Chuyên đề BDHSG Toán 8 - Cực trị
Chuyên đề : Cực trị
A. Lí thuyết
1. Để tìm cực trị của biểu thức f(x) trong TXĐ D ta thờng làm nh sau:
- C/m f(x)
k
hoặc f(x)
k
với k là hằng số.
- Tìm x = a
D
để f(a) = k.
- Kết luận GTNN hoặc GTLN của f(x) là k khi x = a.
2. Ta thờng sử dụng nhũng kiến thức cơ bản sau:
+
0A
+
A B A B+ +
. Đẳng thức xảy ra
. 0A B

+
A B A B
. Đẳng thức xảy ra khi
0A B
hoặc
0A B
+ A
2

0

A B
B A
+
.Đẳng thức xảy ra
A B
=
(với A,B dơng.)
+ Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki:
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
a b a b a a b b+ + +
Đẳng thức xảy ra
1 2 2 1
a b a b =
B. Bài tập
I. Tìm GTLN hoặc GTNN của tam thức bậc hai : ax
2
+bx+c
1. Tìm GTNN của :
http:/violet.vn/sonhienhoa1981
1
Chuyên đề BDHSG Toán 8 - Cực trị
a. A =
2
1x x+ +
b. B =
2

2
2
5 2042 2042x x+
GTNN của A = -2042
2
0
5 0
5
x
x x
x
=

+ =

=

b. GTNN của B = 1970
2
7
x
x
=



=

4. Cho hai số x,y thoả mãn x + y = 1. Tìm GTNN của M = 5x
2

1
9 12 10x x +
b) B =
2
2
4x x+ +
ĐS: a) GTLN của A =
1
6
khi x =
2
3
http:/violet.vn/sonhienhoa1981
2
Chuyên đề BDHSG Toán 8 - Cực trị
b) GTLN của B =
8
15
khi x =
1
2

2. Tìm GTNN của :
a) A =
2
2
2 3
( 0)
x x
x

2 2 2 2 2
2 2 2 2
1 4 4 4 3( 1) ( 1) 3 ( 1) 3
( 1) 4( 1) 4( 1) 4 4( 1) 4
x x x x x x x
x x x x
+ + + + +
= = = +


GTNN của B =
3
4
khi x = -1
3. Tìm GTLN của biểu thức : M =
3 3
1 1
x y
y x
+
+ +
với x,y dơng và xy = 1.
HD: M =
3 3
1 1
x y
y x
+
+ +
=

+ + + + +
=
+ + + +
GTNN của A = 1 khi x = y= 1
4. Tìm GTLN của M =
2
( 0)
( 2006)
x
x
x
>
+
ĐS: GTLN của M =
1
8024
khi x = 2006
5. Tìm GTLN và GTNN của M =
2
4 3
1
x
x
+
+
ĐS : GTNN của A = -1 khi x = -2
GTLN của A = 4 khi x =
1
2
http:/violet.vn/sonhienhoa1981

+ +

HD: Vì ab = 1 nên ta có : (a
2
- b)
2
= a
4
+ b
2
2a
2
b
0


a
4
+ b
2


2a
2
b
4 2 2
1
2 2
a a
a b a b


=

= = =


=

III. Một số bài toán cực trị hình học.
Bài 1. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Từ điểm M bất kì trên đờng chéo AC
vẽ MH vuông góc với AB; MK vuông góc với BC. Xác định vị trí của M trên AC sao
cho tổng diện tích của tam giác vuông ADH, BHK, DCK lớn nhất.
HDẫn
Ta có :
AHM
và
CKM
là các tam giác vuông cân
nên AH = HM = BK, CK = HB. Do đó AH + CK = a.
http:/violet.vn/sonhienhoa1981
4
A
B
K
CD
M
H
Chuyên đề BDHSG Toán 8 - Cực trị
2
1

thì là độ dài cạnh nhỏ nhất.
HD: Giả sử c không phảI là cạnh nhỏ nhất, chảng hạn : c
a
2 2
2 4 ( )c c a b c a c b + > + >
Lại có :
2 2 2 2 2 2 2 2 2
4 5c a c c a b c a b + > + > +
. Trái giả thiết.
Vậy c là độ dài cạnh nhỏ nhất.
Bài 3. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD lần lợt lấy các điểm
M,N,P,Q . Tìm điều kiện để tứ giác MNPQ có chu vi nhỏ nhất.
HD: Gọi E,F,G lần lợt là trung điểm của các đoạn MQ, MP, NP. Ta có :
AE =
1 1 1 1
, , ,
2 2 2 2
MQ CG NP EF PQ FG MN= = =
Chu vi tứ giác MNPQ là:
P = MN +NP + PQ+ QM = 2FG + 2CG + 2EF + 2AE
= 2(AE + EF + FG + GC)
2AC
http:/violet.vn/sonhienhoa1981
5
A M B
N
C
P
D
Q

2
+ y
2
= 1. Tìm GTLN của biểu thức
6 6
x y
+
HD: A =
6 6 2 2 4 2 2 4 4 2 2 4 2 2 2 2 2
(x + y )( ) ( ) 3x y x x y y x x y y x y x y
+ = + = + = +

= 1 - 3
2 2
1x y
Vậy GTLN của A = 1
2 2
0
1
0
0
1
x
y
x y
y
x
=