Phần I: Mở đầu
I- Lý do chọn đề tài.
Bất đẳng thức là một phần quan trọng trong chương trình toán học phổ
thông, được sử dụng nhiều trong các kỳ thi cao đẳng, đại học và trung học
chuyên nghiệp, thi học sinh giỏi…Các bài toán chứng minh bất đẳng thức rất đa
dạng và phong phú và có thể giải bằng nhiều phương pháp khác nhau. Tuy nhiên
trong chương trình SGK Đại số 10 cơ bản hiện hành bất đẳng thức được trình
bày ở đầu chương IV chỉ đưa ra các bất đẳng thức cơ bản và một số tính chất
không có ví dụ để minh hoạ cụ thể. Mặt khác do số tiết của chương trình này
quá ít nên trong quá trình giảng dạy các giáo viên không thể đưa ra được nhiều
bài tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ năng giải cho học sinh. Nhưng trong
thực tế, để chứng minh được một bất đẳng thức đòi hỏi học sinh phải nắm vững
kiến thức, phải có tư duy ở mức độ cao và phải có năng lực biến đổi toán học
nhanh nhẹn thuần thục.
Trong quá trình giảng dạy bộ môn toán trong trường THPT tôi nhận thấy
rằng trình độ của học sinh là rất khác nhau. Mức độ và năng lực tư duy của các
em cũng chênh lệch rất đáng kể. Với đối tượng học sinh ở các lớp cơ bản tiếp
thu chậm thì việc chứng minh một bất đẳng thức là khó thể thực hiện được.
Vậy làm thế nào để bản thân các em học sinh khá, giỏi không xem thường
kiến thức cơ bản sách giáo khoa, đồng thời các em học sinh trung bình và yếu
không e ngại sự chậm hiểu của bản thân ?
Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo
1
Vì vậy trong bài viết này, tôi đưa ra “Rèn luyện kỹ năng cho học sinh lớp
10 giải các bài toán chứng minh một bất đẳng thức”.
II- Mục đích nghiên cứu:
Nhằm tạo ra một không khí làm việc tập thể một cách thoải mái, tạo điều
kiện để các em được học tập tích cực, chủ động, sáng tạo, gây được hứng thú và
phát triển tư duy logíc. Tạo cho các em cảm thấy có nhu cầu làm việc trong giờ
học, có một thói quen nhìn nhận một vấn đề dưới nhiều góc độ khác nhau,
không bằng

 Phương pháp chứng minh bất đẳng thức.
Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo
3
B- Nội dung đề tài
I- Các bài toán cơ bản
Bài toán 1 (Bài tập 4SGK ĐS10)
Chứng minh rằng :
, ,a b c R
∀ ∈
ta có:
( )
( )
222
2
3 cbacba
++≤++
(1)
Hướng dẫn giải:
Cách 1: (Sử dụng định nghĩa: a > b
⇔
a – b > 0)
Xét hiệu:
( )
( )
cabcabcbacbacba 2222223
222
2
222
−−−++=++−++


≥+
(i)

bccb 2
22
≥+
(ii)

caac 2
22
≥+
(iii)
Từ (i), (ii), (iii)
( )
cabcabcba 2222
222
++≥++⇒

( )
( )
2
222222
2223 cbacabcabcbacba
++=+++++≥++⇔
⇒
(đpcm).
Cách 4: Vì a, b, c có vai trò như nhau, không mất tổng quát giả sử
cba
≤≤
Khi đó ta có:

00
222222
≥−+++−⇔≥−−−++⇔
bccbacbacabcabcba
Xem
( )
bccbacbaaf
−+++−=
222
)(
là tam thức bậc hai ẩn a, với
b,c là tham số.
Ta có:
( ) ( )
cbcbbccbcb
a
,,03)(4
2
22
2
∀≤−−=−+−+=∆

⇒
( )
cbabccbacbaaf ,,,0)(
222
∀≥−+++−=

⇒
(đpcm).

. Cmr :
cabcabcba
++≥++
222
(*)
2)Thay đổi số lượng các chữ trong (*) ta có bài toán mới:
1. Cho a, b, c, d
R∈
. Cmr :
dacdbcabdcba
+++≥+++
2222
2. Cho
niRx
i
;1,
=∈
. Cmr :
1433221
1
2
xxxxxxxxx
n
n
i
i
++++≥
∑
=
….

ta có:

2.2
=≥+
a
b
b
a
a
b
b
a

⇒
(đpcm).
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Cách 2: Từ
222
22
22
≥+⇔≥
+
⇔≥+
a
b
b
a
ab
ba
abba

2222
>+≥+⇔+≥+−+⇔
≥+−⇔≥+
baabbababaabbababa
abbabaabba
Bài toán 4: Cho a, b là hai số dương.
Chứng minh rằng :
baba
+
≥+
411

Hướng dẫn giải : (Bài toán này có thể giải bằng nhiều cách)
Cách 1: (sử dụng Bài toán 2) ta có

( )
bababaab
ba
abbaabba
+
≥+⇔
+
≥
+
⇔≥+⇔≥+
4114
42
2
22
(vì a, b>

)1(
(đpcm).
Bài toán 5: Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c.
Chứng minh rằng :






++≥
−
+
−
+
− cbacpbpap
111
2
111
(1)
Với p là nửa chu vi tam giác.
Hướng dẫn giải:
Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo
7
Cách 1: Với
2
cba
p
++
=

2
411
)(
2
2
411
iii
bbcbaacb
ii
aacbabac
i
ccbacacb
=≥
−+
+
−+
=≥
−+
+
−+
=≥
−+
+
−+

Từ (i), (ii), (iii) suy ra (2) luôn đúng
⇒
(đpcm).
Cách 2:
( )

+
=⇒





−+=
−+=
−+=

Khi đó
( )
)4(
222111
3
xzzyyxzyx +
+
+
+
+
≥++⇔
Mặt khác:

⇒
+
+
+
+
+

1
ta có:
Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo
8

( )( )
( ) ( )
c
bpap
bpap
bpap
2
2
1111
2
1
=
−+−
≥
−−
≥








−

−
(2’)

( )( )
( ) ( )
b
apcp
apcp
apcp
2
2
1111
2
1
=
−+−
≥
−−
≥








−
+
−

2
1
2
1
2
1
4
1
4
1
4
1
Hướng dẫn giải:
Ta có:
(*)
1
4
1
4
1
baba
+
≥+

(**)
1
4
1
4
1

Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo
9

)2(
2
2
2
2
2
2111
2
411
2
411
2
411
bacacbcbaaccbba
acbbacb
baccbac
cbaacba
++
+
++
+
++
≥
+
+
+
+

++
+
++
≥++
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
bacacbcbacba ++
+
++
+
++
≥++⇔
2
1
2
1
2
1
4
1

Giải: Ta có:
)3(
2
1
2
2
3
1
2
2
242
4
2
1
3
1
)2(
2
1
2
2
3
1
2
2
242
4
2
1
3

+
+
++
−
++
≥
+
⇔
++
=
++
≥
++
+
+
++
−
++
≥
+
⇔
++
=
++
≥
++
+
+
Từ (1), (2), (3) suy ra:
Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo


2≥
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a
Giải: Sử dụng BĐT Côsi cho hai số dương
a
và
cb +
ta có :

( )
( )
cba
a
cb
a
cba
cba
cbacba
++
≥
+

2
222
=
++
++
≥
+
+
+
+
+ cba
cba
ba
c
ac
b
cb
a

⇒
(đpcm).
Bài toán 9: Cho a,b,c là 3 số thực dương.
Chứng minh rằng :
2
333
>
+
+
+
+

Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo
11

( ) ( ) ( )
)(23
23
3
2
3
ibczyyzcbzy
zy
x
cb
a
zy
x
cb
a
>+⇔+>+⇔








+
>


z
ba
c
+
>
+
3
(***)
Từ (*),(**),(***) suy ra:

⇒>
+
+
+
+
+
>
+
+
+
+
+
2
333
yx
z
xz
y
zy
x

u
r
| +|
v
r
| (*)
Vì
2 2
2 2 2 2
2 ( )u v u v u v u v u v
+ = + ≤ + + = +
r r r r r r r r r r
Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo
12
Đặt
1 1 1
( ; ), ( ; ), ( ; ).a x b y c z
x y z
= = =
r
r r
Từ bất đẳng thức (*) ta có:

.a b c a b c a b c
+ + ≥ + + ≥ + +
r r r
r r r r r r
Vậy P =
( )
2

 
 
Với
( )
2
2
3
1
0 .
3 9
x y z
t xyz t
+ +
 
= ⇒ < ≤ ≤
 ÷
 
Đặt
( )Q t
=
2
9 9 1
9 '( ) 9 0, 0;
9
t Q t t
t t
 
+ ⇒ = − < ∀ ∈



Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo
13
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 2
2
1 1 1 1 1 1
81 80
1 1 1
18 80 162 80 82.
x y z x y z x y z
x y z x y z
x y z x y z
x y z
   
+ + + + + = + + + + + − + +
 ÷  ÷
   
 
≥ + + + + − + + ≥ − =
 ÷
 
Vậy P
82
≥
.
( Dấu “=” xảy ra khi
1
3

 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=b.
Từ kết quả trên ta có:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 4 2 4 2 4 8 2 2x y z x y z x y z x y z
 
     
≤ + + ≤ + + = + +
 
 ÷  ÷  ÷
+ +
     
 
Tương tự
Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo
14

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 4 2 4 2 4 8 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 4 2 4 2 4 8 2 2
x y z y x z y x z y x z
x y z z x y z x y z x y
     
 
≤ + ≤ + + = + +
 ÷  ÷
 ÷
 
+ + +

nhận và đáng giá bất đẳng thức.
Bài tập đề nghị
Bài 1: Cho a, b, c là 3 số thực dương.
Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo
15
Chứng minh rằng :
2
444
>
+
+
+
+
+
ba
c
ac
b
cb
a
(giải tương tự bài toán
9)
Bài 2: Cho a, b, c là 3 số thực dương.
Chứng minh rằng :
2
666
>
+
+
+

+
++
+
++
cba
d
bad
c
adc
b
dcb
a
Bài 5: Cho a, b, c, d là các số thực dương.
Chứng minh rằng :
2
3333
>
++
+
++
+
++
+
++
cba
d
bad
c
adc
b

+
++
=
222
Bài 8 : Với
, , 1o a b c
≤ ≤
, chứng minh rằng:

(1 )(1 )(1 ) 1.
1 1 1
a b c
a b c
b c a c b a
+ + + − − − ≤
+ + + + + +
Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo
16
Bài 9: Với a, b, c > 0, chứng minh rằng:
2 2 2
1 1 1
.
2
a b c
a bc b ac c ab abc
+ +
+ + ≤
+ + +
Bài 10: Với
0 , , 3x y z≤ ≤

được học sinh đồng tình và đạt được kết quả, nâng cao khả năng giải bất đẳng
thức. Các em hứng thú học tập hơn, ở những lớp có hướng dẫn kỹ các em học
sinh với mức học trung bình cứng trở lên đã có kỹ năng giải các bài tập. Số học
sinh biết áp dụng tăng rõ rệt. Cụ thể ở các lớp khối 10 sau khi áp dụng sáng kiến
này vào giảng dạy thì số HS hiểu và có kỹ năng giải được cơ bản các dạng toán
nói trên, kết quả qua các bài kiểm tra thử như sau :
Năm
học
Lớp
Tổng
số
Điểm 8 trở lên
Điểm từ 5 đến
8
Điểm dưới 5
Số
lượng
Tỷ lệ
Số
lượng
Tỷ lệ
Số
lượng
Tỷ lệ
2010-
10A8 38 8 13.1 % 20 52,6 % 13 34,3 %
10B8 36 5 14 % 17 47 % 14 39 %
2011-
10A9 39 8 20,5 % 22 56,4 % 9 23.1 %
10B9 42 9 21 % 23 55 % 10 24 %Xếp loại:
* ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC- GIÁO DỤC NHÀ TRƯỜNG:

Xếp loại:

Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo
20
Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo
21