Kinh nghiệm giảng dạy Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải hệ phương trình đối xứng
A. ĐẶT VẤN ĐỀ :
Trong quá trình giảng dạy, việc tổ chức cho học sinh biết ôn tập các kiến thức đã học
và vận dụng nó vào việc giải toán là một việc làm rất cần thiết. Việc làm đó thể hiện được
sự đổi mới phương pháp giảng dạy và đơn giản hóa các vấn đề phức tạp với mục đích giúp
cho học sinh hiểu được bài và vận dụng nó vào giải bài tập.
Trong chương trình toán ở trường phổ thông hiện nay, trong sách giáo khoa lớp 10 có
trình bày việc giải các hệ phương trình đại số rất đơn giản và thời lượng cũng còn quá ít.
Trong khi đó khi học sinh tham dự thi học sinh giỏi các cấp hay thi vào đại học thì lại gặp
một vấn đề có thể nói là phức tạp, học sinh rất lúng túng khi giải các bài toán này. Tuy
nhiên nếu nắm vững tốt về các phương pháp giải thì đó là cơ hội rèn cho người làm toán
một kỹ năng, kỹ xão nhằm hình thành tính sáng tạo trong học và giải toán, ngoài ra còn có
cả sự khéo léo trong khi biến đổi để đưa bài toán phức tạp về lớp các bài toán đã biết cách
giải.
Mặc dù vậy song vẫn là chưa đủ bởi sáng tạo của mỗi người làm toán là vô hạn.
Chính vì vậy trong bài viết này tôi muốn đề cập về "Rèn luyện kỹ năng cho học sinh giải hệ
phương trình đối xứng " qua thực hiện dạy chương trình tự chọn của môn toán lớp 10 nhằm
trang bị thêm cho học sinh một số công cụ hữu hiệu để các hệ phương trình và phương trình
đại số.
B. QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN :
Nhằm cung cấp cho học sinh nhận ra các dấu hiệu ban đầu để phân loại và nhận dạng
khi thực hiện giải các hệ phương trình đối xứng, trong mỗi loại hệ phương trình đối xứng
loại 1 hay loại 2, tôi phân chia thành ba dạng toán như sau:
Dạng 1 : Giải hệ phương trình:
Dạng 2: Tìm điều kiện tham số để hệ đối xứng loại 1 có nghiệm
Dạng 3: Một số bài toán giải bằng cách đưa về hệ phương trình
Qua thực tế giảng dạy ở các lớp khối 10 trường THPT và các lớp bồi dưỡng học sinh
giỏi, tôi nhận thấy việc phân chia dạng như trên là hợp lý, lôgíc cụ thể, có thể nhanh chóng
tìm ra phương pháp chứng minh được bất đẳng thức bằng cách áp dụng phương pháp này
vào việc giải toán, từ đó làm nền tảng cho hai kỳ thi tốt nghiệp THPT và thi vào các trường
Đại học và Cao đẳng sau này.

1 2

.

= + = −




= =


b
S x x
a
c
P x x
a
• Ngược lại, nếu 2 số x
1
, x
2
thỏa mãn
1 2
+ =x x S
và
1 2
. =x x P
thì x
1


=

4. Một hệ hai phương trình chứa hai ẩn x, y được gọi là đối xứng loại hai nếu trao đổi
vai trò của x, y thì phương trình này chuyển thành phương trình kia của hệ.
Dấu hiệu nhận biết:
( , ) 0
( , ) 0
f x y
g x y
=


=

, trong đó
( , ) ( , )
( , ) ( , )
f x y g y x
g x y f y x
=


=

.
4.2)Chuẩn bị của thầy:
* Phiếu học tập và phiếu trả lời cho học sinh.
* Giấy A
2

– 3SP.
+ Nếu
( )
0 0
;x y
là nghiệm của hệ phương trình đối xứng loại 1, thì
( )
0 0
;y x
cũng là
nghiệm tương ứng.
+ Nếu hệ phương trình đối xứng loại 1 có nghiệm duy nhất thì theo trên ta được
0 0
x y=
.
+ Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv.
+ Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại 1 sau khi đặt ẩn phụ.
Dạng 2: Tìm điều kiện tham số để hệ đối xứng loại 1 có nghiệm
Phương pháp giải chung:
• Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
• Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và
2
4S P≥
(*).
• Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P theo m rồi từ
điều kiện (*) tìm m.
Chú ý: Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm chính xác điều
kiện của u, v.
Dạng 3: Một số bài toán giải bằng cách đưa về hệ phương trình.
Phương pháp giải chung:

Kinh nghiệm giảng dạy Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải hệ phương trình đối xứng
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình
2 2
2 2
1 1
4
1 1
4

+ + + =




+ + + =


x y
x y
x y
x y
.
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình
2 2
2 8 2 (1)
4 (2)

+ + =





+ = −

x y
x x y y m
.
Ví dụ 2. Tìm điều kiện m để hệ phương trình
2 2
3 9
+ + =


+ = −

x y xy m
x y xy m
có nghiệm thực.
Ví dụ 3. Tìm điều kiện m để hệ phương trình
4 1 4
3
− + − =


+ =

x y
x y m
có nghiệm thực.
Ví dụ 4. Tìm điều kiện m để hệ phương trình

+ + = +


+ = +

có nghiệm duy nhất.

Trang 4
Kinh nghiệm giảng dạy Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải hệ phương trình đối xứng
Dụng ý :
 Củng cố về định nghĩa hệ phương trình đối xứng.
 Rèn luyện cho học sinh các kỹ năng tìm điều kiện của tham số để hệ
phương trình đối xứng có nghiệm, có hai nghiệm, có nghiệm duy nhất.
 Rèn luyện kỹ năng dùng ẩn số phụ để đưa một hệ phương trình về hệ
phương trình đối xứng loại 1.
 Rèn luyện kỹ năng dùng các hằng đẳng thức quen thuộc để biến đổi biểu
thức đối xứng theo S = x+y và P = x.y
Dạng 3: Một số bài toán giải bằng cách đưa về hệ phương trình
Ví dụ. Giải phương trình:
3 3
3
1
2
+ − =x x
.
Dụng ý:
 Rèn luyện cho học sinh các kỹ năng đặt ẩn số phụ để đưa một phương trình
đại số vế hệ phương trình đối xứng, thông qua đó để giải một số phương
trình đại số phức tạp.
Hệ phương trình đối xứng loại 2:


+ − =


+ − =


x y
y x
Ví dụ 3: Cho hệ phương trình
2
2
= − +


= − +

x y y m
y x x m
(I)
a. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm.
b. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Ví dụ 4: Giải phương trình:
3
3
1 2 2 1+ = −x x
.

Trang 5
Kinh nghiệm giảng dạy Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải hệ phương trình đối xứng

4 nhóm mỗi nhóm thực hiện theo sự phân
chia như sau:
Nhóm 1 Nhóm 2 Nhóm 3 Nhóm 4
VD1
VD3
VD2
VD4
VD1
VD3
VD2
VD4
Dạng 1 :
Giải hệ phương trình
Phương pháp:
• Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
• Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều
kiện của S, P và
2
4≥S P
.
• Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ
phương trình. Giải hệ tìm S, P rồi dùng hệ
thức Viét đảo tìm x, y.

Trang 6
Kinh nghiệm giảng dạy Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải hệ phương trình đối xứng
Sau đó GV hướng dẫn học sinh biến đổi hệ
phương trình theo các biểu thức của S và P
vào 4 ví dụ của bài tập dạng 1.
GV cho đại diện mỗi nhóm phân tích đề bài

thức S và P bằng cách đặt
.
S x y
P x y
= +


=

và
giải hệ để tìm S,P rồi dùng Định lý Viet1
đảo tìm x, y
VD 1: Giải hệ phương trình
2 2
3 3
30
35
+ =


+ =

x y xy
x y
.
Giải:
Đặt
S , Px y xy= + =
, điều kiện
2

Û
í
ï
ï
- =
ï
ï
î
S 5
P 6
x y 5
xy 6
x 2 x 3
y 3 y 2
=
ì
ï
ï
Û
í
ï
=
ï
î
+ =
ì
ï
ï
Û
í



− =

xy x y
x y
+Muốn giải hệ phương trình thì ta đưa
về hệ đối xứng loại 1, bằng cách đặt :
t = - y. Từ đó biến đổi hệ phương trình trở
thành:
3 3
xt(x t) 2
x t 2
ì + =
ï
ï
í
ï
+ =
ï
î
. Đây là hệ đối xứng
loại 1 đã biết cách giải.
VD 2: Giải hệ phương trình
3 3
( ) 2
2
− = −



=
ì + =
ì
ï
ï
ï
ï
Û
í í
ï ï
- =
+ =
ï ï
î
î
S 2 x 1 x 1
t 1 y 1
P 1
= = =
ì
ì ì
ï
ï ï
ï ï ï
Û Û Û
í í í
= = -ï ï ï
=
ï ï ï
î î

1
x
x
+
và
1
y
y
+
là hai ẩn số mới, đặt :

( )
( )
2
1 1
S x y ,
x y
1 1
P x y ,
x y
S 4P
æ ö
÷
ç
= + + +
÷
ç
÷
è ø
æ ö

Điều kiện
0, 0x y≠ ≠
.
Hệ phương trình tương đương với:
( )
( )
2
2
1 1
x y 4
x y
1 1
x y 8
x y
ì æ ö
ï
÷
ç
+ + + =ï
÷
ç
÷
ï
è ø
ï
ï
í
ï
æ ö
ï

æ ö
÷
ç
= + +
÷
ç
÷
è ø
³ Trang 8
Kinh nghim ging dy Rốn luyn cho hc sinh k nng gii h phng trỡnh i xng
T ú bin i h phng trỡnh theo S, P.
Gii h tỡm S,P

x, y.
ta cú:
( )
( )
2
S 4
S 4
P 4
S 2P 8
1 1
x y 4
x y
1 1
x y 4

ớ
ù
ổ ử
ù
ữ
ỗ
+ + =
ù
ữ
ỗ
ữ
ù
ố ứ
ù
ợ
1
x 2
x 1
x
1
y 1
y 2
y
ỡ
ù
+ =
ù
=
ỡ
ù

theo t? Mun gii bi toỏn ny ta lm nh
th no?
( Cho i din nhúm 4 tr li)
HS nhúm 4:
+ t
0t xy=
, ta cú:
2
xy t=
.
+ T
(2) x y 16 2t+ = -ị
.
+
2 2
x y+
=
2
t 32t 128- +
+ n bc bi toỏn ó n gin v ó bit
GV cho cỏc nhúm tho lun.Sau ú nhúm 1
v nhúm 3 kim tra chộo ln nhau; nhúm 2
v nhúm 4 kim tra chộo ln nhau. Mi
nhúm c mt ngi lờn bng trỡnh by sau
ú cho c lp nhn xột. Cui cựng giỏo
viờn nhn xột ỏnh giỏ.
VD 4: Gii h phng trỡnh
2 2
2 8 2 (1)
4 (2)


2
t 32t 128 8 t- + = -
(
0t
)
2 2
8 t 0
t 0
t 32t 128 64 16t t
0 t 8
t 4
t 4
ỡ
ù
-
ù
ù
ù
ù

ớ
ù
ù
ù
- + = - +
ù
ù
ợ
Ê Ê

HS : Hệ phương trình đối xứng loại 1 có
nghiệm khi và chỉ khi
2
4S P≥
.
GV chia lớp thành 4 nhóm:
* Nhóm I và II giải 2 Ví dụ 1, 3, 5.
* Nhóm III và IV giải 2 Ví dụ 2, 4, 6.
Sau đó hoán vị cho mỗi nhóm cùng làm
bài tập giống nhau nhận xét rồi cho cả lớp
cùng nhận xét và GV đánh giá. Cuối cùng
GV treo phiếu trả lời và chỉnh sửa cho học
sinh những sai lầm.
Sơ đồ nhóm như sau:
Bảng đen
Nhóm I Nhóm II
Nhóm III Nhóm IV
Dạng 2: Tìm điều kiện tham số để hệ đối
xứng loại 1có nghiệm
Phương pháp giải chung:
+ Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
+ Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều
kiện của S, P và
2
4S P≥
(*).
+ Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương
trình. Giải hệ tìm S, P theo m rồi từ điều
kiện (*) tìm m.
Chú ý: Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x)

î
Đặt
S x y 0, P xy 0= + =³ ³
,
2
S 4P.³

Hệ phương trình trở thành:
3
S 1
S 1
P m
S 3SP 1 3m
=
=
ì
ì
ï
ï
ï
ï
Û
í í
ï ï
=
- = -
ï ï
î
î
.

( x) ( y) 1 3m
+ =
ì
ï
ï
í
+ = -ï
ï
î
+ =
ì
ï
ï
Û
í
ï
+ = -
ï
î
Đặt
S x y 0, P xy 0= + =³ ³
,
2
S 4P.³

Hệ phương trình trở thành:
3
S 1
S 1
P m

Phiếu trả lời 2.2
2 2
x y xy m

x y xy 3m 9
(x y) xy m
xy(x y) 3m 9
+ + =
ì
ï
ï
í
ï
+ = -
ï
î
+ + =ì
ï
ï
Û
í
ï
+ = -
ï
î
.
Đặt S = x + y, P = xy,
2
S 4P.³
Hệ phương

2
2
3 4(m 3)
(m 3) 12
21
m m 3 2 3
4
é
-³
ê
Û
ê
- ³
ê
ë
+Û £ Ú ³
.
VD2: Tìm điều kiện m để hệ phương trình
2 2
3 9
+ + =


+ = −

x y xy m
x y xy m
có nghiệm thực.
Giải:
2 2

SP 3m 9
+ =
ì
ï
ï
í
ï
= -
ï
î
.
Suy ra S và P là nghiệm của phương trình
2
t mt 3m 9 0- + - =
S 3 S m 3
P m 3 P 3
= = -
ì ì
ï ï
ï ï
Þ Ú
í í
ï ï
= - =
ï ï
î î
.
Từ điều kiện ta suy ra hệ có nghiệm
2
2

ì
ï
ï
ï ï
Û
í í
-
ï ï
+ = -
=
ï ï
î
ï
î
.
Suy ra u, v là nghiệm (không âm) của
2
21 3m
t 4t 0
2
-
- + =
(*).
Hệ có nghiệm
Û
(*) có 2 nghiệm không
âm.
VD3: Tìm điều kiện m để hệ phương trình
4 1 4
3

í í
-
ï ï
+ = -
=
ï ï
î
ï
î
.
Suy ra u, v là nghiệm (không âm) của
2
21 3m
t 4t 0
2
-
- + =
(*).
Hệ có nghiệm
Û
(*) có 2 nghiệm không

Trang 11
Kinh nghiệm giảng dạy Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải hệ phương trình đối xứng

/
0
S 0
P 0
3m 13

ï
Û
í
-ï
ï
³
ï
ï
î
Û £ £
.
âm.

/
0
S 0
P 0
3m 13
0
2
21 3m
0
2
13
m 7
3
ì
ï
D ³
ï

2 2
2 2
2 2
x y 4x 4y 10

xy(x 4)(y 4) m
(x 4x 4) (y 4y 4) 18
(x 4x)(y 4y) m
ì
+ + + =
ï
ï
í
ï
+ + =
ï
î
ì
+ + + + + =
ï
ï
Û
í
ï
+ + =
ï
î
.
Đặt
2 2

Điều kiện
2
S 4P
S 0 56 m 25
P 0
ì
ï
³
ï
ï
ï
ï
-³ Û £ £
í
ï
ï
ï
³
ï
ï
î
VD4: Tìm điều kiện m để hệ phương trình
2 2
4 4 10
( 4)( 4)
+ + + =


+ + =


î
.
Đặt
2 2
u (x 2) 0, v (y 2) 0= + = +³ ³
.
Suy ra
2
x 4x u 4+ = -
;
2
y 4y v 4+ = -
Hệ phương trình trở thành:
u v 18
S 18
P m 56
uv 4(u v) m 16
+ =
=
ì
ì
ï
ï
ï ï
Û
í í
ï ï
= +
- + = -
ï ï

+ ³
³
ï ï
ï
ï
î
î
-Û £ £
Vậy:
56 m 25- ££
Ví dụ 5. Tìm điều kiện m để hệ phương

Trang 12
Kinh nghiệm giảng dạy Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải hệ phương trình đối xứng
Phiếu trả lời 2.5
2 2 2
2 2
2(1 ) ( ) 2 2(1 )
( ) 4 ( ) 4
x y m x y xy m
x y x y
+ = + + − = +
 
⇔
 
+ = + =
 
Đặt
S x y, P xy= + =
, với

t 2t 1 m 0− + − =
có biệt số
'
1
m∆ =
•
2
t 2t 1 m 0+ + − =
có biệt số
'
2
m∆ =
Nếu
m > 0
thì
'
1,2
0∆ >
nên cả 2 phương
trình có 4 nghiệm do đó hệ phương trình có
4 nghiệm.
Vậy để hệ phương trình có đúng hai
nghiệm thì
m 0=
, khi đó
t x y 1; t x y 1= = = = = = −
Vậy
m 0=
thì hệ phương trình có đúng hai
nghiệm.

2
S 4P.³
Hệ phương trình trở thành:
2
2
S 2P 2(1 m) S 2
P 1 m
S 4
ì
- = + = ±
ì
ï
ï
ï
ï
Û
í í
ï ï
= -
=
ï ï
î
î
.
Hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
2
S 4P 4 4(1 m) 0 m 0- -³ Û ³ Û ³
Suy ra x, y là hai nghiệm của phương trình:
•
2

là giá trị cần tìm.
Phiếu trả lời 2.6
Đặt
S x y, P xy= + =
, với
2
S 4P.³
Hệ phương trình trở thành:
2
S P 2m 1

S.P m m
+ = +
ì
ï
ï
í
ï
= +
ï
î

Ví dụ 6. Tìm điều kiện m để hệ phương
trình
2
2 1
( )
x y xy m
xy x y m m
+ + = +

= = +
ì ì
ï ï
ï ï
Û Ú
í í
ï ï
= + =
ï ï
î î
=
= +
ì ì
ï ï
ï ï
Û Ú
í í
= + =
ï ï
ï ï
î î
Vậy để hệ có nghiệm duy nhất thì
0 0
=x y
m 1
⇔ =
Đặt
S x y, P xy= + =
, với
2

î
= = +
ì ì
ï ï
ï ï
Û Ú
í í
ï ï
= + =
ï ï
î î
=
= +
ì ì
ï ï
ï ï
Û Ú
í í
= + =
ï ï
ï ï
î î

Từ đó suy ra hệ phương trình có nghiệm
với mọi giá trị của m
Do tính đối xứng nếu
( )
0 0
;x y
là nghiệm của

u x=
và
3
v 1 x= −
em hãy cho biết điều kiện của u
và v. Đồng thời theo cách đặt đó ta suy ra
được hệ phương trình như thế nào ?
HS : Dựa vào bài toán ta thấy :
• Ta có tổng của hai biểu thức trong
căn bậc ba là x + 1 – x = 1.
• Nếu đặt
3
u x=
và
3
v 1 x= −
thì u
và v là hai số thực nào đó.
• Ta có :
+
3
u
= x và
3
v
= 1 – x.
VD1: Giải phương trình:
3 3
3
1

2
3
u v
2
(u v) (u v) 3uv 1

+ =



+ + − =
 
 

⇔
3
u+v =
2
19
u.v =
36








Trang 14







⇒
3
3
9 + 5
x =
12
9 - 5
x =
12

 

 ÷

 

 

 ÷

 

Vậy phương trình có tập nghiệm là:
S =

trường hợp này hệ phương trình mới trở về
hệ đối xứng loại 1) và thông thường vô
nghiệm.
• GV cho đại diện mỗi nhóm phân tích đề
bài và nêu cách giải của từng ví dụ
Hệ phương trình đối xứng loại 2
1. Phương pháp :
• Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
• Bước 2: Lấy (1) − (2) hoặc (2) − (1) ta
được: (x−y)g(x,y)=0. Khi đó ta được x−y=0
hoặc g(x,y)=0.
+ Trường hợp 1: x−y=0 kết hợp với
phương trình (1) hoặc (2) suy ra được
nghiệm.
+ Trường hợp 2: g(x,y)=0 kết hợp với
phương trình (1) + (2) suy ra nghiệm (trong
trường hợp này hệ phương trình mới trở về
hệ đối xứng loại 1) và thông thường vô
nghiệm.
CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
GV : Gọi 1 học sinh đại diện nhóm 1 đứng
tại chỗ và hỏi: Em hãy cho biết nội dung
VD1 yêu cầu gì ? Để giải quyết bài toán
này ta làm như thế nào ?
VD1:Giải hệ phương trình

Trang 15
Kinh nghiệm giảng dạy Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải hệ phương trình đối xứng
Học sinh đại diện nhóm 1:
• Đây là hệ phương trình đối xứng loại 2,

3 8 1
3 8 2
= +



= +


x x y
y y x
(I)
GIẢI
• Lấy (1) − (2) ta được:
2 2
2 2
(x - y)(x + xy + y + 5) = 0
x - y = 0
x + xy + y + 5 = 0

⇔


Trường hợp 1:
3
x = 3x + 8y
(I)
x = y

⇔

⇔



(hệ
này vô nghiệm)
Vậy hệ phương trình đã cho có tập
nghiệm:
{ }
S= (0,0); ( 11, 11); (- 11,- 11)
GV : Gọi 1 học sinh đại diện nhóm 2 đứng
tại chỗ và hỏi: Em hãy cho biết nội dung
VD2 yêu cầu gì ? Để giải quyết bài toán
này ta làm như thế nào ?
Học sinh đại diện nhóm 2:
• Đây là hệ phương trình đối xứng loại 2,
vì khi ta thay đổi vai trò của x bởi y và y
bởi x thì phương trình (1) của hệ biến thành
phương trình (2), đồng thời phương trình
(2) biến thành phương trình (1).
• Để giải hệ này ta làm như sau:
+ Đặt ĐK để phương trình có nghĩa.
+Dùng phương pháp đặt ẩn số phụ bằng
cách Đặt:
4
4
x - 1 = u 0; y - 1 = v 0≥ ≥
+ Biến đổi thu gọn được kết quả .
GV cho nhóm 2 thảo luận và giải VD2,
sau đó gọi 1 học sinh đại diện nhóm lên

Hệ phương trình trở thành

4 4
4 4
u + 1 + v = 1 u + v = 0
v + 1 + u = 1 v + u = 0
 
⇔
 
 

u = 0
v = 0

⇔


(Do u, v ≥ 0)
x = 1
y = 1

⇒


.
Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm
là: ( 1; 1)

Trang 16
Kinh nghiệm giảng dạy Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải hệ phương trình đối xứng

2
x - 2x + m = 0
và
2
y + m = 0
có nghiệm.
+ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi
và chỉ khi phương trình :
2
x - 2x + m = 0

có nghiệm kép và
2
y + m = 0
vô nghiệm
hoặc phương trình :
2
x - 2x + m = 0
vô
nghiệm và
2
y + m = 0
có nghiệm kép.
GV cho nhóm 3 thảo luận và giải VD3,
sau đó gọi 1 học sinh đại diện nhóm lên
bảng giải sau đó cho cả lớp nhận xét. GV
đánh giá lời giải và sửa chữa những sai
lầm ( nếu có)
VD 3: Cho hệ phương trình
2

x = y - y + m y + m = 0


⇔




⇔


 
 
 
 
 
 
⇔ ⇔
 
 
 
 
 
 
 
a) Hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ
khi:
'
x
'

x
'
y
'
x
'
y
Δ = 0
Δ < 0

Δ < 0
Δ = 0








⇔










Trang 17
Kinh nghiệm giảng dạy Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải hệ phương trình đối xứng
VD4 yêu cầu gì ? Để giải quyết bài toán
này ta làm như thế nào ?
Học sinh đại diện nhóm 4:
• Đây là phương trình vô tỉ .Để giải
phương trình này ta làm như sau:
+ Dùng phương pháp đặt ẩn số phụ bằng
cách Đặt
3
2x - 1 = t
⇒ 2x - 1 = t
3
.
⇒ t
3
+1 = 2x
+ Biến đổi thu gọn được kết quả .
GV cho nhóm 4 thảo luận và giải VD4,
sau đó gọi 1 học sinh đại diện nhóm lên
bảng giải sau đó cho cả lớp nhận xét. GV
đánh giá lời giải và sửa chữa những sai
lầm ( nếu có)
Giải:
Đặt
3
2x - 1 = t
⇒ 2x - 1 = t
3
.




⇒
x = 1
- 1 ± 5
x =
2





Vậy phương trình có 3 nghiệm là:
1;
- 1 ± 5
2
.
3. Củng cố và dặn dò: ( 5 phút/ 1 tiết ) :
Tiết 28:
 Củng cố từng phần qua mỗi dạng toán.
 Nắm vững phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại 1.
 Nắm vững phương pháp tìm giá trị của tham số để hệ phương trình có nghiệm.
Tiết 29:
 Củng cố từng phần qua mỗi dạng toán.
 Nắm vững phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại 1.
 Nắm vững phương pháp tìm giá trị của tham số để hệ phương trình có nghiệm.
 Xem laị 3 dạng toán vừa học và các ví dụ đã làm.
 Bài tập về nhà:( Làm các bài trong phiếu bài tập đề nghị)
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 1 :

+ =


x y y x
x x y y
4)
2 2
18
( 1)( 1) 72
+ + + =


+ + =

x x y y
xy x y

Trang 18
Kinh nghiệm giảng dạy Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải hệ phương trình đối xứng
5)
2 2
2 2
1
( )(1 ) 5
1
( )(1 ) 49

+ + =




− = −

x y
x x y y
8)
4 4
6 6
1
1
+ =


+ =

x y
x y
II. Gải hệ phương trình có tham số:
1. Giải và biện luận:
a)
2 2 2
4+ =


+ =

x y
x y m
b)
4 4 4

2. Tìm giá trị của m:
a)
( )
5 4 4
1
+ − =


+ − = −

x y xy
x y xy m
có nghiệm.
b)
2 2
2
1
+ + = +


+ = +

x y xy m
x y xy m
có nghiệm duy nhất.
c)
( )
( )
2
2 2


x xy y m
x y xy m
a Giải hệ phương trình khi m = 7/2.
b. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm.
5.
2 2
1+ + = +


+ =

x xy y m
x y xy m
a. Giải hệ phương trình khi m=2.
b. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x;y) với x >0, y >0.
III. Giải phương trình bằng cách đưa về hệ phương trình:
1. Giải phương trình:
4 4
1 18 3− + − =x x
.
2. Tìm m để mỗi phương trình sau có nghiệm:

Trang 19
Kinh nghiệm giảng dạy Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải hệ phương trình đối xứng
a.
1 1− + + =x x m
b.
− + + =m x m x m
c.

+ =




+ =


x y
x
y x
y
c.
3
3
1 2
1 2
+ =


+ =

x y
y x
d.
9 9
9 9

+ + =


2. Cho hệ phương trình
2
2
( ) 2
( ) 2
− + =


− + =

x x y m
y x y m
.
a. Giải hệ với m = 0.
b. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.
3. Tìm m để hệ:
3 2 2
3 2 2
7
7
= + −


= + −

x y x mx
y x y my
có nghiệm duy nhất.
4. Giải các phương trình:
a.

Kết quả:

Lớp Số lượng
Điểm xếp theo loại
Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém
10T 47 14 20 10 3 0
10T2 38 9 18 8 3 0
Nhận xét:
Lớp 10T( Năm học 2008- 2009)
• Đa số học sinh làm được bài.
• Có 13 học sinh làm câu b) chưa hoàn chỉnh, cụ thể chưa tìm được S và P trong
trường hợp tổng quát nên không sử dụng được điều kiện có nghiệm của hệ.
• Có ba học sinh do biến đổi sai nên có kết quả thấp.
Lớp 10T2( Năm học 2009- 2010)
• Đa số học sinh làm được bài.
• Có 11 học sinh làm câu b) chưa hoàn chỉnh, cụ thể chưa tìm được S và P trong
trường hợp tổng quát nên không sử dụng được điều kiện có nghiệm của hệ.
• Có ba học sinh do biến đổi sai nên có kết quả thấp.

Trang 21
Kinh nghiệm giảng dạy Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải hệ phương trình đối xứng
LỚP 10 T1( Năm học 2009- 2010)
Đề kiểm tra 15 phút :
Cho hệ phương trình:
( )
( )
2
2 2
4
2 1

Nhìn chung việc giải các hệ phương trình đại số là một công việc rất khó khăn và đòi
hỏi người học cần phải sáng tạo khéo léo phải biết sử dụng tất cả các kiến thức đã biết để
vận dụng vào việc giải toán. Để phát huy tính tích cực của học sinh, việc tiếp thu kiến thức
mới và công việc giải toán thì người thầy giáo phải là người tiên phong trong việc phát huy
tính tích cực của mình để tìm ra những phương pháp giải toán mới, tìm ra những công cụ
mới để ngày càng hoàn thiện hơn bản thân và cống hiến cho những người làm toán những
công cụ hữu hiệu để có thể đi sâu vào thế giới của toán học.
Trên đây là những kinh nghiệm giảng dạy về hệ phương trình đại số nhằm giúp cho
người học rèn luyện kỹ năng giải hệ phương trình đối xứng. Ngoài ra chúng ta phải biết
quan tâm, tận tụy dìu dắt và giúp đỡ các em học tập tạo cho các em có một niềm tin và tin
tưởng vào năng lực của mình trong học tập và nghiên cứu. Kết quả của các em có khả quan
hay không là do sự thể hiện nhiệt huyết cao của người thầy đối với học sinh.
Chúng ta dạy cho các em với mục đích “Lương tâm nghề nghiệp và tất cả vì học sinh
thân yêu”.
Nhơn sơn, ngày 25 tháng 05 năm 2010
Người viết

TRẦN ĐÌNH TOẢN

Trang 23
Kinh nghiệm giảng dạy Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải hệ phương trình đối xứng
Đánh giá của Hội đồng khoa học Trường THPT Lê Duẩn