PHÙNG VĂN TOÁN - ĐHBKHN
(Chuyên toán luyện thi CĐ – ĐH – Thi lên lớp 10
Địa chỉ: Bắc Lãm - Phú Lương - Hà Đông - Hà Nội)
*
*
*
www.luyenthi24h.com
C«ng thøc
TO¸N
(THCS – THPT – LUYỆN THI CĐ – ĐH)
tay để tra cứu cũng như tổng hợp lại kiến thức môn Toán. Tài liệu này được tôi
biên soạn với mong muốn tổng hợp toàn bộ lượng kiến môn toán thức từ lớp 7
đến lớp 12 dùng trong kì thi tuyển sinh Đại Học của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo.
Mặc dù đã rất cố gắng, nhưng tài liệu cũng không thể tránh khỏi những
thiếu sót. Tôi sẽ bổ sung thường xuyên và đưa lên địa chỉ
www.luyenthi24h.com (Trong mục tài liệu tự biên soạn). Tại đây tôi cũng đưa
lên rất nhiều tài liệu ôn thi và cả các đề thi thử của các trường THPT khác,
giúp cho các bạn học sinh thuận lợi khi tham khảo.
Bạn đọc muốn tìm nơi luyện thi tốt, lớp ít học sinh, có thể liên lạc với
tôi theo địa chỉ dưới đây:
Tác giả: Phùng Văn Toán - ĐHBKHN
Địa Chỉ: Bắc Lãm, Phú Lương, Hà Đông, HN
Điện thoại: 0985.62.99.66
Email:
Website: www.luyenthi24h.com
Bắc Lãm, Ngày… Tháng… Năm…
STT LỚP
TRANG
ĐẠI SỐ
1) GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 0
0
x khi x
x
x khi x
| | 0,
x x R
2
2
x x
Với
0
a
ta có
ad bc
b a c d b b
3) HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
2 2 2
( ) 2
a b a ab b
2 2
( )( )
a b a b a b
2 2 2
4 4 3 2 2 3 4
( ) 4 6 4
a b a a b a b ab b
2 2 2 2
( ) 2 2 2
a b c a b c ab bc ca
1 2
1 ( 1)( 1)
n n n
a a a a a
1 2 2 1
( )( )
n n n n n n
a b a b a a b ab b
4) CĂN BẬC HAI A
có nghĩa
nếu
0
0
A
B
.
AB A B
nếu
0
0
A
B
A A
B
B
nếu
2
5) TAM THỨC BẬC HAI
1) Nghiệm của phương trình bậc hai
2
0 ( 0)
ax bx c a
Đặt
2
4
b ac
Nếu
0
thì phương trình vô nghiệm
Nếu
0
thì phương trình có nghiệm kép
2
b
x
a
Nếu
0
a
2) Định lí Vi-ét
Gọi
1 2
,
x x
là hai nghiệm của phương trình
2
0 ( 0)
ax bx c a
ta có
1 2
b
S x x
a
1 2
c
P x x
a
Một số trường hợp áp dụng Vi-ét 2 2 2 2
2 2 2 2
1 2
2 2 2
1 2 1 2
1 1 2
2
( )
x x S P S
x x x x P P
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
| | ( ) ( ) 4 4
x x x x x x x x S P
3) Dấu của nghiệm
Phương trình bậc hai:
2
0
ax bx c
(
0
P x x
Hai nghiệm âm
1 2
1 2
0
0
. 0
S x x
P x x
4) Dấu của tam thức bậc hai
3
Nếu
0
, gọi hai nghiệm là
1 2
,
x x
(
1 2
x x
) thì
( )
f x
cùng dấu với hệ số a
1 2
( ; ) ( ; )
x x x
và
( )
f x
trái dấu với hệ số a
1 2
( ; )
x x x
Từ đó suy ra
f x x
0
( ) 0,
0
a
f x x
5) So sánh nghiệm của phương trình bậc hai
Cho tam thức bậc hai
2
0 ( 0)
ax bx c a
và hai số
2
x x af
S
1 2
( ) 0
( ) 0
af
x x
af
1 2
0
( ) 0
( ) 0
2
af
x x
af
S
c b
D c b c b
c b
1 1
1 2 2 1
2 2
y
a c
D a c a c
a c
Nếu
0
D
hệ có nghiệm duy nhất
x
D
x
D
,
y
D
y
D
Nếu
0
D
A B
A B
0
0
A
A B
B
A B
2) Bất phương trình chứa căn
2
2
0
0
0
A
B
A B
A B
B
2
0
0
3) Phương trình có dấu giá trị tuyệt đối
0
B
A B
A B
A B A B
4) Bất phương trình có dấu giá trị tuyệt đối
0B
A B
B A B
0
0
B
B
A B
A B
A B
2
A B A B
2
0
A
A B
A B
2
0
A
A B
A B
Biên soạn: Phùng Văn Toán – 0985.62.99.66 – www.luyenthi24h.com
A B
A B
8) BẤT ĐẲNG THỨC
1) Bất đẳng thức Cosi (AM-GM)
Cho
, 0
x y
thì
2
x y xy
. Dấu “=” xảy ra
x y
Mở rộng:
b b
. Ta có
2
2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
a b a b a a b b
Dấu “=” xảy ra
1 2
1 2
a a
b b
Mở rộng: Cho hai bộ số thực
1 2
, , ,
n
a a a
n
n
a a a
b b b
3) Bất đẳng thức Trêbưsep (Chebyshev)
Cho hai dãy
1 2
n
a a a
và
1 2
n
b b b
thì
1 1 2 2 1 2 1 2
( ) ( )( )
n n n n
n a b a b a b a a a b b b
Dấu “=” xảy ra
| | | | | | | | | |
x y x y x y
| | | | | | | | | |
x y x y x y
Biên soạn: Phùng Văn Toán – 0985.62.99.66 – www.luyenthi24h.com
6
9) CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN ( )
n
u
là csc, công sai d
( )
n
u
là csn, công bội q
Định nghĩa
1n n
n n
n
u u
u
2
1 1
.
n n n
u u u
Tổng n số hạng đầu Tổng của một số dãy số có quy luật
( 1)
1 2 3
2
n n
n
10) TỔ HỢP – NHỊ THỨC NIUTƠN
Số các hoán vị
! 1.2.3
n
P n n
Số các chỉnh hợp
!
( )!
k
n
n
A
n k
Số các tổ hợp
!
!( )!
k
k
n
n
k
n A
C
n n n n n
C a C a b C a b C ab C b
12) GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Các phép toán về giới hạn
Cho f(x) và g(x) là hai hàm số có giới hạn khi
0
x x
. Khi đó
0 0 0
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
x x x x x x
f x g x f x g x
0 0 0
lim ( ) ( ) lim ( ).lim ( )
x x x x x x
f x g x f x g x
u
q
Biên soạn: Phùng Văn Toán – 0985.62.99.66 – www.luyenthi24h.com
7
0
0 0
0
lim ( )
( )
lim lim ( ) 0
( ) lim ( )
x x
x x x x
x x
f x
f x
g x
g x g x
0
1
lim 1
x
x
e
x
1
lim 1
x
x
e
x
Tính liên tục của hàm số
Cho hàm số
( )
y f x
Biên soạn: Phùng Văn Toán – 0985.62.99.66 – www.luyenthi24h.com
8
11) CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Công thức cơ bản
2 2
1 cot
sin
x
x
tan .cot 1
x x
Công thức nhân đôi
sin2 2sin .cos
x x x
2
2tan
tan2
1 tan
x
x
x
2
cot 1
cot2
2cot
3
2
3tan tan
tan3 tan .tan .tan
1 3tan 3 3
x x
x x x x
x
3
2
3cot cot
cot3
1 3cot
x x
x
x
3sin sin3
sin
4
x x
x
3
3cos cos3
cos
4
x x
x
4
cos4 4cos2 3
sin
8
x x
x
4
cos4 4cos2 3
cos
8
x x
x
x
t
2
2
sin
1
t
x
t
2
2
1
cos
1
t
x
t
2
2
tan
1
t
x y x y x y
cos( ) cos .cos sin .sin
x y x y x y
tan tan
tan( )
1 tan .tan
x y
x y
x y
cot .cot 1
cot( )
cot cot
x y
x y
y x
tan tan
tan( )
1 tan .tan
1
sin .cos [sin( ) sin( )]
2
x y x y x y
1
cos .sin sin( ) sin( )
2
x y x y x y
tan tan
tan .tan
cot cot
x y
x y
x y
Công thức biến đổi tổng thành tích
sin sin 2sin cos
2 2
x y x y
x y
x y
x y
x y
sin( )
tan tan
cos .cos
x y
x y
x y
sin( )
cot cot
sin .sin
y x
x y
x y
Công thức đặc biệt khác
sin cos 2sin 2cos
4 4
x x x x
2
1 sin2 (sin cos )
x x x
Biên soạn: Phùng Văn Toán – 0985.62.99.66 – www.luyenthi24h.com
10
Các cung liên kết: Đối – Bù – Phụ - Hơn kém
;
2
sin( ) sin
x x
cos( ) cos
x x
sin cos
2
sin( ) sin
x x
cos( ) cos
x x
sin( ) sin
x x
cos( ) cos
x x
Công thức nghiệm
2
Đặc biệt
sin 0
x x k
cos 0
2
x x k
sin 1 2
2
x x k
cos 1 2
x x k
sin 1 2
2
x x k
x
0 0
180
x
Độ 0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
5
6
Sin 0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0
Cos
1
-
3
-1
-
1
3
0
Cot
3
1
1
3
0
-
1
3
-1
-
3
, ( ; )
x x a b
thì
( )
f x
đồng biến trên
( ; )
a b
Nếu
1 2
1 2
( ) ( )
x x
f x f x
1 2
, ( ; )
x x a b
thì
( )
f x
nghịch biến trên
( ; )
x a b
thì
( )
f x
nghịch biến trên
( ; )
a b2) Cực trị
Cho hàm số
( )
y f x
có đạo hàm cấp I và cấp II tại
0
x x
Hàm số đạt cực trị tại x
0
0
0
'( ) 0
'( )
f x
f x
f x
(3)
Chú ý: Điều kiện để hàm số bậc ba
3 2
y ax bx cx d
( 0)
a
có cực trị là
phương trình y’=0 có hai nghiệm phân biệt.
3) Tiếp tuyến
Cho hàm số
( )
y f x
có đồ thị (C). Gọi
0 0
( ; )
M x y
4) Vẽ đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
Dạng 1: Cho hàm số
( )
y f x
có đồ thị (C). Từ đó suy ra đồ thị của hàm số (C
1
):
1
( )
y f x
Biên soạn: Phùng Văn Toán – 0985.62.99.66 – www.luyenthi24h.com
12
Ta có
1 1
0
( ): | |
0
y neu y
C y y
y neu y
Dạng 2: Dựa vào đồ thị hàm số (C):
( )
y f x
. Từ đó suy ra đồ thị của hàm số
2 2
( ): (| |)
C y f x
Nhận xét:
2 2
( ): (| |)
C y f x
là hàm số chẵn nên nhận
Oy
làm trục đối xứng
Ta có:
2 2
( ) 0
( ): (| |)
( ) 0
f x neu x
C y f x
f x neu x
Nhận xét: Nếu
0 0 3 0 0 3
( ; ) ( ) ( ; ) ( )
M x y C M x y C
Nên
3 3
( ): ( )
C y f x
nhận
Ox
làm trục đối xứng
Ta có
3 3 3
( ):
C y y y y
nếu
0
y
Do đó đồ thì
3
( )
C
gồm có 2 phần đồ thị
+ Phần 1: Là phần đồ thị của
( ): ( )
:
d y k x b
và
2
2 2
:
d y k x b
1 2 1 2
. 1
d d k k
1 2
1 2
1 2
/ /
k k
d d
b b
B x y
Nằm về hai phía trục
Ox
. 0
A B
y y
Nằm về hai phía trục
Oy
. 0
A B
x x
Biên soạn: Phùng Văn Toán – 0985.62.99.66 – www.luyenthi24h.com
13
Nằm về hai phía đường thằng d
0
A A B B
ax by c ax by c
Cách đều trục
Ox
| | | |
A B
y y
Cách đều trục
Oy
| | | |
A B
x x
Cách đều đường thẳng d
A B
A B
x y
y x
Đối xứng nhau qua phân giác II, IV
A B
A B
x y
y x
Đối xứng nhau qua điểm M
M là trung điểm A, B
Định nghĩa đạo hàm
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b),
0
,
x a b
. Cho x
0
một số gia
x
. Đặt
0 0
( )
y f x x f x
. Nếu tồn tại giới hạn
0 0
0 0
( )
lim lim
x x
f x x f x
y
x x
Các quy tắc tính đạo hàm
. onst
cu cu c c
( )' ' '
u v u v
( . )' ' '
u v u v uv
'
2
' '
u u v uv
v v
Bảng đạo hàm
1
(tan )' 1 tan
cos
x x
x
2
2
'
(tan )' (1 tan ). '
cos
u
u u u
u
2
2
1
(cot )' (1 cot )
sin
x x
x
2
2
'
(cot )' (1 cot ). '
sin
u
u u u
1
(log )'
ln
a
x
x a
'
(log )'
ln
a
u
u
u a
Biên soạn: Phùng Văn Toán – 0985.62.99.66 – www.luyenthi24h.com
15
14) NGUYÊN HÀM
f x g x dx f x dx g x dx
Công thức tích phân từng phần
b
b b
a a
a
udv uv vdu
Bảng nguyên hàm
1
( 1)
1
n
n
x
x dx C n
n
1
xdx x C
1
sin( ) cos( )
ax b dx ax b C
a
cos sin
xdx x C
1
cos( ) sin( )
ax b dx ax b C
a
2
1
cot
sin
dx x C
x
x x
e dx e C
1
ax b ax b
e dx e C
a
ln
x
x
a
a dx C
a
( )
1
ln
mx n
mx n
a
a dx C
a x
2 2 2
2 2
x h
x h dx x h Ln x x h c
2
2
dx
ln x x h c
x h
Biên soạn: Phùng Văn Toán – 0985.62.99.66 – www.luyenthi24h.com
16
15) MŨ - LOGARIT
Kí hiệu viết tắt
Từ đó: lg10 log10 ln
n n n
e n
1) Công thức mũ
Điều kiện xác định:
n
x
xác định
0
x
.
n m n m
x x x
n
n m
m
x
x
x
y y
2) Công thức logarit
Điều kiện xác định:
log
a
x
xác định
0
0, 1
x
a a
log
b
a
x b x a
1
log
log
a
b
b
a
log log .log
a a c
b c b
log
log
log
c
a
c
b
b
a
log ( ) log log
a a a
xy x y
log log log
a a a
n
với n nguyên dương và
{0;1}
a
3) Chiều biến thiên x
y a
log
a
y x
1
a
Đồng biến Đồng biến
1
a
Nghịch biến Nghịch biến
( ) ( )
0
( 1) ( ) ( ) 0
f x g x
a
a a
a f x g x
Phương trình, bất phương trình logarith
0 1
log ( ) log ( ) ( ) 0 ( ( ) 0)
( ) ( )
a a
a
f x g x f x hoac g x
f x g x
16) SỐ PHỨC
1) Định nghĩa
Cho số phức
z a bi
, với
2
1
i
Phần thực:
a
Modul:
2 2
z a b
Phần ảo:
b
Số phức liên hợp:
z a bi
Chú ý:
4
1
2 2 2
z a b i
1 2 1 2 1 2
( ) ( )
z z a a b b i
1 2 1 2 1 2
( ) ( )
z z a a b b i
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1
( ) ( )
z z a a bb a b a b i
1 1 2 1 2 2 1 1 2
2 2
2 2 2
( ) ( )
z a a bb a b a b i
z a b
Ta có:
(cos sin )
z r i
là dạng lượng giác của số phức trên.
Các phép tính
Biên soạn: Phùng Văn Toán – 0985.62.99.66 – www.luyenthi24h.com
18
Cho hai số phức
1 1 1 1
(cos sin )
z r i
và
2 2 2 2
(cos sin )
z r i
1 2 1 2 1 2 1 2
cos( ) sin( )
z z rr i
1 1
1 1
cos( ) sin( )
i
z r
Công thức Moa-vrơ
(cos sin ) (cos sin )
n
n
r i r n i n
n Z
Căn bậc n của số phức
2 2
cos sin
n n
k k
z r i
n n
1 2 1 2
. .
z z z z
1 1
2
2
z z
z
z
1 2 1 2
. .
z z z z
1
1
2 2
z
z
z z
1 2 1 2
arg( . ) arg arg
được gọi là căn
bậc hai của z
Nếu
0
b
, các căn bậc hai của z là
2 2 2 2
2 2
a b a a b a
i
Nếu
0
b
, các căn bậc hai của z là
2 2 2 2
2 2
a b a a b a
i
Kí hiệu
, ,
a b c
: Độ dài các cạnh
, ,
BC CA ABR
,
r
: Bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp
p
: Nửa chu vi
,
a a
m h
Độ dài đường trung tuyến, đường cao kẻ từ A
1) Hệ thức lượng trong mọi tam giác
2 2 2
2 cos
a b c bc A
2
2
.
AC CH BC
2 2 2
BC AB AC
2 2 2
1 1 1
AH AB AC
2
.
AH BH CH
. .
AB AC BC AH
A
C
B
c
b
HÌNH HỌC
Biên soạn: Phùng Văn Toán – 0985.62.99.66 – www.luyenthi24h.com
203) Tính chất các đường trong tam giác
G là trọng tâm tam giác ABC 1
2
GM
GA
1
3
GM
AM
2
3
AG
AM
A
B
C
M
G
C
B
A
D
E
Biên soạn: Phùng Văn Toán – 0985.62.99.66 – www.luyenthi24h.com
21
2) PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
và
1 2
( ; )
b b b
Định nghĩa
1 2 1 2
( ; )
a a a a a i a j
Tính chất
Độ dài vecto
2 2
1 2
a a a
Tổng, hiệu hai vecto
1 1 2 2
( ; )
a b a b a b
Nhân với số thực k
1 2 2 1
a b a b
Tích vô hướng hai vecto
1 1 2 2
. . .cos ,
a b a b a b a b a b
Góc giữa hai vecto
1 1 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2
.
cos ,
.
a b a b a b
a b
a b
a a b b
Diện tích tam giác ABC
1
2
B A B A
ABC
C A C A
y y x x
S
y y x x
3) Tọa độ của điểm
Cho hai điểm
( ; )
A A
A x y
và
( ; )
B B
B x y
Định nghĩa ( ; )
A A A A
A x y OA x i y j
Biên soạn: Phùng Văn Toán – 0985.62.99.66 – www.luyenthi24h.com
22
Trung điểm I của AB
;
2 2
A B A B
x x y y
I
Tọa độ trong tâm
ABC
;
3 3
A B C A B C
x x x y y y
G
M chia AB theo tỉ số k
Vecto
( ; ) 0
u a b
có giá song song với đường thẳng
là vecto chỉ phương của
Phương trình tổng quát đường thẳng
đi qua điểm
0 0
( ; )
M x y
và có VTPT
( ; )
n a b
0 0
: ( ) ( ) 0
a x x b y y
Phương trình tổng quát đường thẳng
0
Phương trình chính tắc đường thẳng
đi qua điểm
0 0
( ; )
M x y
có VTCP
( ; )
u a b
0 0
:
x x y y
a b
(với
0
ab
)
Nếu
0
a
hoặc
0
b
Oy
/ /
Oy
PT tổng quát
0
y
:
y m
0
x
:
x n
PT Chính tắc
0
x t
y
Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng
1 1 1 1
: 0
a x b y c
và
2 2 2 2
: 0
a x b y c
Tọa độ giao điểm của
1
và
2
là nghiệm của hệ phương trình
1 1 1
2 2 2
0
0
a x b y c
a x b y c
Copyright: Tài liệu đại học ©