BD HSG Toán 8
1
Câu 1: (2 điểm) Phân tích thành nhân tử
a) a(x
2
+ 1) x(a
2
+ 1)
b) x 1 + x
n + 3
x
n
HD:
a). a(x
2
+ 1) x(a
2
+ 1) = ax
2
a
2
x + a x = ax(x a) (x a) = (x
a)(ax 1).
b). x 1 + x
n
(x
3
1) = (x 1)[1 + x
n
(x
2

xy(x y) x y
y xy x xy x y xy x y + +
= + = =
ữ
ữ

+ Câu 3: (1,5 điểm) Rút gọn biểu thức:
x y
A
x y
+
=
+
HD:
+ Điều kiện xác định: (
x y
).
+ Xét 4 trờng hợp:
x y x y
*Nếu x 0;y 0 B 1; *Nếu x 0;y 0 B 1;
x y x y
x y x y
*Nếu x 0;y 0 B ; *Nếu x 0;y 0 B
x y x y


Câu 5: (3,5 điểm)
Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E, trên tia đối của tia
CB lấy điểm F sao cho AE = CF.
a)Chứng minh rằng tam giác EDF vuông cân.
b)Gọi O là giao điểm hai đờng chéo AC và BD; I là trung điểm của EF; Chứng
minh rằng ba điểm O, C, I thẳng hàng.
HD:
2
Câu 1:
Cho đa thức : P(x) = 2x
4
7x
3
2x
2
+ 13x + 6
a)Phân tích P(x) thành nhân tử.
Nguyễn Văn Quốc THCS Gio Hải
BD HSG Toán 8
b)Chứng minh rằng P(x) chia hết cho 6 với mọi x

Z.
HD:
a). P(x) = 2x
4
7x
3
2x
2

Câu 2:
Cho hình bình hành ABCD (AC > BD). Vẽ CE

AB, CF

AD.
Chứng minh rằng AB.AE + AD.AF = AC
2

Câu 3: Cho phân thức
4 3 2
4 3 2
x x x 2x 2
F(x) (x Z)
x 2x x 4x 2
+
=
+
a)Rút gọn phân thức.
b)Xác định giá trị của x để phân thức có giá trị nhỏ nhất.
Câu 4:
Cho tam giác vuông ABC, cạnh huyền BC = 289 cm và đờng cao AH = 120
cm. Tính hai cạnh AB và AC.
Câu 5: Cho 3 số dơng a, b, c.
Chứng minh rằng:
1 1 1
(a b c) 9
a b c

+ + + +

3b
2
+ 5ab = 0 và 9a
2
b
2


0.
Câu 4: Cho biểu thức:
4 3
4 3 2
1
P
2 1
+ + +
=
- + - +
x x x
x x x x
a)Tìm điều kiện xác định của P.
b)Rút gọn P.
c)Với giá trị nào của x thì biểu thức P có giá trị bằng 2.
Câu 5: Cho hình bình hành ABCD (BC//AD) có góc ABC = góc ACD.
Biết BC = 12m, AD = 27m, tính độ dài đờng chéo AC.
Câu 6:
Cho tam giác ABC, M là trung điểm cạnh BC. Từ một điểm E trên cạnh BC ta
kẻ đờng thẳng Ex // AM. Ex cắt tia CA ở F và tia BA ở G.
Chứng minh EF + EG = 2AM.
4 Câu 1:Rút gọn biểu thức:

Câu 4: Cho biểu thức: A = x
2
+ 6x + 15
a)Chứng minh rằng A luôn dơng với mọi x.
b)Với giá trị nào của x thì A có giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất, tìm giá trị nhỏ
nhất hay lớn nhất đó.
Câu 5: Cho tứ giác ABCD, gọi M, N là trung điểm hai cạnh đối diện BC và
AD. Cho
AB DC
MN
2
+
=
. Chứng minh rằng ABCD là hình thang.
Câu 6: Cho hình bình hành ABCD, trên đờng chéo AC lấy một điểm I. Tia DI
cắt đờng thẳng AB tại M, cắt đờng thẳng BC tại N.
Chứng minh a)
AM DM CB
AB DN CN
= =
; b) ID
2
= IM.IN.
5
Câu 1: Cho a, b, c là số đo ba cạnh của một tam giác, chứng minh rằng:
a
2
b + b
2
c + c

= BD.
6
Câu 1: Cho a b = 7.
Tính giá trị của biểu thức: a
2
(a + 1) b
2
(b 1) + ab 3ab(a b + 1)
Câu 2: Thực hiện phép tính bằng cách nhanh nhất:
2
6 3
7 2
2 1 6
9 3


ữ

x x
Câu 3: Cho biểu thức B =
3
2
2 a 8 2
a :
1 0,5a a 2
2a a


+ +
ữ

2
+ 12ab + 4a 6b + 13

0. Đẳng thức xảy ra
khi nào?
Câu 3: ở bên ngoài của hình bình hành ABCD, vẽ hai hình vuông ABEF và
ADGH.
Chứng minh:
1) AC = FH và AC vuông góc với FH.
2) Tam giác CEG vuông cân.
Câu 4: Cho đa thức: P(x) = x
4
+ 2x
3
13x
2
14x + 24 (Với x nguyên)
1)Phân tích đa thức P(x) thành nhân tử.
2)Chứng minh rằng P(x) chia hết cho 6.
Câu 5: Cho tam giác ABC, BD và CE là hai đờng cao của tam giác ABC. DF
và EG là hai đờng cao của tam giác ADE. Chứng minh rằng:
1)Hai tam giác ADE và ABC đồng dạng.
2)Chứng minh: FG//BC.
Câu 6:
1)Chứng minh rằng phơng trình x
4
x
3
x 1 = 0 chỉ có hai nghiệm.
2)Giải và biện luận phơng trình: m

1) Chứng minh tam giác CBG đồng dạng với tam giác ACF.
2) Chứng minh AB.AE + AD.AF = AC
2
.
Bài tập t ơng tự :
1)Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, hai đờng cao BD và CE cắt nhau tại
H. Chứng minh rằng BH.BD = CH.CE = BC
2
.
2)Cho tam giác ABC vẽ phân giác AD.
Chứng minh : AD
2
= AB.AC + BD.DC.
3)Cho tam giác ABC có: BC = a, AC = b, AB = c.
Chứng minh rằng
à
à
2 2
A 2B a b bc.= = +
4)Cho tam giác ABC. Biết đờng phân giác ngoài của góc A cắt cạnh BC
kéo dài tại E. Chứng minh rằng: AE
2
= EB.EC + AB.AC.
Nguyễn Văn Quốc THCS Gio Hải
BD HSG Toán 8
9 Câu 1: Cho đa thức: P(x) = x
4
3x
3
+ 5x

9
Câu 5: Giải phơng trình:
x 1 2 x 1 x+ =
9
Câu 6: Giải phơng trình:
x a x b x c 1 1 1
2
bc ac ab a b c


+ + = + +
ữ

(Trong đó x là
ẩn)
10 Câu 1: Giải phơng trình: x
4
+ 2x
3
4x
2
5x 6 = 0
10
Câu 2: Rút gọn biểu thức:
2 2 3 3
2 2 2 2
x y xy x y
A :
x y x y 2xy
+ +

3)Gọi Q là đỉnh thứ t của hình bình hành APQB và I là giao điểm của BP và
AQ. Chứng minh ba điểm H, I, E thẳng hàng.
4)Chứng minh rằng HE // QK.
11 Câu 1: (3đ)
Chứng minh biểu thức P =
2 2 2
2 2 2
(x a)(1 a) a x 1
(x a)(1 a) a x 1
+ + + +
+ +
không phụ thuộc vào
biến x
11 Câu 2: (2đ) Giải phơng trình: x
3
+ 12 = 3x
2
+ 4x
Nguyễn Văn Quốc THCS Gio Hải
BD HSG Toán 8
11
Câu 3: (2đ) Giải phơng trình:
2
2
1 8x 4x 32x
0
4 8x 12x 6
3(4 16x )
+
+ =

12 Câu 3: Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng: a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc.
12 Câu 4: Giải phơng trình: (4x + 3)
3
+ (5 7x)
3
+ (3x 8)
3
= 0.
12 Câu 5: Cho a, b, c, là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
ab + bc + ac

a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + ac + bc)
12 Câu 6: Cho a, b, c, là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Chứng minh rằng nếu ( a + b + c)
2
= 3(ab + ac + bc) thì tam giác đó là tam
giác đều
12 Câu 7: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy một điểm M tuỳ ý. Đờng

2 3
2 1 2x 1
x 1
x x 1 x 1

= +
+
+ +
13 Câu 4:
Cho a, b, c, d là các số thực thoả mãn a

b, c

d. Chứng minh: ac + bd

bc
+ ad.
13 Câu 5:
Cho hình vuông ABCD; Điểm E thuộc cạnh CD, điểm F thuộc cạnh BC. Biết
Nguyễn Văn Quốc THCS Gio Hải
BD HSG Toán 8
ã
FAE
= 45
0
. Chứng minh chu vi tam giác CFE bằng nửa chu vi hình vuông
ABCD.
13 Câu 6: Cho tam giác ABC, lấy một điểm O nằm trong tam giác. Các tia AO,
BO, CO cắt BC, AC, AB lần lợt tại P, Q, R. Chứng minh rằng
OA OB OC

14 Câu 3: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 1. Trên các cạnh AB, AD
lần lợt lấy các điểm M, N sao cho chu vi của tam giác AMN bằng 2. Tính số
đo của góc MCN?
15
Câu 1: Cho biểu thức:
2a 1 5 a
A
3a 1 3a 1

= +
+
1)Tính giá trị của A khi
1
a
2

=
.
2)Tính giá trị của A khi 10a
2
+ 5a = 3.
15 Câu 2: Giải phơng trình : x
4
+ 2x
3
+ 5x
2
+ 4x 12 = 0.
15 Câu 3:
Cho đoạn thẳng AB, gọi O là trung điểm của AB. Vẽ về một phía của AB các

= + + +
+
16 Câu 4: Cho hình bình hành ABCD có đờng chéo lớn AC. Tia Dx cắt AC, AB,
CB lần lợt tại I, M, N. Vẽ CE vuông góc với AB, CF vuông góc với AD, BG
vuông góc với AC. Gọi K là điểm đối xứng của D qua I. Chứng minh:
1) IM.IN = ID
2
.
2)
KM DM
KN DN
=
.
3) AB.AE + AD.AF = AC
2
.
Nguyễn Văn Quốc THCS Gio Hải
BD HSG Toán 8
16
Câu 5:Giải phơng trình :
x 1 x 2 x 3 14 + + + =
16 Câu 6: Tìm giá trị nguyên của x, y trong đẳng thức: 2x
3
+ xy = 7.
16 Câu 7: Cho 4 số dơng a, b, c, d. Chứng minh:
a b c d
1 2
a b c b c d c d a d a b
< + + + <
+ + + + + + + +


Hãy viết A dới dạng tổng của một biểu thức nguyên và một phân thức với bậc
của tử thấp hơn bậc của mẫu.
17 Câu 4: (4đ) Chứng minh rằng Tổng độ dài ba trung tuyến của một tam giác
thì lớn hơn
3
4
chu vi và nhỏ hơn chu vi của chính tam giác ấy.
17 Câu 5: (4đ)
Gọi O là một điểm nằm trong tứ giác lồi MNPQ. Giả sử bốn tam giác MON,
NOP, POQ, QOM có diện tích bằng nhau.
1) MP cắt NO ở A. Chứng minh A là trung điểm của NP.
2) Chứng minh O nằm trên đờng chepos NQ hoặc đờng chéo MP của tứ giác
MNPQ.
18 Câu 1: (4đ)
Rút gọn biểu thức: A = 75(4
1993
+ + 4
2
+ 5) + 25.
18 Câu 2: (3đ)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2
1
B
1
=
+ +x x
18 Câu 3: (3đ)
Chứng minh rằng nếu: abc = a + b + c và

chia hết cho 45.
19 Câu 2: Cho a, b, c là ba số dơng.
Chứng minh rằng:
2 2 2
a b c a b c
b c a c a b 2
+ +
+ +
+ + +
19 Câu 3: Chứng minh rằng nếu x + y + z = 0 thì: 2(x
5
+ y
5
+ z
5
) = 5xyz(x
2
+ y
2
+
z
2
)
19 Câu 4: Cho tam giác ABC, trung tuyến CM. Qua điểm Q trên AB kẻ đờng
thẳng d song song với DM. Đờng thẳng d cắt BC tại R và cắt AC tại P. Chứng
minh nếu QA.QB = QP.QR thì tam giác ABC vuông tại C.
19 Câu 5: Trên các cạnh AB, BC, AC của tam giác ABC cố định; Ngời ta lần lợt
lấy các điểm M, N, P sao cho
AM BN CP
k (k 0)

2
(cm
2
) và S
COD
= b
2
(cm
2
) với a, b là hai số cho trớc.
1)Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của S
ABCD
?
2) Giả sử S
ABCD
bé nhất. Hãy tìm trên đờng chéo BD một điểm M sao cho đ-
ờng thẳng qua M song song với AB bị hai cạnh AD, BC và hai đờng chéo AC,
BD chia thành ba phần bằng nhau
21 Câu 1: Chứng minh rằng với x, y nguyên thì:
A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y
4
là một số chính phơng.
21 Câu 2: Phân tích đa thức thanh nhân tử: (a x)y
3
(a y)x
3
+ (x y)a
3
.
Nguyễn Văn Quốc THCS Gio Hải

22
Câu 1:Giải phơng trình:
2 2x 5 3 7 =
22
Câu 2: Giải phơng trình:
315 x 313 x 311 x
3
105 103 101

+ + =
22
Câu 3: Cho biểu thức:
4 3
4 3 2
x x x 1
A
x x 2x x 1
+ + +
=
+ +
1) Rút gọn A.
2) Chứng tỏ rằng A không âm với mọi giá tị của x.
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
22 Câu 4: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là a. Gọi M, N lần lợt là trung
điểm của cạnh AB, BC. Các đờng thẳng DN, CM cắt nhau tại I. Chứng minh:
1) Tam giác CIN vuông.
2) Tính diện tích tam giác CIN theo a.
3) Tam giác AID cân.
23
Câu 1: (3đ) Cho phân thức:

24
Câu 1: Rút gọn rồi tính giá tị của biểu thức:
3 2
2a 12a 17a 2
A
a 2
+
=

Biết rằng a là nghiệm của phơng tình:
2
a 3a 1 1
+ =
24 Câu 2:
Tìm giá trị nhỏ nhất của B và giá trị tơng ứng của x với:
( )
2
B 3x 1 4 3x 1 5= +
24
Câu 3: Cho a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
2 2 2
1
a b c
3
+ +
Nguyễn Văn Quốc THCS Gio Hải
BD HSG Toán 8
24 Câu 4: Cho 4 điểm A, E, F, B theo thứ tự ấy trên một đờng thẳng. Trên cùng
một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các hình vuông ABCD; EFGH.
1). Gọi O là giao điểm của AG và BH. Chứng minh rằng các tam giác OHE và

Câu 5: Cho tam giác ABC có
à
à
0
3A 2B 180+ =
. Tính số đo các cạnh của tam
giác ABC biết các số đo ấy là ba số tự nhiên liên tiếp.
26
Câu 1:Chứng minh rằng nếu:
1 1 1 1
a b c a b c
+ + =
+ +
thì (a + b)(b + c)(a + c) =
0.
26
Câu 2: a) Giải phơng trình:
3 x 3 2 x 2 x 1 4 + =
.
b) Giải phơng trình: x
4
+ 7x
2
12x + 5 = 0.
26 Câu 3: Hai đội bóng bàn của hai trờng A và B thi đấu giao hữu. Biết rằng mỗi
đối thủ của đội A phải lần lợt gặp các đối thủ cua đội B một lần và số trận đấu
gấp đôi tổng số đấu thủ của hai đội. Tính số đấu thủ của mỗi đội.
26 Câu 4: Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh CD và BC lấy điểm M, N sao
cho BM = DN. Gọi I là giao điểm cua BM và DN. Chứng minh IA là phân
giác của góc DIB.

2
x + 2m = 4x + m
2
. (với x là ẩn).
Nguyễn Văn Quốc THCS Gio Hải
BD HSG Toán 8
27 Câu 5: Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A. Lấy điểm M tuỳ ý trên cạnh AC.
Kẻ tia Ax vuông góc với BM. Gọi H là giao điểm của Ax với BC và K là điểm
đối xứng với C qua H. Kẻ Ky vuông góc với BM. Gọi I là giao điểm của Ky
với AB. Tính góc AIM?
28 Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x
4
+ 1997x
2
+ 1996x + 1997.
b) bc(b + c) + ac(a + c) + ab(a + b) + 2abc.
28 Câu 2: Tính giá trị của biểu thức A = xy + xz + yz + 2xyz.
Biết:
a b c
x ; y ; z
b c a c a b
= = =
+ + +
28 Câu 3: Tìm bốn số tự nhiên liên tiếp, biết tích của chúng là: 57120.
28 Câu 4: Cho hình vuông ABCD. Trên các tia đối CB và DC, lấy các điểm M, N
sao cho DN = BM. Các đờng thẳng song song kẻ từ M với AN và từ N với AM
cắt nhau tại F. Chứng minh:
1). Tứ giác ANFM là hình vuông.
2). Điểm F nằm trên tia phân giác của góc MCN và góc ACF = 90

29 Câu 4: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh CD lấy một điểm M bất kỳ. Các tia
phân giác của các góc BAM và DAM lần lợt cắt cạnh BC tại E và cắt cạnh CD
tại F. Chứng minh AM vuông góc với FE.
29 Câu 5: Cho tam giác ABC (AB khác AC). Trên tia đối của tia BA lấy điểm D,
trên tia đối của tia CA lấy điểm E, sao cho BD = CE. Gọi N là trung điểm của
cạnh BC. Vẽ hình bình hành ECNK và hình bình hành BDFN. Gọi M là giao
điểm của DE và FK. Tìm quỹ tích điểm M khi D và E di động.
30 Câu 1: Cho biểu thức:
4 3 2
x 10
B
x 9x 9x 9x 10
+
=
+ +
a). Tìm điều kiện của x để B có nghĩa.
b). Rút gọn biểu thức B.
30 Câu 2: Chứng minh rằng: A = n
8
+ 4n
7
+ 6n
6
+ 4n
5
+ n
4
chia hết cho 16, với
mọi n là số nguyên.
30 Câu 3:

+ ND
2
+ DC
2
.
3). Tính diện tích hình thang ABCD.
31 Câu 1: Giải phơng trình:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2
2x x 1998 4 x 3x 950 4 2x x 1998 x 3x 950+ + = +
31 Câu 2: Tính giá trị của đa thức: f(x) = 6x
4
7x
3
22x
2
+ 7x + 2004, với x là
nghiệm của phơng trình 6x
2
+ 5x = 6.
31
Câu 3: Chứng minh bất đẳng thức:
2 2 2 2 2
a b c d e a(b c d e)+ + + + + + +
31 Câu 4: Chứng minh đẳng thức:
b c c a a b 2 2 2
(a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) (a b) (b c) (c a)

+ + = + +

3
.
32 Câu 2: Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta đều có:
2 2 2
19
a 9b c 2a 12b 4c
2
+ + + > + +
32 Câu 3:
Cho x, y, z là ba số thoả mãn điều kiện:
2 2 2
3 3 3
x y z 1
x y z 1
x y z 1
+ + =


+ + =


+ + =

Hãy tính giá trị của biểu thức:
17 9 1997
P (x 1) (y 1) (z 1)= + +
Nguyễn Văn Quốc THCS Gio Hải
BD HSG Toán 8
32 Câu 4: Cho tam giác ABC cân tại A có H là trung điểm cạnh BC. Gọi I là hình
chiếu vuông góc của H trên cạnh AC và O là trung điểm của IH.

+ 3x
4
+ 4 . 2). x
6
x
4
2x
3
+ 2x
2
34 Câu 2: Cho biểu thức:

2
2
2x 3y 6 xy x 9
A
xy 2x 3y 6 xy 2x 3y 6
x 9
+ +
=
+ + + +

a). Tìm x, y để biểu thức A có nghĩa.
b). Rút gọn biểut thức A.
34 Câu 3:
Cho 3 số a, b, c thoả mãn:
3 2 3 2 3 2
1
a b b b c c c a a
3

+
=
+ +
35 Câu 3:
Nguyễn Văn Quốc THCS Gio Hải
BD HSG Toán 8
Cho ba số a, b, c khác 0 thoả mãn đẳng thức:
a b c a c b b c a
c b a
+ + +
= =
Tính giá trị của biểu thức:
(a b)(b c)(a c)
P
abc
+ + +
=
.
35 Câu 4: Các đờng chéo của tứ giác lồi ABCD vuông góc với nhau. Qua trung
điểm các cạnh AB và AD kẻ những đờng vuông góc theo thứ tự với các cạnh
CD và CB. Chứng minh rằng hai đờng thẳng vuông góc này và đờng thẳng AC
đồng quy.
35 Câu 5: Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB = 2a và CD =a. Hãy xác định
vị trí của điểm M trên đờng thẳng CD sao cho:
1). Đờng thẳng AM chia hình thang thành hai phần có diện tích bằng nhau.
2). Đờng thẳng AM chia hình thang thành hai phần mà phần có chứa đỉnh D
có diện tích bằng (n 1) lần diện tích phần kia(n là số tự nhiên lớn hơn 2).
36 Câu 1:
Tính giá trị của biểu thức:
2 2 2 2

2 2
2 2 3
2 x 4x 2 x x 3x
A :
2 x 2 x
x 4 2x x

+
=
ữ ữ
+


1). Rút gọn biểu thức A.
2). Tìm giá trị của x đê A dơng.
3). Tìm giá trị của A trong trờng hợp
x 7 4 =

37 Câu 2: (3,5đ)
Cho tam giác ABC có BC = 15 cm, AC = 20 cm, AB = 25 cm.
1). Tính độ dài đờng cao CH của tam giác ABC.
2). Gọi CD là đờng phân giác của tam giác ACH. Chứng minh tam giác ACD
cân.
3). Chứng minh rằng: BC
2
+ CD
2
+ BD
2
= 3CH

b c a a c b
+ + + +
38 Câu 3: Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ một điểm D bất kỳ trên cạnh BC kẻ
DE, DF vuông góc với AB, AC tại E và F. Chứng minh: EA. EB + FA.FC =
DB.DC.
38
Câu 4: Giải phơng trình:
2 2
2 2
12x 12x 11 5y 10y 9
4x 4x 3 y 2y 2
+ + +
=
+ + +
38 Câu 5: Cho hình thoi ABCD có góc A = 60
0
. Gọi M là một điểm thuộc cạnh
AD. Đờng thẳng CM cắt đờng thẳng AB tại N.
1). Chứng minh: AB
2
= DM.BN.
2). BM cắt DN tại P. Tính góc BPD.
38 Câu 6:
Cho ba số a, b, c thoả mãn: a + b + c = 3 và
0 a 2;0 b 2;0 c 2
.
Chứng minh rằng: a
2
+ b
2

=
+
+
a). Tìm điều kiện của x để B có nghĩa.
b). Rút gọc biểu thức B.
39 Câu 2: Giải phơng trình:
1). x
3
+ 3x
2
+ 2x + 6 = 0. 2).
2
x 1 a(x 1) 0
+ =
39 Câu 3: Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác.
Chứng minh rằng:
a b c
2
b c a c a b
+ + <
+ + +
39 Câu 4: Cho tam giác ABC. Trên AB lấy điểm D sao cho BD = 3DA. Trên BC
lấy điểm E sao cho BE = 4EC. Gọi F là giao điểm của AE và CD.
Chứng minh rằng: FD = FC.
39 Câu 5:
Cho tam giác ABC, M là một điểm trên cạnh BC.
Chứng minh rằng: BC < MC.AB + MB.AC.
39 Câu 6: Trong tất cả các hình chữ nhật có độ dài đờng chéo không đổi là d. Hãy
tìm diện tích hình chữ nhật có diện tích lớn nhất?
40 Câu 1:

3
+ d
3
= 3(c + d)(ab cd).
40 Câu 3: Chứng minh rằng với ba số thực a, b, c tuỳ ý thì:
a
2
+ 4b
2
+ 3c
2
> 2a + 12b + 6c 14.
40 Câu 4: Cho góc xOy = 60
0
. Trên hai tia Ox, Oy lần lợt lấy các điểm tuỳ ý B và
C. Chứng minh rằng:
OB OC 2BC.+
40 Câu 5:
Cho tứ giác ABCD (AB không song song với CD). Gọi M, N lần lợt là trung
điểm của cạnh AB và CD.
Chứng minh rằng nếu: BC + AD = 2MN thì ABCD là hình thang.
41 Câu 1: Giải phơng trình:
1).
2 2
2 2
x x x x 2
1
x x 1 x x 2
+
=

MC BC

=
ữ

41 Câu 5: Cho hình bình hành ABCD, có O là giao điểm hai đờng chéo. Gọi M,
N lần lợt là trung điểm của BO, AO. Trên cạnh AB lấy điểm F sao cho tia FM
cắt cạnh BC tại E và tia FN cắt cạnh AD tại K. Chứng minh rằng:
AB BC
1). 4 2). BE AK BC
BF BE
+ = +
42 Câu 1: Phân tích thành nhân tử:
1). x
2
6x 16. 2). x
3
x
2
+ x + 3.
42
Câu 2: Rút gọn biểu thức:
2 2 2
x yz y xz z xy
A
(x y)(x z) (y z)(y x) (z x)(z y)

= + +
+ + + + + +
42

( )
2
2
3 3
2
1 x
1 x 1 x
B : x x
1 x 1 x
1 x



+
= +

ữ ữ
+
+


a). Tìm x để B có nghĩa.
b). Rút gọn B.
c). Chứng minh B luôn dơng với mọi x thoả mãn điều kiện xác định của B.
43 Câu 3: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, và E là một điểm bất kỳ trên
BC (E khác B và C). Hai đờng thẳng AE và CD cắt nhau tại F. Tia Ax vuông
góc với AE tại A cắt đờng thẳng CD tại I.
1). Chứng minh dóc AEI = 45
0
.

3
+ y
3
+ z
3
3xyz.
44 Câu 4: Trong một cuộc đua ôtô có 3 xe khởi hành cùng một lúc. Xe thứ hai
trong một giờ chạy chậm hơn xe thứ nhất 15 km và nhanh hơn xe thứ ba 3 km
nên đến đích chậm hơn xe thứ nhất 12 phút và đến sớm hơn xe thứ ba 3 phút.
Tính vận tốc mỗi xe, quãng đờng đua va thời gian chạy của mỗi xe.
44 Câu 5:
Cho tam giác ABC cân đỉnh A. Một điểm M thuộc cạnh BC. Kẻ MD vuông
góc với AB, ME vuông góc với AC. Chứng minh rằng tổng MD + ME không
phụ thuộc vào vị trí của điểm M trên BC.
44 Câu 6: Cho góc nhọn xAy. Tìm tập hợp các điểm M có tổng các khoảng cách
đến hai cạnh Ax và Ay bằng một số cho trớc.
44 Câu 7: Cho tam giác ABC, qua một điểm O tuỳ ý trong tam giác kẻ các tia
AO, BO, CO cắt các cạnh BC, CA, AB lần lợt tại các điểm M, N, và P.
Chứng minh rằng:
OM ON OP
1
AM BN CP
+ + =
.
45 Câu 1: Giải phơng trình:
1). (x + 2)(x + 3)
2
(x + 4) = 12.
2).
2x 1 3 x 1 2x 6 + = +

=
và CI = BF.
2) Ba đờng thẳng AI, BF, CD đồng qui.
45 Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = 5x
2
+ 2y
2
+ 4xy 2x + 4y +
2005
46 Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: x
3
5x
2
+ 8x 4
46
Câu 2:
x y z a b c
Cho 1 và 0.
a b c x y z
+ + = + + =
Chứng minh rằng:
2 2 2
2 2 2
x y z
1
a b c
+ + =
46 Câu 3: Giải phơng trình:
1). x
2

a b c
1
ab a 1 bc b 1 ac c 1
+ + =
+ + + + + +
47
Câu 4:
5 5 4 4
Cho x,y 0 và x y 0. Chứng minh: x y x y xy + + +
47 Câu 5: Cho tam giác ABC, gọi D là trung điểm của AB. Trên cạnh AC lấy
điểm E sao cho AE = 2EC. Gọi O là giao điểm của CD và BE. Chứng minh
rằng:
1). Hai tam giác BOC và AOC có diện tích bằng nhau.
2). BO = 3.EO.
Nguyễn Văn Quốc THCS Gio Hải
BD HSG Toán 8
48 Câu 1:
Gọi a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC, biết
b c a
1 1 1 8
a b c

+ + + =
ữ ữ ữ

. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều.
48
Câu 2: Giải phơng trình:
2
x 3x 2 x 1 0 + + =

x x 1 x x 1 x 1
+ +
=
+ + +
49 Câu 2:
Tìm giá trị của x để biểu thức
2
x
A(x)
(x 1999)
=
+
(với x > 0) đạt giá trị lớn
nhất.
49 Câu 3:
1). Chứng minh rằng nếu x > 0, y > 0 thì:
1 1 4
x y x y
+
+
2). Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì:

1 1 1 1 1 1
a b c b c a a c b a b c
+ + + +
+ + +
49 Câu 4: Cho tam giác ABC (Â = 90
0
) đờng cao AH, trung tuyến BM, phân giác
CD cắt nhau tại một điểm.

Chứng minh rằng: SC
2
= SE.SA
50 Câu 5:
51 Câu 1:
Giải phơng trình:
2 3
1 9x 1
x 3
x 3x 9 x 27
=
+
+ +
51 Câu 2: Chứng minh đẳng thức sau:
2 2 2 2
2 2 2 2 2
a 3ab 2a 5ab 3b a an bn ab
a 9b 6ab a 9b 3bn a an 3ab
+ + + +
+ =
+
51 Câu 3: Cho hình bình hành ABCD có đờng chéo AC lớn hơn đờng chéo BD.
Gọi E và F lần lợt là hình chiếu của B và D xuống đờng thẳng AC.
1). Tứ giác BEDF là hình gì? chứng minh điều đó.
2).Gọi CH và CK lần lợt là đờng cao của tam giác ACB và ACD.
a). Chứng minh:
CH CK
CB CD
=
.

x 3
2
x 2

>
+
.
52 Câu 4: Cho đoạn thẳng AC = m. Lấy điểm B bất kỳ thuộc đoạn AC (B

A, B

C). Vẽ tia Bx vuông góc với AC, trên tia Bx lần lợt lấy các điểm D và E sao
cho BD = AB và BE = BC.
1). Chứng minh rằng: CD = AE và CD vuông góc với AE.
2). Gọi M là trung điểm của AE, N là trung điểm của CD, I là trung điểm của
MN. Chứng minh rằng khoảng cách từ I đến AC không đổi khi B di chuyển
trên đoạn AC.
3). Tìm vị trí của điểm B trên đoạn AC sao cho tổng điện tích hai tam giác
ABE và BCD có giá trị lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất này theo m.
52 Câu 5: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M. Vẽ CH vuông góc
với CM. Vẽ HN vuông góc với DH (N thuộc BC).
1). Chứng minh rằng hai tam giác DHC và NHB đồng dạng với nhau.
2). Chứng minh rằng: AM.NB = NC.MB.
53 Câu 1: Tính giá trị của biểu thức:
Nguyễn Văn Quốc THCS Gio Hải
BD HSG Toán 8
2
2 2
3 2 2
x 25 y 2

1). Tam giác FHE đồng dạng với tam giác BHC.
2). H là giao điểm các đờng phân giác của tam giác FED.
54 Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1). x
3
5x
2
+ 8x 4
2).
2 2
1 2 1
3x y y
3 3 3
+
54 Câu 2: Tìm x, y, z thoả mãn đẳng thức: x
2
+ 4y
2
+ z
2
= 2x + 12y 4z - 14
54 Câu 3:
Cho biểu thức:
2
2 2 3 3
x 1 2 3 x 2 6x 3x
A : 2 x
x 1 x
x 1 x 1 x 2x
+ +



a
3
b + ab
3
.
2). a
4
+ b
4
+ c
4


a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ a
2
c
2
55 Câu 3:
Tìm các số nguyên x, y thoả mãn đẳng thức sau:
2

56 Câu 2: Rút gọn và tính giá trị của biểu thức A với x + y = 2005.
x(x 5) y(y 5) 2(xy 3)
A
x(x 6) y(y 6) 2xy
+ + + +
=
+ + + +
56 Câu 3: Thực hiện phép tính:
a b b c a c
(b c)(c a) (c a)(c b) (a b)(b c)
+ + +
+ +

56 Câu 4:
Cho a + b + c = 1 và
1 1 1
0
a b c
+ + =
. Chứng minh: a
2
+ b
2
+ c
2
= 1
56 Câu 5: Cho hình thang ABCD (AB//CD). Điểm M bất kỳ nằm trong hình
thang, vẽ các hình bình hành MDPA, MCQB. Chứng minh rằng: PQ//CD.
57 Câu 1:
Cho a, b, c là 3 số khác 0 thoả mãn a + b + c = 2002 và

1 1 4
a b a b
+
+
, với mọi a,b > 0.
3).
1 1 1 1 1 1
a 3b b 3c c 3a a 2b c b 2c a c 2a b
+ + + +
+ + + + + + + + +
,với a,b,c >
0.
57 Câu 5:
Cho tứ giác lồi ABCD. Trên hai cạnh AB và CD ta lần lợt lấy hai điểm E và F
Nguyễn Văn Quốc THCS Gio Hải
BD HSG Toán 8
sao cho:
AE CF
BE DF
=
. Chứng minh rằng nếu đờng chéo AC đi qua trung điểm I
của đoạn FE thì AC chia đôi điện tích của tứ giác ABCD.
57 Câu 6:
Cho hình thoi ABCD biết  = 120
0
. Vẽ tia Ax tạo với tia AB một góc BAx =
15
0
và cắt cạnh BC tại M, cắt đờng thẳng CD tại N.
Chứng minh rằng:

.
58 Câu 3:
Chứng minh rằng nếu: xyz = 1 thì :
1 1 1
1
1 x xy 1 y yz 1 z xz
+ + =
+ + + + + +
58 Câu 4:
1). Chứng minh rằng: a
4
+ a
3
b + ab
3
+ b
4


0, với
a,b Q
.
2). Cho : 7x
2
+ 8xy + 7y
2
= 10. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của A = x
2
+
y

= = =

59 Câu 2: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:
3 3 2 2
2 2
(27x y )(16y x ) 1
A với x 1; y .
2
(x 4y)(9x 3xy y )

= = =
+ + +
59 Câu 3: Xác định thơng và d của phép chia: (x
4
1) : (2x
2
+ 1).
59 Câu 4: Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lợt là trung điểm các cạnh
AB, BC, CD, AD. Đờng thẳng AN lần lợt cắt DM, BP tại I và J. Đờng thẳng
CQ lần lợt cắt BP, DM tại H, K. Hỏi tứ giác IJHK là hình gì?
59 Câu 5:
Nguyễn Văn Quốc THCS Gio Hải
BD HSG Toán 8
Câu 1: Phân tích thành nhân tử: x
3
3x
2
9x 5.
Câu 2: Chứng minh rằng phơng trình: x
4

Câu 1: Tìm x thoả mãn đẳng thức:
3 2
2
6x 7x 5x 2
x 5
2x x 1
+ + +
=
+ +
61 Câu 2:
Rút gọn biểu thức:
2
2 2
2 3x x x
A 1
3 x
x x 2xy 2y xy 2y+
= +
ữ
ữ
+
+
61 Câu 3: Cho hình thang ABCD (AB//CD, AB < CD). Gọi M, N lần lợt là trung
điểm của cạnh BC, AD, và I là trung điểm của MN. Một đờng thẳng bấ kỳ qua

63
Câu 1: Cho biểu thức:
2
2
3x 9 9 x
A :
5x 5
x 2x 1
+
=
+
+ +
.
1). Tìm x để A có nghĩa.
2). Rút gọn biểu thức A.
63
Câu 2: Rút gọn biểu thức:
( )
x y z x x y
B : : x y, y z, x z
y z y z z x

=

63 Câu 3:
Tính giá trị của biểu thức:
3
2 2
x x
C khi x 12, y 99.