I. Đặt vấn đề
Trong chơng trình toán ở trờng phổ thông việc chứng minh bất đẳng thức
là một vấn đề có thể nói là phức tạp nhất, nó rèn cho ngời làm toán trí thông
minh, sự sáng tạo, ngoài ra còn có cả sự khéo léo, mỗi kết quả của nó là một
công cụ sắc bén của toán học. Nhng để chứng minh bất đẳng thức thì không đơn
giản chút nào, nhất là đối với học sinh, các em tỏ ra lúng túng khi chọn cho mình
một công cụ để chứng minh hiệu quả nhất. Đã có rất nhiều tài liệu đa ra một số
phơng pháp rất tốt để chứng minh bất đẳng thức chẳng hạn:
- Phơng pháp sử dụng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức.
- Phơng pháp sử dụng tam thức bậc 2.
- Phơng pháp sử dụng những bất đẳng thức kinh điển.
- Phơng pháp sử dụng phản chứng.
- Phơng pháp sử dụng quy nạp.
- Phơng pháp sử dụng đạo hàm.
- Phơng pháp sử dụng hình học.
- Phơng pháp sử dụng hàm lồi.
Mặc dù vậy song vẫn là cha đủ bởi sáng tạo của mỗi ngời làm toán là vô
hạn. Chính vì vậy trong bài viết này tôi muốn đề cập về "Một số phơng pháp l-
ợng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số " nhằm trang bị thêm cho học sinh
một số công cụ hữu hiệu để chứng minh các bất đẳng thức đại số. Phơng pháp l-
ợng giác hoá đã đợc một số sách của các tác giả đề cập nh giáo s Phan Đức
Chính, giáo s Phan Huy Khải, phó tiến sĩ Vũ Thế Hựu viết. Nhng do cấu trúc
mục tiêu của các cuốn sách đó mà các tác giả đều không đi sâu vào phơng pháp
này hay nói cách khác là cha thật cụ thể hoá, hệ thống hoá nó.
1
II. giải quyết vấn đề
1. Các kiến thức cần nắm
1.1. Các hệ thức cơ bản
+
1sincos
22

+ sin( ) = sin cos cos sin
+ tg ( ) =
)k
2
;(
tgtg1
tgtg
+





+ cotg( ) =


gcotgcot
1gcot.gcot

)k;(
1.3. Công thức nhân
+ sin2 = 2 sin cos
+ cos2 = cos
2
- sin
2
= 2cos
2
- 1 = 1 - 2sin
2


+ cos3 = 4cos
3
- 3cos
+ tg3 =
3
k
6
(
tg31
tgtg3
3
3

+




)
thức hạ bậc
+ cos
2
=
2
2cos1 +
+ sin
2
=
2

2
+ sin - sin = = - 2cos
2
sin
2
+
+ tg tg =


cos.cos
)sin(

)k
2
;( +


1.6. Công thức biến đổi tích thành tổng:
+ cos.cos =
)]cos()[cos(
2
1
++
+ sin.sin =
)]cos()[cos(
2
1
++
+ sin.cos =
)]sin()[sin(

t 1+tg
2
t =
tcos
1
2
4x
3
- 3x 4cos
3
t - 3cost 4cos
3
t - 3cost = cos3t
2x
2
- 1 2cos
2
t - 1 2cos
2
t - 1 = cos2t
2
x1
x2

ttg1
tgt2
2

ttg1
tgt2

2
- 1
1
cos
1
2


1
cos
1
2


= tg
2


3
một số phơng pháp lợng giác để chứng minh
bất đẳng thức đại số
I. Dạng 1: Sử dụng hệ thức sin
2

+ cos
2

= 1
1) Ph ơng pháp:
a) Nếu thấy x

+ b
2
= c
2
+ d
2
= 1
Chứng minh rằng:
2
S = a(c+d) + b(c-d)
2
Giải:
Đặt



=
=
ucosb
usina
và



=
=
vcosd
vsinc
S = sinu(sinv+cosv) + cosu(sinv-cosv)
S = (sinucosv+cosusinv) - (cosucosv - sinusinv) = sin(u+v) - cos(u+v)

2
2
2







++






+
Giải:
Đặt a = cos và b = sin với 0 2. Thế vào biểu thức vế trái rồi biến đổi.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2







++






+
= cos
4
+ sin
4
+
4
sin.cos
sincos
sincos4
sin
1
cos
1
44
44
44

1
1sincos2sincos
44
2222
+







++
=
2
25
4
2
17
4)161(
2
1
14
2sin
16
12sin
2
1
1
4

4
II. Dạng 2: Sử dụng tập giá trị
1|cos|;1|sin|
1. Ph ơng pháp :
a) Nếu thấy |x| 1 thì đặt
[ ]
sin ;
2 2
cos 0;
x khi
x khi


=


=

b) Nếu thấy |x| m (
0m

) thì đặt
[ ]
sin ;

= (1+cos)
p
+ (1-cos)
p
=
p22pp2p2p
p
2
p
2
2
2
sin
2
cos2
2
sin
2
cos2
2
sin2
2
cos2 =








23123223
22
++= aaaA
Giải:
Từ đk 1 - a
2
0 |a| 1 nên
Đặt a = cos với 0
2
a1
= sin. Khi đó ta có:
A=
++=+=+ 2sin)2cos1(3sincos2cos32a1a2a32
222
=
3
3
2sin232sin
2
1
2cos
2
3
2
+






=
2
4
3sin23cos3sin







+=+
(đpcm)
5
III. Dạng 3: Sử dụng công thức: 1+tg
2

=
1
cos
1
tg
cos
1
2
2
2


=


2
3
,
2
;0
b) Nếu |x| m hoặc bài toán có chứa biểu thức
22
mx
thì đặt x =
cos
m
với















2
3





2
3
,
2
;0

==
tgtg1a
22
. Khi đó:
A =
2
3
sin2cos3sincos)3tg(
a
31a
2








+=+=+=






2
3
,
2
;0
. Khi đó ta có:
A =
1)sin(cossincossincoscos)tgtg( +=+=+
(đpcm)
IV. Dạng 4: Sử dụng công thức 1+ tg
2

=

2
cos
1
1. Ph ơng pháp:
a) Nếu x R và bài toán chứa (1+x
2
) thì đặt x = tg với





3
32
3
2

+

+ )x(
x
x
x
Giải:
Đặt x = tg với








2
,
2


=+
cos
x
1

,
thì ta có: A =
22
42
)tg1(
tg3tg43
+
++
=
+=
+
++
22222
222
4224
cossin2)cos(sin3
)sin(cos
sin3cossin4cos3
= 3 -
3
2
0
2
2
2sin
3A
2
1
3
2

a, b R
Giải:
Đặt a = tg, b = tg. Khi đó
)tg)(tg(
)tgtg)(tgtg(
)b)(a(
)ab)(ba(
++
+
=
++
+
2222
11
1
11
1
=



+

cos.cos
sin.sincos.cos
.
cos.cos
)sin(
.coscos
22

1
)db)(ca(
cd
)db)(ca(
ab







+






+
+






+




1sinsincoscos
)tg1)(tg1(
tg.tg
)tg1)(tg1(
1
2222
22
22
22
+=
++

+
++
cos cos + sin sin = cos(-) 1 đúng (đpcm)
Dấu bằng xảy ra cos(-) = 1 =
b
d
a
c
=
V. Dạng 5: Đổi biến số đa về bất đẳng thức tam giác
1) Ph ơng pháp:
a) Nếu



=+++
>





===



tgCz;tgBy;tgAx
)
2
;0(C;B;A
:ABC
c) Nếu



=++
>
1zxyzxy
0z,y;x
thì









;0(C;B;A
:ABC
2. Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Cho x, y, z > 0 và zy + yz + zx = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
S =
)zyx(3
z
1
y
1
x
1
++++
Giải:
Từ 0 < x, y, z < 1 nên đặt x = tg
2

; y = tg
2

; z = tg
2

với , ,









γ
+
β
2
tg
2
tg
= 1 -
2
tg
β
tg
2
γ
⇔
2
gcot
22
tg
2
tg
1
2
tg
2
tg1
2
tg

=
γ
+
β
⇔






α
+
π
=






γ
+
β
2222222222
tgtg
S =
)zyx(3
z
1

2
tg
S =






γ
+
β
+
α
−






γ
−
γ
+






222
2 tgtgtg
S = (cotgα+cotgβ-2tg
2
γ
) + (cotgβ+cotgγ-2tg
2
α
) +(cotgα+cotgβ-2tg
2
β
)
§Ó ý r»ng: cotgα + cotgβ =
)cos()cos(
sin
sin.sin
sin
sin.sin
)sin(
β+α−β−α
γ
=
βα
γ
=
βα
β+α 2
2
2
≥

3
1
th× MinS = 0
VD2: Cho



=++
>
1zyx
0z,y,x
. Chøng minh r»ng: S =
4
9
xyz
z
zxy
y
yzx
x
≤
+
+
+
+
+
Gi¶i:
§Æt
2
tg

xy
.
z
xy
.
y
zx
y
zx
.
x
yz
++
= x + y + z = 1
nªn tg
2
α
tg
2
β
+ tg
2
β
tg
2
γ
+ tg
2
γ
tg










22

2

+
2

=
2

-
2


=++

=
++
22
S =
2





+
+









+
+









+
=
+
+

zxy
zxy
yzx
yzx
2
1
+












+

+
+

+
+

=+




( )
4
9
2
3
4
3
2
3
coscos)sin(sin
2
1
)1cos(cos
2
1
2
1
22
2
=+=+






++++
(đpcm)