KHỐI ĐA DIỆN
CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI TOÁN 12
I. TỈ SỐ GÓC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUÔNG
1. sin
α
=
AB
BC
(ĐỐI chia HUYỀN) 2. cos
α
=
AC
BC
(KỀ chia HUYỀN)
3. tan
α
=
AB
AC
(ĐỐI chia KỀ) 4. cot
α
=
AC
AB
(KỀ chia ĐỐI)
II. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
1. BC
2
= AB
2
+ AC

2
+ b
2
– 2abcosC
IV. ĐỊNH LÍ SIN

a b c
2R
sin A sin B sinC
= = =
V. ĐỊNH LÍ TALET
MN // BC
a)
AM AN MN
AB AC BC
= =
; b)
AM AN
MB NC
=
VI. DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG
1. Tam giác thường:
a) S =
1
ah
2
b) S =
p(p a)(p b)(p c)− − −
(Công thức Hê-rông)
c) S = pr (r: bk đ.tròn nội tiếp tam giác)

2
d) S =
2
a 3
8
6. Tam giác cân: a) S =
1
ah
2
(h: đường cao; a: cạnh đáy)
Trang 1
α
H
C
B
A
N
M
CB
A
60
o
30
o
C
B
A
b) Đường cao hạ từ đỉnh cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung
trực
7. Hình chữ nhật: S = ab (a, b là các kích thước)

3
BN; * BG = 2GN; * GN =
1
3
BN
2. Đường cao:
Giao điểm của của 3 đường cao của tam giác gọi là trực tâm
3. Đường trung trực:
Giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác
4. Đường phân giác:
Giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam
giác
VIII. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
1. Hình tứ diện đều:
a) Có 4 mặt là các tam giác đều bằng nhau
b) Chân đường cao trùng với tâm của đáy (hay trùng với trọng tâm của tam giác đáy)
c) Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau
2. Hình chóp đều:
a) Có đáy là đa giác đều
b) Có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau
c) Chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy
d) Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau
3. Đường thẳng d vuông góc với mp(
α
):
a) Đt d vuông góc với 2 đt cắt nhau cùng nằm trên mp(
α
) Tức là:
d a; d b

d
⊥
(
α
)
c) Đt d vuông góc với mp(
α
) thì d vuông góc với mọi đt nằm trong mp(
α
)
Trang 2
G
P
N
M
C
B
A
a
M
H
D
C
B
A
4. Góc
ϕ
giữa đt d và mp(
α
): d cắt (

α ∩ β =


⊥ ⊥


⊂ α ⊂ β


thì góc giữa (
α
) và (
β
) là
ϕ
hay
ˆ
EMF
=
ϕ
6. Khoảng cách từ điểm A đến mp(
α
):
(hình ở mục 4)
Nếu AH
⊥
(
α
) thì d(A, (
α

3
(diện tích đáy là đường tròn)
6. Diện tích xq của hình trụ tròn xoay: S
xq
= 2
Rlπ
(R: bk đường tròn; l: đường sinh)
7. Thể tích của khối trụ tròn xoay: V = Bh =
2
Rπ
h ( h: chiều cao khối trụ)
8. Diện tích của mặt cầu: S = 4
2
Rπ
(R: bk mặt cầu )
9. Thể tích của khối nón tròn xoay: V =
3
4
R
3
π
(R: bán kính mặt cầu)
Bài 1: Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a
HD: * Đáy là
∆
BCD đều cạnh a. H là trọng tâm của đáy
* Tất cả các cạnh đều đầu bằng a
* Tính: V =
1
3

3
2
a
)
ĐS: V =
3
2
12
a
Trang 3
α
β
ϕ
F
E
M
B
A
ϕ
O
H
A
d'
d
α
Bài 2: Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều cạnh a
HD: * Đáy ABCD là hình vuông cạnh a. H là giao điểm của 2 đường chéo
* Tất cả các cạnh đều đầu bằng a
* Tính: V =
1

. Suy ra thể tích của khối bát diện đều cạnh a. ĐS: V =
3
2
3
a
Bài 3: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A
’
B
’
C
’
có tất cả các cạnh đều bằng a
a) Tính thể tích của khối lăng trụ
b) Tính thể tích khối tứ diện A
’
BB
’
C
HD: a) * Đáy A
’
B
’
C
’
là
∆
đều cạnh a . AA
’
là đường cao
* Tất cả các cạnh đều bằng a

= a
ĐS:
ABC.A B C
V
′ ′ ′
=
3
3
4
a
b)
A BB C
V
′ ′
=
1
3
ABC.A B C
V
′ ′ ′
ĐS:
3
3
12
a

( khối lăng trụ đứng có tất cả các cạnh bằng nhau được chia thành 3 tứ diện bằng nhau)
Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC.A
’
B

và mp(ACC
’
A
’
)
+ CM: BA
⊥
( ACC
’
A
’
)
• BA
⊥
AC (vì
∆
ABC vuông tại A)
• BA
⊥
AA
’
(ABC.A
’
B
’
C
’
lăng trụ đứng)
+
ϕ

30
AB
tan
= AB
3
* Tính AB: Trong
V
∆
ABC tại A, ta có: tan60
0
=
AB
AC⇒
AB = AC. tan60
0
= a
3
(vì AC = a). ĐS: AC
’
= 3a
b)
ABC.A B C
V
′ ′ ′
= Bh =
ABC
S

2
= 8a
2

⇒
CC
’
=
2 2a
ĐS:
ABC.A B C
V
′ ′ ′
= a
3
6
Trang 4
a
H
S
D
C
B
A
C'
B'
A'
C
B
A

* A
’
cách đều các điểm A, B, C nên H là trọng tâm của
∆
ABC đều cạnh a
* Góc giữa cạnh AA
’
và mp(ABC) là
ϕ
=
A A H
∧
′
= 60
0
* Tính:
ABC.A B C
V
′ ′ ′
= Bh =
ABC
S
.A
’
H
* Tính:
ABC
S
=
2

3
= a
ĐS:
ABC.A B C
V
′ ′ ′
=
3
3
4
a
Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC.A
’
B
’
C
’
, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a, BC = 2a và
AA
’
= 3a.
Tính thể tích của lăng trụ
HD: * Đường cao lăng trụ là AA
’
= 3a
* Tính:
ABC.A B C
V
′ ′ ′
= Bh =

′ ′ ′
=
3
3 3
2
a
Bài 7: Cho hình hộp ABCD.A
’
B
’
C
’
D
’
có đáy là hình thoi cạnh a, góc
A
∧
= 60
0
. Chân đường
vuông góc hạ từ
B
’
xuống đáy ABCD trùng với giao điểm hai đường chéo của đáy. Cho BB
’
= a.
a) Tính góc giữa cạnh bên và đáy
b) Tính thể tích hình hộp
HD: a) Gọi O là giao điểm của 2 đướng chéo AC và BD
* B

′
=
OB
a

+
∆
ABD đều cạnh a (vì
A
∧
= 60
0
và AB = a)
⇒
DB = a

⇒
OB =
1
2
DB =
2
a
. Suy ra: cos
ϕ
=
1
2
⇒
ϕ

3
2
a
.B
’
O
* Tính B
’
O: B
’
O =
3
2
a
(vì
∆
B
’
BO là nửa tam giác đều) ĐS:
3
3
4
a
Trang 5
a
60
°
N
H
C'

C
B
A
S