SỬ DỤNG TÍNH LỒI, LÕM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀO
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Chứng minh bất đẳng thức là một bài toán hay và khó và thường gặp trong các kì
thi vào đại học, cao đẳng và các kì thi học sinh giỏi. Đứng trước một bất đẳng thức, học
sinh thường lúng túng khi lựa chọn phương pháp. Bài viết này nhằm đưa ra một kĩ thuật
đơn giản nhưng có hiệu quả khi giải quyết một lớp bài toán về chứng minh bất đẳng
thức (BĐT) hay tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức. Đó là sử dụng tính
lồi, lõm của đồ thị hàm số.

I. Cơ sở lí thuyết
a) Nếu đồ thị hàm số lồi trên khoảng
(;
và
()yfx= )ab '( )( ) ( )yfcxc fc= −+
là
tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm
M( ; ( )), ( ; )cfc c ab∈
thì
( ) '( )( ) ( ), ( ; )f xfcxcfcxab≤−+∀∈
(1)
b)
Đối với đồ thị hàm số lõm ta có bất đẳng thức với chiều ngược lại ngược lại.

Bất đẳng thức (1) cho phép ta đánh giá biểu thức ( )
f x thông qua biểu thức bậc nhất.
Hơn nữa, ta có thể chọn
c
sao cho dấu đẳng thức xảy ra theo đúng yêu cầu của bài toán.
II. Bài tập áp dụng
Bài 1 (BĐT Cô - si).

i
> 0,
∀i

∈
{1, 2, …, n}. Chia hai vế cho
12
...
n
aa a+ ++

ta được
11 1
12 12 12
1
. ...
... ... ...
n
nn
aa a
naaaaaaaaa
≥
+++ +++ +++
n

Đặt
12
, {1, 2, ..., n}
...
i

n
xx xn
n
+++≤

Xét hàm số . Ta có () ln, 0
yfx xx== >
2
11
'( ) , ''( ) 0, 0
fx fx x
xx
= =− < ∀ >
suy ra đồ thị
hàm số lồi trên khoảng .
(0;+ )
∞
Tiếp tuyến của đths tại điểm
11
;ln
nn
⎛
⎜
⎝⎠
⎞
⎟
có phương trình là
1
1ln
ynx

xx x+++=
Đẳng thức xảy ra khi
12
1
...
n
xx x
n
====
hay
12
...
n
aa a= ==
.
Bài 2 (BĐT Jenxen)
Cho hàm số ()
yfx=
có đạo hàm cấp 2 trên khoảng ( . ; )
ab
a)

Nếu ''( ) 0, ( ; )
f xxa>∀∈ b
thì
12
, ,..., ( ; )
n
x xxab∀ ∈
và

Đặt
11 2 2 nn
x xx x
α αα
=+ ++"
thì
(;)x ab∈
. Tiếp tuyến của đths ( )
yfx=
tại
điểm
(; ())x fx
có phương trình là
'( )( ) ( )yfxxx fx=−+
.
Do ''( ) 0, ( ; )
f xxa>∀∈ b
nên đồ thị hàm số lõm trên khoảng ( . Bởi vậy ; )
ab
tại điểm
(; ())x fx
tiếp tuyến nằm dưới đồ thị. Từ đó suy ra
() '()( ) (), (;)f xfxxxfxxab≥−+∀∈

Thay
i
x x=
ta được
() '()( ) ()
ii

=
∑

Bởi
1
n
ii
i
x x
α
=
=
∑
và nên ta được
1
1
n
i
i
α
=
=
∑
11
() ( )
nn
ii ii
ii
f xf x
α

⎛⎞
≥
⎜⎟
⎝⎠
""

Nhận xét
. Đây là cách chứng minh ngắn gọn và dễ hiểu nhất so với các cách chứng
minh đã biết trong các tài liệu.
Bài 3 (BĐT Bécnuli).
Cho 1
x >−
và số thực
α
. Chứng minh rằng
a) ( 1 ) 1 , ( ;0) (1; )
xx
α
αα
+≥+∀∈−∞∪+∞
b) (1 ) 1 , (0;1)
xx
α
αα
+≤+∀∈
Chứng minh
. Xét hàm số () (1 )
yfx x
α
==+

thì ''( ) 0, 1
f xx<∀>−
, do đó đths lồi trên khoảng ( 1; )
− +∞

Suy ra ( . 1 ) 1, 1
xxx
α
α
+≤+∀>−
Đẳng thức xảy ra khi 0
x =
hoặc 0
α
=
hoặc 1
α
=

Bài 4 (T7/374)
. Cho các số dương thoả mãn , ,
abc
4( ) 9 0
abc+ +−=
. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức
S =
(
)
(

abc
= ==
. Vì vậy ta sẽ so sánh vị trí của đồ thị với
tiếp tuyến của nó tại điểm
3
(;ln2)
4
.Đạo hàm
2
13
'( ) '( )
45
1
fx f
x
4
= ⇒=
+
. Tiếp tuyến
của đồ thị hàm số (1) tại điểm
3
(;ln2)
4
có phương trình
43
ln 2
55
yx= +−
.
Đạo hàm cấp hai

55
aa a
3
+ +≤ + −
. Nhân hai vế với
số b > 0 ta suy ra

2
43
ln( 1) ln 2
55
ba a ab
⎛⎞
++≤+ −
⎜⎟
⎝⎠
b
.
Tương tự ta có
2
43
ln( 1) ln 2
55
cb b bc c
⎛⎞
++≤+ −
⎜⎟
⎝⎠
.
2

, rút gọn ta thu được
9
lnS ln 2
4
≤
. Từ đó
4
S42≤
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
3
4
abc
= ==
. Vậy giá trị lớn nhất của S là
4
42
.
Nhận xét.
Đôi khi giả thiết lồi, lõm không được thoả mãn. Lúc đó ta sẽ so sánh vị trí của
tiếp tuyến và đồ thị hàm số bằng chứng minh trực tiếp.
Bài 5
(
2003 USA Math Olympiad
)
Cho là những số dương. Chứng minh rằng , ,
abc
22
222222
(2 ) (2 ) (2 )

xyz yzx zxy
xyz yzx zxy
++ ++ ++
++
++ ++ ++
2
≤

Hay
222
222222
(1) (1) (1)
8
2(1)2(1)2(1)
xyz
xxyyzz
+++
+ +≤
+− +− +−

Xét hàm số
2
22
(1)
() , (0;1)
2(1)
x
fx x
xx
+

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số ()
f x
tại điểm
18
;
33
⎛
⎜
⎝⎠
⎞
⎟
có phương trình là
4
4
3
yx=+
.
32
2
436
''( ) 12.
(3 2 1)
3
1x xx
fx
xx
+−+
=
−+
đổi dấu hai lần trên khoảng . Do đó đồ thị hàm số (0;1)

1)
Trong tam giác nhọn ABC, chứng minh rằng
21
(sin sin sin ) (tan tan tan ) 2 3
33
ABC ABC++ + ++ ≥

2)
(
HSG Hải dương
) Cho
x, y, z
là các số dương thoả mãn

9
5; 8
xyz
x xy
++=
⎧
⎨
≥+≥
⎩Chứng minh rằng

15
xyz ≤ .


LÊ VĂN LỤC - HẢI DƯƠNG