Diễn đàn học sinh Việt Nam –

PHIẾU SỐ 1
ÔN TẬP HÀM SỐ
Bài toán tiếp tuyến cơ bản:
7. Cho hàm số 23
23
 xxy viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến qua A(-
1;-2).
8. Cho hàm số


3
43 xxxfy  viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
biết tiếp tuyến đi qua: M(1;3).
9. Cho hàm số
 
2
23



x
x
xfy . Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp qua
A(1;3).
10. Cho hàm số
 
x
xx
xfy

 tìm trên đường thẳng x =1. Những điểm M sao cho
từ M kẻ được hai tiếp tuyến tới (C) mà hai tiếp tuyến đó vuông góc.
* Ôn tập công thức tính đạo hàm:
14. Tính đạo hàm của hàm số sau:
a)


22cos
22
 xxy
b) 65
2
 xxy
c)


xxxxy sin2cos2
2

d)


x
xx
y
3
cossin3ln


c)







ff
2) Nếu
 
x
xf


1
1
ln thì




xf
exfx 1.
'

16. Cho
 
x
x
xf
2


xfxf 2
'

Diễn đàn học sinh Việt Nam –
18.


xxf 2sin
3
 và


.4sin52cos4 xxxg  Giải phương trình




xgxf 
'

19. Giải bất phương trình:




xgxf
''
 .
với

b) xx
x
x
xy
23
2
3 2
cos.sin.
1
1
.



c)
x
x
y







1
1 .
21. Tính đạo hàm tại x = 0.
 


01
0.
2
voibxax
xvoieax
xfy
bx
có đạo hàm tại x
= 0.
b) Tính đạo hàm theo định nghĩa của hàm số axy sin


c) Tính đạo hàm cấp n của hàm số axy sin


* Tính giới hạn:
23.
x
x
x
x
sin
2cos1
lim
2
0


24.
 

2
0



27.
2
1
1
lim










x
x
x
x
28.
1
1
2
lim



30.
2
0
cos3
lim
2
x
x
x
x


31.
1
473
lim
3 32
1



x
xx
x
32.
x
xx
x
3

x
x
xx
xfy . Tính




xf
n

35.


xxfy 5sin
2
 . Tính




xf
n


38. Cho
     
28311
3
1
23
 axaxaxay Tìm a để hàm số luôn nghịch
biến.
39. Cho
   
xaxaxy 31
3
1
23
 Tìm a để hàm số đồng biến trên (0;3).
40. Cho hàm số


axaxxy 413
23
 Tìm a để hàm số nghịch biến trên (-1;1)
41. Cho hàm số
 
ax
xx
y



8

2



x
tgxx

45. Chứng minh rằng với
2
0,

 xx ta có :
1sin
2
2
2



xtgxx

46. Chứng minh rằng với
2
0,

 xx ta có:
x
tgx









4
;0


b) Chứng minh rằng:
0000
10.639.5.4 tgtgtgtg 
51. Chứng minh rằng với
2
0


 thì







22
coscos




 x .
54. Cho:
6

a
;
8


b
và
3

c
. CMR: 1
24
 xcbxaxx .
55. Cho: 0


yx . CMR:
yx
yxyx
lnln2 




56. CMR:

độ dài đúng bằng 1.
B - CỰC TRỊ HÀM SỐ
60. Tìm khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số sau:
a)
x
xy
1
 b)
103632
23
 xxxy
c) 532
2
 xxy d)
62
4
1
24
 xxy
e)
1
63
2



x
xx
y


và x
1
2
+ x
2
2
= x
1
+x
2
.
63. Cho hàm số
   
2
1
231
3
1
23
 xmxmmxy
Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x
1
, x
2
và x
1
+ 2x
2
= 1.
64. Cho hàm số

67. Cho hàm số




1134
234
 xmmxxxfy Tìm m để hàm số chỉ có cực
tiểu không có cực đại.
68. Cho hàm số
1
8
2



x
mmxx
y . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về
hai phía đường thẳng 0179



yx .
69. Cho hàm số 422
24
 mmxxy . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu lập
thành tam giác đều.
70. Cho hàm số
1
Diễn đàn học sinh Việt Nam –
PHIẾU SỐ 4
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Bổ sung phần cực trị
71. Tìm khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số sau:
a)
2
3
23
2
2




x
x
xx
y b)


x
xx
y

72. Tìm a để hàm số 11292
223
 xaaxxy đạt cực trị tại x
1
, x
2
và
a)
2
2
1
xx 
b)
2
11
21
21
xx
xx


* Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
73. Tìm giá trị lớn nhất và nhở nhất của hàm số:

1







4;
2
1

78. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 90723
23
 xxxy trên [-5;5]
79. Cho x, y, z thay đổi thoả mãn điều kiện: x
2
+y
2
+ z
2
= 1.
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: xzyzxyzyxP






.
80. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
zyx

3. xxxy
22
sin7sin33cos4 
4. xxy
2
cos trên






4
;0

.
5. xxy 5coscos5


trên







4
;
4

10. xxy
ba
sin.cos với 1,:,:
2
0  qpNqpx


11.
xxxx 2cos73cos.2cos.cos2

trên








8
;
8
3


12. 1
1
4
cos
1

 xxxxy
Diễn đàn học sinh Việt Nam –
PHIẾU SỐ 6
TÍNH LỒI, LÕM, ĐIỂM UỐN - TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
81. Cho hàm số:


5313
23
 xxmxy
a. Tìm m để hàm số lồi mọi x є (-5;2)
b. Tìm m để đồ thị hàm số có điểm uốn hoành độ x
0
thoả mãn: x
0
> m
2
– 2m -5



mxmmxxy 22
23

a. Tìm quỹ tích điểm uốn
b. Chứng minh rằng tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất.
85. Chứng minh rằng đồ thị hàm số sau có ba điểm uốn thẳng hàng.
a.
1
12
2




x
x
x
y b.
22
3
3
a
x
x
y


86. Tìm m để đồ thị hàm số:

2
 xxy e.
5
4
2
2




x
x
x
y
c. 462
2
 xxy f. 54
2
 xxy
89. Biện luận theo m các tiệm cận của đồ thị hàm số sau.
a.
2
26
2



x
xmx
y
Diễn đàn học sinh Việt Nam –
PHIẾU SỐ 7
Chuyên đề : HÀM SỐ
90. Cho hàm số 23
23
 xxy
a. Khảo sát hàm số
b. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm uốn
c. Chứng minh rằng điểm uốn là tâm đối xứng
d. Biện luận số nghiệm của phương trình sau theo m: 03
23
 mxx
91. Cho hàm số
   
xmmxxmy 231
3
1
23

a. Tìm m để hàm số đồng biến.
b. Tìm m để hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
c. Khảo sát hàm số khi
2
3
m
92. Cho hàm số



c. Gọi đồ thị hàm số vừa vẽ là đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết
tiếp tuyến song song với xy
9
1

96. Cho hàm số


4323
223
 xmmmxxy
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
b. Gọi đồ thị vừa vẽ là đồ thị hàm số (C). Viết phương trình parabol đi qua điểm
cực đại và, điểm cực tiểu của đồ thị hàm số (C) và tiếp xúc với (D).
c. Hãy xác định m để đồ thị hàm số đã cho có điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm
về hai phía của trục Oy.
97. Cho hàm số 342
23
 xxxy
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. Gọi là đồ thị (C).
Diễn đàn học sinh Việt Nam –
b. CMR: (C) cắt trục Ox tại điểm A(-3;0). Tìm điểm B đố xứng với điểm A qua
tâm đối xứng với đồ thị (C).
c. Viêt phương trình các tiếp tuyến với (C) đi qua điểm M(-2;5).
98. Cho hàm số




126132

Cxxy 23
23

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.
b. Tìm các điểm thuộc đồ thị hàm số (C) mà qua đó kẻ được một và chỉ một tiếp
tuyến tới đồ thị hàm số (C).
101. Cho hàm số 23
23
 xxy (C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C)
b. Tìm trên trục hoành những điểm mà từ đó kẻ được ba tiếp tuyến tới đồ thị của
hàm số (C).
102. Cho hàm số 196
23
 xxxy (C).
a. Khảo sát sự biến thiên của hàm số.
b. Từ một điểm bất kỳ trên đường thẳng x = 2 ta có thể kẻ được bao nhiêu tiếp
tuyến tới đồ thị của hàm số (C).

 aayxyx
105. Cho hàm số mmxxy 
23
2
3
(C
m
)
a) Tìm m để hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía đường phân giác
góc phần tư thứ nhất.
b) Với m = 1. Khảo sát và vẽ (C). Viết phương trình parabol đi qua điểm cực đại,
cực tiểu của (C) và tiếp xúc với (D): xy
2
1

106. Cho hàm số:


213
23
 mmxxy
a.CMR:
m

hàm số có cực trị.
b. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x =2.
c. Khảo sát với m vừa tìm được.
d. Gọi đồ thị vừa vẽ là đồ thị hàm số (C). Trên hệ trục toạ độ khác từ đồ thị hàm
số (C) suy ra đồ thị hàm số (C
’

d, Tìm m để phương trình


03
2
 mxx có bốn nghiệm phân biệt.
108. Cho hàm số: 13
23
 xxy
a. Khảo sát hàm số.
b. Đường thẳng đi qua A(-3;1) và có hệ số góc là k. Xác định k để đường thẳng
cắt (C) tại 3 điểm phân biệt.
c. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình. 01133
23
 mtt có
bốn nghiệm phân biệt.
Diễn đàn học sinh Việt Nam –
109. Cho hàm số: 63
23
 xxy
a. Khảo sát hàm số
b. Biện luận số nghiệm của phương trình. mxx  63
23

110. Cho hàm số:




12313

Diễn đàn học sinh Việt Nam –
PHIẾU SỐ 9
HÀM SỐ
112. Cho hàm số:






1414213
223


mxxxxfy  93
23

1. Khảo sát khi m = 6.
2. Tìm m để phương trình f(x) = 0 có ba nghiệm phân biệt.
115. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số


13
3
 xxxfy
2. Tìm a để đồ thị của hàm số


xfy  cắt đồ thị hàm số




aaxxaxgy  33
2
tại ba điểm có hoành độ dương.
116. Cho hàm số




1133
2223

23

1. Khảo sát sự biến thiên của hàm số khi m = 1.
2. Tìm m để đồ thị cắt Ox tại ba điểm phân biệt lập cấp số cộng.
119. Cho hàm số: mxxxy  93
23

1. Khảo sát hàm số khi m = 0.
2. Tìm m để đồ thị hàm số cắt Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập cấp số
cộng.
120. Cho hàm số: mxmxxy  34
23

1. Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn có cực đại, cực tiểu trái dấu.
2. Khảo sát hàm số khi m = 0.
3. Phương trình
23
134 xxx  có bao nhiêu nghiệm.
Diễn đàn học sinh Việt Nam –
121. Cho hàm số: 1
3
1
23
 mxmxxy
1. Khi m = 0
a. Khảo sát hàm số
b. Cho A(0;0), B(3;7). Tìm M thuộc AB của (C) sao cho diện tích ΔMAB
lớn nhất.
2. Chứng minh với mọi m hàm số luôn có cực đại, cực tiểu. Tìm m để khoảng
cách giữa điểm cực đại, cực tiểu là nhỏ nhất.

3 mxx  có bốn nghiệm phân biệt.
2. Tìm a để hàm số y đồng biến với




2;01;3 x
124. Cho hàm số:


axxxfy 
3

1. Khi a = 3.
a. Khảo sát hàm số.
b. Viết phương trình parabol đi qua A(


0;3 ), B( 0;3 ) và tiếp xúc với
đồ thị vừa vẽ.
2. Với giá trị nào của x thì tồn tại t ≠ x sao cho f(x) = f(t).


m
x
mxm
y




1
(1)
1-Với m =1.
a. Khảo sát hàm số.
b. Giả sử đồ thị hàm số vừa vẽ là (H). Tìm trên (H) những điểm có tổng khoảng cách
đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất.
2- Tìm a sao cho phương trình: a
t
t



1
sin
1sin2
có đúng hai nghiệm thoả mãn điều kiện



t0


y (C)
a. Khảo sát hàm số
b. Tìm m để (D
m
): 1


mxy cắt (C) tại hai điểm phân biệt mà cả hai điểm đó
thuộc cùng một nhánh.
c. Tìm quỹ tích trung điểm I của MN.
129. Cho hàm số:
1
123
2



x
mmxmx
y
1-Cho
2
1
m
a. Khảo sát hàm số.
b. Biện luận theo k số nghiệm của phương trình: 0123
2
 xkxx
2-Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía đối với trục Ox.
130. Tìm các đường tiệm cận nếu có của đồ thị hàm số sau:

9
2


x
x
y f. xxxy 23
2

g. 23
2
 xxy h.
4
1
2
2


x
x
xy

Diễn đàn học sinh Việt Nam –
PHIẾU SỐ 11
HÀM SỐ
131. Cho hàm số: )(
2
33
2
C
x
xx
y



d. Khảo sát hàm số (C).
e. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường
thẳng (d): 3y – x + 6 = 0.
f. Biện luận theo tham số m số nghiệm



;0t của phương trình:


023cos3cos
2
 mtmt
132. Cho hàm số:



nguyên.
f. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đồng thời giá trị cực đại, cực tiểu cùng
dấu.
134. Cho hàm số: )(
1
12
2
m
C
x
mmxmx
y



d. Tìm m để đồ thị (C
m
) có cả tiệm cận đứng và tiệm cận xiên.
e. Tìm m để đồ thị (C
m
) có cực đại, cực tiểu nằm ở phần tư thứ nhất và thứ ba.
Của mặt phẳng (Oxy).
f. Tìm m để đồ thị (C
m
) cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt. Tìm hệ số góc của tiếp
tuyến với đồ thị tại các điểm đó.
135. Cho hàm số:
m
x
mxx



11
2
(1)
4. Khảo sát hàm số khi m = 1.
5. Chứng minh rằng với mọi m ≠ - 1, đồ thị của hàm số (1) luôn tiếp xúc với một
đường thẳng cố định, tại một điểm cố định.
6. Tìm m để hàm số đồng biến trên


;1
137. Cho hàm số:


)1(
112
2
m
x
mxmx
y



4. Khảo sát hàm số khi m = 1.
5. Tìm m để hàm số nghịch biến trong khoảng


;2

2
 xaax
139. Cho hàm số: )(
1
55
2
C
x
xx
y



4. Khảo sát hàm số:
5. Trên hệ trục toạ độ khác từ đồ thị hàm số (C) suy ra đồ thị hàm số (C
’
):
1
55
2



x
xx
y
6. Tìm m để phương trình:


1252.54 

6. Tìm hai điểm A, B trên hai nhánh khác nhau của (C) sao cho độ dài đoạn AB
ngắn nhất.
7. Tìm a để hàm số có tiệm cận xiên.
8. Tìm a để hàm số có hai cực trị trái dấu.

Diễn đàn học sinh Việt Nam –

PHIẾU SỐ 13
HÀM SỐ
142. Cho hàm số:


m
x
mxmx
y



11
2
(C)
1. Khảo sát hàm số khi m = 2.
2. Chứng minh rằng: tích các khoảng cách từ một điểm tuỳ ý thuộc (C) đến hai
đường tiệm cận không đổi.
3. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và giá trị cực đại, cực tiểu trái dấu.
143. Cho hàm số:
1
2


2. Tìm M thuộc (H) có tổng khoảng cách đến các trục toạ độ là nhỏ nhất.
146. Cho hàm số:
2
3
2



x
x
y (H)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ (H).
2. Tìm M thuộc (H) sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ là nhỏ
nhất.
147. Cho hàm số: )(
2
54
2
H
x
xx
y



1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Tìm M thuộc (H) sao cho khoảng cách từ M đến (D): 063




1. Khi m = 3.
a. Khảo sát sự biến thiên của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A






2
3
;0 của đồ thị trên.
2. Tìm m để hàm số có cực tiểu mà không có cực đại.
155. Cho hàm số:


mxmmxy 211
24

1. Tìm m để hàm số chỉ có một cực trị
2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số khi
2
1
m
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến qua O(0;0).
156. Cho hàm số:


312
224

2
24
log12 
160. Cho hàm số:


9106
24
 xmxy
1. Khảo sát hàm số khi m = 0.
2. CMR: mọi m khác 0, đồ thị hàm số đã cho luôn cắt trục Ox tại 4 điểm phân
biệt, chứng minh rằng trong số các giao điểm đó có hai điểm nằm trong khoảng (-3;3) và
có hai điểm nằm ngoài khoảng đó.
161. Cho hàm số:




22
11  xxy
1. Khảo sát hàm số.
2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:


0121
2
2
 mx
3. Tìm b để parabol bxy 
2

1. Khảo sát hàm số.
2. Tìm những điểm thuộc Oy từ đó kẻ được ba tiếp tuyến tới đồ thị (C)
164. Cho hàm số:
1
1
2



x
xx
y
1. Khảo sát hàm số.
2. Tìm trên trục Oy những điểm từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến tới đồ thị vừa
vẽ.
165. Cho hàm số:
1
2



x
x
y
1. Khảo sát hàm số
2. Cho A(0;a). Xác định a để từ A kẻ được hai tiếp tuyến đến (C) sao cho hai tiếp
điểm tương ứng nằm về hai phía đối với Ox.
166. Cho hàm số: )(
1
1






 m
xx
gxtgxxx với







2
;0

x
2
) lần lượt ở A và B. Viết phương trình của (d)
biết rằng PA = PB.
8. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu cho A (1;3) và hai đường trung
tuyến có phương trình lần lượt là: x – 2y + 1 = 0 và y – 1 = 0.
9. Cho tam giác ABC có đỉnh B (3;5) và đường cao AH có phương trình: 2x – 5y +
3 = 0. Trung tuyến CM có phương trình: x + y – 5 = 0. Viết phương trình các
cạnh của tam giác ABC.
10. Lập phương trình cạnh của tam giác ABC biết B (2;-1) và đường cao AH có
phương trình: 3x – 4y + 27 = 0 và phân giác trong CD có phương trình: x + 2y –
5 = 0.
11. Cho tam giác ABC có đỉnh A (2;-1) và phương trình hai đường phân giác góc B
và góc C là: x – 2y + 1 = 0 và x + y + 3 = 0. Viết phương trình đường thẳng chứa
cạnh BC.
12. Cho A(-6;-3), B(-4;3), C(9,2).
a) Viết phương trình đường phân giác trong (d) của góc A trong Δ ABC
b) Tìm Pє (d) sao cho ABCP là hình thang.
13. Cho (d
1
): 2x – y – 2 = 0; (d
2
): 2x + 4y – 7 = 0.
a) Viết phương trình đường phân giác trong tạo bởi (d
1
) và (d
2
).
b) Viết phương trình đường thẳng qua P (3;1) cùng với (d
1
), (d

2
33

Viết phương trình đường phân giác góc tù tạo bởi (d
1
) và (d
2
).
15. Viết phương trình đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng (d
1
): 3x –
5y + 2 = 0; (d
2
): 5x - 2y + 4 = 0 và song song với đường thẳng (d): 2x – y + 4 = 0.
Diễn đàn học sinh Việt Nam –
16. Cho P (2;5) và Q(5;1). Viết phương trình đường thẳng qua P và cách Q một đoạn
có độ dài bằng 3.
17. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(0;1) và tạo với đường thẳng x + 2y
+ 3 = 0 một góc 45
0
.
18. Viết phương trình các cạnh của hình vuông, biết rằng hình vuông đó có đỉnh là (-
4;8) và một đường chéo có phương trình là 7x – y + 8 = 0.
19. Cho A(1;1). Hãy tìm điểm B trên đường thẳng y = 3 và điểm C trên trục hoành
sao cho tam giác ABC đều.
20. Cho (d
1
) x + y – 1 = 0, (d
2
) x – 3y + 3 = 0. Viết phương trình đường thẳng (d


Diễn đàn học sinh Việt Nam –

PHIẾU SỐ 17
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

21. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC biết A(3;7), B(9,5) và C(-5;9).
a) Viết phương trình đường phân giác trong góc lớn nhất của tam giác ABC.
b) Qua M(-2;-7) viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC.
22. Cho tam giác ABC, 3 cạnh có phương trình là:
04:



yxAB ; 052:






yx và 093



yx .
28. Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A(1;2) và B(2;1) và có tâm nằm trên
đường thẳng 0137



yx .
29. Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng 3x – 4y – 31 = 0 tại A(1;-
7) và có bán kính bằng 5.
30. Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A(1;2) và đi qua giao điểm của đường
thẳng x – 7y + 10 = 0 và đường tròn 02042
22
 yxyx
31. Cho đường tròn tâm (C) có phương trình:
0662
22
 yxyx và điểm M(2;4).
a) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và cắt (C) tại hai điểm A, B sao
cho M là trung điểm AB.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của C biết tiếp tuyến song song với đường phân
giác phần tư thứ tư và phần tư thứ hai.
c) Viết phương trình đường tròn (C
’

T
2
.
36) Cho hai đường tròn:


0442:
22
1
 yxyxC


01422:
22
2
 yxyxC
a. Chứng minh rằng hai đường tròn trên cắt nhau tại A và B.
b. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A, B.
c. Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và điểm M (0;1).
37. Cho (C
m
) có phương trình:


0122
22
 myxmyx
a) Tìm m để C
m
là đường tròn