SKKN: Giúp học sinh lớp 6 giải các bài toán về “Phép chia hết” trong tập hợp N
MỤC LỤC
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
1.1.Lí do khách quan
1.2. Lí do chủ quan
1.3.Ý nghĩa, tầm quan trọng và tác dụng của vấn đề trong công
tác giảng dạy và giáo dục
1.3.1. Mục đích nghiên cứu
1.3.2. Đối tượng nghiên cứu
1.3.3. Nhiệm vụ nghiên cứu
1.3.4 Phương pháp nghiên cứu
2. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
2.1. Cơ sở lí luận:
2.2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
2.3. Các biện pháp tiến hành để giải quyết vấn đề
2.4. Hiệu quả của đề tài
3. KẾT LUẬN
3.1. Ý nghĩa của đề tài trong công tác giảng dạy
3.2. Nhận định chung
3.3. Những bài học kinh nghiệm
3.4. Ý kiến đề xuất
Trang
2
2
2
2
2
2
3
3
3

Để đáp ứng được yêu cầu của sự nghiệp giáo dục và nhu cầu học tập của
các đối tượng học sinh khá, giỏi. Điều đó đòi hỏi trong giảng dạy chúng ta phải
biết chắt lọc kiến thức, phải đi từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tượng và phát
triển thành tổng quát giúp học sinh có thể phát triển tốt tư duy toán học.
1.2. Lí do chủ quan:
Bản thân tôi, được nhà trường phân công dạy toán lớp 6. Qua nghiên cứu
tài liệu và giảng dạy tôi nhận thấy “phép chia hết" là đề tài lí thú, phong phú và
đa dạng của số học lớp 6 và không thể thiếu trong môn toán 6 cũng như môn
toán THCS. Đối tượng học sinh ở trường PTDT Nội trú Sông mã 100% là các
em học sinh dân tộc, bao gồm cả học sinh khá giỏi và học sinh yếu kém. Trong
quá trình giảng dạy có em tiếp thu nhanh và hứng thú với môn học, say mê tìm
hiểu, bên cạnh đó cũng có em tiếp thu bài rất chậm, lười học có thái độ thờ ơ với
Đèo Thị Kiểu – Trường PTDT Nội trú huyện Sông Mã.
2
SKKN: Giúp học sinh lớp 6 giải các bài toán về “Phép chia hết” trong tập hợp N
môn học, khả năng tính toán, tính nhẩm rất yếu. Việc bồi dưỡng học sinh khá
giỏi trong tiết học còn gặp nhiều khó khăn. Với bài viết này, tôi không tham
vọng lớn bàn về việc dạy "phép chia hết" và ứng dụng của nó trong chương
trình toán học phổ thông, tôi chỉ xin đưa ra một số kinh nghiệm giúp học sinh
lớp 6 giải các bài tập về "phép chia hết" trong tập hợp số tự nhiên mà tôi đã áp
dụng nhằm bội dưỡng các em học sinh khá, giỏi thông qua các giờ học buổi
chiều. Tôi hy vọng nó sẽ có ích cho các đồng nghiệp khi giảng dạy.
1.3. Ý nghĩa, tầm quan trọng và tác dụng của vấn đề trong công tác
giảng dạy và giáo dục:
1.3.1. Mục đích nghiên cứu:
Đề tài được nghiên cứu nhằm đưa ra những phương pháp phù hợp để giúp
học sinh giải các bài toán về phép chia hết trong tập hợp N, từ đó học sinh có kĩ
năng vận dụng các phương pháp đã học để giải các bài tập về phép chia hết từ
các dạng toán cơ bản đến một số bài tập năng cao, phù hợp với mọi đối tượng
học sinh trường PTDT Nội trú Sông mã.

lớp 6 tập 1, các dấu hiệu chia hết cũng như các tính chất về quan hệ chia hết.
1. Định nghĩa
Cho 2 số tự nhiên a và b, trong đó b khác 0, nếu có số tự nhiên x sao cho
b.x = a, thì ta nói a chia hết cho b và ta có phép chia hết a : b = x
2. Các dấu hiệu chia hết
a) Dấu hiệu chia hết cho 2
Một số chia hết cho 2 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của số đó là số chẵn.
b) Dấu hiệu chia hết cho 3 (hoặc 9)
Một số chia hết cho 3 (hoặc 9) khi và chỉ khi tổng các chữ số của số đó chia hết
cho 3 (hoặc 9).
Chú ý: Một số chia cho 3 (hoặc 9) dư bao nhiêu thì tổng các chữ số của số đó
chia cho 3 (hoặc 9) cũng dư bấy nhiêu và ngược lại
c) Dấu hiệu chia hết cho 5
Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số tận cùng bằng 0 hoặc 5
d) Dấu hiệu chia hết cho 4 (hoặc 25)
Một số chia hết cho 4 (hoặc 25) khi và chỉ khi 2 chữ số tận cùng của số đó chia
Đèo Thị Kiểu – Trường PTDT Nội trú huyện Sông Mã.
4
SKKN: Giúp học sinh lớp 6 giải các bài toán về “Phép chia hết” trong tập hợp N
hết cho 4 (hoặc 25)
e) Dấu hiệu chia hết cho 8 (hoặc 125)
Một số chia hết cho 8 hoặc 125 khi và chỉ khi 3 chữ số tận cùng của số đó chia
hết cho 8 hoặc 125.
f) Dấu hiệu chi hết cho 11
Một số chi hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các chữ số hàng lẻ và tổng
các chữ số hàng chẵn (từ trái sang phải) chia hết cho 11.
3. Tính chất của 2 quan hệ chia hết
+ 0 chia hết cho b với b là số tự nhiên khác 0
+ a chia hết cho a với mọi a là số tự nhiên khác 0
+ Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho a thì a = b

N) hoặc a = m.k ( m chia hết cho b)
Ví dụ 1: Chứng tỏ rằng số có dạng
aaaaaa
bao giờ cũng chia hết cho 7
Giải
aaaaaa
= a.111111 = a. 7.15873 chia hết cho 7
Ví dụ 2: Chứng tỏ rằng số có dạng
abcabc
bao giờ cũng chia hết cho 11, chia hết
cho 7 và chia hết cho 13.
Giải
Ta có :
abcabc
=
abcabc +000
=
abc
.(1000+1) =
abc
.1001 =
abc
.11.7.13 nên
abcabc
chia hết cho 11, chia hết cho 7 và chia hết cho 13.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng, nếu lấy một số có 2 chữ số cộng với số gồm 2 chữ số
ấy viết theo thứ tự ngược lại, ta luôn được một số chia hết cho 11
Giải
Gọi 2 số đó là
ab

Vậy tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4.
Giáo viên chốt lại: Tổng của n số tự nhiên liên tiếp chưa chắc đã chia hết cho n.
2.2 Dùng tính chất chia hết của 1 tích.
Để chứng minh a chia hết cho b (b ≠ 0) ta có thể chứng minh bằng một
trong các cách sau:
+ Ta chứng minh a.m chia hết cho b; (m, b) = 1 ⇒ a chia hết cho b
+ Biểu diễn b = m.n với (m, n)= 1, sau đó chứng minh a chia hết cho m, a chia
hết cho n
+ Biểu diễn a = a
1
. a
2,
, b = b
1.
b
2,

Rồi chứng minh a
1
chia hết cho b
1
; a
2
chia hết cho b
2
Ví dụ 5: Chứng minh (1980a + 1995b) chia hết cho 15 với ∀ a, b là số tự nhiên.
Giải
Vì 1980 chia hết cho 3 nên 1980.a chia hết cho 3 với ∀ a.
Vì 1995 chia hết cho 3 nên 1995.b chia hết cho 3 với ∀ b
Nên (1980a + 1995b) chia hết cho 3.

Với mọi n ta có thể viết hoặc n = 2k + 1 hoặc n= 2k
- Với n = 2k +1 ta có:
(n+3).(n+6) = (2k+1 +3).(2k+1+6) = (2k+4).(2k+7)
= 2.(k+2).(2k+7) chia hết cho 2.
- Với n = 2k ta có :
( n+3)(n+6) = (2k+3)(2k+6) = 2.(2k+3)(k+3) chia hết cho 2.
Vậy với mọi n
∈
N thì (n+3)(n+6) chia hết cho 2.
Ví dụ 8: Chứng minh rằng:
a) Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3
b) Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 4.
Giải
a) Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là n, n+1, n+2
Tích của số tự nhiên liên tiếp là : n.(n+1).(n+2)
Mọi số tự nhiên khi chia cho 3 có thể nhận một trong các số dư 0;1;2
- Nếu r = 0 thì n chia hết cho 3 ⇒ n.(n + 1).(n+ 2) chia hết cho 3
- Nết r = 1 thì n = 3 k + 1 (k là số tự nhiên)
Thì n+2 = 3k +1 + 2 = (3 k +3) chia hết cho 3
Do đó n. (n+1).(n+2) chia hết cho 3
Đèo Thị Kiểu – Trường PTDT Nội trú huyện Sông Mã.
8
SKKN: Giúp học sinh lớp 6 giải các bài toán về “Phép chia hết” trong tập hợp N
- Nếu r = 2 thì n = 3k+ 2 (k là số tự nhiên)
Thì n+1 = 3k +2 +1 = 3k +3 chia hết cho 3
Do đó n.(n+1) . (n+2) chia hết cho 3
Tóm lại, n.(n+1).(n+2) chia hết cho 3 với mọi n là số tự nhiên.
b) Chứng minh tương tự ta có:
n.(n+1).( n+2).( n+3) chia hết cho 4 với mọi n là số tự nhiên.
Sau khi giải bài tập tập này, giáo viên yêu cầu học sinh nêu bài tập này ở dạng

Đèo Thị Kiểu – Trường PTDT Nội trú huyện Sông Mã.
9
28 ch÷ sè 0
27 ch÷ sè 0
27 ch÷ sè 0
SKKN: Giúp học sinh lớp 6 giải các bài toán về “Phép chia hết” trong tập hợp N
nhất 1 chuồng chứa từ 2 con thỏ trở lên”.
Ví dụ10: Chứng minh rằng trong 6 số tự nhiên bất kì luôn tìm được 2 số có hiệu
chia hết cho 5.
Giải
Một số khi chia cho 5 có thể nhận một trong các số dư là : 0; 1; 2; 3; 4.
Trong 6 số tự nhiên bất kì khi chia cho 5 luôn tồn tại ít nhất 2 số có cùng số dư
(Nguyên tắc Đirichlet).
Vậy hiệu của 2 số chia hết cho 5.
III. Khi học sinh đã nắm vững các phương pháp thường dùng để chứng
minh phép chia hết, giáo viên có thể giao một số bài toán về chia hết nhằm
giúp học sinh nắm một cách có hệ thống, được đào sâu các kiến thức về phép
chia hết
Bài 1:
a) Tìm tất cả các số x,y để số
yx534
chia hết cho 36.
b) Tìm các chữ số x, y để
xy21
chia hết cho 3, 4 ,5 .
Giải
Vì (4;9) = 1 nên
yx534
chia hết cho 36 khi và chỉ khi
yx534

10
SKKN: Giúp học sinh lớp 6 giải các bài toán về “Phép chia hết” trong tập hợp N
021x
 3 khi và chỉ khi (2 + 1 + x + 0)  3 hay (3+ x) 3
do đó x
∈
{0; 3; 6; 9}. ( 2)
Kết hợp (1) và ( 2) ta có x
∈
{0; 6}.
Vậy các số cần tìm là: 2100 ; 2160
Bài 2:
Cho các chữ số 0, a, b. Hãy viết tất cả các số có 3 chữ số tạo bởi 3 số trên.
Chứng minh rằng tổng tất cả các số đó chia hết 211
Giải
Tất cả các số có 3 chữ số tạo bởi 3 chữ số 0, a, b là:
abbaabba 0;0;0;0
Tổng của các số đó là:

abbaabba 0000 +++
= 100a +b +100a +10b +100b +10a +100b +a
= 211a +211b
= 211(a+b) chia hết cho 211.
Bài 3:
Cho A = 2 +2
2
+2
3
+ +2
60

59
(1+2)
= 2.3+ 2
3
. 3 + +2
59
. 3
= 3.(2+ 2
3
+ + 2
59
) chia hết cho 3
*A = (2+ 2
2
+ 2
3
) + (2
4
+2
5
+2
6
) + + (2
58
+ 2
59
+ 2
60
)
= 2.(1+2+ 4) + 2

57
( 1+2+4+8)
= 15( 2+ 2
5
+ + 2
57
) chia hết cho 15.
Đèo Thị Kiểu – Trường PTDT Nội trú huyện Sông Mã.
11
SKKN: Giúp học sinh lớp 6 giải các bài toán về “Phép chia hết” trong tập hợp N
Vậy A chia hết cho 3, A chia hết cho 7 và A chia hết cho 15.
Bài 4 :
Cho a - b chia hết cho 6. Chứng minh các biểu thức sau chia hết cho 6.
a) a +5b ; b) a + 17b ; c) a - 13b.
Giải
a) Ta có : a + 5b = a + 6b - b = ( a- b) + 6b  6 vì (a - b)  6 và 6b  6
b) a + 17 b = ( a- b) + 18b  6 vì (a- b)  6 và 18b6
c) a - 13b = ( a - b) - 12b  6 vì ( a - b )  6 và 12b  6
Bài 5:
Chứng minh rằng: (9
2n
+ 1994
93
) chia hết cho 5.
Giải
Ta có: 9
2n
= (9
2
)

Tìm số tự nhiên n để (3n+10) chia hết cho (n+2)
Giải
Cách 1:
Ta có: 3n+10 = 3(n+2) +4
Mà 3.(n+2) chia hết cho (n+2)
Do đó (3n+10) chia hết cho (n+2) khi và chỉ khi 4 chia hết cho (n+2)
Hay (n+2) là ước của 4.
Tức là (n+2)
∈
{ 1; 2;4}
nên n
∈
{ 0;2}
Vậy với n
∈
{0;2 } thì (3n+10) chia hết cho (n+2)
Cách 2:
(3n+10) chia hết cho (n+2)
Mà (n+2) chia hết cho (n+2) nên 3(n+2) chia hết cho (n+2)
Đèo Thị Kiểu – Trường PTDT Nội trú huyện Sông Mã.
12
SKKN: Giúp học sinh lớp 6 giải các bài toán về “Phép chia hết” trong tập hợp N
Do đó [ (3n +10) - (3n +6)] chia hết cho (n+2)
Hay 4 chia hết cho (n+2)
đến đây giải tiếp như ở cách 1.
Bài 7:
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì ( 3n +1, 4n + 1) = 1
Giải
Gọi d là ƯC( 3n+ 1 , 4n + 1)
⇒ 3n + 1  d ⇒ 4.( 3n + 1)  d

Suy ra : a + 8 = 6k + 4 + 8 = 6 ( k+ 2)  6
a + 8 = 7q + 6 + 8 = 7( q + 2)  7
a + 8 = 11p + 3 + 8 = 11 ( p + 1)  11
suy ra ( a + 8) là BC (6,7,11), mà BCNN(6,7,11) = 462
⇒ ( a + 8)  462
⇒ ( a + 8 ) = 462. m ( m
∈
N)
⇒ a = 462. m - 8 = 462.(m - 1) + 454
⇒ a = 462.n + 454 ( n
∈
N)
Vậy a chia cho 462 dư 454.
2.2. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU:
Trên đây là một số ví dụ và một số dạng bài tập về "phép chia hết". Các bài
toán về "phép chia hết" thật đa dạng và phong phú. Nếu như chúng ta chỉ hướng
dẫn học sinh giải những bài tập ở mức độ trung bình thì các em chưa thể thấy
được "cái hay" của dạng toán này, đồng thời có khi các em còn có cảm giác là
khó và phức tạp. Qua các bài tập trên ta thấy, mặc dù mỗi dạng bài tập sử dụng
phương pháp biến đổi ban đầu khác nhau, nhưng cuối cùng đều quy về định
nghĩa và các tính chất của phép chia hết. Chính vì vậy, việc nắm vững định nghĩa
về phép chia hết, các tính chất và các dấu hiệu chia hết là vấn đề then chốt giúp
Đèo Thị Kiểu – Trường PTDT Nội trú huyện Sông Mã.
14
SKKN: Giúp học sinh lớp 6 giải các bài toán về “Phép chia hết” trong tập hợp N
học sinh có thể định hướng được cách giải bài tập giúp học sinh có tư duy sáng
tạo và sự linh hoạt khi giải toán. Khi đã làm được như vậy thì việc giải các bài
toán về phép chia hết đã trở thành niềm say mê, thích thú của học sinh.
Với đối tượng học sinh ở trường PTDT Nội trú Sông mã, các em thường
“sợ” học bộ môn toán và coi đây là môn học khó. Các em có thói quen nhìn thấy

Sau khi học sinh đã có được hệ thống kiến thức cơ bản về “phép chia hết”
giáo viện cho học sinh tự tìm tòi ra các phương pháp giải các bài tập về phép chia
hết. Nếu học sinh còn lúng túng, hay chưa tìm ra được các phương pháp cụ thể,
giáo viên có thể hướng dẫn hoặc cung cấp cho học sinh các phương pháp đó
(Được trình bày ở mục II. Khi học sinh đã nắm chắc các vấn đề nêu trên thì
giáo viên có thể đưa ra một vài phương pháp thường dùng để giải các bài toán
chia hết). Sau đó cho học sinh vận dụng các phương pháp đã học để làm các dạng
bài tập cụ thể (Được trình bày ở mục III. Khi học sinh đã nắm vững các phương
pháp thường dùng để chứng minh phép chia hết, giáo viên có thể giao một số bài
toán về chia hết nhằm giúp học sinh nắm một cách có hệ thống, được đào sâu
các kiến thức về phép chia hết)
* Kết quả đạt được khi thực hiện biện pháp 1: Học sinh được hệ thống hoá
lại các kiến thức cơ bản về “phép chia hết” trong tập hợp N, đồng thời có được
các phương pháp giải cụ thể về các dạng toán về “phép chia hết”. Học sinh bước
đầu vận dụng làm được một số bài toán cơ bản.
*Biện pháp 2: Tổ chức thực hiện việc bồi dưỡng học sinh
Giáo viên xây dựng nội dung chương trình cụ thể, có kế hoạch ôn tập chi tiết
và biện pháp cụ thể, chọn lựa đối tượng học sinh có khả năng học tập bộ môn. Ôn
tập theo kế hoạch bồi dưỡng “ôn tài năng trẻ” của nhà trường. Ngoài ra giáo viên
có thể đưa một số bài tập cho học sinh về tự làm ở nhà, sau đó kiểm tra, đánh giá
cụ thể.
* Kết quả đạt được khi thực hiện biện pháp 2: Hoạt động dạy học bồi dưỡng
học sinh khá giỏi đã có nề nếp tương đối ổn định trong nhà trường, học sinh say
mê học tập hơn, giáo viên nhiệt tình, có trách nhiệm cao hơn trong công việc.
*Biện pháp 3: Tổ chức kiểm tra, đánh giá năng lực học tập của học
sinh:
Việc làm này được tiến hành theo nhiều hình thức khác nhau nhằm đánh giá
Đèo Thị Kiểu – Trường PTDT Nội trú huyện Sông Mã.
16
SKKN: Giúp học sinh lớp 6 giải các bài toán về “Phép chia hết” trong tập hợp N

17
SKKN: Giúp học sinh lớp 6 giải các bài toán về “Phép chia hết” trong tập hợp N
Với những kinh nghiệm vừa trình bày ở trên, trong quá trình giảng dạy
môn toán 6 và bồi dưỡng học sinh khá giỏi ở trường PTDT Nội trú Sông mã năm
học 2010-2011, bản thân tôi nhận thấy: Khi dạy phần chia hết trong tập hợp số
tự nhiên, học sinh tiếp nhận kiến thức một cách thoải mái, chủ động, rõ ràng. Học
sinh phân biệt và nhận dạng được các bài toán liên quan đến phép chia hết và từ
đó có thể giải được hầu hết các bài tập phần này, xóa đi cảm giác khó và phức tạp
ban đầu là không có quy tắc tổng quát. Qua đó, rèn luyện cho học sinh trí thông
minh, sáng tạo, các phẩm chất trí tuệ khác và học sinh cũng thấy được dạng toán
này thật phong phú chứ không đơn điệu. Điều đó giúp cho học sinh hứng thú
hơn khi học bộ môn toán.
* Kết quả cụ thể: Với những bài tập giáo viên đưa ra, học sinh giải được
một cách độc lập và tự giác, được thống kê theo bảng sau:
Thời gian
Áp
dụng
đề tài
Tổng
số
HS
Số HS giải được theo các mức độ
Từ 0 -20%
Bài tập
Từ
20-50%
Bài tập
Từ
50-80%
Bài tập

các kiến thức về sau và đặc biệt nó có ứng dụng rất nhiều. Do vậy, trước hết
chúng ta cần cho học sinh nắm thật vững định nghĩa phép chia hết, các dấu hiệu
chia hết và đặc biệt là các tính chất của quan hệ chia hết bởi vì các tính chất này
rất hay sử dụng.
Để học sinh nắm vững và hứng thú học tập, chúng ta cần liên hệ những
kiến thức đã biết để xây dựng kiến thức mới, chọn lọc hệ thống bài tập theo mức
độ tăng dần từ dễ đến khó. Khi học phải cho học sinh nhận dạng sau đó mới bắt
tay vào giải theo nhiều cách ( nếu có thể) chứ không nhất thiết phải giải nhiều bài
tập. Cần rèn luyện nhiều cách suy luận để tìm hướng giải và cách lập luận trình
bày của học sinh vì đây là học sinh đầu cấp.
Với mỗi dạng tuy không có quy tắc tổng quát, song sau khi giải giáo viên
nên chỉ ra một đặc điểm, một hướng giải quyết nào đó để khi gặp bài tương tự
học sinh có thể liên hệ được.
3.2. Nhận định chung:
Có thể nói với cách làm trên đây, tôi đã chuẩn bị tạo tình huống dẫn dắt
học sinh học tập bằng cách tự học là chính. Thông qua đó phát huy tính tích cực
chủ động của học sinh. Tuy nhiên để làm được điều đó phải tốn không ít thời
gian cho việc chuẩn bị nội dung và phương pháp giảng dạy của mình. Nhưng
theo tôi một trong những phương pháp giúp chất lượng học tập của học sinh ngày
một nâng cao là phải làm như vậy.
3.3. Những bài học kinh nghiệm:
Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ của bản thân tôi tự rút ra khi dạy
phần " Phép chia hết trong tập hợp N " ở lớp 6. Chắc chắn nó chưa được hoàn
Đèo Thị Kiểu – Trường PTDT Nội trú huyện Sông Mã.
19
SKKN: Giúp học sinh lớp 6 giải các bài toán về “Phép chia hết” trong tập hợp N
chỉnh và có chỗ kiếm khuyết. Trong khi vấn đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán đối
với giáo viên THCS còn nhiều khó khăn, bản thân tôi muốn đóng góp một kinh
nghiệm nhỏ của mình. Qua đây, tôi rất mong sự góp ý chân thành của các bạn
đồng nghiệp để năm học tới được tốt hơn, đáp ứng yêu cầu của sự nghiệp giáo