Mục lục
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1 Mở đầu 5
1.1 Một số khái niệm và kết quả cơ bản . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Hội tụ yếu trên đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Sự hội tụ yếu trong không gian Metric 19
2.1 Độ đo trên không gian Metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.1 Độ đo và tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.2 Tính chặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Tính chất của hội tụ yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.1 Định lý kết hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.2 Tiêu chuẩn khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.3 Nguyên lý ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.4 Không gian tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3 Sự hội tụ theo phân phối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.1 Đại lượng ngẫu nhiên S-giá trị . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.2 Sự hội tụ theo phân phối . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3.3 Sự hội tụ theo xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.4 Mối quan hệ giữa các loại hội tụ . . . . . . . . . . . . 43
2.3.5 Nguyên lý địa phương và nguyên lý tích phân . . . . . 44
1
2.3.6 Qua giới hạn tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.7 Độ đo tương đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4 Định lý Prohorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.4.1 Tính compact tương đối . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.4.2 Tính chặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3 Sự hội tụ yếu trong không gian C và ứng dụng 62
3.1 Hội tụ yếu và tính chặt trong C . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.1.1 Tính chặt và tính compact trên C . . . . . . . . . . . 63
3.1.2 Hàm ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.2 Độ đo Wiener và định lý Donsker . . . . . . . . . . . . . . . . 69
họ các độ đo xác suất.
Chương ba là sự hội tụ yếu trong không gian C và ứng dụng.
Chương này quan tâm đến sự hội tụ yếu trong không gian C = C[0, 1] với
tôpô đều; C là không gian tất cả các hàm thực liên tục trên đoạn đóng [0, 1].
Các ứng dụng sẽ được nêu ra trong chương này cho ta thấy lý do tại sao thật
thú vị và hữu ích khi phát triển lý thuyết chung về sự hội tụ của các độ đo
(độ đo Wiener, chuyển động Brown).
3
Luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH. Đặng
Hùng Thắng. Toàn thể ban lãnh đạo và các thầy cô trong khoa Toán - Cơ -
Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên − Đại học Quốc Gia Hà nội đã
giúp tôi có thêm nhiều kiến thức để có thể hoàn thành luận văn và khóa học
một cách tốt đẹp. Các thầy cô phòng Sau Đại học đã tạo những điều kiện
thuận lợi giúp tôi hoàn thành các thủ tục bảo vệ luận văn cũng như học tập.
Các thầy và các bạn trong seminar Toán xác suất về những góp ý để tôi có
thể hoàn thành luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn tất cả những sự giúp đỡ và đóng góp quý giá
ấy.
Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy cô và các
bạn.
Hà Nội, tháng 10 năm 2014
Hoàng Trung Hiếu
4
Chương 1
Mở đầu
Đầu tiên chúng ta nhắc lại một vài tính chất của không gian metric sẽ
được sử dụng trong luận văn. Sau đó, ta sẽ nhắc lại về sự hội tụ của độ đo
xác suất trên đường thẳng.
1.1 Một số khái niệm và kết quả cơ bản
Ta đề cập một kết quả hữu ích được chứng minh đơn giản sau.
x
nk
=
k
x
k
.
Chứng minh. Do
k
M
k
< ∞ nên chuỗi
k
x
nk
hội tụ tuyệt đối.
Ta có
|
k
x
nk
−
k
x
k
−x
k
| < /3k
0
với k ≤ k
0
. Khi đó với n > n
0
thì |
k
x
nk
−
k
x
k
| < .
5
Chúng ta ký hiệu không gian metric là S và metric của nó là ρ(x, y); không
gian metric chính là cặp (S, ρ). Với các tập con A của S, ký hiệu A
−
, A
o
và
∂A = A
−
−A
o
cũng được nói là tốt hơn tô pô ρ.
Coi ánh xạ đồng nhất i trên S như một ánh xạ từ (S, ρ
) vào (S, ρ). Khi đó
i là liên tục nếu và chỉ nếu G ∈ O kéo theo G = i
−1
G ∈ O
−nghĩa là nếu và
chỉ nếu (1.1) đúng. Hơn nữa, i là liên tục theo nghĩa này nếu và chỉ nếu
ρ
(x
n
, x) → 0 kéo theo ρ(x
n
, x) → 0.
Đây là cách khác để nói rằng tô pô ρ
là "tốt hơn" tô pô ρ. Metric ρ là rời
rạc nếu ρ(x, y) = 1 với x = y; điều này đưa tới S tô pô tốt nhất có thể.
Hai metric và tô pô tương ứng là tương đương nếu mỗi trong chúng là tốt
hơn cái kia: (S, ρ) và (S, ρ
) là đồng phôi. Nếu ρ
là tốt hơn ρ thì cả hai có thể
tương đương; nói cách khác, "tốt hơn" không có nghĩa là "tốt hơn nghiêm
ngặt".
Tính khả ly. Không gian S là khả ly nếu nó chứa một tập con trù mật,
k
mà tồn
tại một G
α
thỏa mãn V
k
⊂ G
α
, lấy G
α
k
là tập nào đó trong G
α
chứa nó.
Khi đó, A ⊂
k
G
α
k
.
3.(iii) → (i). Với mỗi n, {B(x, n
−1
) : x ∈ S} là một phủ mở của S.
Nếu (iii) đúng thì có một phủ con {B(x
nk
, n
−1
) : k = 1, 2, . . .}. Tập đếm
được {x
kn
) < . Do đó, x
kn
tạo thành một tập con trù, mật đếm được
của M.
Định lý 1.1.3. Giả sử tập con M của S là khả ly.
7
(i) Có một lớp A đếm được của các tập mở với tính chất: nếu x ∈ G ∩ M
và G mở thì x ∈ A ⊂ A
−
⊂ G với A nào đó trong A.
(ii) Mỗi phủ mở của M có một phủ con đếm được (tính chất Lindel¨of ).
Chứng minh. 1.(i). Lấy D là tập con trù mật, đếm được của M và lấy A
bao gồm các hình cầu B(d, r) với d ∈ D và r hữu tỷ. Nếu x ∈ G ∩ M và G
mở, chọn để B(x, ) ⊂ G, sau đó chọn d trong D sao cho ρ(x, d) < /2 và
cuối cùng chọn số hữu tỷ r: ρ(x, d) < r < /2. Suy ra rằng x ∈ B(d, r) ⊂
B(d, r)
−
⊂ B(x, ) ⊂ G.
2.(ii). Lấy A = {A
1
, A
2
, . . .} là lớp của phần (i). Cho một phủ mở {G
α
}
của M, với mỗi A
k
chọn một G
α
Tính đầy đủ không là một tính chất tô pô: S = [1, ∞) là đầy đủ theo
metric thông thường (ρ
(x, y) = |x − y|) nhưng không đầy đủ theo metric
tương đương ρ(x, y) = |x
−1
− y
−1
|. Một không gian metric (S, ρ) là không
gian đủ tô pô nếu như trong ví dụ này có một metric tương đương để ρ theo
đó là đầy đủ.
Cho một metric ρ trên S, xác định
b(x, y) = 1 ∧ρ(x, y). (1.2)
8
Do φ(t) = 1 ∧t là không giảm và thỏa mãn φ(s + t) ≤ φ(s) + φ(t) với s, t ≥ 0
nên b là một metric (tương đương với ρ). Hơn nữa, do φ(t) ≤ t với t ≥ 0 và
φ(t) = t với 0 ≤ t ≤ 1 thì một dãy là b-cơ bản nếu và chỉ nếu nó là ρ-cơ bản;
điều này cũng có nghĩa S là ρ-đầy đủ nếu và chỉ nếu nó là b-đầy đủ.
Tính compact. Một tập A theo định nghĩa compact là nếu mỗi phủ mở
của A có một phủ con hữu hạn. Một -lưới cho A là một tập của các điểm
{x
k
} với tính chất là với mỗi x trong A có một x
k
sao cho ρ(x, x
k
) < ; A là
hoàn toàn bị chặn nếu với mỗi dương, nó có một -lưới (các điểm của nó có
thể không nằm trong A).
Định lý 1.1.4. Ba điều kiện sau là tương đương:
G
n
, ở đó G
n
mở và G
1
⊂ G
2
⊂ ··· thì A ⊂ G
n
với n nào
đó.
(i
3
) Nếu A ⊃ F
1
⊃ F
2
⊃ ···, ở đó F
n
là đóng và khác trống thì
n
F
n
là
khác trống.
Đầu tiên chúng ra chứng minh tất cả (i
1
), (i
) nói rằng A ∩ D
n
↑ A kéo theo A ∩ G
n
= A với
n nào đó. Và (i
3
) nói rằng A ∩ F
n
↓ ∅ kéo theo A ∩ F
n
= ∅ với n nào đó (ở
đây F
n
không nhất thiết chứa trong A). Nếu F
n
= G
c
n
thì hai phát biểu là
như nhau.
(i
3
) ↔ (ii). Giả sử (i
3
) đúng. Nếu {x
n
} là một dãy trong A, lấy B
n
=
; chọn i
n
quy nạp sao cho i
1
< i
2
< ··· Khi đó,
lim
n
ρ(x, x
i
n
) = 0: (ii) đúng.
Mặt khác, nếu F
n
là các tập đóng giảm, khác trống và (ii) đúng thì lấy
x
n
∈ F
n
và x là giới hạn của dãy con nào đó; rõ ràng x ∈
n
F
n
: (i
3
) đúng.
(ii) → (iii). Nếu A không hoàn toàn bị chặn thì tồn tại và dãy {x
n
12
, . . . theo cách mà tất cả x
m
11
, x
m
12
, . . . nằm trong
cùng B
1k
(điều đó có thể vì chỉ có hữu hạn hình cầu). Sau đó chọn một dãy
m
21
, m
22
, . . ., một dãy của m
11
, m
12
, . . . theo cách mà tất cả x
m
21
, x
m
22
, . . .
nằm trong cùng B
2k
. Tiếp tục như thế nếu r
i
Và do đó theo (i
1
), nó có một phủ con hữu hạn.
Tính compact là một tính chất tô pô (theo điều kiện (ii) của định lý).
Một tập A là bị chặn nếu đường kính sup{ρ(x, y) : x, y ∈ A} của nó hữu hạn.
Theo nghĩa này, bao đóng của một tập hoàn toàn bị chặn rõ ràng là bị chặn;
điều ngược lại là sai, như ví dụ các hình cầu đóng trong C (Ví dụ 2.1.3) là
không compact. Mặt khác, một tập trong k-không gian Euclid là hoàn toàn
bị chặn nếu và chỉ nếu nó là bị chặn.
Một tập A là compact tương đối nếu A
−
là compact. Điều này tương
đương với điều kiện mọi dãy trong A đều chứa một dãy con hội tụ (giới hạn
của chúng có thể không nằm trong A).
Một kết quả hữu ích: Ảnh liên tục của một tập compact là compact. Giả
sử rằng f : S → S
là liên tục và A là tập compact trong S. Nếu {f(x
n
)} là
một dãy trong f(A), chọn {n
i
} sao cho {x
n
i
} hội tụ tới một điểm x của A.
Bằng tính liên tục, {f(x
n
i
)} hội tụ điểm tới f(x) của f(A).
i
và xét tập đếm được D trong S chứa các điểm có dạng
x = (x
1
, . . . , x
k
, x
o
k+1
, x
o
k+2
, . . .), (1.4)
trong đó k ≥ 1, x
i
là một điểm biến đổi của D
i
với i ≤ k và x
o
i
là điểm cố
định của S
i
với i > k. Với cho trước và y ∈ S, chọn k sao cho
i>k
2
−i
< ,
sau đó chọn các điểm x
dãy cơ bản trong S
i
và do đó ρ
i
(x
n
i
, x
i
) →
n
0 với các x
i
nào đó thuộc S
i
.
Theo M-test thì ρ(x
n
, x) → 0.
Nếu A
i
compact trong S
i
thì A
1
× A
2
× ··· compact trong S. Do với dãy
các điểm x
n
với x
i
nào đó thuộc A
i
. Nhưng theo phương pháp đường chéo,
chuỗi {n
k
} có thể được chọn để x
n
k
i
→
k
x
i
với mỗi i tại cùng thời điểm. Và
khi đó x
n
k
→
k
(x
1
, x
2
, . . .).
Phạm trù Baire. Một tập A trù mật trong B nếu B ⊂ A
−
. Và A trù
mật khắp nơi nếu S = A
tồn tại x
1
∈ S sao cho B(x
1
,
1
)
−
⊂ S ∩A
c
1
với
1
nào đó. Và B(x
1
,
1
) chứa
x
2
sao cho B(x
2
,
2
)
−
⊂ B(x
1
,
1
k
A
k
là không thể.
Nửa liên tục trên. Hàm f được gọi là nửa liên tục trên (nltt) tại x
0
nếu với mỗi , tồn tại δ sao cho ρ(x
0
, y) < δ thì f(y) < f(x
0
) + . Dễ thấy f
là nửa liên tục trên (nltt tại mọi điểm) nếu và chỉ nếu với mỗi số thực α thì
{x : f(x) < α} là tập mở.
Định lý 1.1.6 (Định lý Dini). Nếu f
n
(x) ↓ 0 với mỗi x và nếu mỗi f
n
là
nửa liên tục trên thì sự hội tụ này là đều trên mỗi tập compact.
Chứng minh. Với mỗi , các tập mở G
n
= {x : f
n
(x) < } phủ S.
Nếu K compact thì K ⊂ G
n
với n nào đó và do đó f
n
hội tụ đều đến 0.
) −g(x) ≤ Kρ(x
, x). Đổi chỗ x
và x để có điều kiện Lipschitz cho g.
Nếu |f| ≤ a thì |g| ≤ a.
Tô pô và tính đo được. Một σ-trường Borel S đối với (S, ρ) là σ-trường
được sinh bởi các tập mở. Lấy (S
, ρ
) là không gian metric thứ hai với σ-
trường S
. Nếu h : S → S
liên tục thì nó là S/S
đo được (tức là A
∈ S
thì
A ∈ S).
Lấy (Ω, F) là một không gian đo được và h
n
, h là các ánh xạ từ Ω vào S.
Nếu mỗi h
n
và nằm trong F.
D
h
là tập các điểm nằm trong S mà h không liên tục. Điều này đúng
cho dù là h không là S/S
đo được. Để chứng minh, lấy A
δ
là tập các x
trong S mà có các điểm y và z trong S thỏa mãn ρ(x, y) < δ, ρ(x, z) < δ và
ρ
(hy, hz) ≥ . Khi đó A
δ
mở và D
h
∈ S vì D
h
=
δ
A
δ
.
Không gian con. Tập con S
0
của S là không gian metric. Nếu O và O
là các không gian metric ρ
và ρ
và các
σ-trường S
và S
. Xét không gian tích T = S
× S
. Tô pô tích trong T có
14
thể được xác định bởi nhiều tô pô như
t((x
, x
), (y
, y
)) =
[ρ
(x
(x
, y
). (1.9)
Đối với cả hai metric này đều tồn tại sự hội tụ (x
n
, x
n
) → (x
, x
) trong T
nếu và chỉ nếu x
n
→ x
trong S
và x
n
→ x
trong S
(x
, x
) = x
và π
(x
, x
) = x
đều là các ánh xạ liên tục. Nếu T
0
đếm được và trù mật
trong T thì π
T
0
và π
T
0
là đếm được và trù mật trong S
và S
. Mặt khác,
với A
∈ S
và A
∈ S
.
Hình chữ nhật này là (π
)
−1
A
∩ (π
)
−1
A
; vì hai ánh xạ chiếu là liên tục
nên chúng tương ứng là T /S
và T /S
đo được và suy ra rằng hình chữ nhật
nằm trong T . Do đó, S
n
m
→
n
y
m
với mọi m. Khi đó chuỗi
m
|y
n
m
− y
m
| →
n
0.
15
Nếu f là hàm thực liên tục và bị chặn thì
m
y
n
m
f(y
n
m
) →
n
− y
m
| · |f(y
n
m
)| +
m
y
m
|f(y
n
m
) − f(y
m
)|
≤ M
m
|y
n
m
− y
m
| +
m
y
m
|f(y
ở đó |S
k
| ≥ 3α mà |S
j
| < 3α với
j < k. Do B
k
là rời nhau nên
P
max
k≤n
|S
k
| ≥ 3α
≤ P
|S
n
| ≥ α
+
k≤n
P
B
k
∩
|S
n
| ≥ α
+
k≤n
PB
k
· P
|S
n
− S
k
| > 2α
≤ P
|S
n
| ≥ α
+ max
k≤n
P
|S
n
− S
| ≥ α
.
16
1.2 Hội tụ yếu trên đường thẳng
Trong lý thuyết độ đo, các khái niệm khác nhau về hội tụ của độ đo đã
được biết. Tuy nhiên, trong lý thuyết xác suất, hội tụ yếu của độ đo xác suất
thường được nhắc tới. Hội tụ yếu của độ đo xác suất được tổng quát hóa từ
hội tụ yếu của các hàm phân phối trên đường thẳng thực.
Cho F
n
, n ∈ N và F là các hàm phân phối. Ta nhắc lại rằng F
n
hội tụ
yếu tới F khi n → ∞ nếu
lim
n→∞
F
n
(x) = F (x),
với mọi điểm liên tục x của F . Nếu hàm giới hạn F là liên tục thì hội tụ bên
trên kéo theo với mọi x.
Hội tụ yếu của hàm phân phối có thể được viết lại dưới độ đo xác suất.
Cho P
n
và P là các độ đo xác suất sinh bởi các hàm phân phối F
n
và F ,
được xác định bởi
P
nên hội tụ yếu của các độ đo xác suất vẫn là phương pháp tiệm cận chủ yếu
của các định lý giới hạn.
Trong chương 2 sẽ nghiên cứu về hội tụ yếu của độ đo xác suất trong
không gian metric. Trình bày các tính chất của hội tụ yếu, xem xét sự hội tụ
trong phân phối và xác suất, hội tụ yếu với các ánh xạ, đặc biệt là định lý
Prohorov. Bên cạnh đó là một số ứng dụng sẽ được đưa ra.
18
Chương 2
Sự hội tụ yếu trong không
gian Metric
2.1 Độ đo trên không gian Metric
Trong mục này, chúng ta sẽ nghiên cứu độ đo xác suất trên không gian
metric S tổng quát.
Và ký hiệu S là một σ-trường Borel sinh bởi các tập mở, với các phần tử
là các tập Borel. Một độ đo xác suất trên không gian S là một hàm tập P
cộng tính đếm được, không âm và thỏa mãn P S = 1.
Định nghĩa 2.1.1 (Hội tụ yếu). Ta nói rằng độ đo xác suất P
n
là hội tụ
yếu tới độ đo xác suất P (ký hiệu P
n
⇒ P ) nếu:
P
n
f =
S
fdP
n
→
Lấy các tập A
n
trong G, chọn các tập đóng F
n
và các tập mở G
n
sao cho
F
n
⊂ A
n
⊂ G
n
và P(G
n
− F
n
) < /2
n+1
. Nếu G =
n
G
n
và nếu F =
n≤n
0
F
n
+
≤ I
F
(x) (2.1)
20
Định lý 2.1.2. Độ đo xác suất P và Q trên S trùng nhau nếu P f = Qf với
mọi hàm thực f liên tục đều và bị chặn.
Chứng minh. Với hàm f liên tục đều, bị chặn được xác định trong (2.1),
P F ≤ P f = Qf ≤ QF
.
Cho ↓ 0 ta được P F ≤ QF , với F là tập đóng.
Do tính đối xứng và áp dụng Định lý 2.1.1, ta có P = Q.
Bởi vậy, ta có thể làm việc với độ đo P A hoặc với tích phân P f (bất cứ
cái nào cũng đơn giản hơn hay tự nhiên hơn). Ta định nghĩa hội tụ yếu theo
quan điểm sự hội tụ của tích phân của hàm số. Trong phần tới, ta sẽ mô tả
đặc điểm của nó theo quan điểm sự hội tụ của độ đo trên tập hợp.
2.1.2 Tính chặt
Khái niệm dưới đây về tính chặt đóng một vai trò cơ bản trong lý thuyết
về sự hội tụ yếu và ứng dụng của nó.
Định nghĩa 2.1.2 (Tính chặt). Một độ đo xác suất P trên (S, S) được gọi
là chặt nếu với mỗi , tồn tại một tập compact K sao cho PK > 1 − .
Từ Định lý 2.1.1, ta thấy P là chặt nếu và chỉ nếu PA là cận trên đúng
của P K, với mọi tập con compact K của A ∈ S.
Định lý 2.1.3. Nếu S là không gian khả ly và đầy đủ thì mỗi độ đo xác suất
trên (S, S) đều chặt.
Chứng minh. Gọi P là độ đo xác suất bất kì trên (S, S).
Từ giả thiết S là khả ly nên với mỗi k, tồn tại một dãy A
k1
suất trên S.
Dễ thấy, từ Định lý 2.1.1 thì các tập đóng tạo thành một lớp khả ly.
Định nghĩa 2.1.4 (π-hệ thống). Một lớp A được gọi là một π-hệ thống nếu
nó là đóng đối với phép giao hữu hạn.
Từ định nghĩa về π-hệ thống thì A là lớp khả ly nếu nó là một π-hệ thống
sinh ra σ-trường S.
Ví dụ 2.1.1. Xét không gian Euclide k-chiều R
k
với metric thông thường
|x − y| =
k
i=1
(x
i
− y
i
)
2
. Và ký hiệu R
k
là lớp các tập Borel k-chiều.
Hàm phân phối tương ứng của một độ đo xác suất P trên R
k
là
F (x
1
, x
2
tương đương với
22
metric thông thường và hiển nhiên R
1
là hoàn toàn khả ly.
Metric hóa R
∞
bởi
ρ(x, y) =
i
b(x
i
, y
i
)/2
i
.
Hiển nhiên, nếu ρ(x
n
, x) →
n
0 thì b(x
n
i
, x
i
) →
n
0 với mỗi i. Do đó, R
, suy ra π
k
liên tục và do đó các tập
N
k,
(x) = {y : |y
i
− x
i
| < , i = 1, . . . , k} (2.3)
là mở. Hơn nữa, nếu y ∈ N
k,
(x) thì ρ(x, y) < + 2
−k
.
Cho số dương r, chọn và k sao cho + 2
−k
< r thì N
k,
(x) ⊂ B(x, r).
Nghĩa là, các tập trong (2.3) tạo thành một cơ số đối với tôpô của R
∞
hay
R
∞
khả ly: một tập con trù mật, đếm được bao gồm các điểm chỉ có hữu
hạn các tọa độ khác không, mỗi tọa độ đó đều là các số hữu tỷ. Nếu {x
n
} là
cơ bản thì mỗi {x
/R
k
đo được và R
∞
f
⊂ R
∞
. Hơn
nữa, do π
−1
k
H = π
−1
k+1
(H × R
1
) nên tập các chỉ số khi liệt kê một R
∞
f
-tập
luôn có thể được mở rộng và nó kéo theo hai tập A và A
trong R
∞
f
có thể
biểu diễn A = π
−1
k
H và A
∞
f
là một lớp khả ly.
Nếu P là một độ đo xác suất trên (R
∞
, R
∞
) thì các phân phối hữu hạn
chiều của nó là các độ đo P π
−1
k
trên (R
k
, R
k
), k ≥ 1 và vì R
∞
f
là một lớp
khả ly nên các độ đo này hoàn toàn xác định P .
Ví dụ 2.1.3. Giả sử C = C[0, 1] là không gian các hàm liên tục x = x(·)
trên [0, 1].
Ta xác định chuẩn của x như sau x = sup
t
|x(t)| và đưa vào C một
metric đều
ρ(x, y) = x −y = sup
t
|x(t) − y(t)|. (2.4)
Do ρ(x
Khi đó, z
n
hội tụ điểm tới hàm 0, trong khi ρ(z
n
, 0) = 1.
Không gian C là khả ly. Cho D
k
là tập các hàm đa giác−các hàm tuyến
tính trên mỗi đoạn con I
ki
= [(i − 1)/k, i/k] và có các giá trị hữu tỷ tại các
điểm cuối. Khi đó
k
D
k
là đếm được và hơn nữa nó là trù mật. Thật vậy, với
mỗi x và bất kì, chọn k để |x(t) − x(i/k)| < với t ∈ I
ki
, 1 ≤ i ≤ k thì bởi
tính liên tục đều ta chọn được một y thuộc D
k
sao cho |y(i/k) − x(i/k)| <
với mỗi i. Ta có
|y(i/k) −x(t)| < 2 và |y((i − 1)/k) − x(t)| < 2.
Vì y(t) là một tổ hợp lồi của y((i−1)/k) và y(i/k) nên ta cũng có |y(t)−x(t)| <
2 hay ρ(x, y) ≤ 2.
C là một không gian đầy đủ do: Nếu x
n
là cơ bản có nghĩa là
Vậy C là một không gian khả lý và đầy đủ, do đó theo Định lý 2.1.3 thì
mỗi độ đo xác suất trên σ-trường Borel C là chặt.
Với 0 ≤ t
1
< t
2
< . . . < t
k
≤ 1, ta xác định một phép chiếu tự nhiên:
π
t
1
t
k
: C → R
k
π
t
1
t
k
(x) = (x(t
1
), . . . , x(t
k
)).
Trong C, các tập hữu hạn chiều có dạng π
−1
t
1
= ψπ
t
1
st
2
và do đó π
−1
t
1
t
2
H = π
−1
t
1
st
2
ψ
−1
H và dĩ nhiên ψ
−1
H ∈ R
3
nếu H ∈ R
2
.
Với ý tưởng tương tự ta sẽ chứng minh được lớp C
f
của các tập hữu hạn
chiều là một π-hệ thống. Hơn nữa, ta có B(x, )
Copyright: Tài liệu đại học ©