Người Thầy MỖI NGÀY MỘT TẦM CAO MỚI
Một phương pháp giải bài toán chia hết
Khi gặp bài toán chứng minh F (n)
.
.
. A với n ∈ N ta vẫn thường sử
dụng phương pháp quy nạp. Cụ thể các bước của phương pháp quy nạp
là
1. F(1)
.
.
. A
2. Giả sử F (n)
.
.
. A ta chứng minh F (n + 1)
.
.
. A.
Nhưng để ý rằng: Nếu a
.
.
. c thì b
.
.
. c ⇔ a − b
.
.
. c
Vậy ta có thể xem nó là một dạng khác của phương pháp quy nạp. Tức
là để chứng minh F (n)

n
− 15 = 15(16
n
− 1)
Vì 16
n
− 1
.
.
. 15 nên ta có F (n + 1) − F (n)
.
.
. 225 (đpcm).
Bài 2. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, n ≥ 1 thì
G(n) = 3
2n+3
+ 40n − 27
chia hết cho 64.
1 05/05/2014
Người Thầy MỖI NGÀY MỘT TẦM CAO MỚI
Giải
Ta có ngay G(1) = 256
.
.
. 64.
Giả sử G(n)
.
.
. 64 ta chứng minh G(n + 1) − G(n)
.

2n+3
.
.
. 8
Do đó, ta có G(n + 1) − G(n)
.
.
. 64. (đpcm).
Bài 3. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, n ≥ 1 ta có
1. 10
n
+ 18n − 1 chia hết cho 27;
2. 2
2n+1
+ 1 chia hết cho 3;
3. 10
n
− 4
n
+ 3n chia hết cho 9;
4. 4
n
+ 15n − 1 chia hết cho 9;
Giải
1. Đặt F(n) = 10
n
+ 18n − 1.
Ta có F (1) = 27
.
.

Người Thầy MỖI NGÀY MỘT TẦM CAO MỚI
2. Đặt H(n) = 2
2n+1
+ 1. Ta có ngay
H(n + 1) − H(n) = 3.2
2n+1
.
.
. 3 (đpcm).
3. Đặt F(n) = 10
n
− 4
n
+ 3n. Ta có
F (n + 1) − F (n) = 9.10
n
− 3.4
n
+ 3 = 3(3.10
n
− 4
n
+ 1)
Suy ra
F (n + 1) − F (n)
.
.
. 9 ⇔ G(n) = 3.10
n
− 4

.
. 3
Thật vậy, ta có
G(n + 1) − G(n) = 3.4
n
.
.
. 3
Suy ra điều phải chứng minh.
3 05/05/2014