KHỐI ĐA DIỆN
CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI TOÁN 12
I. TỈ SỐ GÓC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUÔNG
1. sin
α
=
AB
BC
(ĐỐI chia HUYỀN) 2. cos
α
=
AC
BC
(KỀ chia HUYỀN)
3. tan
α
=
AB
AC
(ĐỐI chia KỀ) 4. cot
α
=
AC
AB
(KỀ chia ĐỐI)
II. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
1. BC
2
= AB
2
+ AC

2
+ b
2
– 2abcosC
IV. ĐỊNH LÍ SIN

a b c
2R
sin A sin B sinC
= = =
V. ĐỊNH LÍ TALET
MN // BC
a)
AM AN MN
AB AC BC
= =
; b)
AM AN
MB NC
=
VI. DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG
1. Tam giác thường:
a) S =
1
ah
2
b) S =
p(p a)(p b)(p c)− − −
(Công thức Hê-rông)
c) S = pr (r: bk đ.tròn nội tiếp tam giác)

2
d) S =
2
a 3
8
6. Tam giác cân: a) S =
1
ah
2
(h: đường cao; a: cạnh đáy)
Trang 1
α
H
C
B
A
N
M
C
B
A
60
o
30
o
C
B
A
b) Đường cao hạ từ đỉnh cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung
trực

2
3
BN; * BG = 2GN; * GN =
1
3
BN
2. Đường cao:
Giao điểm của của 3 đường cao của tam giác gọi là trực tâm
3. Đường trung trực:
Giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác
4. Đường phân giác:
Giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam
giác
VIII. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
1. Hình tứ diện đều:
a) Có 4 mặt là các tam giác đều bằng nhau
b) Chân đường cao trùng với tâm của đáy (hay trùng với trọng tâm của tam giác đáy)
c) Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau
2. Hình chóp đều:
a) Có đáy là đa giác đều
b) Có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau
c) Chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy
d) Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau
3. Đường thẳng d vuông góc với mp(
α
):
a) Đt d vuông góc với 2 đt cắt nhau cùng nằm trên mp(
α
) Tức là:

⇒
d
⊥
(
α
)
c) Đt d vuông góc với mp(
α
) thì d vuông góc với mọi đt nằm trong mp(
α
)
Trang 2
G
P
N
M
C
B
A
a
M
H
D
C
B
A
4. Góc
ϕ
giữa đt d và mp(
α

EM ( ),FM ( )
α ∩ β =


⊥ ⊥


⊂ α ⊂ β


thì góc giữa (
α
) và (
β
) là
ϕ
hay
ˆ
EMF
=
ϕ
6. Khoảng cách từ điểm A đến mp(
α
):
(hình ở mục 4)
Nếu AH
⊥
(
α
) thì d(A, (

1
Bh
3
(diện tích đáy là đường tròn)
6. Diện tích xq của hình trụ tròn xoay: S
xq
= 2
Rlπ
(R: bk đường tròn; l: đường sinh)
7. Thể tích của khối trụ tròn xoay: V = Bh =
2
Rπ
h ( h: chiều cao khối trụ)
8. Diện tích của mặt cầu: S = 4
2
R
π
(R: bk mặt cầu )
9. Thể tích của khối nón tròn xoay: V =
3
4
R
3
π
(R: bán kính mặt cầu)
Bài 1: Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a
HD: * Đáy là
∆
BCD đều cạnh a. H là trọng tâm của đáy
* Tất cả các cạnh đều đầu bằng a

2
3
BM với BM =
3
2
a
)
ĐS: V =
3
2
12
a
Trang 3
α
β
ϕ
F
E
M
B
A
ϕ
O
H
A
d'
d
α
Bài 2: Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều cạnh a
HD: * Đáy ABCD là hình vuông cạnh a. H là giao điểm của 2 đường chéo

2
6
a
. Suy ra thể tích của khối bát diện đều cạnh a. ĐS: V =
3
2
3
a
Bài 3: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A
’
B
’
C
’
có tất cả các cạnh đều bằng a
a) Tính thể tích của khối lăng trụ
b) Tính thể tích khối tứ diện A
’
BB
’
C
HD: a) * Đáy A
’
B
’
C
’
là
∆
đều cạnh a . AA

∆
đều cạnh a) và AA
’
= a
ĐS:
ABC.A B C
V
′ ′ ′
=
3
3
4
a
b)
A BB C
V
′ ′
=
1
3
ABC.A B C
V
′ ′ ′
ĐS:
3
3
12
a

( khối lăng trụ đứng có tất cả các cạnh bằng nhau được chia thành 3 tứ diện bằng nhau)

ϕ
là góc giữa cạnh BC
’
và mp(ACC
’
A
’
)
+ CM: BA
⊥
( ACC
’
A
’
)
• BA
⊥
AC (vì
∆
ABC vuông tại A)
• BA
⊥
AA
’
(ABC.A
’
B
’
C
’

’
=
0
30
AB
tan
= AB
3
* Tính AB: Trong
V
∆
ABC tại A, ta có: tan60
0
=
AB
AC⇒
AB = AC. tan60
0
= a
3
(vì AC = a). ĐS: AC
’
= 3a
b)
ABC.A B C
V
′ ′ ′

= AC
’2
– AC
2
= 8a
2

⇒
CC
’
=
2 2a
ĐS:
ABC.A B C
V
′ ′ ′
= a
3
6
Trang 4
a
H
S
D
C
B
A
C'
B'
A'

H
⊥
(ABC)
* A
’
cách đều các điểm A, B, C nên H là trọng tâm của
∆
ABC đều cạnh a
* Góc giữa cạnh AA
’
và mp(ABC) là
ϕ
=
A AH
∧
′
= 60
0
* Tính:
ABC.A B C
V
′ ′ ′
= Bh =
ABC
S
.A
’
H
* Tính:
ABC

2
3
AN.
3
= a
ĐS:
ABC.A B C
V
′ ′ ′
=
3
3
4
a
Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC.A
’
B
’
C
’
, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a, BC = 2a và
AA
’
= 3a.
Tính thể tích của lăng trụ
HD: * Đường cao lăng trụ là AA
’
= 3a
* Tính:
ABC.A B C

ĐS:
ABC.A B C
V
′ ′ ′
=
3
3 3
2
a
Bài 7: Cho hình hộp ABCD.A
’
B
’
C
’
D
’
có đáy là hình thoi cạnh a, góc
A
∧
= 60
0
. Chân đường
vuông góc hạ từ
B
’
xuống đáy ABCD trùng với giao điểm hai đường chéo của đáy. Cho BB
’
= a.
a) Tính góc giữa cạnh bên và đáy

=
OB
BB
′
=
OB
a

+
∆
ABD đều cạnh a (vì
A
∧
= 60
0
và AB = a)
⇒
DB = a

⇒
OB =
1
2
DB =
2
a
. Suy ra: cos
ϕ
=
1

’
O =
2
3
2
a
.B
’
O
* Tính B
’
O: B
’
O =
3
2
a
(vì
∆
B
’
BO là nửa tam giác đều) ĐS:
3
3
4
a
Trang 5
a
60
°

a
M
H
C
B
A
S
Bài 8: Cho tứ diện đều S.ABC có cạnh a. Dựng đường cao SH
a) Chứng minh: SA
⊥
BC
b) Tính thể tích của hình chóp
HD: a) Gọi M là trung điểm của BC
* CM: BC
⊥
SH (SH
⊥
mp( ABC))
BC
⊥
AM

⇒
BC
⊥
mp(SAM). Suy ra: SA
⊥
BC (đpcm)
b) * Tất cả các cạnh đều bằng a
* Tính: V

2
vì
∆
ABC đều cạnh a). ĐS: V
S.ABC
=
3
a 2
12
Bài 9: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB bằng a. Các cạnh bên SA, SB, SC tạo
với đáy một
góc 60
0
. Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA.
a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.DBC và S.ABC
b) Tính thể tích của khối chóp S.DBC
HD: a) Hạ SH
⊥
(ABC)
⇒
H là trọng tâm của
∆
ABC đều cạnh a
Gọi E là trung điểm của BC
* Góc tạo bởi cạnh bên SA với đáy (ABC) là
ϕ
=
∧
SAE
= 60

ADE là nửa tam giác đều). Suy ra: AD =
a 3
4
* Suy ra: SD =
5a 3
12
. ĐS:
S.DBC
S.ABC
V SD 5
V SA 8
= =
b) Cách 1: * Tính V
S.ABC
=
1
3
Bh =
1
3
S
ABC
.SH * Tính: S
ABC
=
2
a 3
4
(vì
∆

5a 3
96
Cách 2: * Tính: V
S.DBC
=
1
3
Bh =
1
3
S
DBC
.SD * Tính: S
DBC
=
1
2
DE.BC
* Tính DE: Trong
V
∆
ADE tại D, ta có: sin60
0
=
DE
AE

⇒
DE = AE.sin60
0

(ABCD)
* (SAB)
∩
(ABCD) = AB; * SH
⊂
(SAB)
* SH
⊥
AB ( là đường cao của
∆
SAB đều)
Suy ra: SH
⊥
(ABCD) (đpcm)
b) * Tính: V
S.ABCD
=
1
3
Bh =
1
3
S
ABCD
.SH
* Tính: S
ABCD
= a
2
* Tính: SH =

= 60
0

* Ta có: Các
∆
vuông SMH, SNH, SPH bằng nhau (vì có chung 1 cạnh
góc vuông và 1 góc nhọn bằng 60
0
)
* Suy ra: HM = HN = HP = r là bán kính đường tròn nội tiếp
∆
ABC
* Tính: V
S.ABC
=
1
3
Bh =
1
3
S
ABC
.SH
* Tính: S
ABC
=
p(p a)(p b)(p c)− − −

=
p(p AB)(p BC)(p CA)− − −

ABC
S
p
=
2 6
3
a

Suy ra: SH =
2 2a
ĐS: V
S.ABC
=
3
8 3a
Trang 7
S
D
a
H
C
A
B
7a
6a
5a
N
M
H
P

. Tính độ dài cạng đáy AB. ĐS: AB =
3a
Mặt nón. Mặt trụ. Mặt cầu
Bài 1: Khái niệm về mặt tròn xoay (2 tiết)
Bài 1: Trong không gian cho tam giác vuông OAB tại O có OA = 4, OB = 3. Khi quay
tam giác vuông OAB quanh cạnh góc vuông OA thì đường gấp khúc OAB tạo thành
một hình nón tròn xoay. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình
nón
b) Tính thể tích của khối nón
HD: a) * S
xq
=
π
Rl =
π
.OB.AB = 15
π

Tính: AB = 5 (
∨
∆
AOB tại O)
* S
tp
= S
xq
+ S
đáy
= 15
π

π
.OB.SB = 2
π
a
2
* S
tp
= S
xq
+ S
đáy
= 2
π
a
2
+
π
a
2
= 23
π
a
2
b) V =
2
1
3
R hπ
=
2

B
∧
= 45
0
* S
xq
=
π
Rl =
π
.OA.SA =
π
a
2
2
Tính: SA = a
2
; OA = a (
∨
∆
SOA tại O)
* S
tp
= S
xq
+ S
đáy
=
π
a

π
π =
Bài 4: Một hình nón có đường sinh bằng l và thiết diện qua trục là tam giác vuông.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác SAB vuông cân tại S nên
A
∧
=
B
∧
= 45
0
Trang 8
2a
A
B
S
O
3
4
A
B
O
45
S
B
A
O
* S

lπ
+
2
2
lπ
=
2
1 1
2
2
l
 
+ π
 ÷
 

b) V =
2
1
3
R hπ
=
2
1
3
.OA .SOπ
=
2 3
1
3 2

∧
= 60
0
* S
xq
=
π
Rl =
π
.OA.SA =
π
.
3a
.2a =
2
2 3aπ
Tính: OA =
3a
; SA = 2a (
∨
∆
SOA tại O)
* S
tp
= S
xq
+ S
đáy
=
2

.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
HD: a) * Góc giữa đường sinh và mặt đáy là
A
∧
=
B
∧
=
α
* S
xq
=
π
Rl =
π
.OA.SA =
π
. lcos
α
.l =
2
l cosπ α
Tính: OA = lcos
α
(
∨
∆
SOA tại O)

.OA .SOπ

=
2
1
3
2
.l cos .lsinπ α α
=
3
3
2
l cos sinπ α α
Tính: SO = lsin
α
(
∨
∆
SOA tại O)
Bài 7: Một hình nón có đường sinh bằng 2a và diện tích xung quanh của mặt nón bằng
2
π
a
2
.
Tính thể tích của hình nón
HD: * S
xq
=
π

=
2
1
3
.OA .SOπ
=
3
2
1 3
3
3 3
a
.a .a
π
π =
Trang 9
l
45
S
B
A
O
120
a
S
B
A
O
α
l


⇔
R
2
= 9
⇔
R = 3
* SO =
3 2 3
3 3
2 2
AB R
= =
* V =
2
1
3
R hπ
=
2
1
3
.OA .SOπ
=
2
1
3 3 3 9 3
3
. .π = π
Bài 9: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông có cạnh góc vuông

Tính: OA =
2
a
(
∨
∆
SOA tại O)
* S
tp
= S
xq
+ S
đáy
=
2
2
aπ
+
2
2
aπ
=
2
1 1
2
2
a
 
+ π
 ÷

:
SMO
∧
= 60
0
* S
SAC
=
1
2
SM.AC =
1
2
.
6
3
a
.
2 3
3
a
=
2
2
3
a
* Tính: SM =
6
3
a

45
a
S
B
A
O
60
S
B
A
O
HD: a) * S
xq
=
π
Rl =
π
.OA.SA =
π
.25.SA = 25
π
1025
(cm
2
)
Tính: SA =
1025
(
∨
∆

3
)
c) * Gọi I là trung điểm của AB và kẻ OH
⊥
SI
⇒
OH = 12cm
* S
SAB
=
1
2
.AB.SI =
1
2
.40.25 = 500(cm
2
)
* Tính: SI =
OS.OI
OH
=
20
12
.OI
= 25(cm) (
∨
∆
SOI tại O)
* Tính:

c) Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo
với mặt phẳng chứa đáy hình nón một góc 60
0
. Tính diện tích tam giác SBC
HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác SAB vuông cân tại S nên
A
∧
=
B
∧
= 45
0
* S
xq
=
π
Rl =
π
.OA.SA =
π
.
2
2
a
.a =
2
2
2
aπ
Tính: OA =


b) V =
2
1
3
R hπ
=
2
1
3
.OA .SOπ
=
2 3
1 2 2
3 2 2 12
a a a
. .
π
π =
Tính: SO =
2
2
a
(
∨
∆
SOA tại O)
c) * Kẻ OM
⊥
BC

3
a
(
∨
∆
SMB tại M)
Trang 11
l
h
O
I
H
B
A
S
C
M
a 2
S
B
A
O
Bài 1: Một hình trụ có bán kính đáy bằng R và thiết diện qua trục là một hình vuông.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ
b) Tính thể tích của khối trụ
HD: a) * S
xq
= 2
π
Rl = 2

b) * V =
2
R hπ
=
2
.OA .OO
′
π
=
2 3
2 2.R . R Rπ = π
Bài 2: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ
b) Tính thể tích của khối trụ
c) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trụ 3cm. Hãy tính
diện tích của thiết diện được tạo nên
HD: a) * S
xq
= 2
π
Rl = 2
π
.OA.AA
’
= 2
π
.5.7 = 70
π
(cm
2

2
.7 = 175
π
(cm
3
)
c) * Gọi I là trung điểm của AB
⇒
OI = 3cm
*
ABB A
S
′ ′
= AB.AA
’
= 8.7 = 56 (cm
2
) (hình chữ nhật)
* AA
’
= 7 * Tính: AB = 2AI = 2.4 = 8
* Tính: AI = 4(cm) (
∨
∆
OAI tại I)
Bài 3: Một hình trụ có bán kính r và chiều cao h = r
3
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ
b) Tính thể tích của khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho
c) Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa

r
2
3
+ 2
π
r
2
= 2 (
3 1)+
π
r
2
b) * V =
2
R hπ
=
2
.OA .OO
′
π
=
2 3
3 3.r .r rπ = π
c) * OO
’
//AA
’

⇒
BAA

đều cạnh r)
* C/m:
∆
BA
’
O
’
đều cạnh r * Tính: A
’
B = A
’
O
’
= BO
’
= r
* Tính: A
’
B = r (
∨
∆
AA
’
B tại A
’
)
Cách khác: * Tính O
’
H =
2 2

∨
∆
AA
’
B tại A
’
)
Bài 4: Cho một hình trụ có hai đáy là hai đường tròn tâm O và O
’
, bán kính R, chiều
cao hình trụ là R
2
.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ
b) Tính thể tích của khối trụ
HD: a) * S
xq
= 2
π
Rl = 2
π
.OA.AA
’
= 2
π
.R. R
2
= 2
2
π

r
* S
tp
= S
xq
+ 2S
đáy
= 2
2
π
R
2
+ 2
π
R
2
= 2 (
2 1)+
π
R
2
b) * V =
2
R hπ
=
2
.OA .OO
′
π
=

2
)
b) * V =
2
R hπ
= 125000
π
(cm
3
)
c) * O
’
H = 25(cm)
Bài 1: Cho tứ diện ABCD có DA = 5a và vuông góc với mp(ABC),
∆
ABC vuông tại B
và
AB = 3a, BC = 4a. a) Xác định mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D
b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu
HD: a) * Gọi O là trung điểm của CD.
* Chứng minh: OA = OB = OC = OD;
* Chứng minh:
∆
DAC vuông tại A
⇒
OA = OC = OD =
1
2
CD
(T/c: Trong tam giác vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy)

=
1
2
2 2 2
5 2
25 9 16
2
a
a a a+ + =

* S =
2
2
5 2
4 50
2
a
a
 
π = π
 ÷
 
; * V =
4
3
π
R
3
=
3

R 2
R
A'
O'
O
A
O
D
C
B
A
HD: a) * Gọi O là trung điểm SC
* Chứng minh: Các
∆
SAC,
∆
SCD,
∆
SBC
lần lượt vuông tại A, D, B
* OA = OB = OC = OD = OS =
2
SC
⇔
S(O;
2
SC
)
b) * R =
2

 
π = π
 ÷
 
Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có 4 đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, SA = a, SB = b, SC
= c và ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối
cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó.
HD: * Gọi I là trung điểm AB. Kẻ
∆
vuông góc với mp(SAB) tại I
* Dựng mp trung trực của SC cắt
∆
tại O
⇒
OC = OS (1)
* I là tâm đường tròn ngoại tiếp
∆
SAB (vì
∆
SAB vuông tại S)

⇒
OA = OB = OS (2)
* Từ (1) và (2)
⇒
OA = OB = OC = OS
Vậy: A, B, C, S thuộc S(O; OA)
* R = OA =
2 2
2 2

2 2 2 2 2 2
4 1
3 4 6
a b c
(a b c ) a b c
 
+ +
π = π + + + +
 ÷
 ÷
 
Trang 14
2a
a
S
O
D
C
B
A
c
b
a
I
O
S
C
B
A