2
Bài 1:

LUYỆN ÔN THI ĐẠI HỌC NĂM 2010 MÔN TOÁN LỚP 12
CHUYÊN ĐỀ : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN
Cho khối chóp S.ABC . Trên ba cạnh SA; SB; SC lần lượt lấy ba điểm A'; B'; C' (không trùng S). Gọi V và
V' lần lượt là thể tích khối chóp S.ABC;S.A ' B ' C ' .Chứng minh rằng:
V '
=
SA
'
⋅

SB '
⋅

SC '
V SA SB
SC
1
Bài 2: ĐS:
2
Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, M là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) đi qua AM, song
song với BD chia khối chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó.
a
3
2 a 6
Bài 3: ĐS:
a) ; b)
6 6
Cho hình chóp tứ giác đều có các cạnh bằng a: S.ABCD

ABC.A
1
B
1
C
1
đáy là tam giác đều. Mặt phẳng
(
A
1
BC
)
tạo với đáy một góc 30
0
và
ΔA
1
BC
có diện tích bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
3 5
Bài 6: ĐS: V
=
10
Khối lăng trụ
ABC.A
1
B
1
C
1

(
ABC
)
)

=

60
0
. Tính thể
tích
Bài 7: ĐS: b)
V
=
20 5; V
=

10 5
Khối lăng trụ tứ giác đều
ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
có khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và A
1
D bằng 2; độ

Bài 8: (D.2002) ĐS:
6 34
(
cm
)
17
Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC);
AC
=
AD
=
4cm
;
AB
=

3cm
;
BC
=
5cm . Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD).
Bài 9: (A.2002) ĐS:
S
=
a 10
(
dvdt
)
16
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M và N lần lượt là các trung điểm

=
a
3
2
12
Hình chóp tam giác S.ABC có các cạnh bên
SA
=

SB
=

SC
=
a
;
∠
ASB
=

120
0
;
∠
BSC
=
60
0
;
∠ASC

a ; AD
=
a 2 ; SA
=
a và SA vuông góc
với mặt phẳng (ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC.
a) Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB).
b) Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.
Bài 16: (D.2009) ĐS:
V
=
4a
3
; d
=
2a 5
9 5
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B,
AB
=
a
;
AA '
=
2a
;
A ' C
=

3a

(
ABCD
)
bằng 60
0
. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI)
và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
9a
3
Bài 18: (B.2009) ĐS:
V
=
208
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có BB' = a, góc giữa đường thẳng BB' và mặt phẳng (ABC) bằng
60
0
; tam giác ABC vuông tại C và
∠
BAC
=
60
0
. Hình chiếu vuông góc của điểm B' lên mặt phẳng (ABC)
trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A'ABC theo a.
Bài 19: ĐS: V
=
3a
3
Trong không gian cho hình chóp tam giác đều
S.ABC

2
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABC). Tính
a 6
khoảng cách từ A đến mp(SBC) theo a, biết SA
=
.
2
Bài 22: (Chuyên ĐH Vinh 2008) ĐS:
V
=
2a
3
; h
=
3 5a
10
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AD
=
a 2; CD
=
2a . Cạnh SA vuông góc đáy và
SA
=

3 2a . Gọi K là trung điểm AB.
a) Chứng minh rằng (SAC) vuông góc với (SDK)
b) Tính thể tích khối chóp C.SDK theo a; Tính khoảng cách từ K đến (SDC).
Bài 23: ĐS: V
=
a

3
Bài 25: ĐS: V
=
16
Hình chóp S.ABC có
AB
=
AC
=
a; BC
=
a
; SA
=
a 3;
∠
SAB
=
∠
SAC
=

30
0
.
2
Tính thể tích của khối chóp theo a.
a 3 a
3
3

=
BC
=
a , cạnh bên AA '
=
a 2 . Gọi
M là trung điểm của cạnh BC.
a) Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A ' B ' C
' . b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và
B'C.
Bài 29: (B.2008) ĐS:
V
=
2 3a
3
; cos
ϕ =
5
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a; SA
=
a;SB
=
a 3
3 5
và mặt phẳng (SAB)
vuông góc với mặt phẳng đáy. M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB; BC. Tính thể tích khối chóp
S.BMDN và góc giữa (SM; ND)
3
3
Bài 30: (CĐ.2008) ĐS:

V
=
a
; cos
α =
1
2 4
Cho lăng trụ
ABC.A ' B ' C '
có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại
A,
AB
= a;
AC
=
a 3
và hình chiếu vuông góc của A' trên (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể
tích khối chóp A '.ABC và cosin của góc giữa hai đường thẳng AA' và B'C'.
Bài 32: (A.2007) ĐS: V
=
a
3
3
96
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với đáy. Gọi M; N; P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB; BC; CD. Chứng minh AM
vuông góc với BP và tính thể tích khối tứ diện CMNP.
Bài 33: (A.2007 – DB1) ĐS:
d
=

MB
⊥
MA
1
và tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (A
1
MB).
3 13a
Bài 34: (A.2007 – DB2) ĐS: d
=
13
Cho hình chóp S.ABC có góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60
0
. Các tam giác ABC và SBC là
các tam giác đều cạnh a. Tính theo a khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng (SAC)
2a
3
Bài 35: (B.2007 – DB1) ĐS: V
=
27
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với đáy. Cho
AB
=
a; SA
=
a 2
. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên SB; SC. Chứng minh
SC
⊥


lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Chứng minh ΔAHK vuông và tính V
SABC
?
Bài 37: (D.2007 – DB1) ĐS: V
=
a
3
3
12
Lăng trụ đứng
ABC.A
1
B
1
C
1
có đáy là tam giác vuông AB
=
AC
=
a; AA
1
=

a 2
. Gọi M; N lần lượt là
trung điểm của AA
1
và BC
1

(
BM;B
1
C
)
Bài 39: (B.2007) ĐS:
d
=
a 2
4
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. E là điểm đối xứng của D qua trung điểm
SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính khoảng
cách giữa MN và AC (theo a).
3
π
Bài 40: (D.2007) ĐS:
h
=
a
3
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang; ∠ABC
=
∠BAD
=
90
0
; AD
=
2a ; BA
=

. Gọi M; N; E lần lượt là
trung điểm của các cạnh AB; AC; BC. D là điểm đối xứng của S qua E; I là giao điểm của AD và (SMN).
a) Chứng minh rằng
AD
⊥

SI
.
b) Tính theo a thể tích khối tứ diện M.BSI.
Bài 42: (A.2006 – DB1) ĐS: V
=
3a
3
16
Cho hình hộp đứng ABCD.A ' B ' C ' D ' có các
cạnh
AB
=
AD
=
a;
AA
'
=
a 3
2
và góc
∠BAD
=
60

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Góc
∠
BAD
=
60
0
. SA vuông góc với mặt
phẳng (ABCD), SA
=
a . Gọi C' là trung điểm SC, mặt phẳng (P) đi qua AC' và song song với BD, cắt các
cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B', D'. Tính thể tích của khối chóp S.AB'C'D'.
Bài 45: (B.2006 – DB2) ĐS: tan
α =

2 3b
2
−
a
2
a
a
2
; V
A '.BB ' C ' C
=
3b
2
−
a
2

2
−
16b
2
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a. Gọi SH là đường cao của hình chóp. Khoảng cách
từ trung điểm I của SH đến mặt phẳng (SBC) bằng b. Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Bài 47: (D.2006 – DB1) ĐS: V
1
=
a
3
; V
2
=
3
2a
3
3
Cho hình lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' có cạnh bằng a và điểm K thuộc cạnh CC' sao
cho:
CK
=
2a
.
3
Mặt phẳng (α) đi qua A, K và song song với BD, chia khối lập phương thành hai khối đa diện. Tính thể tích
của hai khối đa diện đó.
Bài 48: ĐS:
V
=

đường
tròn đáy
thứ
nhất,
hai
đỉnh
còn lại
nằm
trên
đường
tròn
đáy thứ
hai của
hình
trụ. Mặt
phẳng
(ABCD)
tạo với
đáy
hình trụ
góc
45
0
.
Tính
diện
tích
xung
quanh
và thể

2
; V
=
π
a
3
; V
O.O.AB
=
a
3
3
12
(
dvtt

)
Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn tâm O và O'. Bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Trên đường
tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O' lấy điểm B sao cho AB
=
2a .
a) Tính diện tích toàn phần của hình trụ và thể tích của khối trụ.
b) Tính thể tích tứ diện OO'AB.
Bài 51: ĐS: V
=
7 3r
3
Cho hình chóp cụt tam giác đều ngoại tiếp một hình cầu bán kính r cho trước. Tính thể tích khối chóp cụt
biết rằng cạnh đáy lớn gấp đôi cạnh đáy nhỏ. (Hình chóp ngoại tiếp hình cầu nếu hình cầu tiếp xúc với tất
cả các mặt của hình chóp)

x
(
2R
−

x
)
;
MN
=
r 2
=
4R 8R
2
2x
(
2R
−

x
)
;
AC
=
4R
3
2Rx
b)
V
= −

BC
=
AC
=
BD
=
a
;
AD
=
b
. Hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) vuông góc với
nhau.
a) Chứng minh tam giác ACD vuông.
b) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Bài 56:
a
Hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a, tâm đáy là O; chiều cao SH
=
.
2
a) CMR tồn tại mặt cầu tâm O tiếp xúc với tất cả các mặt bên của hình chóp. Tính bán kính của mặt cầu.
b) (P) là mp // với (ABCD) và cách (ABCD) một khoảng x
(
0
<
x
<
R
)

+
8
−

π
a
2
=
π
a
2
⇒
x
=
4
−

π
a
4 8 2
(
4
+

π
)
Bài 57: ĐS: S
=
4
π