Chuyên đề: Phương trình

Bất phương trình

hệ phương trình Mũ_Logarit

1
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. Hàm số mũ
 y=a
x
; TXĐ D=R
 Bảng biến thiên
a>1 0<a<1
x
 0 +
x
 0 +
y
+
1

y
+
1

 Đồ thị
f(x)=3^x
-17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1
-15
-14

-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
x
yII. Hàm số lgarit
 y=log
a
x, ĐK:





10
0
a
x
; D=(0;+)
 Bảng biến thiên

-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
y=x
y=3
x
y=log
3
x

f(x)=ln(x)/ln(1/3)
f(x)=(1/3)^x
f(x)=x
-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
-15
-14
-13
-12
-11
-10
-9
-8
-7

a


;(
n
a
1
=a
m
; a
0
=1; a
1
=
a
1
);
(a
n
)
m
=a
nm
; (ab)
n
=a
n
b
n
;

>0;

R ta có:
log
a
(x
1
x
2
)=log
a
x
1
+log
a
x
2
; log
a
2
1
x
x
= log
a
x
1
log
a
x



;(log
a
a
x
=x); log
a
x=
a
x
b
b
log
log
;(log
a
b=
a
b
log
1
)
log
b
a.log
a
x=log
b
x; a

0
.
Chú ý: Nếu a chứa biến thì (1) (a1)[f(x)g(x)]=0
Đặt ẩn phụ: Ta có thể đặt t=a
x
(t>0), để đưa về một phương trình đại số..
Lưu ý những cặp số nghịch đảo như: (2
3
), (7
43
),… Nếu trong một phương trình có chứa {a
2x
;b
2x
;a
x
b
x
}
ta có thể chia hai vế cho b
2x
(hoặc a
2x
) rồi đặt t=(a/b)
x
(hoặc t=(b/a)
x
.
Phương pháp logarit hóa: a
f(x)









xgxf
xgxf
a
00
10
.
Đặt ẩn phụ.
2. Bất phƣơng trình mũlogarit
a. Bất phương trình mũ:
 a
f(x)
>a
g(x)

     
 





01

 f(x)g(x).
* Nếu 0<a<1 thì: a
f(x)
>a
g(x)
 f(x)g(x);
a
f(x)
a
g(x)
 f(x)g(x).
b. Bất phương trình logarit:
log
a
f(x)>log
a
g(x)
   
     
 








01
0,0

f(x)>log
a
g(x) 
   
 





0xg
xgxf
;
+ Nếu 0<a<1 thì: log
a
f(x)>log
a
g(x) 
   
 





0xf
xgxf
.
Nhận xét: Mặc dù cùng cơ số 2 nhưng không thể biến đổi để đặt được ẩn phụ do đó ta phải phân tích thành
tích:
 
 
2
2
2 1 . 2 4 0
x x x
  
. Đây là phương trình tích đã biết cách giải.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
 
 
2
9 3 3
2 log log .log 2 1 1x x x  
.
Nhận xét: Tương tự như trên ta phải biến đổi phương trình thành tích:
 
3 3 3
log 2log 2 1 1 .log 0x x x

   

.
Đây là phương trình tích đã biết cách giải.
Tổng quát: Trong nhiều trường hợp cùng cơ số nhưng không thể biến đổi để đặt ẩn phụ được thì ta biến đổi
thành tích.
II. Đặt ẩn phụ-hệ số vẫn chứa ẩn
Ví dụ 1: Giải phương trình:

.
Tính chất 3: Nếu hàm f tăng và g là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=g(x) có nhiều
nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b).
Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn tại F'(x) trên khoảng (a;b) thì
 
bac ;
:
 
   
ab
aFbF
cF


'
. Khi áp dụng giải phương trình nếu có F(b) – F(a) = 0 thì
     
; : ' 0 ' 0c a b F c F x    
có nghiệm thuộc (a;b).
Định lý Rôn: Nếu hàm số y=f(x) lồi hoặc lõm trên miền D thì phương trình f(x)=0 sẽ không có quá hai nghiệm
thuộc D.
Ví dụ 1: Giải phương trình:
2
log
2.3 3
x
x 
.
Hướng dẫn:
22

sao cho:
   
1
'1
0 1 0 0, 1f c c c


  



       


, thử lại ta thấy x = 0, x = 1 là nghiệm của
phương trình.
Ví dụ 3: Giải phương trình:
2
12
2 2 ( 1)
x x x
x

   
. Viết lại phương trình dưới dạng
2
12
2 1 2
x x x
x x x

Bất phương trình

hệ phương trình Mũ_Logarit

4
Ví dụ 5: Chứng minh hệ phương trình
2
2
2007
1
2007
1
x
y
y
e
y
x
e
x











22
ba
ab
ab
   
  
   
   
(ĐH Khối D2007)
HD: BĐT
11
ln 2 ln 2
11
22
ln 2 ln 2
22
ab
ab
ab
ab
ba
ab
   

   
   
   
     
   
   

log 7
t
xx
Khi đó phương trình trở thành:
3
71
log ( 7 2) 3 7 2 1 2.
33
t
t
t t t
t


       




.
2.Dạng 2: Khác cơ số và biểu thức trong dấu log phức tạp
Ví dụ 1: Giải phương trình
 
4
22
5
6
log ( 2 2) 2log 2 3x x x x    
.
Đặt t = x

log
b
xc
ax


( Điều kiện: b = a + c )
Ví dụ 1: Giải phương trình
 
7
log 3
4
x
x


. Đặt
 
7
log 3 7 3
t
t x x    
, phương trình tương
đương
41
4 7 3 3. 1
77
tt
tt
   

xx

   
.
4. Dạng 4:
 
log
ax b
s
s c dx e x


   
, với
,d ac e bc

   

Phƣơng pháp: Đặt
log ( )
s
ay b dx e  
rồi chuyển về hệ hai phương trình, lấy phương trình hai trừ phương
trình một ta được:
ax b ay b
s acx s acy

  
. Xét
 

x
x
xy
y
y
y
xy
yx
x






  


    

  





. Xét hàm số
 
1
76

Ví dụ: Giải phương trình
1 1 1
8 2 18
2 1 2 2 2 2 2
x
x x x x  

   

HD: Viết phương trình dưới dạng
1 1 1 1
8 1 18
2 1 2 2 2 2 2
x x x x   

   
, đặt
11
2 1, 2 1. , 0
xx
u v u v

    
.
Nhận xét: u.v = u + v. Từ đó ta có hệ:
8 1 18
.
u v u v
u v u v


3
3 5 16 3 5 2
xx
x
   

e.
   
2 1 2 1 2 2 0
xx
    
(ĐH_Khối B 2007) ĐS: x=1, x=1.
f. 3.8
x
+4.12
x
18
x
2.27
x
=0. (ĐH_Khối A 2006) ĐS: x=1.
g.
22
2
2 4.2 2 4 0
x x x x x
   
(ĐH_Khối D 2006) ĐS: x=0, x=1.
k.
22



b.
2
( ) 1
5 125
41
xy
xy










c.
2 2 12
5
xy
xy







   





(ĐH_Khối B 2005) ĐS: (1;1), (2;2).
f.
 
14
4
22
1
log log 1
25
yx
y
xy

  





(ĐH_Khối A 2004) ĐS: (3;4)
g.
32
1
2 5 4



.
Bài 4: Cho phương trình
22
33
log log 1 2 1 0x x m    
(m là tham số). (ĐH_Khối A 2002)
a. Giải phương trình khi m=2.
b. Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn
3
1;3


.
ĐS: a.
3
3x


, b. 0  m  2