I ) Lý do chọn đề tài
Từ bài toán đơn giản không giải phơng trình tính tổng và tích 2 nghiệm của
phơng trình bậc 2 , học sinh có phơng tiện là hệ thức Vi ét để tính toán .
Hệ thức còn giúp học sinh xét dấu 2 nghiệm của phơng trình mà khong biết
cụ thể mỗi nghiệm là bao nhiêu .
Giải và biện luận phơng trình bậc 2 có chứa tham số là loại toán khó . Tiếp
tục bài toán này thờng kèm theo yêu cầu tính giá trị biểu thức , quan hệ
giữa 2 nghiệm , các phép tính trên 2 nghiệm của phơng trình . Việc tính
mỗi nghiệm của phơng trình theo công thức nghiệm là vô cùng khó khăn vì
phơng trình đang chứa tham số . Trong trờng hợp đó hệ thức Vi ét là 1
phơng tiện hiệu quả giúp học sinh giải loại toán này .
Cuối học kỳ 2 lớp 9 , thời gian gấp rút cho ôn thi học kỳ 2 và các kỳ thi
cuối cấp . Các bài toán cần áp dụng hệ thức Vi ét đa dạng có mặt trong
nhiều kỳ thi quan trọng nh thi học kỳ 2, thi tuyển sinh vào lớp 10 , thi vào
các trờng chuyên lớp chọn Trong bài viết này , tôi hy vọng đóng góp
thêm 1 số kinh nghiệm hớng dẫn học sinh làm quen và tiến tới giải tốt các
bài cần áp dụng hệ thức Vi - ét
II ) Nội dung đề tài
A) Kiến thức cơ bản
1) Nếu phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 ( a

0 ) có 2 nghiệm phân
biệt
1 2
,x x
thì tổng và tích hai nghiệm đó là:
S =
1 2
b

1,
c
x x
a
= =
3 ) Tìm 2 số biết tổng và tích của chúng
Nếu 2 số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì u và v là 2
nghiệm của phơng trình bậc hai :
2
0x Sx P
+ =
1
B ) Bài tập áp dụng và bài tập phát triển , nâng cao
1, Loại toán xét dấu nghiệm của phơng trình mà không giải phơng
trình
Bài tập 1:
Không giải phơng trình cho biết dấu các nghiệm ?
a)
2
13 40 0x x
+ =
b)
2
5 7 1 0x x
+ + =
c)
2
3 5 1 0x x
+ =
Giải

S =
1 2
7
0
5
b
x x
a

+ = = <
nên 2 nghiệm cùng dấu âm
c) P =
1 2
1
. 0
3
c
x x
a

= = <
nên 2 nghiệm trái dấu
S =
1 2
5
0
3
b
x x
a

S =
1 2
10x x+ =
nên nghiệm dơng có giá trị tuyệt đối lớn hơn
Bài tập 3
2
(Đề TS chuyên Hạ Long 1999 2000)
Cho phơng trình
2 2
( 1) 2 0x m x m m + =
(1) (với m là tham số)
a) Giải phơng trình trên với m = 2
b) Chứng minh rằng phơng trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu

m
c) Gọi 2 nghiệm của phơng trình đã cho là x
1
, x
2

Tìm m để biểu thức
3 3
1 2
2 1
x x
A
x x

= +
ữ ữ

2 4 4 2 4
ac m m m m m m m

= + = + = + + = +Có
2 2
1 1 3 3 3
0 1 1 1 0
2 2 4 4 4
m m P P m

+ <
ữ ữ

Vậy phơng trình (1) có 2 nghiệm trái dấu
m

c, Gọi 2 nghiệm của phơng trình đã cho là x
1
, x
2

Từ kết quả phần b có x
1
, x
2



x a
=

Có A = -a +
1
a
mang giá trị âm
A đạt giá trị lớn nhất <=> - A có giá trị nhỏ nhất
3
Có A = a +
2
1 1a
a a
+
=

áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm a và
1
a
( vì a > 0 và
1
0
a
>
)
Ta có:
1 1
( ) : 2 .
1
( ) : 2 1

a
a
a
a a a
a a
a a
a
a
= + =

=
=
+ =
+ =
=
=
( thoả mãn điều kiện a > 0 )
Với a = 1 thì
3
1 1
1 2
2 2
( ) 1 1
x x
x x
x x
= = =

Theo kết quả
1 2

2
tìm giá trị của m để
2 2
1 2
x x+
đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:
a ) Ta có a = 1 > 0

2 2
2
2
2 ( 2)
1 7
( )
4 4
1 7 7
( ) 0
2 4 4
c m m m m
m m
m
= + = +
= + +

= <
a, c trái dấu nên phơng trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi tham
số m
Theo hệ thức Vi ét P =
2

3 3 3
m= +
Vậy Min
( )
2 2
1 2
11
3
x x
+ =
khi m =
2
3

Bài tập 5:
Cho phơng trình
2 2
2 ( 2) 7 0x m x m
+ + =
Tìm giá trị dơng của m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có
giá trị tuyệt đối bằng nghịch đảo của nghiệm kia
Giải :
Ta có a = 2 > 0
Phong trình có 2 nghiệm trái dấu
2
7 0 7 7m m + < < <
Với điều kiện này giả sử x
1
< 0 ,x
2

2( 2) 5 3 0x m m + + + =
(1) với m là tham số
1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m phơng trình (1) luôn có 4 nghiệm
phân biệt
2) Gọi các nghiệm của phơng trình (1) là
1 2 3 4
, , ,x x x x
. Hãy tính theo m giá
trị của biểu thức M =
2 2 2 2
1 2 3 4
1 1 1 1
x x x x
+ + +
Giải :
1) Đặt x
2
= y ( ĐK : y

0 ) Pt (1) trở thành
2 2 2
2( 2) 5 3 0y m y m
+ + + =
(2)

2 2 2
4 2 2
4 2
2 2 2
2 2


Phơng trình (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt
Theo hệ thức Vi ét có
2
2
1 2
2( 2)
2( 2)
1
b m
S y y m
a
+
= + = = = +
6
2
, 2 2
( 2) (5 3)m m

= + +

2
1 2
. 5 3
c
P y y m
a
= = = +
Xét
2


cùng dấu dơng (thoả mãn ĐK y

0)
Vậy phơng trình (2) có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu dơng nên phơng trình
(1) có 4 nghiệm phân biệt đối nhau từng đôi một .
2) Theo kết quả phần a có
1 2 3 4
, , , 0x x x x

và
1 1 2 1
,x y x y
= =3 2 4 2
,x y x y
= =

2 2 2 2
1 1 2 2
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
M
y y y y
= + + +1 1 2 2

m m
+ +
= =
+ +
Kết luận:
2
2
4( 2)
5 3
m
M
m
+
=
+
Bài tập 7: (Đề tuyển sinh chuyên Hạ Long 1997 - 1998 ) ( 2,5 đ)
7
Cho phơng trình
2
2( 1) 0x m x m
+ + =
( mlà tham số)
a) Chứng minh : Phơng trình đã cho luôn luôn có nghiệm với mọi m
b) Trong trờng hợp m > 0 và
1 2
,x x
là các nghiệm của phơng trình nói trên
hãy tìm GTLN của biểu thức
2 2
1 2 1 2

m m
= + +
= + + +
2
1 3
( )
2 4
m
= + +
Vì
2
1
( ) 0
2
m
+
nên
2
1 3 3
( )
2 4 4
m
+ +
,
0 m Z
>
Phơng trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá
trị m
b)
2 2

1 2
,x x
1 2
,x x
tính theo m
2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
1 2
2 2 3( ) 6
.
x x x x x x x x
A
x x
+ + + +
=
8
=
2
1 2 1 2 1 2
1 2
( ) 2 . 3( ) 6x x x x x x
x x
+ + +
Thay S và P vào biểu thức A ta đợc :

2
2
(2 2) 2 3(2 2) 6
4 8 4 2 3(2 2) 6
m m m

>
)
1
2. 1
1
2
1
4( ) 8
m
m
m
m
m
m
+
+
+
Vậy biểu thức A có GTNN là 8
Trong bất đẳng thức Cô Si dấu bằng xảy ra

m =
1
m

2
1
1
m
m
=


Xét
2
(2 1) 4 ( 2)m m m
=

2 2
4 4 1 4 8
4 1
1
0 4 1 0
4
m m m m
m
m m
+ +
= +

+
Vậy điều kiện để phơng trình có 2 nghiệm là m
0
và m
1
4


Với điều kiện trên theo hệ thức Vi ét có

1 2
1 2b m

0
1
4
m
m







)

2
1 2 2
( ) 3 4
m m
m m

=

2
2
2 2 2
2
2
1 4 4 3 6
4
1 4 4 3 6 4

0
và m
10
1
4


)
Vậy với m = 1 thì phơng trình (1) có 2 nghiệm
1 2
,x x
thoả mãn
2 2
1 2 1 2
4x x x x
+ =
c) Gọi n
*
N
ta có m = n( n + 1 ) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp
( TMĐK m

0 )
d) Theo kết quả phần a ta có
2 2
4 1 4 ( 1) 1 4 4 1 (2 1)m n n n n n
= + = + + = + + = +
0

vậy phơng trình luôn có nghiệm với mọi m

n n n n n
n n n n n
+
= = =
+ +
+ +
= = =
+ + +
Vì n
*
N
nên 1- n
Z
và n
*
N
=>
1
1 n
x
n

=
là phân số
Q
tử n +2
*
N
và n +1
*

=
Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt là
1 2
11 3 11 3
7;
2 2
x x
+
= = =
= 4
Vậy x = 7 thì y = 4
x = 4 thì y = 7
b) Ta có
5 ( ) 5
6 ( ) 66
x y x y
xy x y
= + =



= = có x , y là nghiệm của phơng trình x
2
- 5x - 66 = 0
2
4b ac
=


7
* Trờng hợp x + y = 7 và xy =12
Ta có x và y là nghiệm của phơng trình x
2
- 7x +12 = 0
2
4b ac
=
= 49 4.12 = 1
1 2
7 1 7 1
4; 3
2 2
x x
+
= = = =
* Trờng hợp x + y = - 7 và xy =12
Ta có x và y là nghiệm của phơng trình x
2
+7x +12 = 0
Giải phơng trình ta đợc x
3
= -3 ; x
4
= - 4
các cặp số x, y cần tìm là (4 ; 3) ; (3 ; 4) ;(- 4 ; - 3) ; ( -3 ; -4)
4 ) Loại toán tìm biểu thức liên hệ giữa tổng tích 2 nghiệm không phụ thuộc
tham số :
Bài tập 11 : Cho phơng trình x

M
x x x x x x x x

+
+

= =
+ +
Theo hệ thức Vi ét có
1 2 1 2
; . 1S x x a P x x a
= + = = =

Vậy
[ ]
2
3 2( 1) 1
3 ( 1)( 1) 2( 1)
( 1) ( 1)
a a
a a a
M
a a a a


+

= =
C) Các bài tập t ơng tự
Bài tập 1 : Không giải phơng trình cho biết dấu các nghiệm ?
a) x
2
- 6x +8 = 0
b) 11 x
2
+13x -24 =0
c) 2 x
2
- 6x + 7 = 0
Bài tập 2 : Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của k , phơng trình
a) 7 x
2
+ kx -23 = 0 có 2 nghiệm trái dấu
b) 12 x
2
+70x + k
2
+1 = 0 không thể có 2 nghiệm trái dấu
c) x
2
- ( k +1)x + k = 0 có một nghiệm bằng 1
Bài tập 3 : Giải các phơng trình sau bằng cách nhẩm nhanh
a) mx
2
- 2(m +1)x + m + 2 = 0
b) (m -1) x
2
+ 3m + 2m + 1 = 0

+ +
=
+
Hớng dẫn giải:
a) Với m = 5 phơng trình trở thành x
2
-5x +1 = 0

= 21 , phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
1
(5 21)
2
x
+
=
,
2
5 21
2
x

=
b)Với m =
5
, ta có phơng trình bậc hai :
2
5 1 0x x + =
Theo hệ thức Vi ét :
1 2
5S x x

x x x x
x x x x x x
+ +
=

+ +

+
=

+

Thay S và P vào A ta đợc :
14
3
A
=
Bài tập 6 :( đề thi học sinh giỏi lớp 9 thị xã Hà Đông , Hà Tây 2003 -2004)
(4đ)
Cho phơng trình bậc 2 ẩn x :
2 2
2( 1) 2 3 1 0x m x m m
+ + =
(1)
a) Chứng minh rằng phơng trình có nghiệm khi và chỉ khi
0 1m

b) Gọi
1 2
,x x

P x x m m
= + =
= = +
2 2
1 2 1 2
. 2( 1) 2 3 1 2 1Q x x x x m m m m m
= + + = + + =

2 2
1 1 9
2 2 ( )
2 2 4 16
m
m m
= =
Vì
2
1 1 3 1 9
0 1 ( )
4 4 4 4 16
m m m

do đó
2
1 9
( ) 0
4 16
m

2 2

Theo định lý Vi ét ta có
1 2 1 2 1 2
5 1 1
;
2 2
2
x x x x x x
+ = = =
Ta có
1 2 2 1 1 2 1 2
( )A x x x x x x x x
= + = +
Nếu
2
1 2 1 2 1 2
5 5 2 2
2 2
2 2
S x x S x x x x S
+
= + = + + = + =
Do đó A =
1 2 2 1
x x x x
+
15

1 5 2 2 1
5 2 2
2 2

2 2
m
m
m

b)Theo định lý Vi ét có
2
1 2 1 2
2
;
2
m
x x m x x

+ = =
Do đó ta có
1 2 1 2
2 4 ( 2)( 3)A x x x x m m
= + + = +
Vì
[ ]
2; 2m

nên (m + 2)(m - 3)

0
Khi đó

2 2 3 0x mx m + =
có hai nghiệm cùng dấu .Khi đó
hai nghiệm cùng dấu âm hay cùng dấu dơng ?
Hớng dẫn giải:
1)
,
4 1 0
= >
nên phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
2 2 2
1 2 1 2
( ) 2 4 2.1 14
( ) 1
S x x x x x x
P x x x x
= + = + = =
= = =
16
vậy phơng trình cần tìm là x
2
- 14x +1 = 0
2) Phơng trình có 2 nghiệm cùng dấu
2
, 2
1 2
( 1) 2 0
2 3 0
3

vói m là tham số
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm là x
1
, x
2
thoả mãn
2 2
1 2 1 2
4x x x x+
b) Chứng minh rằng nếu m là tích của hai số tự nhiên liên tiếp thì phơng trình có
nghiệm hữu tỉ
III) Ph ơng pháp tiến hành
Trong giờ học chính khoá tôi lồng ghép các bài tập cùng lời giải mẫu, cơ sở giải
theo từng phơng pháp để học sinh hình thành kỹ năng giải từng loại toán này .
Cho học sinh thực hành bài tập tơng tự ngay tại lớp .
Đặc biệt , trong các giờ luyện tập , ôn tập chơng giáo viên tiếp tục cho học sinh
giải các bài tập nâng cao , làm thử các đề thi tuyển sinh chuyên chọn . Qua đó
học sinh thấy đợc tầm quan trọng của loại toán này , tự rèn luyện tạo kỹ năng
cho mình .Bằng rèn luyện thực hành giải bài tập , học sinh cách giải các bài tập
phức tạp hơn . Các em đợc nâng cao kiến thức , hình thành kỹ năng phản xạ khi
gặp các bài toán tơng tự .
IV) Phạm vi , đối t ợng nghiên cứu
Học sinh khối lớp 9 trờng THPT Hòn Gai
V) Tổng kết và rút kinh nghiệm
Qua áp dụng vấn đề nêu trên vào giảng dạy ở khối lớp 8 , kết quả thu đợc là học
sinh đã hình thành , định hớng đợc cách giải loại toán này . Bằng phơng pháp gợi
mở nêu vấn đề , các câu hỏi dẫn dắt , các em tự phát hiện ra hớng giải cho từng
bài tập . Giáo viên tạo hứng thú , phát triển trí thông minh sáng tạo cho học sinh .
Các tài liệutham khảo khi giảng dạy loại toán cần áp
dụng hệ thức Vi ét