MỤC LỤC
PHẦN A: MỞ ĐẦU
1
I. Lý do chọn đề tài
Quang hình học nghiên cứu đường đi của ánh sáng qua các môi
trường trong suốt và đồng nhất, đó là những đường thẳng được gọi là tia
sáng. Vẽ đúng đường đi các tia sáng qua các dụng cụ quang học ta được
những đường thẳng và đường gãy, hợp với các mô hình của dụng cụ quang
học tạo ra những hình có dạng hình học, trong đó có mô hình giữa vật và
ảnh mà ta cần xác định vị trí, độ lớn và tính chất của chúng. Trong thực tế
các hệ quang học đồng trục được ứng dụng rất nhiều trong các linh kiện và
thiết bị quang học. Ví dụ: Kính thiên văn, máy ảnh, kính hiển vi, …
Quang hệ đồng trục là một dạng toán hay và khó trong phần quang
hình học của môn Quang học đại cương. Việc giải toán sẽ có rất nhiều
phương pháp nhưng việc giải thế nào để ngắn gọn và dễ hiểu thì có hai
cách cơ bản đó là giải hệ ghép và giải lần lượt qua từng thấu kính. Giải
toán về hệ thấu kính là phần bài tập mà người tìm hiểu thường gặp khó
khăn, cần tư duy và vận dụng kiến thức toán học nhiều. Các tài liệu quang
học hiện tại rất ít đề cập tới việc giải hệ ghép vì vậy đề tài đưa ra hy vọng
sẽ tài liệu bổ ích để người đọc và sinh viên khoa Vật lí có thể tham khảo
trong việc học tập và nghiên cứu của mình.
Xuất phát từ nhận thức và suy nghĩ đó, và mong muốn góp phần làm
phong phú hơn nữa các tài liệu môn học này để các sinh viên chuyên ngành
Vật lí và mọi người quan tâm xem đây như một tài liệu tham khảo, đó là lí
do để tôi chọn đề tài “Quang hệ đồng trục và phương pháp giải quang hệ
đồng trục”.
Trong khuôn khổ giới hạn của khóa luận, đề tài chỉ dừng lại ở việc
nêu ra khái quát cơ sở lí thuyết và các phương pháp giải cũng như các dạng
bài tập liên quan đến đề tài nghiên cứu.
2
II. Lịch sử vấn đề

4
Hình 1.1
PHẦN B: PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ QUANG HỆ ĐỒNG
TRỤC LÍ TƯỞNG
1.1 Những định nghĩa cơ bản
Các hệ quang học thường gồm những mặt phản xạ và khúc xạ ánh
sáng ngăn cách nhau bởi những môi trường trong suốt, đồng chất.
Một hệ quang học gồm các mặt cầu được gọi là đồng trục, nếu tâm
của tất cả các mặt cầu này cùng nằm trên một đường thẳng. Đường thẳng
này được gọi là quang trục chính của quang hệ.
Một hệ quang học đồng trục được coi là lí tưởng, nếu một chùm tia
sáng đồng qui đi qua nó vẫn còn là chùm đồng qui. Một hệ quang học đồng
trục bất kì, nếu chỉ xét với các chùm
tia gần trục cũng được coi là lí
tưởng.
Trên hình 1.1 biểu diễn một hệ
quang học đồng trục lí tưởng có
quang trục chính O
1
O
4
. Gọi
MM
′
và
NN
′
là các mặt khúc xạ ngoài cùng của quang hệ.
5

mặt phẳng liên hợp của mặt phẳng ở xa vô cực trong không gian ảnh; còn
tiêu diện thứ hai là mặt phẳng liên hợp với mặt phẳng ở xa vô cực trong
không gian vật.
Một chùm tia sáng xuất phát từ một điểm bất kì nằm trên tiêu diện thứ
nhất sau khi ra khỏi hệ quang học sẽ trở thành chùm tia song song, làm với
quang trục chính một góc nào đó (hình 1.3).
Bây giờ ta hãy xét hai mặt phẳng liên hợp nhau, vuông góc với quang
trục chính. Giả sử vật là một đoạn thẳng AB có độ cao là y nằm trên mặt
6
Hình 1.3
Hình 1.4
phẳng thứ nhất, thì ảnh của nó là
A B
′ ′
có độ cao
y
′
sẽ nằm trên mặt phẳng
thứ hai, hơn nữa ảnh
A B
′ ′
có thể
cùng chiều hoặc ngược chiều với
AB, có thể lớn hơn, nỏ hơn hoặc
bằng vật AB tùy theo vị trí của hai
mặt phẳng liên hợp ta xét.
Tỉ số giữa độ cao của ảnh và
của vật xác định độ phóng đại dài:
y
β

. Đường truyền thực của tia sáng bên trong quang hệ ta
không cần biết đến.
7
Ta lại vẽ tia 2 song song với quang trục chính và cách nó một khoảng
cách
O I
′ ′
đến gặp mặt khúc xạ đầu tiên tại K. Ra khỏi mặt khúc xạ cuối
cùng của hệ tại điểm
K
′
, tia này qua tiêu điểm chính
F
′
(tia
2
′
) . Bởi vì hệ
quang học lí tưởng, nên chùm đồng qui (1-2) tới quang hệ mà điểm đồng
qui là P, sau khi ra khỏi hệ vẫn còn là chùm đồng qui
(1-2 )
′ ′
mà điểm đồng
qui là
P
′
. Bất kì một tia sáng nào đi qua P cũng có tia tương ứng đi qua
P
′
.

nằm trong mặt phẳng
H
′
với độ phóng đại dài
β 1= +
.
Mặt phẳng H được gọi là mặt phẳng chính thứ nhất, còn mặt phẳng
H
′
được gọi là mặt phẳng chính thứ hai của hệ quang học đồng trục. Các giao
điểm H và
H
′
của các mặt phẳng này với quang trục chính được gọi là các
điểm chính thứ nhất và thứ hai tương ứng của hệ. Các mặt phẳng chính (các
tiêu điểm chính) có thể cả hai nằm ở trong hệ hoặc bên ngoài hệ, cả hai
cùng ở một phía của hệ hoặc một trong hai nằm ở trong hệ, điều đó phụ
thuộc vào tính chất của từng hệ cụ thể. Khoảng cách từ tiêu điểm chính thứ
nhất F đến điểm chính thứ nhất H của hệ là tiêu cự thứ nhất f của hệ (
8
Hình 1.5
HF f=
). Tương tự như vậy ta có tiêu cự thứ hai
H F f
′ ′ ′
=
; f và
f
′
là những

′ ′
=
) là điểm liên hợp với P. Vì tia 1 song song với
quang trục chính nên tia liên hợp
1
′
đi qua tiêu điểm chính
F
′
.
Bây giờ cũng từ điểm B ta vẽ tia 2 đi qua tiêu điểm chính thứ nhất F,
nó cắt mặt phăng chính H tại điểm I. Tia
2
′
liên hợp với tia 2 sẽ đi qua
điểm
I
′
của mặt phẳng chính
H
′
, là điểm liên hợp của điểm I (
HI H I
′ ′
=
).
Vì tia 2 đi qua tiêu điểm chính F, nên tia liên hợp
2
′
đi song song với

− −
=
′ ′
− −
(1.1)
Tương tự, từ các tam giác đồng dạng
P H F
′ ′ ′
và
P B I
′ ′ ′
, ta có:
f s
y y y
′ ′
=
′
−
(1.2)
Từ hai hệ thức trên rút ra:
f y s
f ys
′
= −
′
(1.3)
Vì
s u
s u
′

(1.6)
Đại lượng:
n n
f f
′
Φ = = −
′
n n
f f
′
Φ = = −
′
(1.7)
Là độ tụ của quang hệ. Độ tụ càng lớn thì tiêu cự f càng bé, do đó tia
sáng càng bị khúc xạ mạnh bởi quang hệ. Độ tụ của quang hệ có thể dương
âm hoặc bằng không.
Khi
0Φ >
, thì
f 0
′
>
, tiêu điểm
F
′
là ảnh thật của vật ở xa vô cực. Hệ
quang học lúc này là một hệ hội tụ.
Khi
0Φ <
, thì

cho bởi quang hệ được đặc trưng bởi khoảng cách
x
′
tính từ
F
′
(
F A x
′ ′ ′
=
), hoặc bằng khoảng cách
s
′
tính từ
F
′
tới
A
′
(
H A s
′ ′ ′
=
). Cần
chú ý rằng các đại lượng
x, x , s, s , f, f
′ ′ ′
là những độ dài đại số.
Chúng ta tìm mối liên hệ giữa đại lượng
x

Trong trường hợp
f f
′
= −
, công thức Newton sẽ có dạng:
2
xx f
′
= −
(1.11)
Từ công thức này, ta dễ dàng chuyển sang tìm mối liên hệ giữa các
khoảng cách s và
s
′
, tính từ các điểm chính H và
H
′
tương ứng.
Từ hình 1.5, ta thấy (-x) = (-s) – (-f)
Tức là: x = s – f
Tương tự:
x s - f
′ ′
=
Thay các biểu thức của x và
x
′
và công thứ (1.11), làm vài phép biến
đổi, cuối cùng ta được:
f f

= = − = −
′
(1.14)
Nếu biểu diễn
β
theo s và
s
′
, thì từ định lí Lagrange – Helmholtz ta
có:
y nu
y n u
′
=
′ ′
Nhưng
u s
,
u s
′
=
′
nên:
y ns
β
y n s
′ ′
= =
′
(1.15)

nhau thì tia tới đi qua điểm chính
13
thứ nhất H, sau khi ra khỏi quang hệ tia liên hợp với nó sẽ đi qua điểm
chính thứ hai
H
′
và song song với tia tới.
CHƯƠNG II: PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP QUANG HỆ ĐỒNG
TRỤC
I. GIẢI BÀI TẬP QUANG HỆ ĐỒNG TRỤC LẦN LƯỢT CHO
TỪNG THẤU KÍNH
1.1 Phương pháp giải
Giải bài toán hệ quang học nói chung (hệ thấu kính nói riêng) bao
gồm hai bước:
- Bước 1: Lập sơ đồ tạo ảnh.
- Bước 2: Áp dụng các công thức liên quan cho mỗi khâu của sơ đồ để
giải bài toán theo yêu cầu của đề (quy ước dấu đối với vật ở trước thấu kính
thì d > 0 và ở sau thấu kính thì d < 0, d là khoảng cách từ vật tới thấu kính.
Đối với khoảng cách
d'
từ ảnh tới thấu kính thì quy ước ngược lại so với
vật).
+ Công thức thấu kính:
1 1 1
d d' f
.
+ =
+ Xác định số phóng đại ảnh:
d'
k

sáng từ môi trường (1) sang môi trường (2) theo đường
AIA
′
thì cũng
truyền theo chiều
A IA
′
từ môi trường (2) sang môi trường (1).
Bước 1:
a. Hệ 2 thấu kính đồng trục ghép cách nhau một đoạn l:
Giả sử vật thật AB đặt trên trục chính của hệ 2 thấu kính đồng trục L
1
và L
2
trước L
1
,cho ảnh
1 1
A B
′ ′
, ảnh này coi là vật đối với L
2
.
Nếu
1 1
A B
′ ′
ở trước L
2
thì đó là vật thật.

b. Hệ 2 thấu kính đồng trục ghép sát nhau:
15
L
d1
1
d
′
AB
2 2
A B
′ ′
Với hệ này có 2 cách:
+ Lập sơ đồ như hệ 2 thấu kính đồng trục ghép cách nhưng khoảng
cách L
1
đến L
2
là l = 0.
+ Hoặc dùng thấu kính tương đương là tiện lợi:
Giả sử vật thật AB trên trục chính của hệ 2 thấu kính đồng trục L
1
và
L
2
ghép sát tương tự mục (a) ta có sơ đồ tạo ảnh
AB
1 1
A B
′ ′


+ =
Mà ta luôn có d
2
=
1
d
′
−=>
1 1 1
1 1 1
.
d d' f
+ =
Suy ra:
1 2 1 1
1 2
1 1 1 1
d' d' f f
1 1 1
d d' f

+ = +




+ =

d
1
Lúc này ta có sơ đồ tạo ảnh
Bước 2: Thực hiện tính toán.
Nội dung khảo sát của 1 hệ thấu kính rất đa dạng, nhưng nhìn chung
thường gặp 3 yêu cầu chính:
(1). Xác định các đặc điểm của ảnh sau cùng.
(2). Xác định các đặc điểm cấu tạo của hệ.
(3). Tìm điều kiện để hệ cho ảnh ảo, ảnh thật, 2 ảnh, 1 ảnh duy nhất.
Để giải đáp được 3 yêu cầu này, cần lưu ý đến 3 kết quả sau:
+ Ảnh
1 1
A B
′ ′
qua L
1
được xác định bởi
1
d
′
.
Khi
1 1
A B
′ ′
đóng vai trò vật với L
2
thì đặc điểm của nó được xác định
bởi d
2

có độ lớn không đổi khi ta di
chuyển vật lại gần thấu kính: l = f
1
+ f
2
(chú ý: f
1
, f
2
có giá trị đại số: dương
với thấu kính hội tụ, âm với thấu kính phân kỳ).
17
1.2 Một số bài tập minh họa
Bài 1: Trước thấu kính hội tụ (L
1
) (tiêu cự f
1
= 10cm), có vật sáng AB
đặt vuông góc với trục chính, cách thấu kính đoạn d
1
= 40cm.
a. Xác định ảnh A
1
B
1
của AB tạo bởi (L
1
) . Vẽ đường đi của chùm tia
sáng từ B.
b. Sau (L

B
1
Ta có:
d
1
= 400cm >> f
1
cm.
Có thể coi là vật AB ở vô cực so với (L
1
). Ảnh A
1
B
1
được tạo ra tại
tiêu diện ảnh.
1
d 10cm
′
=
.
Do đó:
1
1
1
d 1
k 0,025
d 40
′
= − = − = −

1
f 0,1m 10cm
D
6 10
d f 60
d 15cm.
d f 6 10 4
′
= − = −
= = − = −
− −
′
= = = =
− − − −
Ảnh
A B
′ ′
là ảnh thật, cách thấu kính (L
2
) một đoạn 15cm.
Ta cũng có:
1 1
2 1
1 1
2 1
2 1
A B A B A B
. k .k
AB A B AB
d d 15 10

A B
′′ ′′
cũng ngược chiều với vật. (L) phải là thấu
kính hội tụ.
Vì AB ở rất xa ta có:
A B f. tan α f. α
′′ ′′
= ≈
(
α
góc trông của AB)
Đối với hệ (L
1
+ L
2
):
2
2 1 1 1 1
1 1 2
2
1
2
A B d
k ; A B f . tan α f . α
A B d
d
A B .f . α.
d
′ ′ ′
= = = ≈

2
= 20cm, đặt cách nhau 15cm. Nguồn điểm S ở trên trục trước
L
1
và cách L
1
10 cm.
a. Xác định ảnh
S
′
tạo bởi hệ.
b. Giữ vật S và L
1
cố định, tịnh tiến L
2
xa dần L
1
. Hỏi ảnh dịch chuyển
như thế nào?
c. Giữ cố định khoảng cách giữa S và L
1
, L
2
, tịnh tiến L
1
theo hướng
vuông góc với trục một đoạn 2cm. Xác định vị trí của ảnh cho bởi hai thấu
kính.
Bài giải:
a. Ta có sơ đồ tạo ảnh S qua hệ qua hệ L

′
= − = − − = >
1
S⇔
là vật thật của L
2
cho qua L
2
ảnh
S
′
xác định bởi:
2 2
2 2
2 2
d f 30.20
d O B 60cm 0
d f 30 20
′
′
= = = = >
− −
S
′
⇔
là ảnh thật cách L
2
60cm.
b. Giữ S và L
1

L
2
một đoạn x
s
= d
o
= 30 cm và S
1
ở trên trục chính kéo L
2
ra xa vật theo
hướng song song trục chính. Khảo sát chiều chuyển động của ảnh
S
′
).
Khi tịnh tiến L
2
ra xa S
1
luôn luôn là vật thật ở ngoài O
2
F
2
nên
F
′
luôn
luôn là ảnh thật
d 0
′

− −
′ ′
= = = + = + =
− −
Khi tịnh tiến L
2
thì x tăng trong [30, ∞] và [30, ∞]
∈
miền xác định
của y.
Ta có:
( )
( )
2
2
x 40x
y f x
x 20
−
′
= =
−
; vì
( )
2
x 20 0,− >
22
y
′
⇒

một đoạn
1 min
S S
′
= 80cm. Sau đó
1
S S
′
tăng dần tức là
S
′
lại chuyển động
theo chiều ánh sáng tới.
c. Khoảng cách từ S tới L
1
, L
2
không thay đổi nên khoảng cách
1
d 15cm
′
= −
và d
2
= 30cm,
2
d 60cm.
′
=
Nhưng khi dịch chuyển L

′ ′
= = =
(a)
1
2 1 1
S H SH 15 10 5
0,5
O O SO 10 10
−
= = = =
′
(b)
Từ (a) và (b)
1
1 1
S H S H
. 1.
S H O H
′ ′
⇒ =
′
23
Hình 2.4
1
S H
1 S H 2cm.
O O
′ ′
′ ′
= ⇒ =

kính.
Bài giải:
a. Sơ đồ tạo ảnh:
AB A
1
B
1
A B
′ ′
Xét lần lượt mỗi ảnh, ta có:
Với A
1
B
1
: d
1
= 49 – 28 = 21 (cm)
1
1
1
21f
d
21 f
′
=
−
1 1
1
1 1 1
f f

′ ′
: d
2
= l -
1
d
′
= 28 -
1
1
21f
21 f−
=
1
1
588 49f
21 f
−
−
k
2
=
( )
1
2
1
2 2 1
1
15 21 f
f 15

Ta có hai trường hợp:
11 11 11
12 12 12
273
5f 273 34f f 7cm
39
273
5f 34f 273 f 9,4cm
29

= − ⇒ = =




= − ⇒ = ≈


Vậy O
1
là thấu kính hội tụ có tiêu cự 7cm hoặc 9,4cm.
b. Đường đi của chùm tia sáng:
Bài 4: Cho hệ đồng trục gồm thấu kính hội tụ L
1
tiêu cự f
1
= 20cm và
thấu kính phân kì L
2
tiêu cự f