Tài liệu ôn thi HSG
Đề số 1:
Môn Toán Lớp 7
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dơng:
a)
1
.16 2
8
n n
=
; b) 27 < 3
n
< 243
Bài 2. Thực hiện phép tính:

1 1 1 1 1 3 5 7 ... 49
( ... )
4.9 9.14 14.19 44.49 89

+ + + +
Bài 3. a) Tìm x biết:
2x3x2
+=+
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A =
x20072006x
+
Khi x thay đổi
Bài 4. Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ. Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối
diện nhau trên một đờng thẳng.
Bài 5. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia

3,2
3 5 5
x
+ = +
b.
( ) ( )
1 11
7 7 0
x x
x x
+ +
=
Bi 3: (4 im)
a) S A c chia thnh 3 s t l theo
2 3 1
: :
5 4 6
. Bit rng tng cỏc bỡnh phng ca ba
s ú bng 24309. Tỡm s A.
b) Cho
a c
c b
=
. Chng minh rng:
2 2
2 2
a c a
b c b
+
=

1
Tài liệu ôn thi HSG
Cho tam giỏc ABC cõn ti A cú
à
0
A 20=
, v tam giỏc u DBC (D nm trong tam giỏc
ABC). Tia phõn giỏc ca gúc ABD ct AC ti M. Chng minh:
a) Tia AD l phõn giỏc ca gúc BAC
b) AM = BC
Ht

Đề số 3:
Môn Toán Lớp 7
(Thời gian làm bài 120 phút)
Câu 1: Tìm tất cả các số nguyên a biết
a 4
Câu 2: Tìm phân số có tử là 7 biết nó lớn hơn
9
10

và nhỏ hơn
9
11

Câu3: Cho 2 đa thức
P
( )
x
= x

2
+
+
x
x

Câu 6: Cho tam giác ABC có Â < 90
0
. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD
vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC.
a. Chứng minh: DC = BE và DC

BE
b. Gọi N là trung điểm của DE. Trên tia đối của tia NA lấy M sao cho NA = NM. Chứng
minh: AB = ME và ABC = EMA
c. Chứng minh: MA

BC
Đề số 4:
(Thời gian làm bài 120 phút)
Câu 1 ( 2 điểm) Thực hiện phép tính :
a-
)
1
3
1
(:1
3
1
.3

32
2003
23
12
5
.
5
2
1.
4
3
.
3
2

















b- Cần bao nhiêu số hạng của tổng S = 1+2+3+ để đ ợc một số có ba chữ số giống
nhau .
2
Tài liệu ôn thi HSG
Câu 4 (3 điểm)
Cho tam giác ABC có góc B bằng 45
o
, góc C bằng 120
0
. Trên tia đối của tia CB lấy
điểm D sao cho CD=2CB. Tính góc ADE
Câu 5 ( 1điểm)
Tìm mọi số nguyên tố thoả mãn : x
2
-2y
2
=1
Đề số 5:
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bi 1 (3): 1, Tớnh: P =
1 1 1 2 2 2
2003 2004 2005 2002 2003 2004
5 5 5 3 3 3
2003 2004 2005 2002 2003 2004
+ +

+ +
2, Bit: 13 + 23 + . . . . . . . + 103 = 3025.
Tớnh: S = 23 + 43 + 63 + . . . . + 203
3, Cho: A =

AH ct AC ti E.Chng minh: AE = AB
Đề số 6:
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bi 1 (4): Cho cỏc a thc:
A(x) = 2x
5
4x
3
+ x
2
2x + 2
B(x) = x
5
2x
4
+ x
2
5x + 3
C(x) = x
4
+ 4x
3
+ 3x
2
8x +
3
4
16
1, Tớnh M(x) = A(x) 2B(x) + C(x)
2, Tớnh giỏ tr ca M(x) khi x =

100BAC =
. D là điểm thuộc miền trong của ∆ABC sao
cho
·
·
0 0
10 , 20DBC DCB= =
. Tính góc ADB ?
§Ò sè 7:
(Thêi gian lµm bµi 120 phót)
Bài 1 (3đ): Tính:
1,
3
1 1 1
6. 3. 1 1
3 3 3
 
− − −
     
− + − −
 
 ÷  ÷  ÷
     
 
 
2, (6
3
+ 3. 6
2
+ 3


<

Bài 5 (3đ): Chứng tỏ rằng:
A = 75. (4
2004
+ 4
2003
+ . . . . . + 4
2
+ 4 + 1) + 25 là số chia hết cho 100
Bài 6 (4đ): Cho tam giác ABC có góc A = 60
0
. Tia phân giác của góc B cắt AC tại D, tia
phân giác của góc C cắt AB tại E. Các tia phân giác đó cắt nhau tại I.
Chứng minh: ID = IE
§Ò sè 8:
(Thêi gian lµm bµi 120 phót)
Bài 1 (5đ): 1, Tìm n
∈
N biết (3
3
: 9)3
n
= 729
2, Tính : A =
2
2
2
9

≠
0 thoả mãn b
2
= ac. Chứng minh rằng:

c
a
=
2
2
)2007(
)2007(
cb
ba
+
+
Bài 3 (4đ): Ba đội công nhân làm 3 công việc có khối lượng như nhau. Thời gian hoàn
thành công việc của đội І, ІІ, ІІІ lần lượt là 3, 5, 6 ngày. Biêt đội ІІ nhiều hơn đội ІІІ là 2
người và năng suất của mỗi công nhân là bằng nhau. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu công nhân?
4
Tài liệu ôn thi HSG
Cõu 4 (6): Cho ABC nhn. V v phớa ngoi ABC cỏc u ABD v ACE.
1, Chng minh: BE = DC.
2, Gi H l giao im ca BE v CD. Tớnh s o gúc BHC.
Bi 5 (2): Cho m, n

N v p l s nguyờn t tho món:
1

m

A
có chia hết cho 3 không ? Có chia hết cho 9 không ?
Câu 2: (2 điểm) Trên quãng đờng AB dài 31,5 km. An đi từ A đến B, Bình đi từ B đến A.
Vận tốc An so với Bình là 2: 3. Đến lúc gặp nhau, thời gian An đi so với Bình đi là 3: 4.
Tính quãng đờng mỗi ngời đi tới lúc gặp nhau ?
Câu 3: a) Cho
cbxaxxf
++=
2
)(
với a, b, c là các số hữu tỉ.
Chứng tỏ rằng:
0)3().2(

ff
. Biết rằng
0213
=++
cba
b) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức
x
A

=
6
2
có giá trị lớn nhất.
Câu 4: (3 điểm) Cho ABC dựng tam giác vuông cân BAE; BAE = 90
0
, B và E nằm ở hai

5,0625,0
12
3
11
3
3,0375,0
25,1
3
5
5,2
75,015,1
+












+
++
+
+
+
=

thì
dc
dc
ba
ba
35
35
35
35

+
=

+

(giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).
b) Tìm x biết:
2001
4
2002
3
2003
2
2004
1

=




Đề số 11:
(Thời gian làm bài 120 phút)
Câu 1: (2 điểm) a) Tính:
A =






++






++
2,275,2
13
11
7
11
:
13
3
7
3
6,075,0
B =

Câu 2: (2 điểm)
a) Cho a, b, c > 0 . Chứng tỏ rằng:
ac
c
cb
b
ba
a
M
+
+
+
+
+
=
không là số nguyên.
b) Cho a, b, c thoả mãn: a + b + c = 0. Chứng minh rằng:
0
++
cabcab
.
Câu 3: (2 điểm)
a) Tìm hai số dơng khác nhau x, y biết rằng tổng, hiệu và tích của chúng lần lợt tỉ lệ
nghịch với 35; 210 và 12.
b) Vận tốc của máy bay, ô tô và tàu hoả tỉ lệ với các số 10; 2 và 1. Thời gian máy bay
bay từ A đến B ít hơn thời gian ô tô chạy từ A đến B là 16 giờ.
Hỏi tàu hoả chạy từ A đến B mất bao lâu ?
Câu 4: (3 điểm)
Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là 1. Trên các cạnh AB, AD lấy các điểm P, Q
sao cho chu vi APQ bằng 2.

là số nguyên tố.
Bài 2: ( 2 điểm)
a) Tìm số nguyên n sao cho
13
2
+
nn
b) Biết
c
bxay
b
azcx
a
cybz

=

=

Chứng minh rằng:
z
c
y
b
x
a
==
Bài 3: (2 điểm)
6