạnh.
3. Cho phép ta xét được các góc trong tam giác là nhọn, tù hay vuông
thông qua các yếu tố cạnh của tam giác.
Cụ thể: A nhọn
222
acb >+⇔

<+
<+
<+
⇔
222
222
222
cba
bac
acb

Tam giác ABC vuông





=+
=+
=+
⇔
222
222
222
cba
bac
acb
4. Xây dựng công thức tính độ dài đường trung tuyến trong tam giác
- 5 -
A

222
−+=
Bac
a
c cos.
4
2
2
−+=
Vì
ca
bac
CosB
2
222
−+
=
nên thay vào ta có:
4
)(2
2
.
4
222
2222
22
acb
ac
bca
ac

cba
m
c
−+
=
Công thức trên giúp chúng ta xác định được độ dài các đường trung tuyến khi
biết các cạnh của tam giác đó
5. Liên hệ với diện tích trong tam giác
Viết công thức về dạng:
AAbccba cotsin2
222
−+=
( Giải thích học sinh:
AAA cot.sincos
=
, mặt khác:
AbcS
ABC
sin
2
1
=
∆
)
AScba
ABC
cot4
222
∆
−+=⇔

=
Đây là định lý “côsin suy rộng trong tam giác ” nó cho ta hệ thức lượng giác về
mối liên hệ giữa các góc của tam giác với 3 cạnh cùng diện tích của nó. Lớp các
bài toán áp dụng nó khá rộng.
6. Ngoài ra sử dụng định lý, hệ quả kết hợp các kiến thức khác giải quyết
các bài toán về hệ thức lượng trong tam giác, nhận dạng tam giác, …
Nội dung 2: Cách thức khai thác định lý Cô sin vào giải một số bài toán
Từ các ý nghĩa, tác dụng của định lý giáo viên có thể hướng dẫn học sinh giải
quyết các bài toán liên quan tương thích như sau:
Bài 1 Cho tam giác ABC thỏa mãn: b = 5; c = 7; cosA = 3/5.
Tính cạnh a, và Côsin của các góc còn lại.
Giải: Với bài toán này, giả thiết cho 2 cạnh và 1 góc xen giữa vì vậy học sinh dễ
dàng áp dụng định lý và hệ quả để giải quyết
Ta có: a
2
= b
2
+ c
2
– 2bc.cosA = 25+ 49- 2.5.7.
3
5
= 32
2432 ==⇒ a
.

2
2
256
254932

dụng ngay được hệ quả của dịnh lý
Ta có:
ab
cba
CosC
2
222
−+
=
24
11
4.3.2
643
222
−
=
−+
=
Bài 3 Nhận dạng tam giác ABC biết:
acb
acb
a
−+
−+
=
333
2
Giải: Cần xác định các góc, các cạnh của tam giác đó
- 7 -
.

Bài 4 Cho tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn:
333
cba =+

a) Chứng minh rằng ABC là tam giác nhọn.
b) Tổng quát: Cho tam giác ABC thỏa mãn:
)3,( ≥∈=+ nNncba
nnn
. CMR tam
giác ABC có 3 góc nhọn.
Giải: Trong phần lý thuyết chúng ta đã biết để chứng minh một tam giác nhọn
( cả 3 góc đều là góc nhọn) dẫn đến cần chứng minh:





>+
>+
>+
222
222
222
cba
bac
acb
a, Theo giả thiết:
333
cba =+
thì c phải là cạnh lớn nhất suy ra góc C là góc lớn

2
2
2
2
2
22

−
−
−
−
+=⇔
n
n
n
n
c
b
b
c
a
ac
2222
1.1. baba +=+<
222
cba >+⇔
(ĐPCM)
Chú ý với ý b, giáo viên hoàn toàn có thể gọi học sinh tự làm
Bài 5 Nhận dạng tam giác ABC biết các cạnh a, b, c thỏa mãn: a
2

cba
bac
acb
từ đó suy
ra tam giác ABC là tam giác nhọn.
Bài 6 Giả sử:
2
2
1
2 1
1
a x x
b x
c x

= + +

= +


= −

(với mọi x >1). CMR a, b, c là 3 cạnh của một tam
giác.Tìm góc A.
Giải: Giáo viên cần làm rõ để giải bài này cần trình bày 2 ý: Trước hết cần chứng
minh a, b, c là 3 cạnh của một tam giác. Sau đó đi tính góc A
* Dễ dàng xét được:




=
xx
xxxx
0
120
2
1
=⇒
−
= A
Bài 7 Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta có:
a,
CbBca coscos.
+=
b,
2
coscoscos
222
cba
BcaCabAbc
++
=++

c,
))()(()cos(cos2 bacabcbaBAabc −+−++=+
Giải: Cả 3 ý đều là hệ thức giữa các cạnh và cô sin các góc vì vậy cần nghĩ ngay
đến việc áp dụng hệ quả định lý Cô sin
Trước khi giải quyết bài này giáo viên cần yêu cầu học sinh nhắc lại các cách để
chứng minh một đẳng thức
- 9 -

b, Ta có:
ac
bca
ca
ab
cba
ab
bc
acb
bcBcaCabAbcVT
2
.
2
.
2
.coscoscos.
222222222
−+
+
−+
+
−+
=++=

VP
cbabcacbaacb
=
++
=
−+

222
babababacbaab +−+−+++=
[ ]
22222
)()())(( bacbababacabba −−+=−+−++=
VPbacabcba =−+−++= ))()((
Bài 8 Nhận dạng tam giác ABC biết:







=
−+
−+
=
4
1
cos.cos
333
2
CA
cba
cba
c
Giải: Quan sát bài 3, chúng ta thấy hệ thức 1 của bài 8 hoàn toàn tương tự. Giáo
viên yêu cầu học sinh trình bày xác định góc C
Ta được:

=−++⇔ BABA
- 10 -
.
BABABA =⇔=−⇔=−+ 1)cos(
2
1
)cos(120cos
0
( Giáo viên cần giải thích A, B là
2 góc trong tam giác vì thế
01)cos( =−⇔=− BABA
)
Chú ý: Nếu muốn thay đổi giả thiết cần để học sinh học nội dung công thức
lượng giác trong phần cuối năm
Bài 9 Cho tam giác ABC thỏa mãn:
)cot(cot2cot CBA +=
a, Chứng minh rằng:
222
5acb =+
b, Chứng minh rằng:
5
3
sin ≤A
Giải: Giáo viên phân tích, định hướng cho học sinh khi gặp dạng toán phải chứng
minh 1 hệ thức khi cho trước 1 hệ thức nào đó thì cần có kĩ năng biến đổi, vận
dụng các công thức đã biết để đưa hệ thức đã cho về hệ thức cần chứng minh
hoặc ngược lại. Vấn đề còn lại là sử dụng công thức nào phù hợp?
a, Trong hệ thức đã cho có chứa cotA, cotB, cotC mà hệ thức cần chứng
minh lại chứa các cạnh nên ta áp dụng công thức:
S

4
222
−+
S
bac
4
(2
222
−+
=
)
4
222
S
cba −+
+
).(2
222222222
cbabacacb −++−+=−+⇔
222
5acb =+⇔
( ĐPCM)
b, Chúng ta có thể nhận thấy giữa sinA và cosA có mối liên hệ:
1cossin
22
=+ AA
, mặt khác trong hệ thức giả thiết cho:
222
5acb =+
ta hoàn toàn

2
22
2
22
==
+
≥⇒≥+
a
a
cb
a
Abccb
25
16
sin1
25
16
cos
22
≥−⇔≥⇒ AA
5
3
sin
25
9
sin
2
≤⇒≤⇔ AA
(ĐPCM; giáo viên chú ý giải thích sinA > 0)
- 11 -





=
=
=
⇒
R
c
C
R
b
B
R
a
A
2
sin
2
sin
2
sin
Thay vào hệ thức đã cho, ta được:
2
2
2
2
2
2

CCBABA
22013201322
sinsinsinsinsinsin ≥=+≥+⇒
( Giáo viên giải thích rõ dấu
bằng không thể xảy ra)
CBA
222
sinsinsin >+⇒
222
cba >+⇔
khi đó tam giác ABC nhọn
Bài 11 Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
CMR:
abc
cbaR
CBA
)(
cotcotcot
222
++
=++
Giải: Học sinh phát hiện bài toán có tổng của cotA, cotB, cotC nên hoàn toàn
định hướng áp dụng định lý suy rộng:
S
acb
A
4
cot
222
−+

bac
4
222
−+
+
S
cba
4
222
−+
+
S
cba
4
222
++
=
VP
abc
cbaR
=
++
=
)(
222
(ĐPCM)
Chú ý: với bài toán này chỉ trình bày khi học sinh đã học nội dung: các công thức
tính diện tích tam giác. Cụ thể: công thức là
R
abc

222
2acb =+
CMR:
ACB cot2cotcot =+
4 Cho tam giác ABC, trên cạnh BC lấy hai điểm M, N sao cho: BM = MN = NC
Kí hiệu:
δβα
=== CANNAMBAM
ˆ
,
ˆ
,

CMR:
)cot1(4)cot)(cotcot(cot
2
βδββα
+=++

5 Nhận dạng tam giác ABC biết:
bc
aA
2
2
sin =
III. Trắc nghiệm kiểm chứng đề tài :
Phương pháp dạy học này đã được bản thân tôi thí điểm trên 2 lớp 10A1;
10A3 và bồi dưỡng học sinh giỏi khối 10. Kết quả thu được rất khả quan:
- Hầu hết các em học sinh say mê, hứng khởi hơn trong các giờ học. Ôn
tập, kiểm tra bài cũ thấy rằng các em nắm rất vững kiến thức và vận dụng làm bài

động tiếp cận kiến thức một cách khoa học.
Đối với cấp quản lý cần kịp thời động viên, biểu dương các đề tài bậc cao,
nhân rộng qua lưu hành nội bộ để đồng nghiệp tham khảo, bổ sung góp ý và vận
dụng trong quá trình dạy học.
Trong quá trình giảng dạy, nghiên cứu nổ lực của bản thân tôi cùng với sự
giúp đỡ của các đồng nghiệp đã đúc rút ra được một số kinh nghiệm. Với khả
năng và ngôn ngữ của bản thân còn có phần hạn chế nên không thể tránh khỏi
thiếu sót; rất mong hội đồng khoa học và các đồng nghiệp giúp đỡ, góp ý để đề
tài ngày hoàn thiện hơn, có ứng dụng rộng rãi trong quá trình giảng dạy và bồi
dưỡng học sinh.
XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung
của người khác.
Người viết
Hà Ngọc Long
- 15 -
.
Tài liệu tham khảo
1.Sách giáo khoa Hình học cơ bản 10
2. Chuyên đề bồi dưỡng giáo viên
3. Các đề thi đại học cao đẳng
4. Sách giáo viên hình học lớp 10
5. Báo toán học tuổi trẻ
Mục lục
Nội dung Số trang
A. Đặt vấn đề 1
I. Lý do chọn đề tài 1
II. Đối tượng nghiên cứu 1
III. Phương pháp nghiên cứu 2