HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
Trang 1
BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA
DẠNG : RÚT GỌN
I. LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ NGUYÊN
Bài 1: Đơn giản các biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa )
a.
1
22
3
4 3 3 4
1
2 2 1
3
:
2
y x y
x x y xy y
D x y x y
x xy y x x y
1
1
2
2 2 3 3
3
3
4 3 3 4
1
2
2 2 1
3
1
:3
2
y x y x y x y
x y x y
x x y xy y
D x y x y xy
x xy y x x y x y x y
xy
22
1 1 2 2
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
11
22
2 3 3
4 9 4 3 4 9 4 3
9
2 3 1
23
aa
a a a a a a a
Ba
aa
aa
a a a a a
aa
a x a x
B xa
a x a x
Giải
a.
22
22
4
n n n n
n n n n n n n n n n
n n n n n n
n n n n
n n n n
n n n n
n n n n
a b b a
a b a b a b b a a b
A
B xa
a x a x x a x a
LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỶ
Bài 1. Cho a,b là các số dương .Rút gọn biểu thức sau
2
11
22
. 1 2 :
ab
a a b
ba
2
11
. 1 2 : 1 : .
ba
a b a
a a b a b
b a b b b
ab
.
b/
11
1 9 1 3
22
42
4 4 2 2
1 5 1 1 1 1
33
33
:2
ab
ab
ba
Giải
a/
22
2 2 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
33
a b a b ab a b a a b b a b a b
Bài 3.Đơn giản các biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa )
a.
3
2
11
3
2
44
3
3
:
a b a
A a b
ba
ab
3
31
2
1 1 1 1 1 1
22
3
2
22
4 4 4 4 4 4
31
2 3 3
11
3
3
3
22
44
11
: : :
a b a a b a a a b
A a b a b a b
a b b ab
ba
ab
ba
ab a b
2
2
2
2: 0
2
44
2: 0
4
4
4
2
4
a
a
aa
B
a
a
a
a
a
a
a
a
3,92x
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
Trang 3
b.
5
3
3
5
2
22
10
5
2 27
3 32 2 .3
23
y
By
y
Với x=
2 2 2
3,92 3,92 4 0,08 2 4 0,16x x x
5
3
3
1
1
5
5
2
3
3
1
5
33
8
. 1 2
24
a a b b
Aa
a
a ab b
ĐS: A=0
b.
1 1 1 1
3 3 3 3
1 1 2 1 1 2
3 3 3 3 3 3
82
6
2 4 2
b a a b a b
B
a b a a b b
a ab b a a b b a b
22
22
33
33
2 1 1 2 2 1 1 2
3 3 3 3 3 3 3 3
88
0
8
2 4 2 4 8
a a b a a b
aa
ab
a a b a b a b a b b
2
2 1 1 2 1 1
3 3 3 3 3 3
22
33
33
11
33
4 2 2
8 8 6
6 6 8
2
b a b a a b
b a b a ab
a b ab
a.
1
51
3 7 1 1
2
33
2 4 4 2
A= 3 .5 :2 : 16: 5 .2 .3
( đáp số : A= 15/2 )
b.
1
1
2
43
0,25
1
2 2 2
b/
13
1 4 2.
a b a b
A a b
a a b a b
b.
3 3 3 3
4 4 4 4
11
22
a b a b
B ab
ab
1 1 1
2 2 2
1 1 1
2 2 2
b a b b
a
a a b
Bài 8 .a. Rút gọn các biểu thức sau :
3 3 1 1
1
2 2 2 2
2
11
22
ax
x a x a
C
xa
xa
(đáp số C=1)
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
Trang 5
. b. Chứng minh :
x a x a
2
11
22
2
3 3 3 3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 4 2 4 2 2 4 4 2 2 2 8 4 4 8 8 4 6 6 4 8
2 2 2a b a a b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b
Bài 9.
a. Không dùng bảng số và máy tính hãy tính :
33
847 847
66
27 27
( đáp số : =3 )
b. Chứng minh rằng :
8
4
8
4
8
8
1
3 2 3 2 3 2
32
Giải
a/ Đặt y=
3
88
4 4 4
1 3 2 3 2 3 2 3 2 ; 3 2 3 2 3 2VP
3 2 3 2 3 2 1 VT
Bài 10 .Viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ các biểu thức sau :
5
3
. 2 2 2aA
. b.
11
16
:0B a a a a a a
c.
2
4
3
0C x x x
d.
5
3
0
ba
D ab
b/
1
11
2
1
15
11
22
11 11 11 7 11
3 3 1
2
16
22
1
1
16 16 6 8 16
2 4 4
11
16
: . : . : :
a
B a a a a a a a a a a a a a a a
a
b.
24
4
.:a a a
c.
3
3
a
d.
3
2. 1,3 3 2
.:a a a
Giải
a.
21
21
2 2 1 2 1 2
1
.a a a a a a
a
aa
a a a a
a
Bài 2. Đơn giản các biểu thức :
a.
2 2 2 3
2
23
1
ab
ab
b.
2 3 2 3 3 3 3
4 3 3
1a a a a
aa
(đáp số :
3
1a
)
c.
2 3 2 3
2 2 2 3 2 3 2 3 2
22
23
23
2 3 2 3
2
11
a b a b
a b a b a b a
ab
ab
a b a b
b/
2 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3
3
d/
1
22
22
4 2 4a b ab a b a b a b a b a b
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
Trang 7
DẠNG : SO SÁNH CÁC CẶP SỐ
Nếu hai số là hai căn không cùng chỉ số , thì ta phải đưa chúng về dạng có cùng chỉ số ,
sau dó so sánh hai biểu thức dưới dấu căn với nha .
Nếu hai số là hai lũy thừa , thì ta phải chú ý đến cơ số , sau đó sử dụng tính chất của lũy
thừa dạng bất đẳng thức .
35
30 20
. Ta có
15 15
55
3
35
15 15
33
5
30 30 243.10
30 20
20 20 8.10
b/
3
4
57
. Ta có :
3
12
4 12
17 28
28 28 784
d/
5
4
13 23
. Ta có :
20
5
20
4
5
4
20
4
5 20
13 13 371.293
13 23
23 23 279.841
Bài 2. Hãy so sánh các cặp số sau :
a.
1,7 0,8
22
b.
1,7 0,8
11
22
c.
1,2 2
33
22
d.
5
2
5
1
7
01
2
do
c/
1,2 2 1,2 2
1,2 2
3 3 3 3
;:
3
2 2 2 2
01
2
do
;
e/
2
2,5
2,5 6,25
12 12
12 6,25
1
2 ; : 2 2 2
2
21
do
Bài 3. Chứng minh :
20
30
2 3 2
Giải
Ta có :
20 20
20
30
30
30
2 1 1
2 3 2
3 1 1
Bài 4. Tìm GTLN của các hàm số sau .
Do vậy :
1
44
4
3 3 3 3
xx
y GTLNy
b/
2
sin
0,5
x
y
. Vì :
22
2 sin 1 sin
11
0 sin 1 0 0,5 0,5 0,5
22
xx
x y GTLNy
2 2 2 0
22
xx
xx
GTNNy
y x x x
b/
13
1 3 1 3 2
22
2 2 2 2 2 2 4 min 4 2
13
xx
x x x x
y y x
xx
2
1
12
2
1
x
x
xx
y e e e e x
VẼ ĐỒ THỊ
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
Trang 9
Bài 1. Hãy vẽ đồ thị của mỗi cặp hàm số sau trên cùng một hệ trục
a.
1
4
4
y x y x
b.
55
y x y x
2 2 1 2 2 1
11
2 2 2 2 2
22
xx
x x x x
xx
x x x x
xx
1 1 2 2
12
12
y
e
c.
3
32
x
y
d.
1
3
32
x
x
y
. Do
22
01
x
y
ee
Là một hàm số nghịch biến
c/
3
32
x
y
. Do
33
3 3 2 1
3 2 3 2
x
y
là một hàm số đồng biến (
3 2 3
)BÀI TẬP VỀ LÔ-GA-RÍT
I. SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VỀ LOGARIT
Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau :
a.
1
2
1
log
5
x
y
x
b.
2
15
5
1
log log
3
x
d.
2
12
2
1
log log 6
1
x
y x x
x
e.
2
2
1
lg 3 4
6
y x x
xx
g.
1
log 0
12
1
1 0 0 1
1
1
11
1
1
1 1 1 1
0
0
1
1
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
x x x x
x
x
1;
b/
2
15
5
1
log log
3
x
y
x
. Điều kiện :
2
2
15
2
3
22
5
2
2
1
2
125 7
11
log 4
log 8 log 2
42
81 25 .49
b.
25
4
1
log 3 3log 5
1 log 5
2
16 4
c.
77
3
1
log 9 log 6
log 4
2
42
81 25 .49 3 5 7
=
5
37
1
2 .3log 2
1 log 4 log 4
3
3
3 5 7 4 4 19
4
log 9 log 6
log 4
log 9 2log 6 2log 4
2
91
72 49 5 72 7 5 72 18
36 16
4,5=22,5
d/
6 9 6
log 5 log 36 log 25
1 lg2 log5
36 10 3 6 10 25 5 30
II. SỬ DỤNG CÁC CÔNG THỨC VỀ LO-GA-RÍT
Bài 1. Tính giá trị của các biểu thức sau :
a.
9 9 9 9 9 3
15.18 1 3
log 15 log 18 log 10 log log 3 log 3
10 2 2
A
b/
24
3
1 1 1 1 1 3
3 3 3 3 3
1 36.45
2log 6 log 400 3log 45 log log 9 log 3 4
2 20
B
c/
36 1 6 6 6
6
1 1 1 1 1
log 2 log 3 log 2 log 3 log 2.3
2 2 2 2 2
C
d/
1
log log 216 2log 10 4log 3
3
x
Giải
a/
2 2 2 2 2
1
log 2sin log os log 2sin . os log sin log 1
12 12 12 12 6 2
A c c
b/
33
3 3 3 3 3 3 3 3
4 4 4 4
log 7 3 log 49 21 9 log 7 3 49 21 9 log 7 3 1B
log log
log
1 log
aa
a
bx
bx
x
2
1
1 1 1
log log log 2log
k
aa
aa
kk
x x x x
Giải
a/
2 3 4 2011
Vế trái :
ax
log log log
log
log ax 1 log
a a a
aa
bx b x
bx VP dpcm
x
Chứng minh :
2
1
1 1 1
log log log 2log
k
aa
aa
kk
x x x x
5
log
a
B a a a a
c.
53
32
1
4
log
a
a a a
aa
d.
0 0 0 0
logtan1 logtan2 logtan3 logtan89
e.
3 4 5 15 16
log 2.log 3.log 4 log 14.log 15A
Giải
a/
11
3
3
5
25
1 1 37
c/
32
1
53
32
53
1
11
4
24
34 3 91
log log
15 4 60
a
a
a a a a
aa
a
Bài 5. Chứng minh rằng :
a.Nếu :
2 2 2
; 0, 0, 0, 1a b c a b c c b
, thì :
log log 2log .log
c b c b c b c b
a a a a
b. Nếu 0<N
1
thì điều kiện ắt có và đủ để ba số dương a,b,c tạo thành một cấp số nhân ( theo
thứ tự đó ) là :
log log log
, , 1
log log log
a a b
c b c
N N N
abc
N N N
c. Nếu :
log ,log ,log
2 log log
aa
a c b c b c b c b c b
11
2 2log .log log log
log log
c b c b c b c b
c b c b
a a a a
aa
b/ Nếu 3 số a,b,c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân thì ta có :
2
b ac
Lấy lo ga rít cơ số N 2 vế :
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
Trang 13
1 1 1 1
2log log log
log log log log
N N N
b a c b
b a c
N N N N
x z y x z
d/ Nếu :
2
2
22
79
3
ab
a b ab a b ab ab
. Lấy lê be 2 vế ta có :
ln ln
2ln ln ln ln
3 3 2
a b a b a b
ab
. Biết :
2
log 14 a
Giải
a/
6
log 16A
. Từ :
3
12 3 3
33
log 27
3 3 3 3
log 27 log 4 1 log 2
log 12 1 log 4 2
xx
xx
x x x
(*)
Do đó :
4
33
6
33
log 2 4log 2
d/ Ta có :
27 3 3 8 2 2
11
log 5 log 5 log 5 3 ; log 7 log 7 log 7 3
33
a a b b
(*)
Suy ra :
2 3 2
2 2 2
6
2 2 2
31
log 3.log 5 log 7
log 5.7 log 5 log 7
.3 3
log 35
log 2.3 1 log 3 1 log 3 1 1
ba
b a b
D
bb
2
log log 1
2 2 4
2 2 2
1
log 2 log log
2
x
x
B x x x x
c.
log log 2 log log log
a p a ap a
C p a p p p
Giải
a/
2
log 1
log log 2 log log log 1 1 log 1
log
a
a b a ab b ab
a
1 log
log log
a
b
aa
b
a
bb
b/
2
2
log log 1
2 2 4
2 2 2 2 2 2 2
11
log 2 log log 1 2log log log 1 4log
22
x
x
B x x x x x x x x
2
3
log 1
log
log log
log 1 log
a
a
aa
aa
p
p
pp
pp
Bài 3. Trong mỗi trường hợp sau , hãy tính
log
a
x
, biết
log 3;log 2
aa
bc
:
b/Ta có :
4
3
3
1 1 2 28
log log 4 log 3log 4 2 6 10
3 3 3 3
a a a a
ab
x c c
c
c/ Ta có :
22
4
4
3
1 1 1 3 1 161
log log 2 log 2log 4log log 2 4 12 1
4 3 2 4 3 12
a a a a a a
a bc
x b c b c
Trong ba số :
2 2 2
log ;log ;log
a b c
b c a
c a b
b c a
luôn có ít nhất một số lớn hơn 1
Giải
a/ Từ giả thiết :
2
2 2 2 2
3 0; 9 10 6 9 4 3 4a b a b ab a ab b ab a b ab
Ta lấy log 2 vế :
1
2log 3 2log2 log log log 3 log2 log log
2
a b a b a b a b
b/ Chứng minh :
22
log log
aa
bc
cb
Chứng tỏ trong 3 số luôn có ít nhất một số lớn
hơn 1
IV. BÀI TẬP VỀ SO SÁNH
Nếu so sánh hai loga rít có cùng cơ số thì ta chú ý đến cơ số trong hai trường hợp (0;1)
và lớn hơn một để so sánh hai biểu thức bị lo ga rít hóa với nhau
Trong trường hợp hai lo ga rít khác cơ sô , khác biểu thức bị lo ga rít hóa thì ta chọn
một số b nào đó . Sau đó ta so sánh hai lo ga rít với số b . Từ đó suy ra kết quả
Ví dụ 1: so sánh hai số :
34
1
log 4 log
3
. Ta có :
3 3 4 4 3 4
11
log 4 log 3 1;log log 4 1 log 4 log
33
Ví dụ 2. So sánh :
66
log 1,1 log 0,99
37
. Ta có :
f.
21
2
2log 5 log 9
28
g.
24
5
log 3 log
11
4 18
h.
31
9
8
log 2 log
9
95
k.
6
6
1
log 2 log 5
b/
53
34
32
log log
45
. Ta có :
55
33
35
43
33
44
5 3 3
1 0 1 log log 1 0
3 4 4
23
log log
3 2 2
54
0 1,0 1 log log 1 0
4 5 5
1
2
log log 1 3 3 3 1
2
d/
32
log 2 log 3
. Ta có :
3 3 3 3
23
2 2 2 2
log 1 log 2 log 3 0 log 2 1
log 3 log 2
log 2 log 3 log 4 1 log 3 2
2
25
2log 5 log 9
log
9
2 1 2 2 2
2
25 25
2log 5 log 9 log 25 log 9 log 2 2
99
Nhưng :
21
2
2
2log 5 log 9
2
25 25 625 648
8 2 8
9 9 81 81
g/
24
5
log 3 log
11
18 4 18
5 5 5
h/
31
9
8
log 2 log
9
95
. Ta có :
31
3
33
39
9
8
2.3
8
8
log 2 log
log
log 2 log
2log 2 log
9
8
Ta có :
6
6
6
6 6 6
1
log 2 log 5
1
2
log
log 2 log 5 log 10
3
10
3
1 1 1
6 6 6 18
6 10 1000
Bài 2. Hãy so sánh :
a.
25
log 10 log 30
b.
37
33
37
77
log 5 log 3 1
log 5 log 4
log 4 log 7 1
c/
3
1
2ln 8 lne
e
. Ta có :
3
3
2ln 2.3 6
1
8 ln 2ln
1
8 ln 8 1 9
e
e
e
e.
1
log3 log19 log2
2
f.
5 7 log5 log 7
log
22
Giải
a/
13
2
1
log 3 log 2
2
. Ta có :
13
2
3
3
1 1 1
log 3 log 2 *
1
1
log 7 log 4 log 7.log 4 log 4
4 7 7 7
. Vậy 2 số này bằng nhau
c/
37
log 7 log 3 2
. Ta có :
3 3 7 3
3
1
log 7 0 log 7 log 3 log 7 2
log 7
d/
22
log 5 log 3
35
. Ta có :
2
5 2 5
22
log 5
log 3 log 5.log 3
log 5 log 3
3 5 5 5
e/
1
. Ta có :
5 7 5 7 log5 log 7
5. 7 log log 5. 7
2 2 2
Bài 4. Hãy so sánh :
a.
33
65
log log
56
b.
11
33
log 9 log 17
c.
11
22
log loge
d.
22
53
log log
22
log log
56
56
31
b/
11
33
log 9 log 17
. Ta có :
11
33
1
01
log 9 log 17
3
9 17
HÀM SỐ LO-GA-RÍT
I. ĐẠO HÀM :
Bài 1. Tính đạo hàm các hàm số sau :
a.
2
22
x
y x x e
b.
2
sinx-cosx
x
ye
c.
xx
xx
ee
y
ee
d.
2
c/
22
4
'
x x x x x x x x
xx
xx
x x x x
e e e e e e e e
ee
yy
ee
e e e e
d/
2
2
2
Bài 2. Tính đạo hàm các hàm số sau :
a.
22
ln 1y x x
b.
2
2
log 1xx
c.
3
2
lnyx
d.
2
4
log
4
x
y
x
a/
23
2 2 2 2
22
ln 1 ' 2 .ln 1 2 .ln 1
2 1 2 1
x x x
y x x y x x x x
xx
b/
2
2
2
21
log 1 '
1 ln2
x
2
2
4 1 16 4 16
log ' :
4 ln2 4
4 ln2
4
xx
yy
xx
x
x
e/
f/
11
1 1 1
log ' :
ln10
2 16 2
8 ln10 1
xx
xx
yy
x x x x
xx
II. GIỚI HẠN
Bài 1. Tìm các giới hạn sau :
d.
5 3 3
0
lim
2
x
x
ee
x
e.
0
1
lim
11
x
x
e
x
f.
3
0
00
ln 3 1
3
ln 3 1
3
3
lim lim
sin 2
sin 2 2
2
2
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
, c/
00
ln 4 1 ln 4 1
lim lim4 4
, e/
00
11
lim lim 1 1 1.2 2
11
xx
xx
ee
x
x
x
Bài 2. Tìm các giới hạn sau
a.
0
ln 2 1
lim
tan
x
x
x
xe x
e.
0
sin3
lim
x
x
x
f.
2
0
1 os5
lim
x
cx
x
Giải
a/
2
x x x x
x x x
e e e e
xx
x
c/
33
00
11
lim lim3 3
3
xx
xx
ee
xx
d/
1
11
1
lim lim 1 lim 1
1
x
2
00
5
2sin
1 os5 25
2
lim lim
2
45
25 2
xx
x
cx
x
x
Bài 3. Tìm các giới hạn sau :
a.
2
0
osx os3
lim
sin
x
sin
4
x
x
x
Giải
a/
2
2 2 2
0 0 0
2sin2 sin
osx os3 4cos .sin
lim lim lim 4
sin sin sin
t x x t t t
ct
t
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
Trang 20
2
2sin
2
tan
t
2
2sin os
22
t
t
t
c
x
x
. Đặt :
0
;0
13
lim 2 sin lim 6 3 3
31
2 2 3 6 3
xt
xt
t x t
x t t
xx
xt
2 1 ost+sint
2 2cos
4
4
sin sint
sin
4
x t x t
xt
t
c
x
t
x
Vậy :
4
2 2cos
lim lim 2 tan 2 2
2
sin
4
to
x
xt
x
Copyright: Tài liệu đại học ©