Lê Văn Lộc
25I. Khái quát nội dung chính .
A : Đặt vấn đề
- Vai trò, tác động của toán học với đời sống, với các ngành khoa học kỹ
thuật .
- Vị trí của môn toán trong trờng THCS .
- Khả năng học toán của các em ở trờng THCS hiện nay .
- Do yêu cầu của đổi mới phơng pháp : " Thầy chủ đạo , trò chủ động ".
B . Giải quyết vấn đề .

1. ý tởng đi nghiên cứu đề tài từ một bài toán thực tế với cách giải độc
đáo đợc đúc rút từ sự vận dụng linh hoạt của các nội dung cơ bản của ch-
ơng trình .
2. Phơng pháp dạy học của thầy, cách tìm tòi thực nghiệm để đúc rút ra
các dạng vận dụng kiến thức cơ bản vào làm phép tính nhẩm .
3. Tám dạng bài tập khác nhau, mỗi dạng đều nêu ví dụ cụ thể, cơ sở của
cách làm, tại sao làm nh vậy .
Dạng 1 : Nhẩm bình phơng của một số có chữ số tận cùng là 5.
Dạng 2 : Vận dụng hằng đẳng thức ( a + b )
2
vào làm phép tính
nhẩm .
Dạng 3 : Nhẩm bình phơng của một số lớn hơn 50 một chút .
Dạng 4 : Nhẩm căn bậc hai của một số chính phơng.
Dạng 5 : Nhẩm tích hai số nhỏ hơn 100 một chút.
Dạng 6 : Nhân nhẩm tích của hai số lớn hơn 100.
Dạng 7 : Nhẩm tích của hai số có bốn chữ số mà chữ số hàng
nghìn , hàng trăm giống nhau. Tổng chữ số hàng chục
và hàng đơn vị của hai thừa số là 100 .
Dạng 8 : Tính nhanh một số biểu thức .
Dạng 9 : Dãy các phân thức viết theo quy luật .

giáo viên càng thuyết trình thì học sinh càng thụ động . Do đó các em
càng sợ , càng yếu , không nắm đợc các kiến thức cơ bản .

Trớc yêu cầu của đổi mới phơng pháp : " Thầy chủ đạo , trò chủ động "
, làm thế nào để củng cố đào sâu suy nghĩ và rèn luyện t duy toán học .
Làm thế nào để giúp các em độc lập suy nghĩ , xây dựng ý thức tự giác
trong học tập ? Câu hỏi này luôn làm tôi băn khoăn suy nghĩ để rồi qua đó
tự tìm hiểu , nghiên cứu cách thức phơng pháp , trong đó tôi thấy phơng
pháp sử dụng phép tính nhẩm là tâm đắc . Tôi
đem trao đổi cùng anh chị em đồng nghiệp , cùng họ mang đi thực
nghiệm trong thực tế giảng dạy . Và chúng tôi đều thấy kết quả thu đợc
rất khả quan .

2
Lê Văn Lộc
B . Giải quyết vấn đề .
1a) Khi bồi dỡng cho các em giỏi toán , tôi đã cho các em làm bài tập sau
:
Tính giá trị của biểu thức :
A =
8,0.
4
1
1
+
11,22.2004
2211.04,20
-
959:03,20
9,95:003,2

,.
.,
= 1
* 2,003 : 95,9 = 20,03 : 959 =>
9590320
9950032
:,
,:,
= 1
Do đó A = 1 +1 -1 => A = 1
Qua lời giải trên đã xác định đợc sự linh hoạt của em Kiên dựa vào
những kiến thức cơ bản và vận dụng một cách sáng tạo những nội dung
sau đây của toán học :
+ Quan hệ giữa các thừa số với kết quả của phép nhân ( chia ) .
+ Quy tắc biểu diễn hỗn số bằng phân số .
+ Rút gọn phân số .
+ Quy tắc nhân phân số ( xác định số nghịch đảo của nhau ).
+ Thứ tự thực hiện các phép tính .
1b) Khi luyện tập giải toán : Không phải em nào cũng thấy ngay vai trò
của phép tính nhẩm, không phải thích thú ngay với phép tính nhẩm.
Nhiều em cho rằng trong thời đại công nghệ thông tin điện tử chỉ cần
bấm máy tính là xong , không cần tính nhẩm làm gì cho đau đầu . Để giúp
các em bỏ quan điểm này tôi yêu cầu các em nghiên cứ để giải các bài
toán mà nhiều khi tính nhẩm còn nhanh hơn bấm máy . Chẳng hạn những
bài toán sau :
1) Tìm a N biết :
2
1)-(aa
= 36 .
2) Tìm x biết :

y3+xy+x2
5) Tính giá trị của biểu thức :
A =
)...)...(...)(...( 999174916491
2004 B = ( 100 - 1
2
) ( 100 - 2
2
) ( 100 - 25
2
)
Lời giải bài toán trên thực ra không có gì khó nếu nh không có yêu cầu
tính nhẩm , tìm tòi lời giải nhanh nhất , đơn giản nhất . Để giúp các em
thực hiện đợc các yêu cầu đề ra tôi yêu cầu các em thực hiện đúng quy
trình sau :
+ ở nhà : Cá nhân tự nghiên cứu , đề xuất cách giải .
+ Đến lớp : Tiết 1 : Thảo luận cách giải trong từng nhóm .
Tiết 2 : Thảo luận cách giải hay của từng nhóm .
Tiết 3 : áp dụng cách giải hay đó vào các bài toán
khác .
Chẳng hạn vào ba ví dụ sau đây .
* Ví dụ 1 : Tính nhẩm nghiệm nguyên , dơng của phơng trình có dạng x (
x + 1 ) = p hay ( x - 1 ) x = q
Cụ thể : Tính nhẩm nghiệm nguyên , dơng của phơng trình :
( x - 3 ) ( x + 5 ) = 65 .
Ta thấy x nguyên , dơng nên x + 5 > x - 3 ;
5 . 13 = 65

trọng tâm , kiến thức chính xác , ngôn ngữ truyền đạt trong sáng , có sức
thuyết phục , phải xây dựng đợc không khí thầy trò cùng làm việc " Thầy
chủ đạo , trò chủ động " .
+ Thầy trò cùng mạn đàm trao đổi để rồi thực hiện theo đúng quy trình đã
đợc thống nhất trong tập thể . Cụ thể :
a) Khi đợc cung cấp bài toán , trò cần tạo thói quen suy nghĩ :
bắt đầu từ đâu ? (với đề bài toán) . Phải làm gì ? (Thấy đợc bài
toán càng rõ ràng , càng sáng sủa càng tốt) . Làm nh thế tiện lợi
gì ? (quen với bài toán) .
b) Khi hiểu rồi , cần đi sâu nghiên cứu xây dựng chơng trình
(Thầy dùng lời nhắc nhở , kiên nhẫn) .
c) Thực hiện chơng trình .
d) Nhìn lại cách giải .
e) Tìm cách giải khác. Các em cần luôn đặt câu hỏi : " Còn cách
nào hợp lý hơn không ? Cách nào ngắn hơn ? " .
Với bài 1 ở phần 1(b) :
2
)1(

aa
= 36 => a( a - 1 ) = 72
=> a
2
- a - 72 = 0
+ Ta có thể dùng công thức nghiệm để giải phơng trình bậc hai một ẩn
này .
+ Tôi cho các em nhận xét a và a - 1 là hai số nguyên dơng . Đó là hai số
tự nhiên liên tiếp nhau và trong bảng nhân 9 ta có 9.8 = 72
=> a = 9 .
* Từ nhận xét này cá em có thể dễ dàng giải phơng trình dạng

a
2
) =
1-a
3
+
1
+
a
2
=
1-
2
15
a
a
+
với a 1
Thông qua bài tập ta thấy đợc tác dụng của phép tính nhẩm trong việc
5
Lê Văn Lộc
giúp các em đào sâu suy nghĩ , rèn luyện t duy toán học . Làm thế nào để
các em tự đề suất cách giải nhanh ? Đây là vấn đề nan giải , nó tuỳ thuộc
vào sự linh hoạt , nhanh nhẹn , sáng tạo của trò . Tuy vậy để phần nào tạo
ra sự linh hoạt , sự hứng thú với môn toán tôi đã cung cấp cho các em một
số thủ thuật để các em có thể tính nhẩm đợc . Các thủ thuật đó đợc rút ra
dới một số dạng sau đây :
Dạng 1 : Nhẩm bình ph ơng của những số có chữ số tận cùng là 5 .
Ví dụ : 15
2

2
.
Ta có ( 1 + 1 )
2
= 1 + 2 + 1
Ta xoá các dấu cộng đi . Vậy 11
2
= 121 .
b) Tính 13
2
. Ta có ( 1+3 )
2
= 1 + 6 + 9 .
=> 13
2
= 169 .
c) Tính 31
2
: ( 3 + 1 )
2
= 9 + 6 +1 => 31
2
= 961 .
Tại sao làm đợc nh vậy ?
Sở dĩ ta làm đợc nh vậy vì ta đã áp dụng :
(
ab
)
2
= ( 10a + b)

2
= 529 .
b) Tính 36
2
. Có ( 3 + 6 )
2
=

+
+
39

+
+
36
6
3+ 6 = 9 Vậy 36
2
= 1296
3 + 9 = 12
c) Tính 46
2
Có ( 4 + 6 )
2
= 1

46
+

36

2
= 64 . Viết tiếp 64 vào sau 33 => 58
2
=3364
Ví dụ 2 : 57
2
;
57- 25 = 32
( 57 - 50 )
2
= 7
2
= 49 => 57
2
= 3249 .
Tuy nhiên không phải mọi trờng hợp đều áp dụng cách làm náy móc nh
vậy .
Chẳng hạn tính 62
2
; 62 - 25 = 37 .
( 62 - 50 )
2
= 12
2
= 144 => 62
2
= 37144. Lại là sai.
Trong trờng hợp này : Nếu bình phơng của hiệu giữa số đó và 50 là số
có 3 chữ số thì phải đem chữ số hàng trăm này cộng lên với chữ số cuối
cùng của hiệu trên .

Để tính nhẩm căn bậc hai của một số chính phơng , vận dụng tính


trong việc giải bài toán bằng cách lập phơng trình . Tôi hớng dẫn các em
vận dụng ngay chữ số hàng đơn vị để tính nhẩm sơ bộ ban đầu . Sau đó
vận dụng ngợc lại ba dạng trên vào tính nhẩm các chữ số còn lại . Cụ thể
nh sau :
a . Một số là số chính phơng thì chữ số hàng đơn vị chỉ có thể là các số
0 ,1 ,4 , 5 , 6 , 9 .
* Với chữ số hàng đơn vị là 0 và 5 thì chỉ có thể là số có chữ số tận cùng
là 0 hoặc 5 bình phơng .
* Chữ số hàng đơn vị là 1 thì do số có chữ số hàng đơn vị là 1 hoặc 9
đem bình phơng .
* Chữ số hàng đơn vị là 4 thì do số có chữ số hàng đơn vị là 2 hoặc 8
đem bình phơng .
* Chữ số hàng đơn vị là 6 thì do số có chữ số hàng đơn vị là 4 hoặc 6
đem bình phơng .
* Chữ số hàng đơn vị là 9 thì do số có chữ số hàng đơn vị là 3 hoặc 7 đem
bình phơng .
b. Các chữ số thuộc các hàng còn lại ta vận dụng ngợc lại của ba dạng
nhẩm trên

Ví dụ 1 : Tính
15625
= 125 .
Nhận xét : Chữ số hàng đơn vị là 5 , chữ số hàng chục là 2 chắc
chắn kết quả là số có chữ số hàng đơn vị là 5 ;156 = 12 . 13 .
Vậy
15625
= 125 .

.
Ví dụ 3 : Tính
1369
.
Chữ số tận cùng là 9 do 3 hoặc 7 đem bình phơng .
3
2
= 9 < 10 ;
4
2
= 16 > 13 .
Tính 33
2
= 1089 ;
37
2
= 1369 .
Vậy
1369
= 37 .
Ví dụ 4 : Tính
4761
;
Chữ số tận cùng là 1 do 1 hoặc 9 đem bình phơng .
6
2
= 36 < 47 ;
7
2
= 49 > 47 .

xây dựng quy tắc nhân nhẩm nh sau : Gọi độ lệch của mỗi số với 100 là phần
bù . Muốn nhân nhẩm hai số nhỏ hơn 100 một chút ta lấy số này trừ đi phần bù
của số kia rồi viết tiếp vào sau tích của hai phần bù bằng (hai chữ số).
a) Ví dụ 1 : Tính 98 . 93 .
Cách làm nh sau : 100 - 98 = 2 98 93
100 - 93 = 7 2 . 7 Ta viết hai số 2 ; 7 dới số 98 ; 93 . Gọi 2 là phần bù của 98 ; 7 là phần bù
của 93 với 100 . Ta lấy một số ( 98 ) trừ đi phần bù của số kia ( 93 ) với 100 là
7 ta đợc kết quả 98 - 7 = 91 . Cuối cùng viết tích của hai phần bù vào bên phải
kết quả vừa thu đợc ( 91) .
Có 7 . 2 =14 . Vậy 93 . 98 = 9114 .
b) Nếu tích của phần bù là một số có một chữ số thì phải viết chữ số 0 đứng tr-
9
Lê Văn Lộc
ớc nó vào kết quả .
Ví dụ 2 : Tính 98. 97 .
100 - 98 = 2 98 97
100 - 97 = 3 2 . 3
98 - 3 = 95 ( hoặc 97 - 2 = 95 ) ;
2 . 3 = 6
Vậy 98 . 97 = 9506 .
c) Nếu tích của phần bù là một số có ba chữ số thì ta cần cộng chữ số
hàng trăm lên chữ số hàng thấp nhất ở hiệu trên .
Ví dụ 3 : Tính 75 . 77
100 - 75 = 25 75 77
100 - 77 = 23 25 . 23
75 - 23 = 52 2 + 5 = 7
25 . 23 = 575

113 - 100 = 13 113 115 ; 113 + 15 = 128 ; 8 + 1 = 9
115 - 100 = 15 13 . 15 13 . 15 = 195

Vậy 113 . 115 = 12995 .
Dạng 7 : Nhẩm tích của hai số có bốn chữ số mà chữ số hàng nghìn ,
hàng trăm giống nhau . Tổng chữ số hàng chục và hàng đơn vị của hai
thừa số là 100 .
Ví dụ : Tính nhẩm 2976 . 2924 .
Xét xem hai thừa số có liên quan đến nhau hay không ?
- Cả hai thừa số đều có hai chữ số hàng nghìn , hàng trăm là 29 .
- Hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị của mỗi thừa số có tổng là 100.
Vậy nếu đặt a = 29 , b = 76 , c = 24 thì tích trên có dạng nh thế nào? Hãy
nêu cách giải ?
Phép nhân trên có dạng :
(100a + b ) (100a + c ) = 10 000 a ( a + 1 ) + bc
10 000 a ( a + 1 ) = 10 000 . 29 . 30
= 10 000 . 870
= 8 700 000 .
bc = 76 . 24 = ( 50 + 26 ) ( 50 -26 ) = 50
2
- 26
2
= 1824
=> 10 000 a ( a + 1 ) + bc = 8 700 000 + 1824 = 8 701 824
Vậy 2976 . 2924 = 8 701 824 .
* Nh vậy chỉ qua một phép nhân cụ thể các em có thể rút ra cách làm
tổng quát với phép nhân hai số bất kỳ có bốn chữ số , hai chữ số hàng
nghìn , hàng trăm giống nhau , hai chữ số hàng chục , hàng đơn vị của hai
thừa số có tổng là 100 và các tròng hợp tơng tự . Tất nhiên việc tính tiếp
cần sự sáng tạo của các em . Nhng đây cũng tạo ra hứng thú cho các em