PHƯƠNG PHÁP GIẢNG DẠY TỈ LỆ THỨC VÀ DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU TRONG ĐẠI SỐ7
MỤC LỤC
PHẦN I: MỞ ĐẦU
I-Lý do chọn đề tài
II-Phạm vi nghiên cứu
1-Phạm vi của đề tài
2-Đối tượng nghiên cứu
3-Mục đích
PHẦN II: NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI

A-Nội dung
I-Cơ sở lý luận khoa học của đề tài
1- Định nghĩa, tích chất của tỉ lệ thức
2- Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
3- Chú ý
II-Đối tượng phục vụ của đề tài
III-Nội dung và phương pháp nghiên cứu
Dạng 1. Tìm số hạng chưa biết
Dạng 2 :Chứng minh liên quan đến dãy tỉ số bằng nhau
Dạng 3: Toán chia tỉ lệ
Dạng 4:Một số sai lầm thường gặp trong giải toán liên quan đến
tỷ số bằng nhau
B-ỨNG DỤNG VÀO CÔNG TÁC GIẢNG DẠY:
I- Quá trình áp dụng của bản thân
II-Hiệu quả khi áp dụng đề tài:
III- Những bài học kinh nghiệm rút ra, hướng nghiên cứu tiếp theo.
IV-Những kiến nghị, đề xuất
PHẦN III: KẾT LUẬN
1
PHƯƠNG PHÁP GIẢNG DẠY TỈ LỆ THỨC VÀ DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU TRONG ĐẠI SỐ7
PHẦN I: MỞ ĐẦU

PHƯƠNG PHÁP GIẢNG DẠY TỈ LỆ THỨC VÀ DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU TRONG ĐẠI SỐ7
PHẦN II: NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI
A.Nội dung
I.Cơ sở lý luận khoa học của đề tài
1. Định nghĩa, tích chất của tỉ lệ thức
a) Định nghĩa:
Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số
d
c
b
a
=
Các số hạng a và d gọi là ngoại tỉ, b và d gọi là trung tỉ.
b) Tính chất
Tính chất 1( tính chất cơ bản)
Nếu
a c
b d
=
thì ad = bc
tính chất 2( tính chất hoán vị)
Nếu ad = bc và a, b, c, d khác 0 thì ta có các tỉ lệ thức
a
b
c
d
a
c
b
d

=
+
+
==
+mở rộng: từ dãy tỉ số bằng nhau
f
e
d
c
b
a
==
ta suy ra
=
+−
+−
=
++
++
===
fdb
eca
fdb
eca
f
e
d
c
b
a

từ
f
e
d
c
b
a
==
suy ra
3
3 3 2
;
a c e a c e a c e
b d f b d f b d f
 
     
= = = × × = ×
 ÷
 ÷  ÷  ÷
     
 
II.Đối tượng phục vụ của đề tài
Học sinh lớp 7A. 7B trường THCS Nguyễn Viết Xuân năm học 2011-2012
III.Nội dung và phương pháp nghiên cứu
Thông qua việc giảng dạy học sinh tôi xin đưa ra một số dạng bài tập sau:
Dạng 1. Tìm số hạng chưa biết
1. Tìm một số hạng chưa biết
a) Phương pháp: áp dụng cơ bản tỉ lệ thức
Nếu
. . .

3 3 4 5
x
 
=
 ÷
 
b)
( )
1 2
0,2:1 : 6 7
5 3
x= +
có thể đưa các tỉ lệ thức trên về tỉ lệ thức đơn giản hơn rồi tìm x.
Bài tập 2: Tìm x biết ( bài 69 SBT T 13 – a)
60
15
x
x
−
=
−
Giải : từ
( ) ( )
2
2 2
60
15
. 15 . 60
900
30

3 5
5 7
x
x
−
=
−
Giải:
Cách 1: từ

( ) ( )
3 5
3 .7 5 .5
5 7
7 21 25 5
12 46
5
3
6
x
x x
x
x x
x
x
−
= ⇒ − = −
−
⇒ − = −
⇒ =

⇒ − = ⇒ =
Bài tập 4: Tìm x trong tỉ lệ thức

( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 4
1 7
2 7 4 1
7 2 14 4 4
5 14 3 4
5 3 4 14 2 10 5
x x
x x
x x x x
x x x x x x
x x
x x x x
− +
=
− +
⇒ − + = + −
⇒ + − − = − + −
⇒ − = −
⇒ − = − + ⇒ = ⇒ =
Trong bài tập này x nằm ở cả 4 số hạng của tỉ lệ thức và hệ số đều bằng 1 do đó sau
khi biến đổi thì x
2
bị triệt tiêu, có thể làm bài tập trên bằng cách áp dụng của dãy tỉ
số bằng nhau
2.Tìm nhiều số hạng chưa biết:

a d bd cd
x y z
a b c a b c a b c
= = =
+ + + + + +
- Cách 2: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
. . .
; ;
x y z x y z d
a b c a b c a b c
a d b d c d
x y z
a b c a b c a b c
+ +
= = = =
+ + + +
⇒ = = =
+ + + + + +
b).Hướng khai thác từ bài trên như sau.
+Giữ nguyên điều kiện (1) thay đổi đk (2) như sau:
*
1 2 3
k x k y k z e+ + =
*
2 2 2
1 2 3
k x k y k z f+ + =
*x.y.z = g
+Giữ nguyên điều kiện (2) thay đổi đk (1) như sau:
-

− −
= =
+Thay đổi cả hai điều kiện
c)Bài tập
Bài tập 1: tìm 3 số x, y, z biết
2 3 4
x y z
= =
và x +y + z = 27
Giải: Cách 1.
Đặt
2 , 3 , 4
2 3 4
x y z
k x k y k z k= = = ⇒ = = =
Từ x + y + z = 27 ta suy ra
2 3 4 27 9 27 3k k k k k
+ + = ⇒ = ⇒ =
Khi đó x = 2.3 = 6; y = 3.3 = 9; z = 4.3 = 12
Vậy x = 6; y = 9; z = 12.
- Cách 2. áp dụng của dãy tỉ số bằng nhau ta có.

27
3
2 3 4 2 3 4 9
2.3 6; 3.3 9; 4.3 12
x y z x y z
x y z
+ +
= = = = =

x y z
+ − −
= = = = =
+ − −
⇒ = = =
Bài tập 3: Tìm 3 số x, y, z biết
2 3 4
x y z
= =
và
2 2 2
2 3 5 405x y z+ − = −
Giải:
- Cách 1: Đặt
2 3 4
x y z
= =
=k
- Cách 2: từ
2 3 4
x y z
= =

suy ra

2 2 2
2 2 2
4 9 16
2 3 5
8 27 90

x x
y
y y
z
z z
= ⇒ = ⇒ = ±
= ⇒ = ⇒ = ±
= ⇒ = ⇒ = ±
Vậy x= 6; y = 9; z = 12 hoặc x = -6; y = -9; z = -12.
Bài tập 4: Tìm 3 số x, y, z biết
2 3 4
x y z
= =
và x.y.z = 648
Giải:
- Cách 1: Đặt
2 3 4
x y z
= =
= k
- Cách 2: Từ
2 3 4
x y z
= =3
3
3
648

= =
Sau đó ta giải tiếp như bài tập 1.
Bài tập 6. Tìm x, y, z biết 3x = 2y; 4x = 2z và x + y+ z = 27
Giải: Từ
3 2
2 3
x y
x y= ⇒ =
Từ
4 2
2 4
x z
x z= ⇒ =
Suy ra
2 3 4
x y z
= =
sau đó giải như bài tập 1
Bài tập 7: Tìm x, y, z biết 6x = 4y = 3z và 2x + 3y – 5z = -21
Giải: từ 6x = 4y = 3z
6 4 3
12 12 12 2 3 4
x y z x y z
⇒ = = ⇒ = =
Sau đó giải tiếp như bài tập 2
Bài tập 8: Tìm x, y, z biết
6 3 4 6 3 4
5 7 9
x z y x z y− − −
= =

2 3 4
x y z− − −
= =
4 6 8 18 27 18
1
2 3 4 9 9
4
1 6
2
6
1 9
3
8
1 12
4
x y z x y z
x
x
y
y
z
z
− + − + − + + − −
= = = =
+ +
−
⇒ = ⇒ =
−
= ⇒ =
−

a c
− −
=
.
Giải:
8
PHƯƠNG PHÁP GIẢNG DẠY TỈ LỆ THỨC VÀ DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU TRONG ĐẠI SỐ7
Cách 1: Xét tích
( )
( )
(1)
(2)
a b c ac bc
a c d ac ad
− = −
− = −

Từ
(3)
a c
ad bc
b d
= ⇒ =
Từ (1), (2), (3) suy ra (a-b)c= a(c- d) suy ra
a b c d
a c
− −
=
- Cách 2: Đặt
,

a c
− −
=
- Cách 3: từ
a c b d
b d a c
= ⇒ =
Ta có:
1 1
a b a b b d c d
a a a a c c
− −
= − = − = − =
Do đó:
a b c d
a c
− −
=
- Cách 4:
Từ

a c a b a b
b d c d c d
a a b a b c d
c c d a c
−
= ⇒ = =
−
− − −
⇒ = ⇒ =

a b c a a c c
b b
a b c a b a b
+ + +
= = ≠
− − +
(với a
, )b a c≠ ≠
Lời giải:
a) - Cách 1: Xét tích chéo
9
PHƯƠNG PHÁP GIẢNG DẠY TỈ LỆ THỨC VÀ DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU TRONG ĐẠI SỐ7
- Cách 2: từ
2
a c
a bc
b a
= ⇒ =
Đặt
,
a c
k a bk c ak
b a
= = ⇒ = =
Ta có:

( )
( )
( )
( )

=
− −
- Cách 3: Ta có

( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
,
, 0
a a b
a b a ab bc ab
do a bc
a b a a b a ab bc ab
b c a
c a
a b
b c a c a
+
+ + +
= = = =
− − − −
+
+
= = ≠

a b c a
a b c a
+ −
= = ⇒ = = =
+ −
+ +
⇒ =
− −
b)
- Cách 1: xét tích chéo ( a
2
+ c
2
)b = a
2
b + c
2
b = bc.b + c
2
b = bc (b +c)
= (b
2
+ a
2
)c = b
2
c + a
2
c = b
2


Ta có
10
PHƯƠNG PHÁP GIẢNG DẠY TỈ LỆ THỨC VÀ DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU TRONG ĐẠI SỐ7

( )
( )
( )
2 2 2
2 2 2 2 2 4
2
2 2 2 2 2
2 2
2
2
1
, 0
1
b k k
a c b k b k
k b
b a b b k
b k
c k b
k
b b
+
+ +
= = = ≠
+ +

b a b b a b
= ⇒ = × = ≠
Từ (1) và (2) suy ra:
2 2
2 2
a c c
b a b
+
=
+
- Cách 4: Ta có
( )
( )
( )
2 2 2
2 2 2
, 0
c b c
a c bc c c
b c
b a b bc b b c b
+
+ +
= = = + ≠
+ + +
Do đó:
2 2
2 2
a c c
b a b

3 2 4
3 4
(1)
(2)
a a
a a a
a a
a
a
a a a
a a
= ⇒ =
= ⇒ =
Từ (1) và (2) suy ra
33 3
3 3 3
1 2 1 2 1 2 1
3 3 3
2 3 4 2 3 4 2 3 4 4
(3)
a a a
a a a a a a a
a a a a a a a a a a
= = ⇒ = = = × × =
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
3 3 3 3
3 3
3 1 2 3
1 2
3 3 3 3 3 3

1
2 3 4 4
a a a
a
a a a a
 
+ +
=
 ÷
+ +
 
Bài tập 4: Biết
bz cy cx az ay bx
a b c
− − −
= =
11
PHƯƠNG PHÁP GIẢNG DẠY TỈ LỆ THỨC VÀ DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU TRONG ĐẠI SỐ7
Chứng minh rằng
x y z
a b c
= =
Giải: Ta có
2 2 2
bz cy cx az ay bx abz acy bcx baz cay cbx
a b c a b c
− − − − − −
= = = = =
2 2 2
0

x
+−
=
−+
=
++ 4422
.Chứng minh rằng
zyx
c
zyx
b
zyx
a
+−
=
++
=
++ 4422
(với
0≠abc
và các mẫu đều khác 0)
Lời giải:
áp dụng của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
)1(
9
2
224442
2
224
2

2
4422 b
zyx
cbacbacba
byx
cba
x
cba
z
cba
y
cba
x
−+
=
+−−−++−+
−+
=
++
=
+−
=
−+
=
++
)3(
9
44
44)448(484
44

−+
=
++
Từ (1),(2),(3) suy ra
c
byx
b
zyx
a
zyx
9
44
9
2
9
2 +−
=
−+
=
++
suy ra
zyx
c
zyx
b
zyx
a
+−
=
++

++
++
===
cbacba
Suy ra

102
5
42
4
42
2
=→=
=→=
=→=
c
c
b
b
a
a
Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy độ dài ba cạnh của tam giác đó là 4cm,8cm,10cm
Có thể thay điều kiện ( 2) như sau : biết hiệu giữa cạnh lớn nhất và cạnh nhỏ
nhất bằng 3.Khi đó ta có được
c-a=3
Bài tập 2:
Ba lớp 7A,7B,7C cùng tham gia lao động trồng cây ,số cây mỗi lớp trồng được
tỉ lệ với các số 2;4;5 và 2 lần số cây của lớp 7A cộng với 4 lần số cây của lớp 7B thì
hơn số cây của lớp 7C là 119 cây.Tính số cây mỗi lớp trồng được .

c
b
b
a
a
Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy số cây trồng được của 3 lớp 7A,7B,7C lần lượt là 21cây,28cây,35cây
Bài tập 3:Tổng các luỹ thừa bậc ba của 3 số là -1009.Biết tỉ số giữa số thứ nhất và số
thứ hai là
3
2
,giữa số thứ hai và số thứ 3 là
9
4
.Tìm ba số đó.
Gọi 3 số phải tìm là a,b,c
Theo bài ra ta có
2 4
;
3 9
a a
b c
= =
và
3 3 3
1009a b c
+ + = −
Giải tiếp ta được a=-4 , b=-6, c=- 9
Bài tập 4: Ba kho thóc có tất cả 710 tấn thóc, sau khi chuyển đi
1

a b c= =
và a+b+c=710
từ
4 5 10 4 5 10
5 6 11 5.20 6.20 11.20
a b c a b
c
= = ⇒ = =
710
10
25 24 22 25 24 22 71
a b c a b c
+ +
⇒ = = = = =
+ +
Suy ra a=25.10=250; b=24.10=240 ; c=22.10=220.
Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy số thóc lúc đầu của của kho I,II,III lần lượt là 250tấn , 240 tấn, 220 tấn.
Bài tập 3: Trong một đợt lao động ba khối 7,8,9 chuyển được 912
3
m

đất , trung bình mỗi học sinh khối 7,8,9theo thứ tự làm được
3 3 3
1,2 ;1,4 ;1,6m m m
Số học sinh khối 7 và khối 8 tỉ lệ với 1 và 3 ; số học sinh khối 8 và khố 9 tỉ lệ với 4
và 5 . Tính số học sinh của mỗi khối .
Lời giải:
Gọi số học sinh của khối 7,8,9 lần lượt là a,b,c(học sinh)(a,b,c là số nguyên
dương)

Học sinh sai lầm như sau :
. 10
1
2 5 2.5 10
x y x y
= = = =
suy ra x=2,y=5
Bài làm đúng như sau:
Từ
2
2
. . 10
4 2
2 5 2 5 2 5
x y x x x y x
x x
= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ±
từ đó suy ra
5y
= ±
vậy x= 2,y= 5 hoặc x=-2, y= -5
hoặc từ
2 2
2 2
10
. 1 4 2
2 5 4 2 5 4 10
x y x x y x
x x
= ⇒ − ⇒ = = ⇒ = ⇒ = ±

+ + +
.
Tìm giá trị của mỗi tỷ số đó
Cách 1:Ta có
a b c
b c c a a b
= =
+ + +
áp dụng của dãy tỉ số bằng nhau ta có
( ) ( ) ( ) ( )
2
a b c a b c a b c
b c c a a b b c c a a b a b c
+ + + +
= = = =
+ + + + + + + + + +
học sinh thường bỏ quên đk a+b+c=0 mà rút gọn luôn bằng
1
2
ta phải làm như sau
+ Nếu a+b+c=0 thì b+c=-a; c+a= -b; a+b= -c
nên mỗi tỉ số
; ;
a b c
b c c a a b+ + +
đều bằng -1
+ Nếu a+b+c
≠
0 khi đó
( )

Cách 2:Từ (1) suy ra
1 1 1 1
x y z t
x z t z t x t x y x y z
+ = + = + = +
+ + + + + + + +
x y z t x y z t x y z t x y z t
y z t z t x x y t x y z
+ + + + + + + + + + + +
→ = = =
+ + + + + + + +
ở cách 1 học sinh mắc sai lầm như bài tập 3
ở cách 2 học sinh mắc sai lầm suy ra luôn y+z+t=z+t+x=x+y+t=x+y+z
15
PHƯƠNG PHÁP GIẢNG DẠY TỈ LỆ THỨC VÀ DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU TRONG ĐẠI SỐ7
Phải làm đúng như sau :
Nếu x+y+z+t
0
≠
suy ra y+z+t=z+t+x =x+y+t=x+y+z suy ra x=y=z=t suy ra P=4
Nếu x+y+z+t =0
→
x+y=-(z+t);y+z=-(t+x).Khi đó P=-4
ở bài 3 và bài 4 đều có hai cách như nhau .Nhưng ở bài tập 3 nên dùng cách 1,bài tập
4 nên dùng cách 2
Bài tập tương tự :
1)Cho a,b,c là ba số khác 0 thoả mãn điều kiện
a b c b c a c a b
c a b
+ − + − + −

x
+ − + −
= =
” Như sau:
Ta có:
2 1 3 2 2 3 1
5 7 6
x y x y
x
+ − + −
= =
(1)
Từ hai tỷ số đầu ta có:
2 1 3 2 2 3 1
5 7 12
x y x y+ − + −
= =
(2)
Từ (1) và (2) ta suy ra
2 3 1
6
x y
x
+ −
2 3 1
12
x y+ −
=
(3)
→

18 24 6
y y y
x
+ + +
= =
Giải tương tự như bài tập 5 nhưng bài này chỉ có một trường hợp
16
PHƯƠNG PHÁP GIẢNG DẠY TỈ LỆ THỨC VÀ DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU TRONG ĐẠI SỐ7
3.Sai lầm khi xét luỹ thừa bậc chẵn
Học sinh thường sai lầm nếu A
2
= B
2
suy ra A=B
Bài tập 7:Tìm x biết
1 60
15 1
x
x
− −
=
− −
Giải:
1 60
15 1
x
x
− −
=
− −

9
k k k
k
k
+ − = −
− = −
=
Học sinh thường mắc sai lầm suy ra k=3,mà phải suy ra
3k
= ±
17
PHƯƠNG PHÁP GIẢNG DẠY TỈ LỆ THỨC VÀ DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU TRONG ĐẠI SỐ7
B.ỨNG DỤNG VÀO CÔNG TÁC GIẢNG DẠY:
I. Quá trình áp dụng của bản thân:
Bản thân tôi sau khi nghiên cứu xong đề tài này đã thấy mình hiểu sâu hơn về tỉ lệ
thức và dãy tỉ số bằng nhau. Tôi giảng dạy chuyên đề này cho 3 đối tượng học sinh
TB, Khá, Giỏi, tùy theo từng đối tượng mà tôi chọn bài cho phù hợp thì thấy đa số
các em tiếp thu nội dung trong chuyên đề một cách dễ dàng, các em rất hứng thú khi
tự mình có thể lập ra các bài toán.
II. Hiệu quả khi áp dụng đề tài:
Khi giảng dạy xong chuyên đề này cho học sinh tôi đã cho các em làm bài
kiểm tra và kết quả thu được như sau :
LỚP SĨ SỐ
GIỎI KHÁ TB
SL % SL % SL %
7A 35 22 62,9% 9 25,7% 4 11,4%
7B 30 15 50% 7 23,3% 8 26,7%
III. Những bài học kinh nghiệm rút ra, hướng nghiên cứu tiếp theo.
1. Qua đề tài này tôi nhận thấy rằng muốn dạy cho học sinh hiểu và vận dụng
một vấn đề nào đó trước hết người thầy phải hiểu vấn đề một cách sâu sắc vì vậy