Khối đa diện
Bài 1: Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a
HD: * Đáy là

BCD đều cạnh a. H là trọng tâm của đáy
* Tất cả các cạnh đều đầu bằng a
* Tính: V =
1
3
Bh =
1
3
S
BCD
. AH * Tính: S
BCD
=
2
3
4
a
(

BCD đều cạnh a)
* Tính AH: Trong
V

ABH tại H :
AH
2
= AB

= a
2

* Tính AH: Trong
V

SAH tại H:
SH
2
= SA
2
– AH
2
(biết SA = a; AH =
2
2
a
)
ĐS: V =
3
2
6
a
. Suy ra thể tích của khối bát diện đều cạnh a. ĐS: V =
3
2
3
a

Bài 3: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A

S
  
.AA
’

* Tính:
A B C
S
  
=
2
3
4
a
(A
’
B
’
C
’
là

đều cạnh a) và AA
’
= a
ĐS:
ABC.A B C
V
  
=

= 60
0
, đường chéo BC
’

của mặt bên (BCC
’
B
’
) hợp với mặt bên (ACC
’
A
’
) một góc 30
0
.
a) Tính độ dài cạnh AC
’
b) Tính thể tích lăng trụ
HD: a) * Xác định

là góc giữa cạnh BC
’
và mp(ACC
’
A
’
)
+ CM: BA


’
: Trong
V

BAC
’
tại A (vì BA

AC
’
)
tan30
0
=
AB
AC



AC
’
=
0
30
AB
tan
= AB
3

* Tính AB: Trong

B
A
60

30

C'
B'
A'
C

B
A
b)
ABC.A B C
V
  
= Bh =
ABC
S
.CC
’
* Tính:
ABC
S
=
1
2
AB.AC =
1

a

ĐS:
ABC.A B C
V
  
= a
3
6

Bài 5: Cho lăng trụ tam giác ABC.A
’
B
’
C
’
có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a và điểm A
’
cách đều các
điểm A, B, C. Cạnh bên AA
’
tạo với mp đáy một góc 60
0
. Tính thể tích của lăng trụ.
HD: * Kẻ A
’
H

(ABC)
* A

3
4
a
(Vì

ABC đều cạnh a)
* Tính A
’
H: Trong
V

AA
’
H tại H, ta có:
tan60
0
=
A H
AH



A
’
H = AH. tan60
0
=
2
3
AN.

ABC
S
.AA
’
* Tính:
ABC
S
=
1
2
AB.AC (biết AC = a)
* Tính AB: Trong
V

ABC tại A, ta có:
AB
2
= BC
2
– AC
2
= 4a
2
– a
2
= 3a
2
ĐS:
ABC.A B C
V

O

(ABCD) (gt)
* Góc giữa cạnh bên BB
’
và đáy (ABCD) là

=
B BO



* Tính

=
B BO


: Trong
V

BB
’
O tại O, ta có:
cos

=
OB
BB


0

b) * Đáy ABCD là tổng của 2

đều ABD và BDC



ABCD
S
= 2.
2
3
4
a
=
2
3
2
a

*
ABCD.A B C D
V
   
= Bh =
ABCD
S
.B
’


a
60

a
O

D'
C'
B'
A'
D
C
B
A

* Tính B
’
O: B
’
O =
3
2
a
(vì

B
’
BO là nửa tam giác đều) ĐS:
3

3
Bh =
1
3
S
ABC
.SH * Tính: S
ABC
=
2
a 3
4

* Tính SH: Trong
V

SAH tại H, ta có: SH
2
= SA
2
– AH
2

(biết SA = a; AH =
2
3
AM mà AM =
a 3
2
vì

* Tính:
S.DBC
S.ABC
V SD SB SC SD
. .
V SA SB SC SA
 

* Tính SD: SD = SA – AD
* Tính SA: SA = 2AH (vì

SAH là nửa tam giác đều)
và AH =
2
3
AE mà AE =
a 3
2
vì

ABC đều cạnh a.
Suy ra: SA =
2a 3
3

* Tính AD: AD =
AE
2
( vì


4
(vì

ABC đều cạnh a)
* Tính SH: Trong
V

SAH tại H, ta có: sin60
0
=
SH
SA


SH = SA.sin60
0
= a. Suy ra: V
S.ABC
=
3
a 3
12

* Từ
S.DBC
S.ABC
V 5
V 8

. Suy ra: V



DE = AE.sin60
0
=
3a
4
. Suy ra: S
DBC
=
2
3a
8

a
M
H
C
B
A
S
60

E
D
a
H
C
B
A

1
3
S
ABCD
.SH
* Tính: S
ABCD
= a
2
* Tính: SH =
a 3
2
(vì

SAB đều cạnh a)
ĐS: V
S.ABCD
=
3
a 3
6

Bài 11: Cho hình chóp S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a. Các mặt bên (SAB), (SBC), (SCA) tạo với đáy
một góc 60
0
. Tính thể tích của khối chóp đó.
HD: * Hạ SH

(ABC) và kẻ HM


3
S
ABC
.SH
* Tính: S
ABC
=
p(p a)(p b)(p c)
  

=
p(p AB)(p BC)(p CA)
  
(công thức Hê-rông)
* Tính: p =
5 6 7
9
2
a a a
a
 

Suy ra: S
ABC
=
2
6 6
a

* Tính SH: Trong

=
3
8 3
a

Bài 12: Một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và thể tích bằng
3
3
6
a
.
Tính độ dài cạnh bên của hình chóp. ĐS: SA =
5
2
a

Bài 13: Một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao bằng
3
2
a
và thể tích bằng a
3
.
Tính cạnh đáy của hình chóp. ĐS: AB =
2
a

Bài 14: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có thể tích bằng 3a
3
/8, các mặt bên tạo với đáy (ABC) một góc 60


Mặt nón. Mặt trụ. Mặt cầu
Bài 1: Trong không gian cho tam giác vuông OAB tại O có OA = 4, OB = 3. Khi quay tam giác vuông OAB
quanh cạnh góc vuông OA thì đường gấp khúc OAB tạo thành một hình nón tròn xoay.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b)Tính thể tích của khối nón
HD: a) * S
xq
=

Rl =

.OB.AB = 15


Tính: AB = 5 (


AOB tại O)
* S
tp
= S
xq
+ S
đáy
= 15

+ 9

= 24



Rl =

.OB.SB = 2

a
2

* S
tp
= S
xq
+ S
đáy
= 2

a
2
+

a
2
= 23

a
2

b) V =
2
1

Bài 3: Một hình nón có chiều cao bằng a và thiết diện qua trục là tam giác vuông.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác vuông cân tại S nên
A

=
B

= 45
0

* S
xq
=

Rl =

.OA.SA =

a
2
2

Tính: SA = a
2
; OA = a (


SOA tại O)

1
3
.OA .SO

=
3
2
1
3 3
a
.a .a

 

Bài 4: Một hình nón có đường sinh bằng l và thiết diện qua trục là tam giác vuông.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b)Tính thể tích của khối nón
HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác SAB vuông cân tại S nên
A

=
B

= 45
0

* S
xq
=

Rl =

+
2
2
l

=
2
1 1
2
2
l
 
 
 
 

b) V =
2
1
3
R h

=
2
1
3
.OA .SO

=
2 3

3

4
A

B
O
45S
B

A

l

45S
B

A
O

Bài 5: Một hình nón có đường cao bằng a, thiết diện qua trục có góc ở đỉnh bằng 120
0
.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón

.2a =
2
2 3
a

Tính: OA =
3
a
; SA = 2a (


SOA tại O)
* S
tp
= S
xq
+ S
đáy
=
2
2 3
a
+ 3

a
2
=


2

HD: a) * Góc giữa đường sinh và mặt đáy là
A

=
B

=


* S
xq
=

Rl =

.OA.SA =

. lcos

.l =
2
l cos
 

Tính: OA = lcos

(


SOA tại O)

 =
2
1
3
.OA .SO

=
2
1
3
2
.l cos .lsin
  
=
3
3
2
l cos sin
  

Tính: SO = lsin

(


SOA tại O)
Bài 7: Một hình nón có đường sinh bằng 2a và diện tích xung quanh của mặt nón bằng 2

a
2



SOA tại O)
* V =
2
1
3
R h

=
2
1
3
.OA .SO

=
3
2
1 3
3
3 3
a
.a .a

 

Bài 8: Một hình nón có góc ở đỉnh bằng 60
0
và diện tích đáy bằng 9



* V =
2
1
3
R h

=
2
1
3
.OA .SO

=
2
1
3 3 3 9 3
3
. .
  


O
Bài 9: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng a.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nó
c) Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 60
0
. Tính diện tích của thiết diện này
HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác SAB vuông cân tại S nên
A

=
B

= 45
0

* S
xq
=

Rl =

.OA.SA =

.
2
a
.a =
2
2

2
a
 
 
 
 

b) V =
2
1
3
R h
 =
2
1
3
.OA .SO
 =
2 3
1
3 2
2 6 2
a a a
. .

 

Tính: SO =
2
a

2
3
a

* Tính: SM =
6
3
a
(


SMO tại O). * Tính: AC = 2AM =
2 3
3
a

* Tính: AM =
2 2
OA OM

=
3
3
a
* Tính: OM =
6
6
a
(


xq
+ S
đáy
= 25

1025
+ 625


b) V =
2
1
3
R h

=
2
1
3
.OA .SO

=
2 2
1
25 20
3
. .

(cm
3

1
OI
=
2
1
OH
-
2
1
OS


OI = 15(cm) (


SOI tại O)
* Tính: AB = 2AI = 2.20 = 40(cm)
* Tính: AI =
2 2
20
OA OI
 
(cm) (


AOI tại I)


A

=
B

= 45
0

* S
xq
=

Rl =

.OA.SA =

.
2
2
a
.a =
2
2
2
a

Tính: OA =
2
AB
=

b) V =
2
1
3
R h

=
2
1
3
.OA .SO

=
2 3
1 2 2
3 2 2 12
a a a
. .

 

Tính: SO =
2
2
a
(


SOA tại O)
c) * Kẻ OM



SOM tại O) * Tính: BM =
3
a
(


SMB tại M)
Bài 1: Một hình trụ có bán kính đáy bằng R và thiết diện qua trục là một hình vuông.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ
b) Tính thể tích của khối trụ
HD: a) * S
xq
= 2

Rl = 2

.OA.AA
’
= 2

.R.2R = 4

R
2

* OA =R; AA
’
= 2R

2 2
.R . R R
   Bài 2: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ
b) Tính thể tích của khối trụ
c) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trụ 3cm. Hãy tính diện tích của thiết diện
được tạo nên
HD: a) * S
xq
= 2

Rl = 2

.OA.AA
’
= 2

.5.7 = 70

(cm
2
)
* OA = 5cm; AA
’


(cm
3
)
c) * Gọi I là trung điểm của AB

OI = 3cm
*
ABB A
S
 
= AB.AA
’
= 8.7 = 56 (cm
2
) (hình chữ nhật)
* AA
’
= 7 * Tính: AB = 2AI = 2.4 = 8
* Tính: AI = 4(cm) (


OAI tại I)
C

3

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ
b) Tính thể tích của khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho
c) Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng AB và trục
của hình trụ bằng 30
0
. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ
HD: a) * S
xq
= 2

Rl = 2

.OA.AA
’
= 2

.r. r
3
= 2
3

r
2

* S

=
2 3
3 3
.r .r r  

c) * OO
’
//AA
’


BAA


= 30
0

* Kẻ O
’
H

A
’
B

O
’
H là khoảng cách giữa đường thẳng AB
và trục OO
’

’
B = r (


AA
’
B tại A
’
)
Cách khác: * Tính O
’
H =
2 2
O A A H
  

=
2
2
3
4 2
r r
r  
(


A
’
O
’


Rl = 2

.OA.AA
’
= 2

.R. R
2
= 2
2

R
2

* S
tp
= S
xq
+ 2S
đáy
= 2
2

R
2
+ 2

R
2

ĐS: a) * S
xq
= 2

Rl = 5000

(cm
2
) * S
tp
= S
xq
+ 2S
đáy
= 5000

+ 5000

= 10000

(cm
2
)
b) * V =
2
R h

= 125000

(cm

O'

A'
r
R 2
R
A'
O'
O
A
* Chứng minh:

DBC vuông tại B

OB =
1
2
CD
* OA = OB = OC = OD =
1
2
CD

A, B, C, D thuộc mặt cầu S(O;
2
CD
)
b) * Bán kính R =
2
CD

a
 
  
 
 
; * V =
4
3

R
3
=
3
3
4 5 2 125 2
3 2 3
a a
 

 
 
 

Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a.
a) Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S
b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu
HD: a) Gọi O là tâm hình vuông (đáy). Chứng minh: OA = OB = OC = OD = OS
b) R = OA =
2
2

)
b) * R =
2
SC
=
1
2
2 2 2
SA AB BC
 
=
6
2
a

* S =
2
2
6
4 6
2
a
a
 
  
 
 
; * V =
3
3


OA = OB = OC = OS
Vậy: A, B, C, S thuộc S(O; OA)
* R = OA =
2 2
2 2
2 2
SC AB
OI AI
   
  
   
   
=
2 2 2
4
a b c
 

* S =
2
2 2 2
2 2 2
4
4
a b c
(a b c )
 
 
    

S
O
D
C
B
A
c
b
a
I
O
S

C
B
A
A. BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Bài tập1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a và SA vuông góc với đáy.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
b) Chứng minh trung điểm I của cạnh BC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Bài giải:

a) Áp dụng công thức
1
3
V Bh

trong đó B = a

Trong mp( SAC), dựng SH  AC tại H  SH  (ABC).

1
.
3
V B h

, trong đó B là diện tích ABC, h = SH.
2
1 3
.
2 2
a
B AB BC 
. Trong tam giác đều SAC có AC = 2a 
2 3
3
2
a
SH a
 
.
Vậy
3
2
a
V 
(đvtt)
2
2 2
.
2 2
xq
a a
S a
 
 
(đvdt)

Bài tập4: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a.
a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
b) Tính diện tích của mặt trụ tròn xoay ngoại tiếp hình trụ
Giải:
a) Ta có
.
V B h

, trong đó B là diện tích đáy của lăng trụ, h là chiều cao lăng trụ .
Vì tam giác ABC đều, có cạnh bằng a nên
2
3
4
a
B 
. h = AA’ = a 

(đvdt) Bài tập5: Cho hình chóp S.ABC có SA = 2a và SA (ABC). Tam giác ABC vuông cân tại B,
2
AB a


a) Tính thể tích khối chóp S.ABC
b) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
c) Gọi I và H lần lượt là trung điểm SC và SB. Tính thể tích khối chóp S.AIH

Giải:
a)
3
2
1
.
3
1 2
. 2. 2 , 2
2 3
V B h
a
B S a a a h SA a V

      
# ABC

b) Gọi I là trung điểm SC

V SC SB
    Bài tập6:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.
a) Tính thể tích khối lập phương
b) Tính bán kính mặt cầu qua 8 đỉnh của lập phương
c) Chứng minh hai khối chóp B’.ABD’ và D.C’D’B có bằng nhau
Giải:

a) V = a
3
(đvtt)
b) Gọi O là điểm đồng quy của 4 đường chéo AC’, DB’, A’C, BD’  O là tâm mặt cầu ngoại tiếp lập phương.
Bán kính mặt cầu là
' 3
2 2
AC a
R  

c) Hai khối chóp trên là ảnh của nhau qua phép đối xứng mặt phẳng (ABC’D’)  đpcm

C BÀI TẬP TỰ GIẢI:

1) Cho hình chóp đều S.ABCD cậnh đáy bằng a, góc SAC bằng 60
0
.
a) Tính thể tích khối chóp.
b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp