SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
KÌ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐẠI HỌC LẦN 4
NĂM HỌC 2010-2011; MÔN: TOÁN KHỐI A; LỚP 11
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian phát đề
I. PHẦN CHUNG CHO MỌI THÍ SINH (7 điểm)
Câu I (2 điểm) 1. Giải phương trình
9 3
cos 4 6sin cos 2 0
4 4
x x x
π π
   
+ + − + =
 ÷  ÷
   
2. Giải phương trình
2 sin 3 2 2 sin 1 4cos
4 4
x x x
π π
   
− + − = −
 ÷  ÷
   
Câu II (2 điểm) 1. Cho
A
tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc tập
A
. Tính
xác suất sao cho số được chọn chia hết cho

( )
2
2 2
2 2 4 1 1
7 2 10 6 0 ;
1
2
x y y
x y xy x x y
x

− = + +


+ − + − = ∈



≥

¡
II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) (Chú ý thí sinh chỉ được làm một trong hai phần A hoặc phần B)
Phần A
Câu VIa (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc (Oxy), cho đường tròn
( )
2 2
: 2 2 1 0C x y x y+ − − − =
.Giả sử đường tròn
( )
'C

2 3 10 2 100
0 1 2 100
1 x x x x a a x a x a x− + − + + = + + + +
. Tính giá trị của
biểu thức
3 99
1 3 99
2 2 2P a a a= + + +
.
Phần B
Câu VIb (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc (Oxy); cho đường tròn
( )
C
và hai đường thẳng
1 2
,d d
lần lượt
có phương trình là
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1
: 4 3 8; : 2 3 0; 1;1C x y d x y P− + − = + − =
. Hãy tìm tọa độ điểm
M
thuộc
1
d
sao
cho từ

.
Hết
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
Câu Nội dung trình bày
Điểm
I
2điểm
1. (1 điểm)
Phương trình đã cho tương đương với
cos 4 6sin 2 cos 2 0
4 4
cos4 6sin cos 2 0 cos4 3sin 2 2 0
4 4 2
x x x
x x x x x
π π
π π
π π π
   
+ + + + − + =
 ÷  ÷
   
     
⇔ − + + + = ⇔ − + + =
 ÷  ÷  ÷
     
0,5
( ) ( )
2 2
2cos 2 1 3cos 2 2 0 2cos 2 3cos 2 1 0 2cos2 1 cos2 1 0x x x x x x⇔ − − + = ⇔ − + = ⇔ − − =



= − +

¢
0,5
2. (1 điểm)
Phương trình đã cho tương đương với
( )
( )
( ) ( ) ( )
3 3
3sin 4sin 4cos 3cos 2 sin cos 1 4cos
5 sin cos 4 sin cos 1 sin cos 1 0
x x x x x x x
x x x x x x
⇔ − − − + − = −
⇔ + − + − − =
0,5
Đặt
2
1
sin cos 2 sin ; 2 sin cos
4 2
t
t x x x t x x
π
−
 
= + = + ≤ ⇒ =

 ÷
 
=

 

⇔ = ⇔ + = ⇔ ∈
 ÷

= +
 

¢
0,5
II
2điểm
1. (1 điểm)
+) Ta có
( )
9.10.10 900n A = =
0,25
+) Các số gồm ba chữ số chia hết cho
7
là
105;112; ;994
các số này lập thành một cấp số cộng
có số hạng đầu là
105
và công sai
7d =

2
2 1
2 1 2
2 5 2 0
1 1
1
2 1
2 2
2
t x
x x
t t
t x
x x

≥ ≥
 
+ − ≥

 
− + ≥ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

 
≤ =
+ − ≤

 

0,5
Vậy tập nghiệm của bpt là

x
x
x x x
A
x x
x x x
x x
x x x x x
→
→
 
− − − −
= +
 
− −
 
 
 
− − − −
= +
 
 
− − +
 
− − + − +
 
 
 
0,5
( )

Ta tính được
2 2 2
2; 2AC a CD a AC CD AD AC CD= = ⇒ + = ⇒ ⊥
. Mặt khác
CD SA⊥
, do
đó
( ) ( ) ( )
CD SAC SAC SCD⊥ ⇒ ⊥
.
0,5
Ta lần lượt kẻ
;AH SC AK SD⊥ ⊥
. Do đó
( )
AH SCD AH SD SD HK⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥
kết hợp với
( ) ( )
( )
·
( )
·
0
0
2 2 2 2 2 2
; ; 60
3 1 3 1 1 1 1
sin 60 2
4
4

+ − + − = ⇔ + − + − = ⇔ + − + − =
  
  
  
≥ ≥ ≥
  
0,5
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
4 3 2 2 3 2
2 5 10 10 6 0 2 3 4 3 5 4 1 5 2 1 0 1
1
1
2
2
y x x
y x x
x x x x x x x x x
x
x


= −

= −



+) TH1 Nếu M và I nằm về hai phía của đường thẳng AB. Khi đó
2 2 2 2
3 1
1
2 2
IH IA AH MH MI IH MA AH MH= − = ⇒ = − = ⇒ = + =
. Do đó phương trình
đường tròn
( )
2 2
' : 6 2 9 0 : 2 5 0.C x y x y AB x+ − − + = ⇒ − =
0,5
+) TH 2 Nếu M và I nằm cùng một phía của đường thẳng AB 0,25
2. (1 điểm)
Gọi H, K lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và SA. Ta chứng minh được HK là đoạn vuông
góc chung của hai đường thẳng BC và SA
0,5
Áp dụng định lí Pitago trong các tam giác SHC và SHK ta có 0,5
2 2 2 2
;
2 4
a a
SH SC HC HK SH SK= − = = − =
VIIa
1điểm
Xét
1x ≠ −
ta có
10
11

 
     
+ − +
= − ⇒ = − −
 
 ÷  ÷  ÷
+ −
 
     
 
0,5
VIb
2điểm
1. (1 điểm)
Do
2
M d∈
nên
( )
3 2 ;M t t−
và đường tròn (C) có tâm
( )
4;3 , 8I R =
. Áp dụng định lí Pitago
trong tam giác MAI ta có:
2 2 2 2
5 2 1MA MI R t t
= − = − +
. Do đó đường tròn tâm M, bán
kính MA có pt:

= ⇔ = = −
− +
. Do đó
( )
723 237
1;1 ; ;
83 83
M M
 
−
 ÷
 
0,5
2. (1 điểm)
Gọi I là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC). Từ giả thiết ta chỉ ra được I là tâm đường tròn
nội tiếp tam giác ABC nên 0,5
0
3 .4
tan 60 3
3 4 5
S a a
r a SI r a
p a a a
= = = ⇒ = =
+ +
0,5
VIIb
1điểm
Đặt
( )