Bài tập mặt cầu
1. Cho 2 na ng thng Ax v By vuụng gúc vi nhau v nhn AB = a ( a > 0) l on
vuụng gúc chung. Ly im M trờn Ax v im N trờn By sao cho AM = BN = 2a. Xỏc
nh tõm I v tớnh theo a bỏn kớnh R ca mt cu ngoi tip t din ABMN. Tớnh khong
cỏch gia 2 ng thng AM v BI.
2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên bằng a và mặt chéo SAC là tam giác
đều.
a. Tìm tâmvà bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
b. Qua A dựng mp(

) vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mp(

) và hình
chóp .
3. Cho tứ diện ABCD có AB = BC = CA = AD = DB = a
2
và CD = 2a.
a. CMR AB

CD. Hãy xác định đờng vuông góc chung của AB và CD.
b. Tính thể tích tứ diện ABCD.
c. Xác định tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
d. Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên mp(ABC). CM H là trực tâm tam giác ABC.
4. Cho tứ diện SABC có các cạnh bên SA = SB = SC = d và

ASB = 120
o
,

BSC = 60
o

vuông góc với mp(ABCD) và ở về cùng một phía với mp đó. Cho điểm M không trùng với A
trên Ax, cho điểm N không trùng với C trên Cy. Đặt AM = m, CN = n.
a. Tính thể tích của hình chóp B.AMNC (Đỉnh B, đáy AMNC).
b. Tính MN theo a, m, n và tìm điều kiện đối với a, m, n để góc

MIN vuông
8. Cho góc tam diện Sxyz với

xSy = 120
o
,

ySz = 60
o
,

zSx = 90
o
. Trên các tia Sx, Sy,
Sz theo thứ tự lấy các điểm A, B, C sao cho SA = SB =SC = a.
a. CMR tam giác ABC vuông. Xác định hình chiếu vuông góc H của S lên mp(ABC).
b. Tính bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện SABC theo a.
c. Tính góc phẳng của nhị diện [(SAC),(BAC)].
9. Trên mp(

) cho góc

xOy. Đoạn SO = a vuông góc với mp(

). Các điểm M, N chuyển

và CD = 2a.
a. CMR AB vuông góc với CD. Hãy xác định đờng vuông góc chung của AB và CD.
b. Tính thể tích tứ diện ABCD.
c. Xác định tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
d. Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên mp(ABC). CMR H là trực tâm tam giác ABC.
14. Xác định tâm và bán kính đờng tròn nội và ngoại tiếp tứ diện đều ABCD, cạnh a.
15. Cho tứ diện SABC, dáy là tam giác cân ABC, cạnh đáy BC = 2a, góc BAC = 2

; cạnh bên
SA hợp với đáy góc

sao cho hình chiếu của S xuống mặt đáy trùng với tâm O của đờng
tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
SABC.
16. Cho hình chóp tứ giác SABCD, đay ABCD là hình thang vuông tại A và B, với AB = BC =
a, AD = 2a, SA = a và SA vuông góc A (ABCD). Gọi E là trung điểm của AD. Xác định tâm
và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SECD.
17. Cho chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông, cạnh 2a, tâm O, mặt bên (SAB) là tam giác
đều và (SAB) vuông góc với mặt đáy. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hìn
chóp.
18. Cho tam giác ABC cân, góc ở đỉnh BAC = 30
0
, cạnh đáy BC = 4. Một mặt cầu O, bán kín
R = 5 chứa đờng trìn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC)
19. Cho tứ diện ABCD, AD = BC = 5, DB = AC = 12 và AD vuông góc với (ABC). Kẻ AH và
Ak lần lợt vuông góc với DB và DC. HK cắt (ABC) tại E. Chứng minh có một mặt cầu ngoại
tiếp chóp ABCKH và nhận EA làm tiếp tuyến.
20. Cho chóp tam giác đều SABC , đáy ABC là tam giác đều, cạnh a, mặt bên tạo với mặt đáy
1 góc