a
b

A
D
C
B
o
HÌNH HỌC
Chương I : VECTƠ
§1: CÁC ĐỊNH NGHĨA
TÓM T ẮT LÝ THUY ẾT
Định nghĩa: Vectơ là đoạn thẳng có hướng .
+ Vectơ có điểm đầu (gốc) là A, điểm cuối (ngọn) là B được
kí hiệu là
AB
uuur
( đọc là vectơ AB).
+ Một vectơ xác định còn được kí hiệu là
, , , , a b x y
r r r ur

(Chú ý:
AB BA≠
uuur uuur
)
+ Vectơ – không (có gạch nối giữa 2 từ):
Vectơ có điểm đầu và điểm cuối cuối trùng nhau gọi là vectơ−không, kí hiệu
0
r
Ví dụ:

• Hai vectơ bằng nhau: nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài
Nếu
a
r
bằng
b
r
thì ta viết
a
r
=
b
r
.
AA BB=
uuur uuur
=
0
r
, |
0
r
|= 0.
Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD. Tìm
a) Tất các vectơ khác
0
r
;
b) Các vectơ cùng phương;
c) Các vectơ bằng nhau.

uuur
↑↓
CD
uuur
CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN
Dạng 1. Xác một vectơ, sự cùng phương cùng hướng
Chú ý: với hai điểm phân biệt A, B ta có hai vectơ khác vectơ
0
r
là
,AB BA
uuur uuur
Ví dụ 1: Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không có điểm đầu và điểm
cuối là các điểm đó.
Giải
Có 10 cặp điểm khác nhau {A,B}, {A,C}, {A,D}, {A,E}, {B,C}, {B,D}, {B,E}, {C,D}, {C,E}, {D,E}. Do
đó có 20 vectơ khác
0
r
Ví dụ 2: Cho điểm A và vectơ
a
r
khác
0
r
. Tìm điểm M sao cho:
AM
uuuur
cùng phương
a

uuuur
cùng phương
a
r
thì đường thẳng AM// ∆
Do đó M thuộc đường thẳng m đi qua A và // ∆
Ngược lại, mọi điểm M thuôc m thì
AM
uuuur
cùng phương
a
r
Dạng 2: Chứng minh hai vectơ bằng nhau
Ta có thể dùng một trong các cách sau:
+ Sử dụng định nghĩa:
| | | |
, cuøng höôùng
a b
a b
a b

=
⇒ =


r r
r r
r uur
+ Sử dụng tính chất của các hình . Nếu ABCD là hình bình hành thì
,AB DC BC AD= =

1
2
BC=CD và EF//CD⇒ EFDC là hình bình hành⇒
EF CD=
uuur uuur
Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Điểm I là giao
điểm của AM và BN, K là giao điểm của DM và CN.
Chứng minh:
,AM NC DK NI= =
uuuur uuur uuur uur
Giải
Ta có MC//AN và MC=AN⇒MACN là hình bình hành
⇒
AM NC=
uuuur uuur
Tương tự MCDN là hình bình hành nên K là trung điểm
của MD⇒
DK
uuur
=
KM
uuuur
. Tứ giá IMKN là hình bình hành,
suy ra
NI
uur
=
KM
uuuur
⇒

r
|.
Giải
Giả sử ∆ là giá của
a
r
. Vẽ đường thẳng d đi qua A và d// ∆
(nếu A thuộc ∆ thì d trùng ∆). Khi đó có hai điểm M
1
và M
2
thuộc d sao cho:
AM
1
=AM
2
=|
a
r
|
Khi đó ta có:
a)
1
AM
uuuur
=
a
r
b)
1

cuối là các đỉnh tam giác?
Bài 2: Cho hai vectơ không cùng phương
→
a
và
→
b
. Có hay không một véctơ cùng phương với cả hai véctơ đó.
Bài 3: Cho ba vectơ
→→→
cba ,,
cùng phương và đểu khác véctơ không. Chứng minh rằng co ít nhất là hai véctơ
trong chúng có cùng hướng
Bài 4: Cho ba điểm A,B,C phân biệt và thẳng hàng. Trong trường hợp nào thì hai véctơ
AB
uuur
và
AC
uuur
cùng
hướng, trường hợp nào hai véctơ ngược hướng.
Bài 5: Cho tam gác ABC. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC , CA. Hãy vẽ hình và tìm trên
hình vẽ các véctơ bằng
PQ
uuur
,
QR
uuur
,
RP

b) Tìm các vectơ bằng vectơ
AB
uuur
;
c) Hãy vẽ các vectơ bằng vectơ
AB
uuur
và có:
+ Các điểm đầu là B, F, C
+ Các điểm cuối là F, D, C
Bài 8: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O . Tìm các vectơ từ 5 điểm A, B, C , D , O
a) bằng vectơ
AB
uuur
;
OB
uuur
b) Có độ dài bằng 
OB
uuur

Bài 9: Cho tứ giác ABCD.
Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi
AB DC=
uuur uuur
Bài 10: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng nếu
AB DC=
uuur uuur
thì
AD BC=

B
C
O
D
A
B
C
b)
AB
uuur
và
AC
uuur
ngược hướng;
c)
AB
uuur
và
AC
uuur
cùng phương;
Bài 13 :Cho hình bình hành ABCD . Dựng

BCPQDCNPDAMNBAAM ==== ,,,
. Chứng minh
0AQ =
uuur r
.
HD §1
Bài 1: có các cặp điểm {A;B}, {A;C}, {B;C}. Mà mỗi cặp điểm xác định 2 véctơ.

uuur
là vectơ cần tìm
* Trên tia OC lấy C’ sao cho CC’=OC=AB
Do CC’//AB
⇒
'CC AB=
uuuur uuur

+ tương tự
Bài 8: a)
AB DC=
uuur uuur
,
OB DO=
uuur uuur
b)
| | | | | | | |OB BO DO OD= = =
uuur uuur uuur uuur
Bài 9:
Chứng minh chiều
⇒
: * ABCD là hình bình hành



=
⇒
CDAB
CDAB //
*

*
CDAB =

⇒
AB = CD (2).Từ (1) và (2) suy ra ABCD là hình bình hành
Bài 10:
AB DC=
uuur uuur
⇒
AB=DC, AB//CD
⇒
ABCD là hình bình hành
⇒

AD BC=
uuur uuur
Bài 11 : MP=PQ và MN//PQ vì chúng bằng
1
2
AC
Và đều //AC. Vậy MNPQ là hình bình hành
⇒ đpcm
Bài 12 : Xác định vị trí tương đối của 3 điểm phân biệt A, B và C
trong các trường hợp sau:
a)
AB
uuur
và
AC
uuur

|>|
AC
uuur
| khi C nằm
giữa A và B
b)
AB
uuur
và
AC
uuur
ngược hướng, khiA nằm giữa B và C
-4-

A
C
B
→
a

→
b

→
c

c) Cùng phương thì có thể cùng hướng hay ngược hướng
+ cùng hướng: nếu |
AB
uuur

Q
⇒

0AQ =
uuur r
BÀI TẬP KHÁI NIỆM VECTƠ
1. Cho ∆ABC. Có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác
0

2. Cho tứ giác ABCD
a/ Có bao nhiêu vectơ khác
0

b/ Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA.
CMR :
→
MQ
=
→
NP
3. Cho ∆ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AB, BC, CA.
a/ Xác định các vectơ cùng phương với
→
MN
b/ Xác định các vectơ bằng
→
NP
2. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF. Dựng các vectơ
→
EH

→
MK
=
→
CP
và
→
KL
=
→
BN
a/ CMR :
→
KP
=
→
PN
b/ Hình tính tứ giác AKBN
c/ CMR :
→
AL
=
0

§2+3. TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ
Tóm tắt lý thuyết
1. Tổng các vectơ
•
Định nghĩa: Cho 2 véc tơ
→

uuur
+
BC
uuur
=
AC
uuur
•
Quy tắc hình bình hành . Nếu ABCD là hình bình hành thì
AB
uuur
+
AD
uuur
=
AC
uuur
-5-
A
B C
D
G
I
C
B
A
D
2. Vectơ đối
+ Cho vectơ
→

AB
uuur
= -
BA
uuur
+ vectơ đối của
0
r
là
0
r
.
3. Hiệu các vectơ (phép trừ)
Định nghĩa:
→
a
-
b
→
=
→
a
+(-
b
→
)
•
Quy tắc về hiệu vec tơ : Với ba điểm O, A, B tùy ý cho trước ta có:

OB OA AB− =

+
a
r
+
0
r
=
0
r
+
a
r
=
a
r
+
a
r
+(−
a
r
)=−
a
r
+
a
r
=
0
r

r
| ⇒ |
a
r
+
b
r
|=|
b
r
|−|
a
r
|
+
a
r
=
b
r
⇔
a
r
+
c
r
=
b
r
+

a
r
−(
b
r
+
c
r
)=
a
r
−
b
r
−
c
r
;
a
r
−(
b
r
−
c
r
)=
a
r
−

=
NC AN+
uuur uuur
=
AN NC+
uuur uuur
=
AC
uuur
+Vì
CD BA=
uuur uuur
nên ta có
AM CD+
uuuur uuur
=
AM BA+
uuuur uuur
=
BA AM+
uuur uuuur
=
BM
uuuur
+Vì
NC AM=
uuur uuuur
nên ta có
AD NC+
uuur uuur

uuur uuur uuur uuur
đều cùng phương
OD
uuur
b) Chứng minh
AB
uuur
và
EC
uuur
cùng phương.
Giải
a) Gọi d là đường thẳng chứa OD
⇒
d là trục đối xứng của
ngũ giác đều. Ta có
OA OB OM+ =
uuur uuur uuuur
, trong đó M là đỉnh
hình thoi AMBO và M thuộc d. Tương tự
OC OE ON+ =
uuur uuur uuur
, N
∈
d. Vậy
OA OB+
uuur uuur
và
OC OE+
uuur uuur

=
NM
uuuur
MN NC−
uuuur uuur
=
MN MP−
uuuur uuur
=
PN
uuur
(Vì
NC MP=
uuur uuur
)
MN PN−
uuuur uuur
=
MN NP+
uuuur uuur
=
MP
uuur
BP CP−
uuur uuur
=
BP PC+
uuur uuur
=
BC

OB DC DO DC CO OB DC CO− = − = ⇒ − = =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Bài 6: Cho hình vuông ABCD cạnh a có O là giao điểm của hai đường chéo.
Tính
| |; | |;| |OA CB AB DC CD DA− + −
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Giải
Ta có AC=BD=
2a
;
OA CB CO CB BO− = − =
uuur uuur uuur uuur uuur
Do đó
2
| |
2
a
OA CB BO− = =
uuur uuur
| | | | | | 2AB DC AB DC a+ = + =
uuur uuur uuur uuur
(vì
AB DC↑↑
uuur uuur
)
Ta có
CD DA CD CB BD− = − =
uuur uuur uuur uuur uuur
⇒
|

Chứng minh:
AB BE CF AE BF CD+ + = + +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Giải
VT =
AB BE CF AE ED BF FE CD DF+ + = + + + + +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
=
AE BF CD ED DF FE+ + + + +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
=
AE BF CD+ +
uuur uuur uuur
(vì
0ED DF FE+ + =
uuur uuur uuur r
)=VP⇒ đpcm
Bài 9: Cho 5 điểm A, B, C, D, E.
Chứng minh rằng:
AC DE DC CE CB AB+ − − + =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Giải
Ta có
;DC CD CE EC− = − =
uuur uuur uuur uuur
nên
VT =
AC DE DC CE CB+ − − +
uuur uuur uuur uuur uuur
=

VT=
OM ON OP+ +
uuuur uuur uuur
=VP⇒ đpcm
BÀI TẬP PHÉP CỘNG, TRỪ CÁC VECTƠ
1. Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR :
→
AC
+
→
BD
=
→
AD
+
→
BC
5. Cho 5 điểm A, B, C, D, E.
CMR :
→
AB
+
→
CD
+
→
EA
=
→
CB

→
HF
8. Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. CMR :
a/
→
DO
+
→
AO
=
→
AB
b/
→
OD
+
→
OC
=
→
BC
c/
→
OA
+
→
OB
+
→
OC

→
BC
10. Cho ∆ABC. Từ A, B, C dựng 3 vectơ tùy ý
→
'AA
,
→
'BB
,
→
'CC
CMR :
→
'AA
+
→
'BB
+
→
'CC
=
→
'BA
+
→
'CB
+
→
'AC
.

14. Cho tứ giác ABCD, biết rằng tồn tại một điểm O sao cho các véc tơ
, , ,OA OB OC OD
uuur uuur uuur uuur
có độ dài bằng nhau
và
OA OB OC OD+ + +
uuur uuur uuur uuur
= 0. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật.
2. Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR :
→
AB
−
→
CD
=
→
AC
+
→
DB
15. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR :
a/
→
CD
+
→
FA
−
→
BA

c/
→
AB
−
→
DC
−
→
FE
=
→
CF
−
→
DA
+
→
EB
16. Cho ∆ABC. Hãy xác định điểm M sao cho :
a/
→
MA
−
→
MB
+
→
MC
=
0

MB
−
→
MC
=
0

e/
→
MC
+
→
MA
−
→
MB
+
→
BC
=
0

17. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3a, AD = 4a.
a/ Tính 
→
AD
−
→
AB
 b/ Dựng

v AB DC BD CA
→
= + + +
uuur uuur uuur uuur
b)
DABCCDABm +++=

c)
DBABCDBCn +++=
. d)
p AB BC CD DE= + + +
ur uuur uuur uuur uuur
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O . Đặt
AO
uuur
=
a
r
;
BO
uuur
=
b
r
Tính
AB
uuur
;
BC
uuur

AD
uuur
= 
MO
uuuur

b) 
AC
uuur
-
AD
uuur
= 
NB
uuur

Bài 5: Cho 7 điểm A ; B ; C ; D ; E ; F ; G . Chứng minh rằng :
a)
AB
uuur
+
CD
uuur
+
EA
uuur
=
CB
uuur
+

GA
uuur
=
CB
uuur
+
ED
uuur
+
GF
uuur

d)
AB
uuur
-
AF
uuur
+
CD
uuur
-
CB
uuur
+
EF
uur
-
ED
uuur

OF
uuur
=
0
r
b)
OA
uuur
+
OC
uuur
+
OE
uuur
=
0
r
c)
AB
uuur
+
AO
uuur
+
AF
uuur
=
AD
uuur
d)

HA
uuur
+
HB
uuur
+
HC
uuur
=
HH '
uuuur
Bài 11: Tìm tính chất tam giác ABC, biết rằng : 
CA
uuur
+
CB
uuur
 = 
CA
uuur
-
CB
uuur

PHÉP NHÂN VECTƠ VỚI MỘT SỐ
1) Định nghĩa: Cho
a
r
≠
0

+ |
c
r
|=| k
a
r
|=|k|.|
a
r
|
Quy ước: 0
a
r
=
0
r
; k
0
r
=
0
r
2) Tính chất: Cho
a
r
,
b
r
bất kì và k,h ∈
¡

r
=
a
r
; (−1)
a
r
=−
a
r
* Tính chất trung điểm: Nếu I là trung điểm đoạn AB, vớii mọi M ta có:
2MA MB MI+ =
uuur uuur uuur
* Tính chất trọng tâm tam giác: G là trọng tâm ∆ABC, với mọi M ta có:
3MA MB MC MG+ + =
uuur uuur uuuur uuuur
3) Điều kiện để hai vectơ cùng phương
∀
a
r
,
b
r
;
a
r
cùng phương
b
r
≠

=k
a
r
)
4) Điều kiện để ba điểm A, B, C thẳng hàng
⇔
AB
uuur
cùng phương
AC
uuur
⇔∃ 0≠k ∈
¡
:
AB k AC=
uuur uuur
5) Phân tích (biểu diễn) một vectơ theo hai vectơ không cùng phương:
Cho hai
a
r
,
b
r
khác
0
r
và không cùng phương. Khi đó ∀
x
r
bao giờ cũng tìm được hai số m, n sao cho:

a
r
(nếu O ∈ giá của
a
r
thì d là giá của
a
r
)
− Trên d lấy điểm M sao cho OM=3|
a
r
|,
OM
uuuur
và
a
r
cùng hướng khi đó
3OM a=
uuuur r
.
− Trên d lấy điểm N sao cho ON= 4|
a
r
|,
ON
uuur
và
a

| | 1
| |
5
| |
AM AM
AM k AB k
AB
AB
= ⇒ = = =
uuuur
uuuur uuur
uuur
, vì
AM AB↑↑
uuuur uuur
⇒ k=
1
5
b) k= −
1
4
c) k= −
1
5
3) a) Chứng minh:vectơ đối của 5
a
r
là (−5)
a
r

r
)= (−1)( 2
a
r
+3
b
r
)= (−1) 2
a
r
+(−1)3
b
r
=(−2)
a
r
+(−3)
b
r
=−2
a
r
−3
b
r
c) Tương tự
2. Biểu diễn (phân tích, biểu thị) thành hai vectơ không cùng phương
1) Cho ∆ ABC có trọng âtm G. Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB và I
là giao điểm của AD và EF. Đặt
;= =

r uuur r uuur
.
Giải
Ta có
2
3
AM AB BM AB BC= + = +
uuuur uuur uuuur uuur uuur

mà
BC AC AB= −
uuur uuur uuur
⇒

2 1 2
( )
3 3 3
AM AB AC AB u v= + − = +
uuuur uuur uuur uuur r r
3. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng
+ A, B, C thẳng hàng ⇔
AB
uuur
cùng phương
AC
uuur
⇔∃ 0≠k ∈
¡
:
AB k AC=

B
C
D
1
3
1 2 1
( )
3 3 3
3 2 (2)
BK BA AK BA AC
BA BC BA BA BC
BK BA BC
= + = +
= + − = +
= +
uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
Từ (1)&(2)
⇒

4
3 4
3
BK BI BK BI= ⇒ =
uuur uur uuur uur
⇒
B, I, K thẳng hàng.
2) Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi hệ thức:
0BC MA+ =

2
VP AC BD AM MN NC BM MN ND
MN AM BM ND NC
MN
= + = + + + + +
= + + + +
=
uuur uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuuur uuur
uuuur uuuur uuuur uuur uuur
uuuur
2) Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh:
2 3AB AC AD AC+ + =
uuur uuur uuur uuur
.
Giải
Áp dụng qi tắc hình bình hành ta có
AB AD AC+ =
uuur uuur uuur
⇒
VT=
2 3AC AC AC VP+ = =
uuur uuur uuur uur
(đpcm)
3) Chứng minh rằng nếu G và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’ thì
3 ' ' ' 'GG AA BB CC= + +
uuuur uuur uuur uuuur
.
Giải
' ' '
' ' ' ' ' ' ' ' '

AM a=
uuuur r
+
;AB AC B C AD BD A B= ⇔ ≡ = ⇔ ≡
uuur uuur uuur uuur
1) Cho tam giác ABC có D là trung điểm BC. Xác định vị trí của G biết
2AG GD=
uuur uuur
.
Giải
2AG GD=
uuur uuur
⇒ A,G,D thẳng hàng.
AG=2GD gà G nằm giữa A và D.
Vậy G là trọng tâm tam giác ABC.
2) Cho hai điểm A và B. Tìm điểm I sao cho:
2 0IA IB+ =
uur uur r
.
HD
-12-
D
G
I
C
B
A
K
I
A

GA GB GC GD GI GK
hayGI GK
+ + + = +
+ =
uuur uuur uuur uuur uur uuur
uur uuur r
⇒ G là trung điểm IK
BÀI TẬP
Bài 1: Cho ∆ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và O là 1 điểm tùy ý.
a/ CMR :
→
AM
+
→
BN
+
→
CP
=
0

b/ CMR :
→
OA
+
→
OB
+
→
OC

+
→
MC
= 3
→
MG
Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF.
a/ CMR :
→
AD
+
→
BC
= 2
→
EF
b/ CMR :
→
OA
+
→
OB
+
→
OC
+
→
OD
=
0

Bài 4: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA và M là 1 điểm tùy ý.
a/ CMR :
→
AF
+
→
BG
+
→
CH
+
→
DE
=
0

b/ CMR :
→
MA
+
→
MB
+
→
MC
+
→
MD
=
→

= 3
→
GH
Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có tâm O và E là trung điểm AD. CMR :
a/
→
OA
+
→
OB
+
→
OC
+
→
OD
=
0

b/
→
EA
+
→
EB
+ 2
→
EC
= 3
→

AB
+
6
1
→
AC
b/ CMR :
→
KD
=
4
1
→
AB
+
3
1
→
AC
Bài 8: Cho ∆ABC. Trên hai cạnh AB, AC lấy 2 điểm D và E sao cho
→
AD
= 2
→
DB
,
→
CE
= 3
→

Bài 9: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O cạnh a
a) Phân tích
AD
uuur
theo
AB
uuur
và
AF
uuur
b) Tinh
1 1
2 2
AB BC+
uuur uuur
theo a
Bài 10: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM (M là trung điểm BC).
Phân tích
AM
uuuur
theo
AB
uuur
và
AC
uuur
Bài 11: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm AB, N là một điểm trên AC sao cho NA=2NC. Gọi K là trung điểm
của MN. Phân tích
AK
uuur

MB
= 3
→
MC
;
→
NA
+3
→
NC
=
0

và
→
PA
+
→
PB
=
0

a/ Tính
→
PM
,
→
PN
theo
→


§4 TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
1.Trục tọa độ
 Trục tọa độ (trục, trục số) là đường thẳng trên đó xác định điểm O và một vectơ
i
r
có độ dài bằng 1. Ký
hiệu trục (O;
i
r
) hoặc x’Ox
O gọi là gốc tọa độ;
i
r
vectơ đơn vị của trục tọa độ.
 Tọa độ của vectơ và của điểm trên trục
+ Cho điểm M nằm trên trục (O;
i
r
). Khi đó có duy nhất một số m sao cho
OM mi=
uuuur r
. Số m gọi là tọa độ
của m đối với trục (O;
i
r
) (nó cũng là tọa độ của
OM
uuuur
).

. Như vậy
AB
=
AB
i
r
*Nhận xét:
-14-
O I
i
r
'x
x
+ Nếu
AB i↑↑
uuur r
thì
AB
= AB
+ Nếu
AB i↑↓
uuur r
thì
AB
= −AB
+ Nếu hai điểm A và B trên trục (O;
i
r
) có tọa độ lần lượt là a và b thì
AB

r
).
+ Điểm O gọi là gốc tọa độ; trục Ox gọi là trục hoành, trục Oy gọi là trục tung.
+ Khi một mặt phẳng đã cho một hệ trục tọa độ, ta gọi mặt phẳng đó là mặt phẳng tọa độ.

Tọa độ của vectơ đối với hệ trục tọa độ
Đối với hệ trục (O;
i
r
;
j
r
), nếu
a
r
=x
i
r
+y
j
r
thì cặp số (x;y) là toạ độ của
a
r
.
Ký hiệu
a
r
= (x ; y) hoặc
a

a
r
±
b
r
= (x ± x’; y ± y’)
2) k
a
r
=(kx ; ky) với ∀ k∈
¡
3) m
a
r
+ n
b
r
=(mx+nx’ ; my+ny’)
4)
a
r
//
b
r
≠
0
r
⇔ có số k thỏa
a
r

Khi đó, ta viết M(x ; y) hoặc M(x ; y)
+ x gọi là hoành độ điểm M, y gọi là tung độ điểm M
+ M(x ; y)⇔
OM
uuuur
xi y j= +
r r
⇔
OM
uuuur
=(x;y)
x=
1
OM
; y=
2
OM
+ Gốc tọa độ là O(0;0)
 Tọa độ vectơ
MN
uuuur
khi biết tọa độ hai điểm M, N
Cho M(x
M
; y
M
) và N(x
N

; y

M N
y y+
 Tọa độ trọng tâm tan giác ABC: Nếu A(x
A
;y
A
), B(x
B
;y
B
), C(x
C
;y
C
). Khi đó tọa độ trọng tâm G(x
G
;y
G
)
được tính theo công thức:
x
G
=
3
A B C
x x x+ +
; y
G
=
3

r
=(0;−2) d)
a
r
=(0;0)
2) Xác định tọa độ vectơ
u
r
, biết:
a)
u
r
=3
i
r
−4
j
r
b)
u
r
=−2
i
r
+
1
3
j
r
c)

(3;4). Tính độ dài của
c
r
b)
c
r
=2
a
r
−5
b
r
; với
a
r
(−1;2),
b
r
(−2;−3)
Đáp án: a)
c
r
=(11;11), |
c
r
|=11
2
b)
c
r

b) Tìm tọa độ điểm M sao cho
(3;0)BM =
uuuur
.
c) Tìm tọa độ điểm N sao cho
(1;1)NA =
uuur
.
Đáp án: a)
(2;2), ( 2; 2)AB BA= = − −
uuur uuur
b) M(4;3) c) N(−2;0)
6) Cho hình vng ABCD có cạnh là a=5. Chọn hệ trục tọa độ (A;
,i j
r r
), trong đó
i
r
và
AD
uuur
cùng hướng,
j
r
và
AB
uuur
cùng hướng. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vng, giao điểm I của hai đường chéo, trung điển N của
BC và trung điểm M của CD.
Đáp án: A(0;0), B(0;5), C(5;5), D(5;0)

3
. Do đó;A(0;0), B(
3
;3), C(4+
3
;0), D=(4;0)
( 3;3), (4;0), ( 3; 3), (4 3;3)AB BC CD AC= = = − − = +
uuur uuur uuur uuur
-16-
1) |
→
u
| =
22
yx +
với
→
u
= (x;y)
2) |
→−
AB
| =
22
)()(
ABAB
yyxx −+−
với A(x
A
; y

=
1
;
k
kyy
y
BA
M
−
−
=
1
(nếu k= −1 thì M là trung điểm AB)
4) Ba điểm A(x
A
; y
A
) , B(x
B
; y
B
), C(x
C

; y
C
) thẳng hàng
⇔
/ /AC AB
uuur uuur

AB
uuur
=(12;5) b) I(7;11/2) c)
11) Cho A(-3;6); B(1;-2); C(6;3).
a) Tìm tọa độ trọng tâm G.
b) Tính chu vi tam giác ABC.
Đáp án: a) b)
12) Cho tam giác ABC có trọng tâm G, M là trung điểm BC. Với A(1;-1); B(4;2); C(1;5). Tính tọa độ các
véc tơ
AMGMAG ,,
. Tính chu vi tam giác ABC.
Đáp án:
, ,AG GM AM= = =
uuur uuuur uuuur
13) Cho A(1;3); B(0;2) ; C(4;5) . Xác định tọa độ ba điểm E,F biết rằng:
a)
ACABCE 43 −=
b)
2 4 0AF BF CF
+ − =
uuur uuur uuur r
.
Đáp án:
14) Cho A(2;t
2
); B(t;-4); C(2t;4t); D(t
2
;-1). Xaùc ñònh t ñeå
→−
AB

→
a
= (-1;-3) và
→
b
=(1;2).
16) Tìm x để các cặp véctơ sau cùng phương
a)
a
r
=(2;3),
b
r
=(4;x) b)
u
r
=(0;5),
v
r
=(x;7)
c)
m
ur
=(2;3),
n
r
=(1;x) d)
a
r
=( t+1;2)

→
a
= (1;1) ;
→
b
= (2;−3)
c)
→
c
= (0;5) ;
→
a
= (−4;3) ;
→
b
= (−2;−1).
HD: Tìm các số m, n sao cho
→
c
= m
→
a
+ n
→
b
giải hệ
1 1
2 2
1
2

b
c)
c
r
=
a
r
−2
→
b
18) Cho bốn điểm A(1;1), B(2;−1), C(4;3) và D(16;3). Hãy biểu diễn
AD
uuur
theo
,AB AC
uuur uuur
.
Đáp án:
AD
uuur
=3
AB
uuur
+4
AC
uuur
19) Cho ba điểm A(−1;1), B(1;3), C(−2;0). Chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng.
HD:
2AB AC= −
uuur uuur

a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
b) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC.
HD: a) Cần chứng minh
AB
uuur
không cùng phương
AC
uuur
b) G(−1;4)
25) Cho tam giác ABC đều cạnh a. Chọn hệ tọa độ (O;
,i j
r r
), trong đó O là trung điểm BC,
i OC↑↑
r uuur
,
j OA↑↑
r uuur
.
a) Tính tọa độ các đỉnh tam giác ABC.
b) Tìm tọa độ trung điểm E của AC.
c) Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Đáp án: a)
3
(0; ), ( ;0), ( ;0)
2 2 2
a a a
A B C−
b)
3

AD
uuur
– 2
AB
uuur
= 2
BD
uuur
+
BC
uuur
c) ABCD hình bình hành
d) ABCD hình thang có hai đáy là BC, AD với BC = 2AD
28) Cho hai điểm I(1; -3), J(-2; 4) chia đọan AB thành ba đọan bằng nhau AI = IJ = JB
a) Tìm tọa độ của A, B
b) Tìm tọa độ của điểm I’ đối xứng với I qua B
c) Tìm tọa độ của C, D biết ABCD hình bình hành tâm K(5, -6)
29) Cho
a
r
=(2; 1) ;
b
r
=( 3 ; 4) và
c
r
=(7; 2)
a) Tìm tọa độ của vectơ
u
r

+ n
b
r

30) Cho A(1; 1); B(3; 2); C(m+4; 2m+1). Tìm m để 3 điểm A, B, C thẳng hàng.
31) Cho A(2;-3), B(5;1), C(8;5). Chứng minh A, B, C thẳng hàng.
BÀI TẬP THÊM
1/ Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là −2 và 5.
a/ Tìm tọa độ của
→
AB
.
b/ Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB
c/ Tìm tọa độ của điểm M sao cho 2
→
MA
+ 5
→
MB
=
0

d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2
NA
+ 3
NB
= −1
2/ Trên trục x'Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là a, b, c.
a/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB
b/ Tìm tọa độ điểm M sao cho

NB
=
AB
4/ Trên trục x'Ox cho 4 điểm A(−2) ; B(4) ; C(1) ; D(6)
a/ CMR :
AC
1
+
AD
1
=
AB
2
b/ Gọi I là trung điểm AB. CMR :
2
IAID.IC =
c/ Gọi J là trung điểm CD. CMR :
AJ.ABAD.AC =
TỌA ĐỘ TRÊN MẶT PHẲNG
5/ Viết tọa độ của các vectơ sau :
a

=
i

− 3
j

,
b

j

.
6/ Viết dưới dạng
u

= x
i

+ y
j

, biết rằng :
u

= (1; 3) ;
u

= (4; −1) ;
u

= (0; −1) ;
u

= (1, 0) ;
u

= (0, 0)
7/ Trong mp Oxy cho
a

2
1
b

8/ Trong mp Oxy cho A(1; −2) , B(0; 4) , C(3; 2)
a/ Tìm tọa độ của các vectơ
→
AB
,
→
AC
,
→
BC
b/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB
c/ Tìm tọa độ điểm M sao cho :
→
CM
= 2
→
AB
− 3
→
AC
d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho :
→
AN
+ 2
→
BN

Bài 2:Tam giác ABC là tam giác gì nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau ?
-19-
a)
ACABACAB −=+
b) Vectơ
ACAB+
vuông góc với vectơ
CAAB+
Bài 2 :Tứ giác ABCD là hình gì nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau ?
a)
DCBCAC =−

b)
DADCmDB +=
Bài 3:Cho tam giác ABC , với mỗi số thực k ta xác định các điểm A’ , B’ sao cho
CAkBBBCkAA == ','
. Tìm quĩ tích trọng tâm G’ của trung điểm A’B’C.
Bài 4: Cho tứ giác ABCD . Các điểm M,, N, P và Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD và DA . Chứng
minh hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm
Bài 5: :Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý , Chứng minh vectơ
MCMBMAv 2−+=
không phụ
thuộc vào vị trí của điểm M. Hãy dựng điểm D sao cho
vCD =
Bài 6: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, H là trực tâm tam giác , D là điểm đối xứng của
A qua O.
a) Chứng minh tứ giác HCDB là hình bình hành
b) Chứng minh :

OHOCOBOA

→
OA
+
→
OB
+
→
OC
= 4
→
OI
2/ Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi I là trung điểm BC và G là trọng tâm ∆ABC.
a/ CMR : 2
→
AI
= 2
→
AO
+
→
AB
b/ CMR : 3
→
DG
=
→
DA
+
→
DB

AB
)
b/ CMR :
→
OA
+
→
OI
+
→
OJ
=
0

c/ Tìm điểm M thỏa :
→
MA
−
→
MB
+
→
MC
=
0

5/ Cho ∆ABC và 1 điểm M tùy ý.
a/ Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho
→
MD

→
MB
+
→
MC
=
→
MD
+
→
ME
+
→
MF
7/ Cho ∆ABC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa điều kiện :
a/
→
MA
=
→
MB
-20-
b/
→
MA
+
→
MB
+
→

e/ 
→
MA
+
→
MB
 = 
→
MA
+
→
MC

8/ Cho ∆ABC có trọng tâm G. Gọi D và E là các điểm xác định bởi
→
AD
= 2
→
AB
,

→
AE
=
5
2
→
AC
a/ Tính
→

→
AC
.
b/ AM cắt BC tại I. Tính
IC
IB
và
AI
AM
10/ Trên mp Oxy cho A(1; 3) , B(4; 2).
a/ Tìm tọa độ điểm D nằm trên Ox và cách đều 2 điểm A và B
b/ Tính chu vi và diện tích ∆ OAB
c/ Tìm tọa độ trong tâm ∆ OAB.
d/ Đường thẳng AB cắt Ox và Oy lần lượt tại M và N. Các điểm M và N chia đoạn thẳng AB theo các tỉ số
nào ?
e/ Phân giác trong của góc AOB cắt AB tại E. Tìm tọa độ điểm E.
f/ Tìm tọa độ điểm C để tứ giác OABC là hình bình hành.
-21-
Chương II
TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG
§1: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ ( TỪ 0
0
đến 180
0
)
1/ Định nghĩa : Trên nửa dường tròn đơn vị lấy điểm M thỏa góc
·
xOM
= α và M(x
0

y
( y
0
≠ 0); ký hiệu cot α =
0
0
x
y
* Dấu của các tỉ số lượng giác:
0
0
≤α ≤90
0
90
0
<α <180
0
sinα
+ +
cosα
+
−
tanα
+
−
cotα
+
−
* Chú ý:
+ tanα chỉ xác định khi α≠90

c. 135
0
Giải:
a. Sin 45
0
=
2
2
, cos 45
0
=
2
2
, tan 45
0
=1, cot 45
0
= 1
b. Sin 120
0
=
2
3
, cos 120
0
= -
2
1
, tan120
0

O
→
b
→
a
Cho hai véctơ
→
a
,
→
b
đều
≠
0
r
. Từ điểm O tuỳ ý dựng
→−−
OA
=
→
a
,
→−−
OB
=
→
b
. Góc 0
0
≤

→
b
. Kí hiệu:
→
a
⊥
→
b
* Chú ý: :
+ (
→
a
,
→
b
)= (
→
b
,
→
a
)
+ (
→
a
,
→
b
)= 0
0

thì ta có thể xem góc
α
bao nhiêu cũng
được.
Ví dụ (SGKTr39): Cho tam giác ABC vuông tại A và góc B= 50
0
5. Sử dụng máy tính bỏ túi để tính giá trị lượng giác của một góc
Xem SGK.Tr39+40
Các hệ thức cơ bản
a) Nếu cos
α
≠
0 thì
tan
sin
cos
α
α
α
=
b) Nếu sin
α
≠
0 thì
cos
cot
sin
α
α
α

sin
α

* Góc phụ nhau
Sin(90
0
-
α
) = Cos
α

Cos(90
0
-
α
) = Sin
α

tan(90
0
-
α
) = Cot
α
cot(90
0
-
α
) = tan
α

µ
µ
B C=
=15
0
. Hãy tính các giá trị lượng giác của góc A.
HD: vì
µ µ
µ
0
180 ( )A B C= − +
⇒ sinA= sin(180
0
−30
0
)
3/ Tính giá trị các biểu thức sau:
A= asin0
o
+ bcos 0
o
+ c sin 90
o
;
B= acos90
o
+ bsin 90
o
+ c sin180
o

90
o
− 3(a.tan
2
45
o
)
2
+ 2a.cos45
o
.
5/ Tính giá trị các biểu thức sau:
A= sinx + cosx khi x = 0
o
, 45
o
, 60
o
.
B= 2sinx+ cos2x khi x = 60
o
, 45
o
, 30
o
.
C= sin
2
x + cos
2

d) Cho cotα =
1
2
−
. Tính tanα, sinα và cosα.
-23-
8/ Chứng minh các hằng đẳng thức :
a) ( sinα + cosα)
2
= 1 + 2sinα.cosα
b) ( sinα − cosα)
2
= 1 − 2sinα.cosα
c) sin
4
x − cos
4
x = 2sin
2
x −1
c) sin
4
x + cos
4
x = 1 - sin
2
x cos
2
x
d) sinx.cosx( 1+ tanx )( 1 + cotx ) = 1+ 2sinx.cosx.

0
+sin80
0
+cos16
0
+cos164
0
10/ Tính
a) cos
2
12
0
+cos
2
78
o
+ cos
2
1
0
+cos
2
78
o
Đáp số: a) 2; b= 2
b) sin
2
3
o
+sin

o
.
BÀI TẬP 1
Bài 1 : Tính các hàm số lượng giác (sin
α
,cos
α
,tg
α
,cotg
α
) của các góc sau
a.
α
= -150
0
b.
α
= 135
0
c.
α
= -60
0

d.
α
= -45
0
e.

0
-4cotg90
0
Kq
2
B =
2
37
C = 3-sin90
0
+2cos
2
60
0
-3tg
2
45
0
Kq
2
C = -
2
1
D =
0
00
000
37sin
56137cot
34cot53cos53sin

α
,cotg
α
. Kq
2
cos
α
=
3
22
Bài 4 : Cho cos
α
=
17
8
−
với 90
0
<
α
<180
0
. Tính sin
α
,tg
α
,cotg
α
. Kq
2

α
<90
0
. tính sin
α
,cos
α
,tg
α
. Kq
2
sin
α
=
3
1
Bài 7 : Cho sin
α
=
5
4
. Tính cos
α
,tg
α
,cotg
α
. Kq
2
cos

với 90
0
<
α
<180
0
.Tính cos
α
,tg
α
,cotg
α
. Kq
2
cos
α
=
5
21
−
-24-
Bài 10 : Cho biết
a) sin
α
=
3
2
, tính A =
tgαgα
tgαgα

coscossin3
2
sin2
2
cos5
2
sin
++
−
Kq
2
C =
7
1
d) cos
α
=
3
2
, tính D =
αα
αα
gtg
gtg
cot
cot
−
+
Kq
2

cossin
2
cos −
Kq
2
F = 20
Bài 11 : Rút gọn các biểu thức sau
A =(1+cos
α
)cotg
2
α
(1-cos
α
) Kq
2
A = cos
2
α

B = cos
2
a +cos
2
acotg
2
a Kq
2
B = cotg
2

cotcot +
+
Kq
2
E = tgxtgy
F = (sin
α
+cos
α
)
2
-1-2sin
α
cos
α
Kq
2
F = 0
G = cos10
0
+ cos20
0
+ cos30
0
+…+ cos170
0
+ cos180
0
Kq
2

0
+…+ cos160
0
+ cos180
0
Kq
2
I = -1
J = sin(90
0
-
α
) + sin(180
0
-
α
)-cos
α
+sin
α
Kq
2
J = 2sin
α

K = 2sin
α
-3cos(90
0
-

0
+…+sin
2
70
0
+sin
2
80
0
+sin
2
90
0
Kq
2
L = 5
M = cos
2
15
0
+cos
2
25
0
+ cos
2
45
0
+ cos
2

sin1
cos
cos
sin1
+
=
−

c) tg
2
α
- sin
2
α
= tg
2
α
sin
2
α

d)
α
αα
αα
6
2
cos
2
cot

2
sin
1
2
cot
2
2
cos
1
=+− gtg
g)
xx
x
x
x
sin
2
cos1
cos1
cos1
cos1
=
+
−
+
−
+

(0
0