TRNG THPT CHU VN AN
TRNG THPT CHU VN ANTRNG THPT CHU VN AN
TRNG THPT CHU VN AN T TỐN
T TỐNT TỐN
T TỐN GV: Dương Phước Sang
GV: Dương Phước SangGV: Dương Phước Sang
GV: Dương Phước Sang Ôn tập Tốt nghiệp
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Dương Phước Sang - 1 - THPT Chu Văn An









y y
→−∞ →+∞

5 Vẽ bảng biến thiên của hàm số.
6 Nêu sự đồng biến, nghịch biến và cực trị (nếu có) của hàm số.
7 Tìm điểm uốn (đối với hàm số bậc ba).
8 Lập bảng giá trị.
9 Vẽ đồ thị hàm số và nêu nhận xét.

3 2
( 0)

y ax bx cx d a= + + + ≠

Số nghiệm của phương
trình
0y
′
=

0a > 0a <
0y
′
= có 2 nghiệm
phân biệt

0y

0a >

0a <

0y
′
=
có 3 nghiệm
phân biệt 0y
′
=
có 1 nghiệm duy
nhất

Đồ thị hàm số trùng phương luôn đối xứng qua trục tung

b) Viết phương trình tiếp tuyến (dạng 1 – biết toạ độ tiếp điểm M
0

)
1 Chỉ rõ
0
x
và


3 Có
0
x
, tìm
0
y
và dùng công thức
0 0 0
( )( )y y f x x x
′
− = −


Lưu ý:  Tiếp tuyến song song với
y ax b= +
có hệ số góc k = a
 Tiếp tuyến vuông góc với
( 0)y ax b a= + ≠
có hệ số
góc
1
a
k = −

d) Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị (C ):y = f(x)

1 Đưa phương trình về dạng:
( ) ( )f x BT m=


3 2
6 9 1y x x x= − + +

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của
( )C
tại giao điểm của
( )C
với
trục tung.
c) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau đây có
nghiệm duy nhất:
3 2
6 9 0x x x m− + + =

Bài giải
Câu a: Hàm số
3 2
6 9 1y x x x= − + +
 Tập xác định: D = R
 Đạo hàm:
2
3 12 9y x x
′
= − +

 Cho
2

x
−∞
1 3
+∞

y
′

+ 0 – 0 +
y
5 +
∞

–
∞
1
m BT(m) Số giao điểm… Số nghiệm pt…
… … …. ….
www.VNMATH.com

01688559752
Tài liệu tham khảo - 4 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán
 Bảng giá trị:
x
0 1 2 3 4
y
1 5 3 1 5
 Đồ thị hàm số là một đường cong đối xứng
qua điểm
(2; 3)I

: 1d y m= −
cắt nhau tại 1 điểm duy nhất
1 5 4
1 1 0
m m
m m
 
− > < −
 
⇔ ⇔
 
− < >
 
 

Bài 2
: Cho hàm số
2 3
3 2y x x= −

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của
( )C
tại các giao điểm của
( )C

với trục hoành.
c) Biện luận theo a số nghiệm phương trình:


 Hàm số đồng biến trên khoảng (0;1)
 Bảng biến thiên:
(chú ý: do a < 0)
x
−∞
0 1
+∞

y
′

– 0 + 0 –
y
+∞ 1
0 –∞
www.VNMATH.com
Dương Phước Sang - 5 - THPT Chu Văn An
Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ; 0)−∞ và (1; )+∞
Đồ thị hàm số có điểm cực đại
(1;1)D , điểm cực tiểu (0; 0)O

Cho
1 1
2 2
6 12 . 0y x y x y
′′ ′′
= − = ⇔ = ⇒ =
. Điểm uốn
1 1

3
2
0x
x

=

⇔

=



Giao điểm của
( )C
với trục hoành là:
(0;0)O
và
3
2
( ; 0)B

 Tại
(0;0)O
:
(0) 0f
′
=
, phương trình tiếp tuyến là:
0y =

:d y a= −
, do đó ta có bảng kết quả sau đây:
a
3
2
a−

Số giao điểm
của
( )C
và d
Số nghiệm của
phương trình (*)

2
3
a < −

3
2
1a− >

1 1
2
3
a = −

3
2
1a− =

Tài liệu tham khảo - 6 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán
Bài 3 : a) Khảo sát và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số
3 2
3 3
2
x x x
y
+ +
=

b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( )C biết tiếp tuyến song
song với đường thẳng
3
2
: y x∆ =

c) Tìm toạ độ các giao điểm của
( )C
với đường thẳng
3
2
2y x= +

Bài giải
Câu a:
3 2
3 3
2

1
2
3 3 0 1y x x y
′′
= + = ⇔ = − ⇒ = −

Điểm uốn
1
2
( 1; )I − −

 Bảng giá trị:
x

3
−

2−

1−
0 1
y

9


2
0 0
3 6 3
2
x x+ +
⇔ =
3
2
2
0
0 0
0
0
3 6 0
2
x
x x
x

=

⇔ + = ⇔

= −



 Với
0

2
−

www.VNMATH.com
Dương Phước Sang - 7 - THPT Chu Văn An
 Với
0
2x = −
thì
0
( 2) 1y y= − = −
, tiếp tuyến tương ứng là
3 3
2 2
1 ( 2) 2y x y x+ = + ⇔ = +
(song song với
∆
)
 Vậy, tiếp tuyến thoả đề là
3
2
2y x= +

Câu c: Hoành độ giao điểm (nếu có) của
( )C và
3
2
2y x= +
là nghiệm
phương trình

và
2 1x y= − ⇒ = −

 Vậy,
( )C
và
3
2
: 2d y x= +

cắt nhau tại 2 điểm:

( )
7
2
1;A
và
( 2; 1)B
− −

Bài 4
: a) Khảo sát và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số:
4 2
2 3y x x
= − −

b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
( )C

′
= ⇔ − = ⇔ = = ±

 Giới hạn:
lim ; lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= +∞ = +∞

 Bảng biến thiên:
x
–∞ –1 0 1 +∞

y
′

– 0 + 0 – 0 +
y
+∞
3
− +∞
–4 –4
 Hàm số đồng biến trên các khoảng trên (–1;0), (1;+∞) và nghịch
biến trên các khoảng (–∞;–1), (0;1).
www.VNMATH.com

01688559752
Tài liệu tham khảo - 8 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán
Đồ thị hàm số có điểm cực đại (0; 3)D −

 Phương trình (*) có nhiều hơn 2 nghiệm khi và chỉ khi
( )C
và
: 3d y m= − − cắt nhau tại nhiều hơn 2 điểm (3 hoặc 4 điểm)
3 3 0
0 1
3 4 1
m m
m
m m
 
 
− − ≤ − ≥
 
⇔ ⇔ ⇔ ≤ <
 
 
− − > − <
 
 
 

Bài 5
:a) Khảo sát và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số:
4 2
4 3y x x= − + −

b) Dùng đồ thị

www.VNMATH.com
Dương Phước Sang - 9 - THPT Chu Văn An
BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ BẬC BA VÀ HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG
Bài 6 : Cho hàm số
3
– 3 1y x x= +
có đồ thị là
( )C

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Viết pttt với
( )C
tại điểm thuộc
( )C
có hoành độ bằng 2.
c) Viết pttt với
( )C
biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9.
d) Tìm điều kiện của m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
3
– 3 1 2 0x x m+ + =
.
Bài 7
: Cho hàm số
3 2
1 3
2 2
2y x x= − + −

( )C
biết tiếp tuyến song song với
: 12 1d y x= −

d) Biện luận theo m số nghiệm phương trình:
3 2
2 3 2 0x x m+ + =

Bài 9 : Cho hàm số
3 2
1 3 5
3 2 2
y x x= − + −
có đồ thị là
( )C

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Viết pttt với
( )C
tại điểm trên
( )C
có hoành độ x thoả
1y
′′
=

c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
( )C

3 2
3 log 0x x a
− − =www.VNMATH.com

01688559752
Tài liệu tham khảo - 10 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán
Bài 11 : Cho hàm số
3 2
2 3 1y x x= − −
(*)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số.
b) Tìm toạ độ giao điểm của
( )C với đường thẳng d:
1y x= − −

c) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
3 2
4 6 1 0x x m− + − =

Bài 12 : Cho hàm số
3 2
3 2y x x
= − +
,
m
là tham số.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )

C
tại điểm A(0; –2)
c) Viết pttt của
( )
C
biết tiếp tuyến song song với
9 4 4 0x y− − =

d) Biện luận theo m số giao điểm của
( )
C
và
: 2d y mx= −

Bài 14 : Cho hàm số
3
4 3 1
y x x= − −
, có đồ thị là ( )
C

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )
C
của hàm số.
b) Tìm m để phương trình
3
4 3 1
x x m
− − =
có đúng 3 nghiệm.

: Cho hàm số
2 2
(2 )y x x= −

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Viết pttt với
( )C
tại điểm trên
( )C
có hoành độ bằng
2−

c) Viết pttt với
( )C
biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 24.
d) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có 4 nghiệm
4 2
2 0x x m− + =

www.VNMATH.com
Dương Phước Sang - 11 - THPT Chu Văn An
Bài 17 : Cho hàm số
4 2
2 3y x x= + −

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số.
b) Viết pttt của
( )C tại điểm trên ( )C có tung độ bằng 5.


a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )
C
của hàm số.
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
4 2
2
x x m
− =

c) Viết pttt của
( )
C
biết tiếp tuyến vuông góc với
1
24
:d y x= −

Bài 20
: Cho hàm số
1
4
y = −
4 2
2 1x x+ −

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Tìm m để phương trình

c) Viết pttt của
( )C
vuông góc với
2
:d
8
45
2012y x= − +

d) Tìm m để phương trình
4 2
8x x m− + =
có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 22
: Cho hàm số
4 2
( 1)y x mx m= − − +
có đồ thị
( )Cm

a) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm
( 1; 4)M −

b) Khảo sát và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số khi
2m = −
.
c) Gọi
( )H

y
cx d
−
′
=
+
và khẳng định
y
′
dương hay âm,
d
c
x∀ ≠ −

3 Suy ra hàm số đồng biến hay nghịch biến trên mỗi khoảng xác
định
( ; ),( ; )
d d
c c
−∞ − − +∞
và không đạt cực trị.
4 Tính các giới hạn và tìm hai tiệm cận:
 Tính
lim
x
a
y
c
→−∞
=

+
→ −
, suy ra
d
x
c
= −
là TCĐ
5 Vẽ bảng biến thiên của hàm số.
6 Lập bảng giá trị.
7 Vẽ đồ thị hàm số (có 2 tiệm cận) và nêu nhận xét.

( 0, 0) ax b
y c ad cb
cx d
+
= ≠ − ≠
+

0y
′
>

0y
′
<


′
− = −

c) Viết phương trình tiếp tuyến (dạng 2 – biết trước hệ số góc k)
1 Lập luận để có được
0
( )f x k
′
=
(*)
2 Thay
0
( )y x
′
vào (*) để tìm
0
x

3 Có
0
x
, tìm
0
y
và dùng công thức
0 0 0
( )( )y y f x x x
′
− = −


x
+
=
+

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của
( )C
tại điểm trên
( )C
có tung
độ bằng
5
2

c) Chứng minh rằng đường thẳng
: 2d y x m= − +
luôn cắt đồ thị

( )C
tại 2 điểm phân biệt.
Bài giải
Câu a: Hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=

y = 2 là tiệm cận ngang.

( 1) ( 1)
lim ; lim
x x
y y
− +
→ − → −
= +∞ = −∞ ⇒
1x = −
là tiệm cận đứng.
 Bảng biến thiên:
x
−∞

1−

+∞

y
′

+ +
y

+∞
2
2
−∞



 Ta có
2
1 1
4
( 2)
( 3)f
−
′
− = =

 Vậy, tiếp tuyến của
( )C
tại
5
2
( 3; )M −
là:
5 1 1 13
2 4 4 4
( 3)y x y x− = + ⇔ = +

Câu c:Hoành độ giao điểm (nếu có) của
( )C và d là nghiệm phương trình
2 1
2 2 1 ( 2 )( 1)
1
x
x m x x m x
x


b) Viết pttt của
( )C
biết tiếp tuyến song song với
:d y x= −

c) Tìm các giá trị của m để đường thẳng
:d y x m= − +
cắt đồ thị

( )C
tại 2 điểm phân biệt.
www.VNMATH.com
Dương Phước Sang - 15 - THPT Chu Văn An
Câu a: Hàm số
3 3
2 2
x x
y
x x
− −
= =
− − +
 Tập xác định:
\ {2}D = ℝ

 Đạo hàm:
2
1
0, 2

là tiệm cận đứng.
 Bảng biến thiên:
x
−∞
2
+∞

y
′

− −
y
1−−∞
+∞1−

 Bảng giá trị:
x
0 1 2 3 4
y

3
2
−
–2

(2 ) 1x⇔ − =
0 0
0 0
2 1 1
2 1 3
x x
x x
 
− = =
 
⇔ ⇔
 
− = − =
 
 

 Đáp số: có 2 tiếp tuyến thoả đề là
1y x= − −
và
3y x= − +

Câu c: Phương trình hoành độ giao điểm của
( )C
và d:
3
2
x
x m
x
−

x
y
x
+
=
−

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số.
b) Viết pttt với
( )C biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng –3.
c) Viết pttt với
( )C
tại điểm trên
( )C
có tung độ bằng
7
2

d) Tìm m để
: ( 1) 2d y m x= + +
cắt
( )C
tại 2 điểm phân biệt.
Bài 26
: Cho hàm số
2 1
1
x
y
x

−
=
−

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )
C
của hàm số.
b) Viết pttt với
( )
C
biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng
3
4
−

c) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số
m
đường thẳng
y x m= −
luôn cắt đồ thị
( )C
tại hai điểm phân biệt.
Bài 28
: Cho hàm số
3
2
1
y
x

b) Viết pttt với
( )C
tại điểm trên
( )C
có hoành độ bằng 1.
c) Viết pttt với
( )C
tại điểm trên
( )C
có tung độ bằng
3
2
−

d) Viết pttt với
( )C
biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng
5
4
−

e) Xác định toạ độ giao điểm của
( )C
và 3 2y x= − +
www.VNMATH.com
Dương Phước Sang - 17 - THPT Chu Văn An
Bài 30 : Cho hàm số
2
1
y

1
x
y
x
−
=
+
có đồ thị
( )
C
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b) Tìm điểm M trên trục hoành mà tiếp tuyến của
( )C
đi qua điểm
M song song với đường thẳng d : y = –2x
Bài 32
: Cho hàm số
2
1
x
y
x
−
=
+

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )
C
của hàm số.

−

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
( )C
, Ox và
2x =
.
c) Viết phương trình các đường thẳng song song với đường thẳng
3y x= − +
đồng thời tiếp xúc với đồ thị
( )C

Bài 34 : Cho hàm số
3 4
1
x
y
x
+
=
−

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Viết pttt với
( )C

0y
′
=
để tìm các nghiệm
[ ; ]
i
x a b∈
(nếu có) và các số
[ ; ]
j
x a b∈ làm cho
y
′
không xác định (nhớ loại các số
[ ; ]x a b∉
l
)
4 Tính các giá trị ( )
i
f x ,
( )
j
f x
và
( ), ( )f a f b

(không được tính
f
của các x
l

 Nếu
0
0
( ) 0
( ) 0
f x
f x

′

=


′′

>



thì hàm số
( )y f x=
đạt cực tiểu tại
0
x

 Hàm số
3 2
y ax bx cx d= + + +
có cực đại, cực tiểu
0



>



ℝ

 Hàm số
3 2
y ax bx cx d= + + +
nghịch biến trên
ℝ

0
0,
0
y
y x
a
′


∆ ≤

′
⇔ ≤ ∀ ∈ ⇔


<

Dương Phước Sang - 19 - THPT Chu Văn An
VÍ DỤ MINH HOẠ

Bài 35 : Tìm giá trị lớn nhất và giá nhị nhỏ nhất của hàm số:
a)
3 2
8 16 9y x x x= − + −
trên đoạn [1;3]
b)
2
4 ln(1 )y x x= − − trên đoạn [–3;0]
c)
3 2
2 ln 3 ln 2y x x= − −
trên đoạn
2
[1; ]e

d)
2
( 1)
x
y e x x= − −
trên đoạn [0;2]
Bài giải
Câu a: Hàm số
3 2
8 16 9y x x x= − + −
liên tục trên đoạn [1;3]
 Đạo hàm:

4 13
3 27
(1) 0 (3) 6f f f= = = −

 Do
13
27
6 0− < <
nên
[1;3]
min (3) 6
x
y f
∈
= = −
và
[1;3]
max
x
y
∈
( )
4 13
3 27
f= =

Câu b: Hàm số
2
4 ln(1 )y x x= − −
liên tục trên đoạn [–3;0]




 Trên đoạn [–2;0]:
; ; ( 1) 1 4 ln 2 ( 3) 9 8 ln 2 (0) 0f f f− = − − = − =

 Do
16
1 4 ln 2 ln 0
e
− = <
và
2
9 8 ln 2 1 8 ln 0
e
− = + >
nên
[ 3;0]
min ( 1) 1 4 ln 2
x
y f
∈ −
= − = −
và
[ 3;0]
max ( 3) 9 8 ln 2
x
y f
∈ −
= − = −

= ∈



 Trên đoạn [0;2]:

(0) 2 ; (1) 3 ; (2) 2g g g= − = − =

 Do
3 2 2− < − <
nên
2
[1; ]
min (1) 3
x e
y g
∈
= = −
và
2
[1; ]
max (2) 2
x e
y g
∈
= =

www.VNMATH.com

01688559752

y
m
′
′
∆ = −

 Hàm số (*) đồng biến trên
ℝ
0,y x
′
⇔ ≥ ∀ ∈ ℝ

2
3 0
0
2 3
0
12 0
y
a
m
m
′




>
>


0 12 0 ( ; 2 3) (2 3; )
y
m m
′
′
⇔ ∆ > ⇔ − > ⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞

 Vậy với
( ; 2 3) (2 3; )m ∈ −∞ − ∪ +∞
thì hàm số (*) có cực đại và
cực tiểu.
Bài 37
: Tìm điều kiện của m để hàm số
3 2 2
3 ( 1) 2y x mx m x= − + − +

đạt cực đại tại
0
2x =

Bài giải
Câu a:
3 2 2
3 ( 1) 2y x mx m x= − + − +
(*)
 Tập xác định: D = R
 Đạo hàm:
2 2
( ) 3 6 ( 1)y f x x mx m
′ ′


 

⇔ ⇔ ⇔ =
  
′′
  
< >
− <
  
 
 




Vậy với
11m =
thì hàm số (*) đạt cực đại tại
0
2x =www.VNMATH.com
Dương Phước Sang - 21 - THPT Chu Văn An
Bài 38 : Chứng minh rằng nếu
sin
x
x
y

( ) (cos sin ) (cos sin ) 2 cos
x x x
y e x x e x x e x
− −
′′ ′ ′
= − + − = −


2 2 2 cos 2 (cos sin ) 2 sin 0
x x x
y y y e x e x x e x
− − −
′′ ′
+ + = − + − + =

 Vậy, với
.sin
x
y e x
−
=
thì
2 2 0y y y
′′ ′
+ + =BÀI TẬP VỀ CÁC VẤN ĐỀ KHÁC LIÊN QUAN HÀM SỐ

Bài 39 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau đây

g)
4
( ) 1
2
f x x
x
= − + −
+
trên đoạn [–1;2]
h)
3
( ) 3 sin 2 sin 1f x x x= − +
trên đoạn
[0; ]π

i)
( ) cos 2 sin 3f x x x= − +

j)
( ) 2 sin sin 2f x x x= +
trên đoạn
[ ]
3
2
0;
π

Bài 40
: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau đây:
a)

2
( ) 2 2
x
f x xe x x= − −
trên đoạn
[0;1]

e)
2
( ) 2( 2) 2
x
f x x e x x= − + −
trên đoạn
[0;2]

www.VNMATH.com

01688559752
Tài liệu tham khảo - 22 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán
f)
2
( ) ln(1 2 )f x x x= − −
trên đoạn
[ 2;0]−

g)
2
( ) 2 4 ln
f x x x x
= − − trên đoạn [1;2]

=
trên đoạn
1
2
[ ;e
2
]e
Bài 41
: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số sau đây luôn đồng biến
a)
3 2
( 6) 2y x mx m x= − + + −

b)
3 2 2
2( 1) (2 2) 3y x m x m m x m= − − + − + + −

Bài 42
: Tìm các giá trị của tham số a để hàm số sau đây luôn nghịch biến
a)
3 2
( 1) (2 1) 3y x a x a x= − + + − + −
b)
7
5 3
ax a
y
x a
+ −
=


b)
2 3 2
(2 1) (2 3) 2y m x mx m x= − − + + −

đạt cực tiểu tại
0
1x = −

c)
2
6
3
m
y
−
=
3
1x mx+ +

đạt cực tiểu tại
0
2x =

d)
1
2
y =
4 2
x mx n− +

′′′ ′
− =

c) Nếu
ln x
y
x
=
thì
2
3 0
y xy x y
′ ′′
+ + =

www.VNMATH.com
Dương Phước Sang - 23 - THPT Chu Văn An














a a a a a
a
a a a
a
a a
a a
+
−
−
−
= =
= =
= =
i i
i i
i i

( )
( ) ( )
( ) .
n
n
n n n
n
a a
b
b
n n
a b
b a

và
1a ≠
, ta có
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x= ⇔ =

c) Phương pháp đặt ẩn số phụ:
 Phương pháp giải chung:
0 Biến đổi phương trình theo
( )f x
a
, chẳng hạn:

2 ( ) ( )
. . 0
f x f x
m a n a p+ + =


( )
( )
1
. . 0
f x
f x
a
m a n p+ + =


 Lưu ý 2: gặp dạng
2 ( ) ( ) 2 ( )
. .( ) . 0
f x f x f x
m a n ab p b+ + =
, ta chia 2 vế
phương trình cho
2 ( )f x
b

d) Phương pháp lôgarit hoá: với
0 1a< ≠
và
0 1b< ≠
, ta có
( ) ( ) ( ) ( )
log log
f x g x f x g x
a a
a b a b
   
= ⇔ =
   
   
www.VNMATH.com