Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
Phần I: Đặt vấn đề
Trong chơng trình toán bậc trung học cơ sở, hai chủ đề lớn của môn đại
số đó là Số và Hàm số. Khái niệm Hàm số xuyên suốt chơng trình môn
đại số ở phổ thông, bắt đầu từ lớp 7 và nó là kiến thức trọng tâm của môn đại
số. Với các khái niệm hàm bậc nhất, bậc hai và các dạng đồ thị tơng ứng,
phàn hàm số đợc phận lợng thời gian không nhiều.Tuy vậy, bài tập về hàm số
thì thật là nhiều dạng và không thể thiếu trong các kì kiểm tra, kỳ thi. Khái
niệm hàm số là khái niệm trừu tợng mà thời gian luyện tập lại không nhiều,
nên kết quả của học sinh không cao.
Qua thực tế giảng dạy tìm hiểu về tam lý của đối tợng học sinh tôi đã
tiến hành nghiên cứu: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị. Trong đề tài
này tôi cố gắng làm sáng tỏ khái niệm hàm số, đồ thị và đa ra một số dạng bài
tập về hàm số và các bài tập có liên quan.
Bằng cách sắp xếp các dạng toán, phơng pháp truyền thụ phù hợp với đối
tợng học sinh, phát huy tính tích cực của học sinh, chú ý sửa sai cho các em,
tôi đã giúp học sinh hiểu đây là là phần bài tập có thuật giải rõ ràng, chính
xác , có nhiều nội dun ứng dụng phong phú. Hàm số còn đợc coi là công cụ
giải quyết một số bài toán khác nh tìm cực trị, giải phơng trình, giải bất phơng
trình, sau đây là nội dung đề tài.
Phần II: Nội dung đề tài
Chơng I: Lý thuyết cơ bản
I/ Khái niệm hàm số:
Khái niệm hàm số đợc định nghĩa theo quan điểm hiện đại Hàm số là
một ánh xạ từ tập hợp số đến một tập hợp số.
Trớc tiên ta làm quen với ánh xạ.
1. ánh xạ:
Ngời thực hiện: Vũ Văn Thế
2
Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
a. Định nghĩa:



1 2 1 2
, :x x X x x
thì f(x
1
)

f(x
2
)
Hoặc


1 2
,x x X
: f(x
1
) = f(x
2
) thì x
1
= x
2
Ví dụ: f: R

R
x
a
y = f(x) = 3x


Y
x
a
y = f(x)
ánh xạ f là song ánh

f là đơn ánh và f là toàn ánh.
Ngời thực hiện: Vũ Văn Thế
3
Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
2/ Hàm số:
a.Theo quan điểm hiện đại, đinh nghĩa hàm số dựa trên các khái niệm
tập hợp và ánh xạ: Hàm số là một ánh xạ từ tập hợp số X đến tập hợp số Y.
- Trong chơng trình sách giáo khoa trung học cơ sở (1191 2001) Khái
niệm hàm số đợc trình bày trong sách giáo khoa lớp 7 ( đợc nhắc lại trong
sách giáo khoa lớp 9) nh sau:
Một hàm số f đi từ tập hợp số X đến tập hợp số Y là một quy tắc cho t-
ơng ứng mỗi giá trị x

X một và chỉ một giá trị y

Y mà kí hiệu là y = f(x).
Ngời ta viết: f: X

Y
x
a
y = f(x)
X là tập xác định , x

;y
M
)

đồ thị hàm số y = f(x)

y
M
= f(x
M
)
c. Cách cách cho một hàm số:
Với định nghĩa hàm số, đồ thị hàm số ta thấy một hàm số có thể cho bởi các
cách:
+ Cách 1: Cho quy tắc tơng ứng thể hiện bởi công thức y = f(x)
+ Cách 2: Cho quan hệ tơng ứng thể hiện bởi bảng gia trị
+ Cách 3: Cho bằng đồ thị hàm số
II/ Các hàm số trong chơng trình THCS:
1. Hàm số bậc nhất:
a. Định nghĩa: Hàm số bậc nhất là hàm số đợc cho bởi công thức y =
ax + b, trong đóp a, b là các hằng số xác định a

0, x
Ă
b. Tính chất:
+ Tập xác định:
Ă
+ Tính biến thiên;
a > 0 thì hàm số đồng biến trong R
a < 0 thì hàm số nghịch biến trong R

b
a

;
+
) và nghịch biến trong (

;
2
b
a

)
+ a < 0 Hàm số nghịch biến trong (
2
b
a

;
+
) và đồng biến trong (

;
2
b
a

)
c.Đồ thị:
Đồ thị hàm số y = ax

x

R biểu thức trong căn

0
2/ Ví dụ:
Ngời thực hiện: Vũ Văn Thế
6
Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
+ Ví dụ 1: Hàm số y = 5x 70 có TXĐ: R
+ Ví dụ 2: Hàm số y =
3 2
5
x
x


có TXĐ
{ }
5x R x
+ Ví dụ 3: Hàm số y =
4 1x +
có TXĐ:
1
4
x R x


của y.
+ Cách 2: Tìm điều kiện để phơng trình f(x) = y có nghiệm trong Tập
xác định.
2/ Ví dụ:
+ Ví dụ 1: Tìm miền giá trị của hàm số y = 2x 5 với x
[ ]
1;1
Giải
Ta có x
1 2 2 2 5 7 7x x y
1 2 2 2 5 3 3x x x y
Vậy miền giá trị của hàm số y = 2x 5 với x
[ ]
1;1
là y
[ ]
7; 3
Ngời thực hiện: Vũ Văn Thế
7
Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
+ Ví dụ 2: tìm miền giá trị của hàm số y =
6 7x x +
Giải
áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có:
6 7 6 7 1 1x x x x y + + =
Vậy miền giá trị của hàm số y =
6 7x x +
với x

R là y

[ ]
3;6
+ Ví dụ 4: Tìm miền giá trị của hàm số y = x
2
4
Giải
- TXĐ của hàm số là R
- Xét phơng trình x
2
- 4
x
+ 3 = y

2
( 2) 1x y = +
Phơng trình có nghiệm y+1

0

y

-1
3/ ứ ng dụng:
ứng dụng 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất cảu hàm số;
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của y = 6x x
2
2
Giải
Ta có y = 2x - x
2

2
+
7
4



7
4
Giả sử y là một giá trị của hàm số

Phơng trình
2
2
6
2
x x
x x
+ +
+ +
= y có
nghiệm

(y - 1)x
2
+ (y 1)x + 2y 6 = 0 (2) Có nghiệm
+ Xét y = 1 phơng trình (2) vô nghiệm
+ Xét y

1 Phơng trình (2) có nghiệm

23
7
tại x =
1
2

+ Chú ý: ở ví dụ 2 có thể ra dới dạng; Tìm x

R để hàm số y =
2
2
6
2
x x
x x
+ +
+ +
nhận giá trị nguyên y = 1 +
2
4
2x x+ +
Khi đó học sinh hay chọn cách giải: nên y

Z

x
2
+ x + 2 nhận giá trị
là ớc nguyên của 4.
Sai lầm trong lời giải ở chỗ x

x
2
+ x - 2 = 0

x = 1; x = -2

2
2
6
2
x x
x x
+ +
+ +
= 3

2x
2
+ 2x = 0

x = 0; x = -1
Vậy x
{ }
2; 1; 0;1
thì y

Z
ứng dụng 2: Gải phơng trình f(x) = g(x) (1)
Nhiều phơng trình phức tạp có thể giải đơn giản hơn bằng cách căn cứ vào
miền giá trị của hai hàm số y = f(x) và y = g(x) trên tập xácc định D chung

x
0


D thoả mãn (2) thì x
0
là nghiệm của phơng trình (1)
Ví dụ 1: Giải phơng trình 6x x
2
2 =
1 2 2 3 4 13x x x x + + +
(1)
+ Tập xác định : R
+ ta có VT = 6x x
2
2 = 7 (x 3)
2


7 dấu = xảy ra khi và chỉ
khi x=3
VP =
1 2 2 3 4 13x x x x + + +


7 dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi
13
2
4
x

+ 72x
3
81x
2
+ 28 16
2
2
7 9
28
4 4
x x

ữ
Ngời thực hiện: Vũ Văn Thế
10
Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 0 hoặc x =
9
4
Đặt
2x
= t

0 =>x = t

x
VP
=

=

=

Kết luận nghiệm của phơng trình là
9
4
x =
4/ Bài tập:
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất ( nếu có) của hàm số y = x
2
3x + 1
trên đoạn:
a.
[ ]
3;1
b.
[ ]
0; 2
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =
2 2
2 2
3 8
a b a b
b a b a


Ta đã biết giữa hàm số và đồ thị có tơng ứng 1-1 nên ta sẽ xác định đợc
công thức hàm số khi biết tính chất của đồ thị tơng ứng.
a. Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b biết đồ thị là đờng thẳng d
có tính chất:
+ Đi qua điểm A(x
1
; y
1
) và điểm B(x
2
; y
2
)
Giải
Vì A(x
1
; y
1
)

d nên ax
1
+ b = y
1
B(x
2
; y
2
)


B(x
2
; y
2
)

d nên ax
2
+ b = y
2
Ta có hệ phơng trình:
1 1
2 2
ax b y
ax b y
+ =


+ =

gải hệ phơng trình đó ta có a, b
Kết luận công thức hàm số.
Ví dụ: xác định hàm số y = ax + b có đồ thị là đờng thẳng d đi qua điểm A(1;
1) và điểm B(-1; 2)
Giải
Vì A(1; 1)

d nên a1 + b = 1
B(-1; 2)


2 2x
+
b. Đồ thị đi qua điểm A(x
1
; y
1
) và song song với đờng thẳng d có
phơng trình y = a
1
x + b
1
(a

0)
Giải
Vì A(x
1
; y
1
)

d nên ax
1
+ b = y
1
Vì d song song với d nên a = a
1
=> b = y
1
ax

1
; y
1
) và vuông góc với đờng thẳng d
có phơng trình y = a
1
x + b
1
(a

0)
Giải
Vì A(x
1
; y
1
)

d nên ax
1
+ b = y
1
Vì d vuông góc với d nên aa
1
= -1

a =
1
1
a

Vì A(1; 1)

d nên a + b = 1
Vì d vuông góc với d nên aa
1
= -1

a = 2

b = -1
Kết luận hàm số cần tìm là y = 2x 1
d. Đồ thị qua điểm A(x
1
; y
1
) và tiếp xúc với
Parabol (P): y = ax
2
+ bx + c (a

0)
Giải
Vì A(1; 1)

d nên ax
1
+ b = y
1
(1)
Vì d tiếp xúc với Parabol (P): y = ax

=(b-a)
2
4a(c-b)=0 (2)
Ta có hệ phơng trình:
2 2 2
2 2 2
0
2
4 4 4( 2) 4 ( 2) 0
a b b a b a
b
a
a b a a a
+ = = + = +
=




=
+ = + + = + =


Vậy hàm số cần tìm là y=-2x
Ngời thực hiện: Vũ Văn Thế
14
Đề tài nghiệp vụ s phạm: Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị
III/1.2 Xác định hàm số bậc hai y = ax
2
+ bx + c có đồ thị là Parabol (P)

,y
2
)

(P) nên ax
2
2
+ bx
2
+ c = y
2
(2)
Vì C(x
3
,y
3
)

(P) nên ax
3
2
+ bx
3
+ c = y
2
(3)
Giải hệ gồm 3 phơng trình (1), (2), (3) ta tìm đợc a, b, c
Kết luận công thức hàm số
Ví dụ: Xác định hàm số bậc hai y = ax
2

b. (P) có mặt phẳng toạ độ đỉnh D(x
0
, y
0
) và đi qua điểm A(x
1
, y
1
)
Lời giải
Vì A(x
1
, y
1
)

(P) nên ax
1
2
+ bx
1
+ c = y
1
(1)
Vì (P) có toạ độ đỉnh D(x
0
, y
0
) nên
0

15