GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97
_______________________________________________________________________________
_
NHỚ 1: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬT NHẤT
Ax = B
• A ≠ 0 : phương trình có nghiệm duy nhất
A
B
x =
• A = 0 và B ≠ 0 : phương trình vô nghiệm
• A = 0 và B = 0 : phương trình vô số nghiệm
Ax > B
• A > 0 :
A
B
x >
• A < 0 :
A
B
x <
• A = 0 và B ≥ 0 : vô nghiệm
• A = 0 và B < 0 : vô số nghiệm
NHỚ 2 : HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬT NHẤT HAI ẨN SỐ
1/. Dạng :



=+
=+
///
cybxa




=
=
D
D
y
y
D
D
x
x
∗ D = 0 và D
x
≠ 0
Hệ vô nghiệm
D = 0 và D
y
≠ 0
∗
D = D
x
= D
y
= 0 : Hệ vô số nghiệm hay vô nghiệm tùy thuộc a, b, c, a
/
, b
/
, c

2
21
−==
∆ < 0 Vô nghiệm
∗
∆
/
= b
/ 2
– ac
∆
/
> 0
a
b
x
//
1
∆+−
=
,
a
b
x
//
2
∆−−
=
1
GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97

NHỚ 4 : DẤU NHỊ THỨC
f(x) = ax + b ( a ≠ 0)
x
– ∞
a
b
−
+∞
f(x) Trái dấu a 0 cùng dấu a
NHỚ 5 : DẤU TAM THỨC
f(x) = ax
2
+ bx + c ( a ≠ 0) ( Nhớ : TRONG TRÁI NGOÀI CÙNG)
Nếu Thì



>
<∆
0
0
a



<
<∆
0
0
a

1
x
2
+∞
f(x) cùng 0 true 0 cùng
dấu a
NHỚ 6 : SO SÁNH NGHIỆM CỦA TAM THỨC BẬC HAI
VỚI CÁC SỐ
Cho: f(x) = ax
2
+ bx + c ( a ≠ 0) và α, β là hai số thực
1/. Muốn có x
1
< α < x
2
ta phải có af(x) < 0
2/. Muốn có x
2
> x
1
> α ta phải có







>−
>

S
af
4/. Muốn có x
1
< α < β < x
2
ta phải có



<
<
0)(
0)(
β
α
af
af
2
GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97
_______________________________________________________________________________
_
5/. Muốn có x
1
< α < x
2
<β ta phải có












<<
>
>
>∆
βα
β
α
2
0)(
0)(
0
S
af
af
 Chú ý:
1/. Muốn có x
1
< 0 < x
2
ta phải có P < 0
2/. Muốn có x
2

0
0
S
P
NHỚ 7 : PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN
1/.



=
≥
⇔=
K
K
BA
B
BA
2
2
0
2/.



≥≥
=
⇔=
)0(0
22
hayBA






>
≥



≥
<
⇔>
K
K
BA
B
A
B
BA
2
2
0
0
0
3/.
12
12
+
+

BA

2/.



−=
=
⇔=
BA
BA
BA
3
GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97
_______________________________________________________________________________
_
Chú ý:










≤
=−












≥
−<



≥
>
<
⇔>
0
0
0
B
BA
B
BA
B
BA
3/.
22

cbcac
ba
e)
dbca
dc
ba
+>+⇒



>
>
f)
bdac
dc
ba
>⇒



>>
>>
0
0
g)






321
321
≥
++++
hay
n
n
n
n
aaaa
aaaa






++++
≤321
321
Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a
1
= a
2
= a
3
= = a

2
1
2
2211 nnnn
bbbaaabababa ++++++≤+++
Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a
i
= k.b
i
, i = 1 , 2 , 3, , n
5/. BĐT BecnuLi :
Cho : a > –1, n ∈ N Ta có : (1 + a)
n
≥ 1 + na
Đẳng thức xảy ra



=
=
⇔
1
0
n
a
6/. BĐT tam giác :
BABA +≤+
Đẳng thức xảy ra ⇔ AB ≥ 0
NHỚ 12 : CÔNG THỨC LƯNG GIÁC
A. HỆ THỨC CƠ BẢN ( 6 công thức )

• Cotx là x ≠ kπ , k ∈ Z
• Sinx là – 1 ≤ Sinx ≤ 1
• Cosx là – 1 ≤ Cosx ≤ 1
Chú ý :
• a
2
+ b
2
= ( a + b)
2
– 2ab
• a
3
+ b
3
= ( a + b)
3
– 3ab( a + b)
B. CÔNG THỨC CỘNG ( 8 công thức )
7/.
SinaSinbCosaCosbbaCos −=+ )(
8/.
SinaSinbCosaCosbbaCos +=− )(
9/.
CosaSinbSinaCosbbaSin +=+ )(
10/.
CosaSinbSinaCosbbaSin −=− )(
11/.
TanaTanb
TanbTana

+
=−
1
)(
C. CÔNG THỨC NHÂN
I. NHÂN ĐÔI : ( 3 công thức)
15/.
SinaCosaaSin 22
=
5
GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97
_______________________________________________________________________________
_
16/.
aSinaCosaSinaCosaCos
2222
21122 −=−=−=
17/.
aTan
Tana
aTan
2
1
2
2
−
=
II. NHÂN BA : ( 3 công thức)
18/.
CosaaCosaCos 343

221 =−
22/.
2
21
2
aCos
aCos
+
=
⇒
aCosaCos
2
221 =+
23/.
4
33
3
aSinSina
aSin
−
=
24/.
4
33
3
aCosCosa
aCos
+
=
IV.GÓC CHIA ĐÔI : ( 3 công thức)

Tanx
−
=
D. TỔNG THÀNH TÍCH : ( 8 công thức)
28/.
22
2
ba
Cos
ba
CosCosbCosa
−+
=+
29/.
22
2
ba
Sin
ba
SinCosbCosa
−+
−=−
30/.
22
2
ba
Cos
ba
SinSinbSina
−+

baSin
CotbCota
)( −−
=−
E. TÍCH THÀNH TỔNG : ( 3 công thức)
36/.
( )
[ ]
)(
2
1
baCosbaCosCosaCosb ++−=
6
GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97
_______________________________________________________________________________
_
37/.
[ ]
)()(
2
1
baCosbaCosSinaSinb +−−=
38/.
[ ]
)()(
2
1
baSinbaSinSinaCosb ++−=
F. CUNG LIÊN KẾT :
Cos đối

/2 –
α
) = Sin
α
Khác
π
Tan
Tan(
π
+
α
) = Tan
α
; Cot(
π
+
α
) = Cot
α

Sai kém
π
/ 2
Sin(
π
/2 +
α
) = Cos
α
; Cos(

+=⇔
Cotu = Cotv
π
kvu
+=⇔
Sinu = 0
π
ku
=⇔
Sinu = 1
ππ
22/ ku
+=⇔
Sinu = –1
ππ
22/ ku
+−=⇔
Cosu = 0
ππ
ku
+=⇔
2/
Cosu = 1
π
2ku
=⇔
Cosu = – 1
ππ
2ku
+=⇔

xSin
+
=+
α
(*)
(*) Có nghiệm khi
1
22
≤
+ ba
c
222
cba ≥+⇔
(*) Vô nghiệm khi
222
cba <+⇔
Cách 2:
• Kiểm chứng x = (2k + 1)π có phải là nghiệm của phương trình hay không?
• Xét x ≠ (2k + 1)π Đặt :
2
x
Tant =
Thế
2
2
2
1
1
;
1

(đặt
1, ≤= tCosxt
)
0
2
=++ cbTanxxaTan
( đặt
π
π
kxTanxt +≠=
2
,
)
0
2
=++ cbCotxxaCot
( đặt
π
kxCotxt ≠= ,
)
2/. Phương trình đẳng cấp đối với Sinx, Cosx
Dạng:
0
22
=++ xcCosbSinxCosxxaSin
(1)
0
3223
=+++ xdCosxcSinxCosxCosxbSinxaSin
(2)

t
bat
t⇒
( nếu có)
x⇒
Chú ý: Dạng a(Sinx – Cosx) + bSinxCosx + c = 0 (*) giải tương tự :
Đặt :
2),
4
(2 ≤−=−= txSinCosxSinxt
π
0
2
1
(*)
2
=+
−
+⇔ c
t
bat
⇒ t ? ( nếu có) ⇒ x ?
D. PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT :
1/. Tổng bình phương :
• A
2
+ B
2
+ + Z
2




+=+
≤
≤
klBA
kB
lA




=
=
⇔
kB
lA
4/.
1,1 ≤≤ BA




=
=
⇔=
1
1
1

R
SinC
c
SinB
b
SinA
a
2===
•
R
a
SinARSinAa
2
,2 ==
Hàm số Tan
•
ba
ba
BA
Tan
BA
Tan
+
−
=
+
−
2
2
Các chiếu •

2
1
2
1
===
•
abSinCacSinBbcSinAS
2
1
2
1
2
1
===
•
prS =
•
R
abc
S
4
=
•
))()(( cpbpappS −−−=
Chú ý:
•
2
)(
2
)(

: Đường trung tuyến vẽ từ A
• R, r : Bán kính đường tròn ngoại, nội tiếp tam giác.
9
H
B
C
A
GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97
_______________________________________________________________________________
_
•
2
cba
p
++
=
Nữa chu vi tam giác.
Hệ thức lượng tam giác vuông:
•
ACABBCAH
CHBHAH

.
2
=
=
•
BCBHAB .
2
=

4/.
2
.
2
.
2222
C
Cot
B
Cot
A
Cot
C
Cot
B
Cot
A
Cot =++
5/.
1
2
.
22
.
22
.
2
=++
A
Tan

Sin
BA
Cos =
+
;
22
C
Cot
BA
Tan =
+
9/.
8
33
≤SinCSinBSinA
10/.
8
1
≤CosCCosBCosA
11/.
8
33
2
.
2
.
2
≤
C
Cos

9
222
≥++ CTanBTanATan
16/.
1
2224
3
222
<++≤
C
Sin
B
Sin
A
Sin
17/.
4
9
222
2
222
≤++<
C
Cos
B
Cos
A
Cos
18/.
1

33
222 ≤++ CSinBSinASin

21/.
2
3
222 −≥++ CCosBCosACos
NHỚ 16 : HÀM SỐ LIÊN TỤC
Đònh nghóa 1:Hàm số
)(xfy =
gọi là liên tục tại điểm x = a nếu :
1/.
)(xf
xác đònh tại điểm x = a
2/.
)()(lim afxf
ax
=
→
Đònh nghóa 2:
)(xf
liên tục tại điểm x = a
)()(lim)(lim afxfxf
axax
==⇔
−+
→→
Đònh lý : Nếu
)(xf
liên tục trên [a, b] và

Chú ý :
)10(
21
21
≠<=⇔< axxaa
xx
3/. Đồ thò :
(a> 1) y ( 0 < a < 1) y

1 1
NHỚ 18 : HÀM SỐ LOGARIT
1/. Đònh nghóa :
a) Cho
0,1,0 >≠> Naa

Logarit cơ số a của N là số mũ M sao cho : a
M
= N
Ký hiệu : log
a
N = M
b) Hàm số logarit theo cơ số a ( a > 0, a
≠
1 ) của đối số x là hàm số được cho bởi công
thức: y = log
a
x ( với x > 0, a > 0, a

a
N
11
GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97
_______________________________________________________________________________
_
TC5 :
NM
N
M
aaa
logloglog −=
TC6 : Đổi cơ số
a
b
a
N
N
b
a
c
c
a
log
1
log;
log
log
log ==
3/. Đồ thò :

xf
a




>
>
 →←
<<
)()(
0)(
(*)
10
xgxf
xg
a

NHỚ 19 : ĐẠO HÀM
I/. Đònh nghóa đạo hàm :
Cho hàm số y = f(x) , xác đònh trên ( a, b) , x
0

∈
( a, b). Ta nói f(x) có đạo hàm tại x
0
nếu
giới hạn
0→∆
∆

∆
=
−
→∆
−
0
0
'
lim)(
( tồn tại )
∗ Đạo hàm bên phải :
x
y
xf
x
∆
∆
=
+
→∆
+
0
0
'
lim)(
( tồn tại )
 Cho y = f(x) xác đònh trên (a, b)
y = f(x) có đạo hàm tại x
0


b
a −
=






( b
≠
0)

)(.)(
''
Rcuccu ∈=

2
'
'
1
u
u
u
−=






=
α
α
4
x
y
1
=
xy =
uy =
2
'
1
x
y −=
x
y
2
1
'
=
u
u
y
2
'
'
=
5
Sinuy

2
'
'
=
8
Cotxy =
Cotuy =
xSin
y
2
'
1
−=
uSin
u
y
2
'
'
−=
9
arcSinxy =
2
'
1
1
x
y
−
=

13
x
ay =
u
ay =
Lnaay
x
=
'
Lnaauy
u

''
=
14
u
ey =
u
ey =
x
ey =
'
u
euy
''
=
15
Lnxy =
Lnuy =
x

1
'
=
13
GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97
_______________________________________________________________________________
_
NHỚ 20 : ĐỊNH LÝ LAGRĂNG
Nếu f(x) liên tục trên [a, b] và có đạo hàm trên khoảng (a, b) thì tồn tại ít nhất một điểm
x = c , c
∈
(a, b)
f(b) – f(a) = f
‘
(c)(b – a)
NHỚ 21 : BẢNG TÍCH PHÂN
1/. Công thức NewTon _ Leibnitz :
[ ]
∫
−==
b
a
b
a
aFbFxFdxxf )()()()(
với F(x) là nguyên hàm của f(x) trên [a, b}
2/. Tích phân từng phần :
∫ ∫
−=
b


β

a =
ϕ
(
α
), b =
ϕ
(
β
), f[
ϕ
(t)] là hàm số liên tục trên [
α
,
β
]
4/. Tính chất :
a)
∫ ∫
−=
b
a
a
b
dxxfdxxf )()(
b)
0)( =
∫

RKdxxfKdxxKf ,)()(
f) Nếu m ≤ f(x) ≤ M thì
)()()( abMdxxfabm
b
a
−≤≤−
∫
5/. Bảng tích phân :
TT Công thức
1
)1(
1
1
−≠+
+
=
+
∫
α
α
α
α
c
x
dxx
2
c
bax
a
dxbax +

x
14
GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97
_______________________________________________________________________________
_
4
∫
≠+
+−
−=
+
−
)1(
))(1(
1
)(
1
α
α
αα
c
baxabax
dx
5
∫
+= cxLn
x
dx
6
∫

∫
+−= cCosxSinxdx
12
∫
++−=+ cbaxCos
a
dxbaxSin )(
1
)(
13
∫
+= cSinxCosxdx
14
∫
++=+ cbaxSin
a
dxbaxCos )(
1
)(
15
∫
+= cTanx
xCos
dx
2
16
∫
+−= cCotx
xSin
dx

ax
ax
Ln
a
ax
dx
2
1
22
20
∫
+
−
+
=
−
c
xa
xa
Ln
a
xa
dx
2
1
22
21
∫
>+=
−

dxxa
24
chxxLn
h
hx
x
dxhx +++++=+
∫
222
22
NHỚ 22 : HOÁN VỊ _ TỔ HP _ CHỈNH HP
1/. Hoán vò :
!nP
n
=
2/. Tổ hợp :
)!(!
!
KnK
n
C
K
n
−
=

Kn
n
K
n

CCC 2
10
=+++
3/. Chỉnh hợp :
)0(
)!(
!
nK
Kn
n
A
K
n
≤≤
−
=
NHỚ 23 : SỐ PHỨC
1/. Phép tính :
∗ Cho z = a + bi
z’ = a’ + b’i
z
±
z’ = ( a
±
a’) + ( b
±
b’)i
z.z’ = (a.a’ – b.b’) + ( a.b’ + a’.b)i
∗ z = r.(Cos
α

iSinnCosnriSinCosr
nn
+=+
3/. Căn bậc n của số phức z = r.( Cos
α
+ i.Sin
α
) :
)
2
.
2
(
n
K
Sini
n
K
CosrZ
n
K
παπα
+
+
+
=
với K = 0, 1, 2, , n – 1
NHỚ 24 : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
A. VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ :
•



+
=
+
=
2
2
BA
BA
yy
y
xx
x
4). Tọa độ điểm M chia AB theo tỉ số k ≠ 1 :







−
−
=
−
−
=
k
yky

ba
ba
ba
16
GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97
_______________________________________________________________________________
_
2).
),(
2211
bababa ±±=±
→→
3).
),(.
21
mamaam =
→
4).
2211
bababa +=
→→
5).
2
2
2
1
aaa +=
→
6).
0

1/. Phương trình tham số :



+=
+=
tayy
taxx
20
10
Vectơ chỉ phương
),(
21
aaa =
→
2/. Phương trình tổng quát : Ax + By + C = 0 ( A
2
+ B
2

≠
0)
•
Pháp vectơ
),( BAn =
→

y

•

x
BA
A
4/. Phương trình đường thẳng qua M( x
0
, y
0
) có hệ số góc K :
)(
00
xxKyy −=−
5/. Phương trình đường thẳng qua A(x
A
, y
A
) và B(x
B
, y
B
) :
(x – x
A
)(y
B
– y
A
) = (y – y
A
)(x
B

=
−







=
→
),(),,(
00
baayxM
* Quy ước :
0
0
0
00
=−⇔
−
=
−
xx
b
yyxx
0
0
0
00

10/. Vò trí tương đối của hai đường thẳng : d
1
: A
1
x + B
1
y + C
1
= 0
d
2
: A
2
x + B
2
y + C
2
= 0
2
1
2
1
B
B
A
A
D =
2
1
2

*



≠
=
⇔
0
0
//
21
x
D
D
dd
hay



≠
=
0
0
y
D
D
*
0
21
===⇔≡

2
1
21
//
C
C
B
B
A
A
dd ≠=⇔
2
1
2
1
2
1
21
C
C
B
B
A
A
dd ==⇔≡
11/. Góc của hai đường thẳng d
1
và d
2
:

1
111
BA
CyBxA
BA
CyBxA
+
++
±=
+
++
* Chú ý :
Dấu của
→→
21
nn
Phương trình đường phân
giác góc nhọn tạo bởi d
1
, d
2
Phương trình đường phân
giác góc tù tạo bởi d
1
, d
2
– t
1
= t
2

0
– a).(x – a) + (y
0
– b).(y – b) = R
2
( Dạng 1)
x
0
x + y
0
y – a(x
0
+ x) – b(y
0
+ y) + c = 0 ( Dạng 2)
D. ELIP
18
GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97
_______________________________________________________________________________
_
PT chính tắc
Lý thuyết
2 2
2 2
2 2
1
( )
x y
a b
a b

( c, 0) F
1
(0,– c), F
2
( 0, c)
Đỉnh
A
1,2
( ± a, 0)
B
1,2
(0, ± b)
A
1,2
( ± a, 0)
B
1,2
(0, ± b)
Tâm sai
c
e
a
=
c
e
b
=
Đường chuẩn
a
x

+ =
0 0
2 2
1
x x y y
a b
+ =
Pt hình chữ nhật cơ
sở
x a
y b
= ±


= ±

x a
y b
= ±


= ±

Điều kiện tiếp xúc
với Ax + By + C = 0
A
2
a
2
+ B

Trục thực, độ dài Ox, 2a Oy, 2b
Trục ảo, độ dài Oy, 2b Ox, 2a
Liên hệ a, b, c c
2
= a
2
+ b
2
c
2
= a
2
+ b
2
Tiêu điểm F
1
(– c, 0), F
2
( c, 0) F
1
(0,– c), F
2
( 0, c)
Đỉnh A
1,2
( ± a, 0) B
1,2
(0, ± b)
Tâm sai
c

1
= ex + a
MF
2
= ex – a
M
∈
nhánh trái
MF
1
= – (ex + a)
MF
2
= – (ex – a)
M
∈
nhánh phải
MF
1
= ey + b
MF
2
= ey – b
M
∈
nhánh trái
MF
1
= – (ey + b)
MF

= C
2
B
2
b
2
– A
2
a
2
= C
2
19
GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97
_______________________________________________________________________________
_
F. PARAPOL
Pt chính tắc
Lý thuyết
y
2
= 2px y
2
= – 2px y
2
= 2py y
2
= – 2py
Tiêu điểm
,0

2
p
x = −
2
p
x =
2
p
y = −
2
p
y =
Điều kiện tiếp xúc
với Ax + By + C = 0
B
2
p = 2AC B
2
p = – 2AC A
2
p = 2BC A
2
p = – 2BC
NHỚ 25 : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A. VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ :
•
( )
1 2 3
, ,M x y z OM x e y e z e
→ → → →

y y
y
z z
z
+

=


+

=


+

=


4). Tọa độ điểm M chia AB theo tỉ số k ≠ 1 :
1
1
1
A B
A B
A B
x kx
x
k
y ky

→
=
1).
1 1
2 2
3 3
a b
a b a b
a b
→ →
=


= ⇔ =


=

2).
1 1 2 2 3 3
( , , )a b a b a b a b
→ →
± = ± ± ±
3).
1 2 3
( , , )m a ma ma ma
→
=
4).
1 1 2 2 3 3

=
 ÷
 
+ + + +
8). Tích vô hướng của hai Vectơ
3 3
2 1 1 2
2 3 3 1 1 2
, , ,
a a
a a a a
a b
b b b b b b
→ →
 
 
=
 ÷
 
 ÷
 
 
Điều kiện đồng phẳng :
, ,a b c
→ → →
Đồng phẳng
, 0a b c
→ → →
 
⇔ =

1 2 3 1 2 3
( , , ), ( , , )a a a a b b b b
→ →
= =
2/. Phương trình tổng quát :
Ax + By + Cz + D = 0
( , , )n A B C
→
=
Vectơ pháp tuyến ( VPT)
Đặc biệt :
• By + Cz + D = 0 song song trục ox
• Cz + d = 0 song song mặt phẳng oxy
• Ax + By + Cz = 0 qua gốc tọa độ
• By + Cz = 0 chứa trục ox
• z = 0 mặt phẳng oxy
3/. Phương trình mặt phẳng qua M( x
0
, y
0
, z
0
) ,có VPT
( , , )n A B C
→
=
là:
A(x – x
0
) + B(y – y

1 1 1 2 2 2
.
A A B B C C
Cos
A B C A B C
ϕ
+ +
=
+ + + +
b/. Vuông góc :
1 2 1 2 1 2
0A A B B C C
α β
⊥ ⇔ + + =
c/. Vò trí tương đối :
• α cắt β
1 1 1 2 2 2
: : : :A B C A B C⇔ ≠
•
1 1 1 1
2 2 2 2
A B C D
A B C D
α β
≡ ⇔ = = =
21
GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97
_______________________________________________________________________________
_
•

x x a t
y y a t t R
z z a t
= +


= + ∈


= +

Với
1 2 3
( , , )a a a a
→
=
Vectơ chỉ phương
2/. Phương trình tổng quát :
1 1 1 1
2 2 2 2
0
:
0
A x B y C z D
d
A x B y C z D
+ + + =


+ + + =

) là
A A A
B A B A B A
x x y y z z
x x y y z z
− − −
= =
− − −
D. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI
1/. Hai đường thẳng :
d qua M(x
0
, y
0
, z
0
) có Vectơ chỉ phương
1 2 3
( , , )a a a a
→
=

'
d
qua
' ' '
0 0 0
( , , )N x y z
có Vectơ chỉ phương
1 2 3

• d qua M(x
0
, y
0
, z
0
) có Vectơ chỉ phương
1 2 3
( , , )a a a a
→
=
• mặt phẳng (
α
) : Ax + By + Cz + D = 0 có vectơ pháp tuyến
( , , )n A B C
→
=
* d // (
α
)
0 0 0
. 0
0
a n
Ax By Cz D
→ →


=
⇔

Ax By Cz D
→ →


=
⇔

+ + + =


* d
α
⊥
1 2 3
: : : :a a a A B C⇔ =
* Góc của đường và mặt phẳng : được tính bởi công thức
1 2 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3
.
a A a B a C
Sin
a a a A B C
ϕ
+ +
=
+ + + +
E. KHOẢNG CÁCH :
1/. Khoảng cách từ một điểm M(x
0

,MN a
a
→ →
→
 
 
 
3/. Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau d và d’ :
,
,
a b MN
a b
→ → →
→ →
 
 
 
 
 
 
F. MẶT CẦU :
Phương trình mặt cầu tâm I(a, b, c), bán kính R
•
(x – a)
2
+ (y – b)
2
+ (z – c)
2
= R

b
α β
α β
β
α
∩ =





⇒ ≡


⊂


≡


⊂

2 a//
α
nếu và chỉ nếu trên
α
có a’ , a’//a
3
//
//




23
GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97
_______________________________________________________________________________
_
5
a
b
β
α
Nếu
α
chứa a và b cắt nhau, trong đó a//
β
, b//
β
thì
α
//
β
6
//
//
P a
P b a b
α
β
α β

b
d
a
// //
//
P Q d
R P a
a b d
R Q b
d R
∩ =


∩ =

⇒

∩ =



9 Nếu
a
α
⊥
thì
a b
⊥
,
b

12
a
β
α
•
//
α β
và
a
α
⊥
thì
a
β
⊥
• Nếu
a
α
⊥
và
a
β
⊥
thì
//
α β
13
b
α
a

HB > HA
24
P
b
a
β
α
a
d
β
α
P
d
βα
GV: Nguyễn Văn Huy ĐT: 0909 64 65 97
_______________________________________________________________________________
_
15
b'
a
b
α
ĐỊNH LÝ 3 ĐƯỜNG VUÔNG GÓC
a
α
⊂
và đường xiên b có hình chiếu vuông
góc trên
α
là b’ , ta có :

thì
a
β
⊥
•
d
P d P
P
α β
α
β
∩ =


⊥ ⇒ ⊥


⊥

17 S : Diện tích của một hình phẳng H
S’: Diện tích của hình chiếu vuông góc của H
là H’
α
: Góc giữa mặt phẳng chứa H và mặt phẳng
chứa H’

'
.S S Cos
α
=

* S
xq
lăng trụ đứng hay đều bằng chu vi đáy
nhân độ dài cạnh bên
* S
TP
= S
xq
+ 2S
đáy

* V = B.h
B : diên tích đáy
h : chiều cao
19
D
S
C
B
A
HÌNH CHÓP
1/. Đònh nghóa : Hình chóp là một hình đa diện
có một mặt là một đa giác, các mặt còn lại
đều là những tam giác có chung một đỉnh
* Hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa
giác đều và các cạnh bên đều bằng nhau
* Hình chóp cụt là phần của hình chóp nằm
giữa đáy và một thiết diện song song với đáy
25