www.VIETMATHS.com
63
ĐẠO HÀM
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
1.1. Định nghĩa : Cho hàm số
y f x
xác định trên khoảng
;ab
và
0
;x a b
, đạo hàm của hàm số
tại điểm
0
x
là :
0
0
0
0
' lim
xx
f x f x
.
Nếu hàm số
y f x
có đạo hàm tại
0
x
thì nó liên tục tại điểm đó.
2. Ý nghĩa của đạo hàm
2.1. Ý nghĩa hình học: Cho hàm số
y f x
có đồ thị
C
0
'fx
là hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị
C
của hàm số
y f x
tại
Cường độ tức thời của điện lượng
Q Q t
tại thời điểm
0
t
là :
00
'I t Q t
.
3. Qui tắc tính đạo hàm và công thức tính đạo hàm
3.1. Các quy tắc : Cho
; ; :u u x v v x C
là hằng số .
' ' 'u v u v
. ' '. '. . .u v u v v u C u C u
22
11
. . . , , 2
n n n n
x n x u nu u n n
1
, 0 , 0
22
u
x x u u
xu
sin cos sin . cosx x u u u
xu
xu
.
4. Vi phân
4.1. Định nghĩa :
www.VIETMATHS.com
64
Cho hàm số
y f x
có đạo hàm tại
0
x
vi phân của hàm số
y f x
tại điểm
0
x
là :
00
.df x f x x
0 0 0
.f x x f x f x x
.
5. Đạo hàm cấp cao
5.1. Đạo hàm cấp 2 :
Định nghĩa :
f x f x
Ý nghĩa cơ học: Gia tốc tức thời của chuyển động
s f t
tại thời điểm
0
t
là
00
a t f t
.
5.2. Đạo hàm cấp cao :
y
x
o Bước 2 : Tìm giới hạn
0
lim
x
y
x
Cách 2 : Áp dụng công thức:
0
0
0
0
' lim
xx
f x f x
fx
xx
3
34f x x
tại
0
3x
; b)
3
khi
khi
22
10 16 2
x x x
fx
xx
tại
0
2x
.
Ví dụ 3. Tìm đạo hàm của các hàm số sau theo định nghĩa :
a)
32
21y x x
; b)
x
tại
0
4x
; d)
2
cosf x x
tại
0
4
x
;
Bài 2. Xét tính liên tục và sự tồn tại đạo hàm và tính đạo hàm của các hàm số sau đây trên .
a)
2
khi
khi
43
1
1
3 5 1
xx
x
;
c)
2
32f x x x
; d)
5
f x x
.
www.VIETMATHS.com
65
Bài 3. Tìm đạo hàm của các hàm số sau theo định nghĩa :
a)
32
3 2 1f x x x x
; b)
3
f x x
;
c)
1
1
x
;
c)
2
4
3f x x x
; d)
3
tan 2 1f x x
.
Bài 5. Có bao nhiêu tiếp tuyến của
32
: 3 6 5C y x x x
có hệ số góc âm ?
.
1.4. Các ví dụ minh họa :
Ví dụ 1. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
a)
43
1
2 2 5
3
2
2
1
1
xx
y
xx
.
Ví dụ 3. Chứng minh các công thức tổng quát sau
a)
2
2
11
1 1 1 1
22
2
1 1 1
1 1 1
2
ab
a c b c
xx
ab
a c b c
ax bx c
a x b x c
a x b x c
; (
11
, , , ,a b c a b
là hằng số) .
Ví dụ 4. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
a)
24
( 1)y x x
; b)
2
3
( 1)
( 1)
x
y
x
; c)
xx
; c)
2
1 tan 3
2
1 tan 3
x
y
x
.
Chú ý : Khi gặp các hàm số phức tạp nếu có thể ta hãy rút gọn hàm số rồi hãy đi tính đạo hàm , đặc
biệt là đối với các hàm số có chứa các hàm số lượng giác.
Ví dụ 7. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
a)
2
(sin cos )y x x
; b)
tan coty x x
;
c)
35
;
c)
0 , 0;2f x x
; d)
0 , ;2f x x
.
www.VIETMATHS.com
66
Ví dụ 9. Cho hàm số :
32
4 5 1
32
mm
f x x x m x m
. Tìm
m
để :
a)
0,f x x
4 2 3y x x x x
;
e)
2
3
2
2
x b a
y c x b
a
x
(
,,abc
là hằng số) .
Bài 7. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
a)
5
(2 3)( 2 )y x x x
; b)
(2 1)(3 2)y x x x
; c)
1
11yx
x
2 4 5
21
xx
y
x
; h)
2
1
1
yx
x
; i)
2
53
1
x
y
xx
; k)
2
2
1
;
e)
2
12y x x
; f)
22
11y x x
;
g)
y x x x
; h)
3
3
31y x x
;
i)
2
3
21
3
x
y
x
y
2cos2sin2
2cos2sin
; d)
4sin cos5 .sin6y x x x
;
e)
sin2 cos2
sin2 cos2
xx
y
xx
; f)
sin cos
cos sin
x x x
y
x x x
;
g)
1
;
n)
xxy 2cos2sin
33
; o)
sin cos3yx
;
p)
22
sin cos cos3yx
; q)
2
52
3
cot cos
2
x
y
x
4
';
2
';';0'
ffff
.
b) Cho hàm số
x
x
xfy
2
2
sin1
cos
. Chứng minh:
3 ' 3
43
ff
2 2 2
22
cos cos cos
33
y x x x
; f)
tan . 1 sin
42
sin
x
x
y
x
;
g)
sin sin2 sin3 sin4
cos cos2 cos3 cos4
x x x x
xx
x
.
Bài 13. Cho các hàm số :
xxxf
44
cossin
,
xxxg
66
cossin
. Chứng minh :
0'2'3 xgxf
.
Bài 14. a) Cho hàm số
2
1 xxy
. Chứng minh :
yyx '.12
2
.
b) Cho hàm số
cot2yx
. Chứng minh :
2
' 2 2 0yy
'y
có thể viết được thành bình phương của nhị thức ;
c)
' 0 ,yx
;
d)
' 0 , 1; 2yx
;
e)
' 0 , 0yx
.
Bài 17. Cho hàm số
32
1
13
3
y mx m x mx
. Xác định
m
để :
a)
' 0 ,yx
.
b)
'0y
có hai nghiệm phân biệt cùng âm ;
c)
'0y
có
'0y
trên một đoạn có độ dài bằng 1 .
www.VIETMATHS.com
68
Bài 20. Cho hàm số
4 2 2
9 10 1 laø tham soáy mx m x m
. Xác định
m
để hàm số có
'0y
có 3
nghiệm phân biệt .
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong
2.1. Phương pháp :
Khi biết tiếp điểm : Tiếp tuyến của đồ thị
:C y f x
tại
00
;M x y
, có phương trình là :
Chú ý :
Hệ số góc của tiếp tuyến tại
00
,M x y C
là
0
tank f x
Trong đó
là góc giữa
chiều dương của trục hoành và tiếp tuyến .
Hai đường thẳng song song với nhau thì hệ số góc của chúng bằng nhau .
Hai đường thẳng vuông góc nếu tích hệ số góc của chúng bằng
1
.
Biết tiếp tuyến đi qua điểm
11
;A x y
:
Viết phương trình tiếp tuyến của
y f x
a) Tại điểm
0
1; 2M
;
b) Tại điểm thuộc
C
và có hoành độ
0
1x
;
c) Tại giao điểm của
C
với trục hoành .
d) Biết tiếp tuyến đi qua điểm
1; 4A
.
Ví dụ 2. Cho đường cong
31
:
1
x
Cy
x
. Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị
C
, hãy tìm tiếp
tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.
Ví dụ 4. Cho hàm số
2
1
23
x
y
x
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó
cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.
(Khối A – 2009) .
Ví dụ 5. Cho hàm số
32
32y x x C
. Tìm các điểm thuộc đồ thị
C
mà qua đó kẻ được một và chỉ
một tiếp tuyến với đồ thị
C
;
b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng :
4 9 0xy
;
c) Vuông góc với đường thẳng :
2 4 2011 0xy
;
d) Biết tiếp tuyến đi qua điểm
1; 0A
.
Bài 22. Cho hàm số :
31
1
x
yC
x
.
a) Viết phương trình tiếp tuyến của
C
tại điểm
1; 1M
;
b) Vết phương trình tiếp tuyến của
3y x x C
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
C
tại điểm
1; 2I
.
b) Chứng minh rằng các tiếp tuyến khác của đồ thị
C
không đi qua
I
.
Bài 24. Cho hàm số
2
1y x x C
.Tìm phương trình tiếp tuyến với
C
:
a) Tại điểm có hoành độ
0
1
2
x
;
b) Song song với đường thẳng :
. Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến của đồ
thị của hàm số (1) tại điểm
2 ; 5M
.
(Dự bị D
1
- 2008)
Bài 27. Cho hàm số
3
34y x C
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
C
biết tiếp tuyến tạo với
đường thẳng
: 3 6 0d y x
góc
0
30
.
Bài 28. Cho hàm số
32
3 9 5y x x x C
. Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị
- 2003)
Bài 30. (*) Cho hàm số
2
1
x
yC
x
. Tìm điểm
MC
, biết tiếp tuyến của
C
tại
M
cắt hai trục tọa độ tại
,AB
và tam giác
OAB
có diện tích bằng
1
2
.
(Khối D - 2007)
www.VIETMATHS.com
70
x
. Chứng minh rằng qua điểm
1; 1A
kẻ được hai tiếp tuyến với
C
và
hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
Bài 33. (*) Cho hàm số
32
1
23
3
y x x x C
. Qua điểm
44
;
93
A
có thể kẻ được mấy tiếp tuyến đến đồ
thị
C
C
.
3. Tìm vi phân của hàm số và tính gần đúng nhờ vi phân
3.1. Phương pháp :
Dựa theo định nghĩa và công thức sau :
Cho hàm số
y f x
có đạo hàm
fx
thì tích
.f x x
được gọi là vi phân của hàm số
y f x
.
Kí hiệu :
df x f x x f x dx
hay
Ví dụ 2. Tìm vi phân của các hàm số sau :
a)
sin
sin
xx
y
xx
; b)
32
1
tan cot 3
2
y x x
.
Ví dụ 3. Tính gần đúng các giá trị sau (lấy 4 chữ số thập phân trong kết quả) :
a)
8,99
; b)
0
cos46
; c)
0
tan59 45'
.
3.3. Bài tập áp dụng:
Bài 36. Tìm vi phân của các hàm số sau :
a)
;
e)
3
cot (2 )
4
yx
; f)
sin(cos ) cos(sin )y x x
.
Bài 37. Cho hàm số
33
sin cos
1 sin .cos
xx
y
xx
.
Chứng minh đẳng thức :
. cos2 . 0y dy xdx
.
www.VIETMATHS.com
1
, , 2
nn
f x f x n n
.
Chú ý :
Để tìm công thức tính đạo hàm cấp
n
của một hàm số ta tìm đạo hàm cấp 1 , 2 , 3 … sau đó dự đoán
công thức tính đạo hàm cấp
n
và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp .
4.2. Các ví dụ minh họa :
Ví dụ 1. Tìm đạo hàm các cấp đã chỉ ra của các hàm số sau :
a)
4 3 2
12
5 4 7
43
y x x x x
. Tìm
;
b)
2 2 2
khi2 1 0 .tanx y x y y y x x
.
Ví dụ 3. Chứng minh bằng quy nạp các công thức sau đúng
*
n
:
a)
sin sin
2
n
n
n
ax a ax
; b)
n
an
ax b
ax b
.
Ví dụ 4. Tìm các đạo hàm cấp
n
của các hàm số sau :
a)
41
21
x
y
x
; b)
2
35
1
xx
y
x
.
Ví dụ 5. Tìm các đạo hàm cấp
n
2
sin 2y x
tìm
y
;
c)
5
21y x
tìm
5
y
; d)
2
31
2
y
xx
x
tìm
4
y
.
Bài 40. Chứng minh các đẳng thức sau :
d)
4
2 4 40y xy y
nếu
2
2
1yx
;
e)
"1'2
2
yyy
nếu
4
3
x
x
y
;
f)
0'.4".14
; b)
2
3
2
y
xx
; c)
2
2
21
x
y
xx
;
d)
2
2
4 5 3
2 3 1
xx
y
0
0
0
0
' lim
xx
f x f
fx
xx
để tính các giới hạn có dạng vô định . Bằng cách viết giới hạn cần tìm thành dạng :
0
0
0
lim
xx
f x f
xx
,
sau đó tính đạo hàm của hàm
x
xx
x
.
Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau :
a)
2
1
lim
1
n
x
x x x n
x
; b)
2
1
)1(
1
lim
x
nnxx
n
.
5.3. Bài tập áp dụng:
Bài 42. Tìm các giới hạn sau :
a)
2
1
83
lim
23
x
x
xx
; b)
3
1
32
lim
;
e)
1
1
lim
4
3
1
x
x
x
; f)
0
1 2 1
lim
1 3 1
n
m
x
x
x
lim
.sin2
x
xx
xx
; d)
)1tan(
23
lim
1
x
xx
x
;
e)
xx
x
x
sin
cos1
lim
3
0
lim
x
xx
x
;
i)
2 2 2
2
1
3 2 4 19 3 46
lim
1
x
x x x x
x
. 6. Tính các tổng có chứa tổ hợp
6.1. Phương pháp :
Trong phần đại số tổ hợp khi áp dụng nhị thức Newton để tính các tổng có chứa các công thức tổ hợp đôi
khi ta phải biết áp dụng khéo léo việc lấy đạo hàm các cấp của các vế ta sẽ tính được tổng cần tính .
6.2. Các ví dụ minh họa :
S C C C n C
; d)
0 1 2
4
2 5 8 3 2
n
n n n n
S C C C n C
.
6.3. Bài tập áp dụng:
Bài 44. Rút gọn các tổng sau :
a)
1 2 1
1
2 ( 1)
nn
n n n n
S C C n C nC
;
b)
0 1 2 1
2
2 3 ( 1)
nn
n n n n n
2.1. 2 3.2. 2 380.S C C C
.
c)
2 1 2 2 2 3 2 2009
3 2009 2009 2009 2009
1 . 2 . 3 . 2009 .S C C C C
.
d)
0 1 2 2010
4 2010
3 5 7 4023
n n n
S C C C C
.
Bài 46. Cho số nguyên n thỏa mãn đẳng thức
33
35, 3
12
nn
AC
n
nn
. Tính tổng :
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2.2 3.2 4.2 2 1 .2 2011
nn
n n n n n
C C C C n C
(
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử ) .
www.VIETMATHS.com
74
Copyright: Tài liệu đại học ©