I. ĐẶT VẤN ĐỀ
Lý thuyết xác suất là một nghành toán học có nhiều ứng dụng rộng rãi
trong nhiều lĩnh vực khoa học công nghệ, kinh tế … Chính vì lẽ đó, đây là lần
đầu tiên xác suất được đưa vào dạy ở cấp Trung học phổ thông ở nước ta( không
kể đến chương trình thí điểm chuyên ban 1995). Ở nhiều nước trên thế giới, xác
suất đã được dạy từ cấp Trung học cơ sở. Việc giảng dạy xác suất có thuận lợi là
dễ gây hứng thú cho học sinh vì các bài toán về xác suất nói chung gần gũi, thiết
thực với đời sống. Tuy nhiên qua quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh
ngại phải làm bài tập phần này, đặc biệt là học sinh các lớp thuộc ban cơ bản vì
khi làm xong một bài nào đó, các em hay có những đáp số khác nhau. Chính vì
vậy, đứng trước một bài toán xác suất, học sinh thường lúng túng, không biết
cách giải quyết như thế nào, thậm chí, có nhiều em đã làm xong không cũng
không dám chắc rằng mình đã làm đúng. Việc dạy và học xác suất cũng cần có
một tư duy mới, cần có thời gian để tổng kết, để hệ thống cả lý thuyết và bài tập.
Trước thực tế như vậy, với mong muốn giúp các em học sinh lớp 11 nắm
vững các phương pháp cơ bản về xác suất, đồng thời biết vận dụng linh hoạt các
kiến thức đó để giải quyết các bài toán khác nhau tôi chọn đề tài: “ Một số kinh
nghiệm giúp học sinh phân loại và giải một số dạng bài toán xác suất cho
học sinh THPT”.
GV_Nguyễn Thị Thu – Trường THPT Yên Định 2
1

II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Cơ sở lí luận của vấn đề.
Khi viết sáng kiến này, tôi dựa trên cơ sở lý thuyết sau:
- Định nghĩa biến cố và xác suất của biến cố.
- Các kiến thức cơ bản của xác suất: Định nghĩa, tính chất, công thức.
Cụ thể:
1.1. Các công thức tính số các hoán vị; số các chỉnh hợp; số các tổ hợp:
1)
nnnP

1.2. Hệ thống lại các kiến thức phần xác suất.
+ Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu
- Phép thử ngẫu nhiên là một thí nghiệm hay một hành động mà:
. Kết quả của nó không đoán trước được;
. Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử
đó.
- Không gian mẫu của phép thử: Là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của
phép thử.
+ Biến cố; Biến cố chắc chắn; Biến cố không thể
- Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra
của A tuỳ thuộc vào kết quả của T.
- Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra, được gọi là một kết quả thuận
lợi cho A.
GV_Nguyễn Thị Thu – Trường THPT Yên Định 2
2
- Biến cố chắc chắn là biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử T.
- Biến cố không thể là biến cố không bao giờ xảy ra khi phép thử T được thực
hiện.
+ Định nghĩa cổ điển của xác suất
Giả sử phép thử T có không gian mẫu
Ω
là một tập hữu hạn và các kết quả của
T là đồng khả năng. Nếu A là một biến cố liên quan với phép thử T và
A
Ω
là tập
hợp các kết quả thuận lợi cho A thì xác suất của A là một số, kí hiệu là P(A) và
||
||
)(

1

∪

A
2

∪
…
∪
A
k
được gọi là hợp của k biến cố đó.
+ Biến cố xung khắc
Cho hai biến cố A và B. Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu biến cố
này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra.
+ Quy tắc cộng xác suất
Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì xác suất để A hoặc B xảy ra là:
P(A
∪

B) = P(A) + P(B)
Chú ý:
Cho k biến cố A
1,
A
2
, …,A
k
. đôi một xung khắc. Khi đó

Cho biến cố A . Xác suất của biến cố đối
A
là: P(
A
) = 1- P(A)
+ Biến cố giao
Cho hai biến cố A và B. Biến cố “ Cả A và B cùng xảy ra”, kí hiệu là AB, được
gọi là giao của hai biến cố A và B.
Tổng quát:
Cho k biến cố A
1,
A
2
, …,A
k
Biến cố “ Tất cả k biến cố A
1,
A
2
, …,A
k
. đều xảy ra”,
kí hiệu là A
1
A
2
…A
k
được gọi là giao của k biến cố đó.
+ Biến cố độc lập:

1,
A
2
, …,A
k
đôi một độc lập với nhau thì
P(A
1
A
2
… A
k
) = P (A
1
) P(

A
2
) … P(A
k
)
2. Thực trạng của vấn đề.
2.1. Về phía giáo viên:
-Mỗi giáo viên cho học sinh tiếp cận vấn đề theo một trình tự khác nhau, phần
lớn được hình thành trong khái niệm của giáo viên chứ chưa có sự đầu tư,
nghiên cứu tường tận.
GV_Nguyễn Thị Thu – Trường THPT Yên Định 2
4
- Chưa thật nắm vững yêu cầu về kiến thức, kĩ năng của từng bài, việc giáo dục
còn mang tính chất dàn trải

+ Các công thức tính số các hoán vị; số các chỉnh hợp; số các tổ hợp:
1)
nnnP
n
).1 (2.1! −==
2)
)!(
!
kn
n
A
k
n
−
=

)1( nk ≤≤
3)
)!(!
!
knk
n
C
k
n
−
=

)0( nk ≤≤
Đặc biệt

n Ω

Bước 3: Tính
)(
)(
Ω
Ω
n
n
A
Ví dụ 1: Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương không lớn hơn 20
a. Mô tả không gian mẫu
b. Gọi A là biến cố “Số được chọn là số nguyên tố” . Hãy liệt kê các kết quả
thuận lợi cho A
GV_Nguyễn Thị Thu – Trường THPT Yên Định 2
6
c. Tính xác suất của A
d. Tính xác suất để số được chọn nhỏ hơn 4
Phân tích:Đây là ví dụ đơn giản chủ yếu để học sinh mô tả không gian mẫu, chỉ
ra các kết quả thuận lợi cho biến cố bằng cách liệt kê các phần tử và áp dụng
công thức theo các bước trên.
Lời giải:
a. Xét phép thử T “Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương không lớn hơn 20”
Không gian mẫu gồm tất cả các số nguyên dương nhỏ hơn 20
Bằng cách liệt kê, ta có không gian mẫu là tập hợp:
}20,19,18,17 , 34,2,1{=Ω
→
Số phần tử của không gian mẫu:
20)( =Ωn
(phần tử)

Bn
BP
Ví dụ 2:
Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Tính xác
suất của các biến cố sau:
A: “ Số chấm ở hai lần gieo bằng nhau”
B: “ Tổng số chấm bằng 6”
Phân tích:
GV_Nguyễn Thị Thu – Trường THPT Yên Định 2
7
Thực tế, đây cũng là một ví dụ đơn giản.Tuy nhiên ví dụ này được đưa ra
nhằm mục đích để học sinh xác định rõ phép thử và trình bày không gian mẫu
dưới hình thức chỉ ra tính chất đặc trưng của một tập hợp.
Việc xác định các kết quả thuận lợi cho các biến cố A và B, giáo viên có thể kẻ
bảng sau đây để học sinh dễ hình dung
Lời giải: Xét phép
thử T: “Gieo một
con súc sắc hai lần”
Không gian mẫu:
Ω
= {(i; j) |
≤1
i; j
≤
6}
36)( =Ω⇒ n
Nhìn vào bảng ta thấy: n(A) = 6; n(B) = 5
Vậy P(A) =
6
1

C
= 210
Gọi biến cố A: “4 quả cầu được chọn có cả quả màu đỏ và màu xanh”
TH1: Chọn được 1 quả màu đỏ và 3 quả màu xanh. Có
80.
3
6
1
4
=CC
cách
TH2: Chọn được 2 quả màu đỏ và 2 quả màu xanh. Có
90.
2
6
2
4
=CC
cách
TH3: Chọn được 3 quả màu đỏ và 1 quả màu xanh. Có
24.
1
6
3
4
=CC
cách
Từ đó suy ra: n(
194249080) =++=Ω
A

hiện trên hai con súc sắc hơn kém nhau 2.
Bài 4: Chọn ngẫu nhiên 5 quân bầi trong cỗ bài tú lơ khơ ta được một xấp bài.
Tính xác suất để trong xấp bài này chứa hai bộ đôi (Tức là có 2 con cùng thuộc
một bộ; 2 con thuộc bộ thứ hai; con thứ 5 thuộc bộ khác).
Dạng 2: Sử dụng quy tắc cộng xác suất và quy tắc nhân xác suất
Phương pháp:
1. Nếu A, B là hai biến cố xung khắc thì:
)()()( BPAPBAP +=∪
2. Nếu A
1,
A
2
, …,A
k
. là các biến cố đôi một xung khắc thì:
)( )()() (
2121 kk
APAPAPAAAP +++=∪∪∪
3. Nếu A, B là hai biến cố độc lập thì:
)().()( BPAPBAP =∩
4. Nếu A
1,
A
2
, …,A
k
là các biến cố đôi một độc lập thì:
)() ().() (
2121 kk
APAPAPAAAP =∩∩∩

cách

A
3
: “ 2 quả cầu được chọn màu vàng” có
2
2
C
cách
GV_Nguyễn Thị Thu – Trường THPT Yên Định 2
10
Nhận xét: A=A
1
∪
A
2
∪
A
3
và các biến cố A
1
, A
2
, A
3
đôi một xung khắc nên:

)()()()(
321
APAPAPAP ++=

Có 2 hộp đựng các viên bi có cùng kích thước. Hộp thứ nhất đựng 2viên
màu đen và 3 viên màu trắng. Hộp thứ 2 đựng 3 viên màu đen và 4 viên màu
trắng. Lấy ngẫu nhiên ở mỗi hộp 1 viên bi. Tính xác suất để 2 viên bi lấy ra đều
màu trắng.
Phân tích :
Đối với ví dụ này học sinh cũng có thể tính trực tiếp xác suất của biến cố
bằng cách chia thành các hoạt động liên tiếp nhau. Tức là chọn 1 viên màu trắng
từ hộp thứ 1 rồi sau đó tiếp tục chọn 1viên màu trắng từ hộp thứ 2 rồi sử dụng
qui tắc nhân trong tổ hợp. Tuy nhiên bài toán này còn giải quyết được gọn gàng
hơn bằng cách áp dụng qui tắc nhân xác suất. Để áp dụng qui tắc nhân xác suất
thì lời giải tường minh như sau:
Lời giải
Xét phép thử T: “Chọn ngẫu nhiên mỗi hộp một viên bi từ hộp thứ nhất có
5 viên bi và hộp thứ hai có 7 bi”
Ta có: n(
Ω
) =
35.
1
7
1
5
=CC
Gọi biến cố A: “ 2 viên bi lấy ra đều màu trắng”.
A
1
: “Lấy được 1 viên màu trắng ở hộp thứ nhất”. Có
1
3
C

3
.
1
7
1
4
1
5
1
3
==
C
C
C
C
Các bài toán tính xác suất của biến cố mà sử dụng quy tắc cộng và quy tắc
nhân là các bài toán thường gặp trong chương trình phổ thông.
Để áp dụng quy tắc cộng thì học sinh có thể nhận dạng như sau: Trong
những bài toán mà kết quả thuận lợi của biến cố A được chia thành nhiều nhóm
GV_Nguyễn Thị Thu – Trường THPT Yên Định 2
11
ta có thể coi biến cố A là biến cố hợp của các biến cố A
1
; A
2
; …;A
k
đôi một xung
khắc. Khái niệm biến cố xung khắc cũng rõ ràng, dễ hiểu, học sinh có thể nhận
dạng được.

lại đơn giản hơn tính trực tiếp P(A)
Ghi nhớ: Nếu 2 biến cố A và B độc lập với nhau thì A và
B
,
A
và B;
A
và
B

cũng độc lập với nhau.
Ví dụ 1: Một hộp bóng đèn có 12 bóng, trong đó có 7 bóng tốt. Lấy ngẫu nhiên
3 bóng. Tính xác suất để trong 3 bóng lấy được có ít nhất 1 bóng tốt.
Phân tích:
Đối với ví dụ này, học sinh hoàn toàn có thể tính được xác suất của biến
cố bằng cách sử dụng các quy tắc tính xác suất. Tuy nhiên việc chuyển qua biến
cố đối ở ví dụ này rất thuận lợi. Giáo viên trình bày rõ ràng cả 2 cách để qua đó,
GV_Nguyễn Thị Thu – Trường THPT Yên Định 2
12
học sinh thấy được ưu điểm của việc tính xác suất của biến cố bằng cách chuyển
qua biến cố đối.
Lời giải 1:
Xét phép thử T: “ Lấy 3 bóng đèn trong 1 hộp có 12 bóng”
⇒

220)(
3
12
==Ω Cn
Gọi A: “ 3 bóng lấy được có ít nhất 1 bóng tốt”

7
3
912
1
5
2
7
3
12
2
5
1
7

C
C
C
CC
C
CC
++=
=
22
21
220
35
220
105
220
70

Để tính xác suất của biến cố bằng cách chuyển qua biến cố đối thì tôi lưu ý
cho học sinh 1 vài nhận dạng cơ bản sau: Các bài toán có cụm từ “có ít nhất”;
“có tất cả” hoặc liên qua đến số chẵn, lẻ, vô nghiệm,có nghiệm, …, ta có thể làm
xuất hiện phần bù và nghĩ đến biến cố đối. Vậy yêu cầu đối với học sinh là các
em cần biết cách xác định tốt mệnh đề phủ định và phép toán lấy phần bù trong
1 tập hợp để tránh xác định sai biến cố đối. Nếu chưa quen, học sinh có thể làm
bằng cách: viết ra nháp mệnh đề là biến cố cần tính xác suất sau đó xác định
mệnh đề phủ định của mệnh đề đó tức là xác định được biến cố đối của biến cố
đang xét.
Có những bài toán lại cho trực tiếp xác suất. Với những bài toán như vậy, chắc
chắn ta phải sử dụng các quy tắc tính xác suất để tính.
GV_Nguyễn Thị Thu – Trường THPT Yên Định 2
13
Ví dụ 2:
Xác suất trúng hồng tâm của 1 người bắn cung là 0,2. Tính xác suất để
trong 3 lần bắn độc lập.
a. Người đó bắn trúng hồng tâm đúng 1 lần;
b. Người đó bắn trúng hồng tâm ít nhất 1 lần.
Lời giải:
a. Gọi biến cố A: “ Trong ba lần bắn, người bắn cung bắn trúng hồng tâm đúng
1 lần”
A
1
: “ Người bắn cung bắn trúng hồng tâm ở lần thứ nhất”
A
2
: “ Người bắn cung bắn trúng hồng tâm ở lần thứ hai”
A
3
: “ Người bắn cung bắn trúng hồng tâm ở lần thứ ba”

nào”
GV_Nguyễn Thị Thu – Trường THPT Yên Định 2
14
Nhận xét:
B
=
321
AAA
Suy ra P(
B
) = P(
321
AAA
) = (0,8)
3
= 0,512
Vậy P(B) = 1 – P(
B
) = 1 – 0,512 = 0,488
Bài tập tương tự dạng 2 và dạng 3
Bài 1: Một tổ học sinh có 6 nam và 5 nữ. Cần lấy 4 học sinh đi lao động.
a. Tính xác suất để trong 4 học sinh đó có 1 học sinh nữ.
b. Tính xác suất để trong 4 học sinh đó có không quá 3 học sinh nữ.
Bài 2: Một đơn vị vận tải có 10 xe ô tô, trong đó có 6 xe tốt. Điều động một
cách ngẫu nhiên 3 xe đi công tác. Tính xác suất để trong 3 xe đó có ít nhất 1 xe
tốt.
Bài 3: Ba xạ thủ độc lập bắn vào một bia, mỗi người bắn một viên đạn. Xác suất
trúng đích của các xạ thủ lần lượt là: 0,6; 0,7; 0,8. Tính xác suất để có ít nhất
một xạ thủ bắn trúng bia.
Bài 4: Túi bên phải có 3 bi đỏ, 2 bi xanh. Túi bên trái có 4 bi đỏ, 5bi xanh. Lấy

Điểm giỏi Điểm Khá Điểm TB Điểm Yếu Điểm Kém
SL % SL % SL % SL % SL %
11C7 43 9 20.9 25 58.2 9 20.9 0 0 0 0
11C3 48 15 31.2 30 62.5 3 6.3 0 0 0 0

III. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
Học sinh ngại phải làm bài tập phần xác suất, đây là một thực trạng cần
quan tâm và cần phải có hướng giải quyết. Đối với giáo viên, tôi nhận thấy mỗi
chúng ta đều phải nghiên cứu, học hỏi và áp dụng. Kết quả trên là niềm động
viên, cổ vũ có một phần trách nhiệm. Trăn trở với thực trạng trên, tôi đã cố gắng
tìm tòi, nghiên và khích lệ không những đối với riêng tôi mà còn góp phần nhỏ
bé cùng với nhà trườngtrong công tác giáo dục theo phương pháp đổi mới hiện
nay. So với kết quả trước, các em đã thật sự có nhiều tiến bộ, tỉ lệ học sinh khá
giỏi tăng lên rõ nét. Các em học rất hứng thú, chủ động, tích cực nhất là khi trình
bày ý kiến của mình, các em không còn lo sợ, thiếu tự tin như trước. Tuy nhiên,
để có nhiều thành công thì không chỉ dừng lại ở đó mà mỗi giáo viên chúng ta
phải ra sức thu thập, đúc kết nhiều kinh nghiệm hơn nữa. Chắc chắn rằng sáng
kiến này không thể tránh khỏi những thiếu sót, rất mong được sự góp ý của Hội
đồng khoa học nhà trường, cùng các đồng nghiệp để tôi sửa chữa, bổ sung cho
đề tài sáng kiến kinh nghiệm này hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn./.
GV_Nguyễn Thị Thu – Trường THPT Yên Định 2
16
Xác nhận của thủ trưởng đơn vị Thanh Hoá, ngày 10 tháng 5 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến
kinh nghiệm của mình viết, không
sao chép nội dung của người khác.
Người viết:
Nguyễn Thị Thu