I. Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Trong chơng trình Toán lớp 11 có rất nhiều bài toán phơng trình, bất phơng trình chứa tham
số. Không những bài toán đợc đặt ra dới dạng giải và biện luận, mà còn rất nhiều dạng khác nữa,
chẳng hạn nh: tìm điều kiện tham số để phơng trình, bất phơng trình có nghiệm thỏa mãn điều
kiện cho trớc; tìm điều kiện để hai phơng trình tơng đơng với nhau; v.v
Thực tiễn s phạm cho thấy, khi đứng trớc những phơng trình và bất phơng trình chứa tham
số, học sinh thờng gặp rất nhiều khó khăn và lúng túng, đồng thời cũng nhiều khi mắc phải
những sai lầm. Rất nhiều giáo viên có kinh nghiệm đã đúc kết rằng: Những bài toán có tham số
luôn không dễ đối với học sinh và bản thân học sinh sau nhiều lần mắc phải sai lầm thì thờng có
tâm lý e ngại, thậm chí sợ sệt dạng Toán này. Giáo viên nhiều ngời có tâm lý lảng tránh phơng
trình và bất phơng trình chứa tham số trong quá trình dạy, bởi vì nó đòi hỏi những lập luận tơng
đối phức tạp đối với học sinh.
Dạy Toán là dạy kiến thức, kỹ năng, t duy và tính cách (Nguyễn Cảnh Toàn); trong đó dạy
kỹ năng có một vị trí đặc biệt quan trọng, bởi vì nếu không có kỹ năng thì sẽ không phát triển đ-
ợc t duy và cũng không đáp ứng đợc nhu cầu giải quyết vấn đề.
Kỹ năng giải quyết những vấn đề liên quan đến phơng trình và bất phơng trình có chứa
tham số là cực kì thiết thực đối với học sinh THPT. Nếu có kỹ năng này thì hiệu quả học tập môn
Toán sẽ đợc nâng cao; ngợc lại, nếu kỹ năng này bị hạn chế thì học sinh sẽ gặp phải rất nhiều khó
khăn trong việc chiếm lĩnh và kiến tạo tri thức Toán học.
Việc giải quyết những vấn đề liên quan đến phơng trình và bất phơng trình chứa tham số
chứa đựng nhiều tiềm năng phát triển các loại hình t duy toán học. Thông qua những bài toán đó,
học sinh có dịp rèn luyện nhiều hoạt động trí tuệ, ngợc lại bằng hoạt động trí tuệ, học sinh có khả
năng giải quyết những vấn đề này (Đó là hoạt động t duy hàm nhằm phát hiện và nghiên cứu
những sự tơng ứng; hoạt động ngôn ngữ - lôgic; hoạt động phân chia trờng hợp; hoạt động nhận
dạng và thể hiện; v.v ).
Một trong những đặc điểm của chơng trình toán THPT là: Đi sâu nghiên cứu những phơng
trình và bất phơng trình chứa tham số (Còn phơng trình và bất phơng trình không chứa tham số
thì đã bắt đầu đợc học từ bậc THCS). Phần phơng trình và bất phơng trình đợc lặp lại theo chiều
hớng nâng cao và đi sâu vào những vấn đề có chứa tham số. Đối với học sinh khá, giỏi thì các

5. Giả thuyết khoa học
Nếu đề xuất và thực hiện những biện pháp, những hớng dẫn s phạm thích hợp thì sẽ rèn
luyện đợc cho học sinh THPT kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến phơng trình và bất ph-
ơng trình chứa tham số, góp phần nâng cao hiệu quả dạy học Toán ở lớp 11 trờng phổ thông.
II. Nội dung
- 2

rèn luyện kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến
phơng trình , bất phơng trình
mũ logarit có chứa tham số
1 Biện pháp 1: Giúp học sinh hiểu đúng bản chất, vai trò của tham số trong bài toán
Con ngời không thể suy nghĩ khi cha hiểu đầy đủ, chính xác vấn đề đặt ra. Do vậy, khi
gặp bài toán về phơng trình, bất phơng trình có chứa tham số, học sinh không thể tiến hành hoạt
động tìm tòi lời giải một khi họ cha hiểu đúng về tham số. Rất nhiều học sinh e ngại khi tiếp
xúc với bài toán có chứa tham số, trong số đó không ít học sinh không hiểu đợc bản chất, vai trò
của tham số trong bài toán.
Để giúp học sinh có cái nhìn toàn diện hơn về tham số, trong quá trình giảng dạy
thông qua hoạt động giáo viên cần làm sáng tỏ các vấn đề sau:
1.1. Tham số là gì?
a) Học sinh đã đợc làm quen với thuật ngữ ẩn số ở bậc THCS, còn thuật ngữ tham số ở
đầu cấp THPT mới giới thiệu sẽ không tránh khỏi việc học sinh thấy bỡ ngỡ, khó hiểu khi tiếp
xúc với thuật ngữ này. SGK Đại số 10, Nâng cao, đa ra lời giới thiệu về tham số: Những phơng
trình, trong đó ngoài các ẩn còn có những chữ khác. Các chữ này đợc xem là những số đã biết
gọi là tham số. Với tầm nhận thức của học sinh không tránh khỏi việc họ cảm thấy băn khoăn
khi thấy tham số là một chữ mà chữ lại đợc xem nh số đã biết. Tại sao chữ mà lại xem nh số đã
biết? Số đã biết là những số nào?
Để học sinh hiểu đúng đắn, chính xác thuật ngữ tham số giáo viên cần đa ra hoạt động cụ
thể, nhằm hình thành khái niệm. Chẳng hạn, có thể đa ra một trong những hoạt động sau:
Hoạt động 1a: Một ngời đi xe đạp với vận tốc 10km/h, tính quãng đờng đi đợc trong khoảng
thời gian 30 phút, 60 phút, 90 phút?

H: Các phơng trình trên có điểm nào chung? (đều là phơng trình logarit cùng cơ số 2)
H: Hệ số nào của các phơng trình trên là giống nhau?
H: Đa ra phơng trình tổng quát của phơng trình trên?
Học sinh đa ra phơng trình: log
a
(f(x)) + 1 = 0, ở các phơng trình trên a nhận giá trị: 2, 1.2,
4,
H: Cho vài ví dụ về phơng trình dạng trên? khi đó a nhận giá trị nào?
Vậy a có thể nhận vô số giá trị thuộc tập hợp số thực và khi nghiên cứu phơng trình:
log
a
(f(x)) + 1 = 0.
Ta nói đây là phơng trình ẩn x với tham số a
- 3

H: Nêu kết luận về tham số?
b) Cần nói rõ cho học sinh thấy tham số thờng đợc ký hiệu bằng các chữ cái: k, a, m, , nh -
ng tuyệt đối không đợc giống với ký hiệu ẩn của phơng trình, bất phơng trình. Khi học sinh mới
tiếp xúc với bài toán có chứa tham số, giáo viên cần có câu hỏi nhằm giúp học sinh ghi nhớ và
phân biệt ba thuật ngữ: ẩn số, tham số và nghiệm của phơng trình.
Ví dụ 1: Tìm tất cả giá trị x, thỏa mãn x > 1, nghiệm đúng bất phơng trình:
2
2(x x)
m
log (x m 1) 1
+
+ <
với mọi giá trị của m: 0 < m

4.

(1) x + m - 1 <
2
2(x 1)
m
+
mx + m
2
m <
2
2(x x)+
(2)
Bài toán yêu cầu tìm x để bất phơng trình thỏa mãn với mọi m thỏa mãn: 0 < m

4.
Nên ta xem xét bất phơng trình (2) là bất phơng trình bậc 2 ẩn số m và khi đó x thành tham số.
Nh vậy, tùy vào yêu cầu bài toán mà vai trò của ẩn số và tham số có thể đánh tráo, tuy nhiên về
cơ bản thì ta vẫn phải hiểu x là ẩn số, m là tham số.
(2) m
2
+ (x 1)m 2(x
2
+ x) < 0
(m + 2x)(m x 1) < 0
Do xét x > 1 nên ta có nghiệm bất phơng trình trên là:
-2x < m < x + 1
Để bất phơng trình luôn thỏa mãn khi: 0 < m

4 thì:
- 2x 0 < m 4 < x +1
x > 3.

3
- 8x + 4 = (x
2
+ 2x - 2)
2
Nên bằng phơng pháp tính nghiệm ta phân tích đợc:
(3) (m + x
2
- 1)(m - 2x + 1) = 0
Đến đây bài toán không còn khó khăn phức tạp nữa, bởi điều kiện để phơng trình có
nghiệm trở thành (m + x
2
- 1) = 0 có nghiệm hoặc (m - 2x + 1) = 0 có nghiệm.
Giáo viên cần tận dụng tốt cơ hội trong dạy học Toán để giúp học sinh bản chất, hiểu đúng
và đầy đủ về tham số. Thứ nhất, khi dạy bài toán về phơng trình có chứa tham số có thể yêu cầu
học sinh giải bài toán với những giá trị cụ thể hoặc yêu cầu học sinh cho một ví dụ cụ thể của
tham số và với giá trị đó phơng trình sẽ trở thành thế nào? Khi học sinh thực hiện đợc điều này
giáo viên cần chỉ rõ đây là những trờng hợp cụ thể của tham số, ngoài ra tham số còn có thể có
rất nhiều giá trị thuộc miền xác định của nó.
Hoạt động 2: Cho bất phơng trình:
log
3
x.log
2
x + 2m > log
2
x
m
+ log
3

Ví dụ 2: Giải và biện luận phơng trình:

2
x
1
( ) m 1
2
= +
Tiến hành giải bài toán ta thu đợc kết luận:
+) Với m = 0 thì phơng trình có nghiệm với mọi x thỏa mãn: x = 0.
+) Với m < 0 thì phơng trình vô nghiệm.
+) Với m > 0 phơng trình có 2 nghiệm x =
2
log (m 1) +
.
- 5

Để giúp học sinh hiểu hơn về sự tác động của tham số đối với bài toán, thì thông qua Ví dụ
2, giáo viên có thể đa ra câu hỏi:
H: Tìm m để phơng trình có nghiệm?
H: Tìm m để phơng trình có 1 nghiệm
H: Chỉ ra giá trị tham số để phơng trình vô nghiệm?
Sau đó, giáo viên cần phân tích để học sinh thấy rõ đợc sự tác động của tham số đối với ph-
ơng trình. Rõ ràng với m = 0 thì phơng trình có 1 nghiệm x = 0, nhng với m < 0 thì phơng trình
lại vô nghiệm và với m >0 thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
x =
2
log (m 1) +
.
Khi học sinh ý thức đợc sự tác động của tham số thì họ mới khỏi bỡ ngỡ khi tiếp xúc với

là với giá trị của x, xác định miền giá trị của t. Để giúp học sinh hiểu việc tìm điều kiện ẩn số
phụ, giáo viên có thể đa ra ví dụ đơn giản, chẳng hạn: Tìm miền giá trị của ẩn phụ: t = x
2
; t =
x
; .
b) Giúp học sinh ý thức đợc việc tìm điều kiện cho ẩn phụ
Khi giải phơng trình, bất phơng trình không chứa tham số, học sinh tự nhận thấy việc đặt
điều kiện cho ẩn phụ thật không cần thiết lắm, bởi sau khi giải ra ẩn phụ rồi quay về tìm ẩn ban
đầu do đó điều kiện chỉ là bớc đệm giúp loại ẩn phụ không thỏa mãn mà thôi. Học sinh thấy việc
đặt điều kiện có thể bỏ qua, hoặc có thể đặt thừa điều kiện cho ẩn phụ, chẳng hạn:
Ví dụ 10: Giải và biện luận phơng trình:
2 2 2
x x x 3
(3 5) m(3 5) 2
+
+ + =
- 6


2 2
x x
3 5 3 5
( ) m( ) 8
2 2
+
+ =
Đặt ẩn phụ: u =
2
x

2
u 4 16 m
u 4 16 m
= +
=
Nếu 7 < m < 16 thì cả hai nghiệm đều thoả mãn nên nghiệm của phơng trình là

1;2
3 5
2
3;4
3 5
2
x log (4 16 m)
x log (4 16 m)
+
+
= +
=
Nếu m < 7 thì chỉ có nghiệm là
1
u 4 16 m= +

Vậy phơng trình có 2 nghiệm là
1;2
3 5
2
x log (4 16 m)
+
= +

. Đợc:
u
2
8u + m = 0 (2)
Đến đây giáo viên đa ra các lời giải tơng ứng với các cách đặt điều kiện, yêu cầu học sinh
tìm ra lời giải đúng.
Lời giải 1: (Không đặt điều kiện tham số)
Phơng trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phơng trình (2) có nghiệm:

' 16 m 0 m 16 =
.
Lời giải 2: u =
2
x
(3 5)+
, điều kiện: u 1.
Phơng trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phơng trình (2) có nghiệm thỏa mãn u 1.
Để tìm tham số m sao cho phơng trình (2) có
nghiệm thỏa mãn u 1, ta dùng phơng pháp đồ thị:
Đồ thị (C
1
): y = u
2
8u
Đồ thị (C
2
): y = - m
Khi đó nghiệm của phơng trình (2) chính là
giao điểm của 2 đồ thị (C
1

phụ thì có thể với mọi giá trị của t đều dẫn đến sự tồn tại của x, chẳng hạn nh phép đặt ẩn phụ:
+) t = 2
1/x
; t = (1/2)
1/x
;
+) t = log
a
x;
Tuy nhiên, cần lu ý học sinh bởi điều này không phải bao giờ cũng đúng, chẳng hạn phép
đặt ẩn phụ: t =
+
2
x
2 1
. Học sinh sẽ đễ dàng nhận thấy điều kiện của t là: t > 1, do đó với
- 8
x
y
8
-16
0
2
4

những giá trị 1<t <
2
thì sẽ không tồn tại giá trị x tơng ứng. Tuy nhiên, kết luận trên vẫn cha
đầy đủ, bởi nó cha xác định hết những giá trị của t để không tồn tại x tơng ứng. Cần nhắc nhở học
sinh biết xem xét biểu thức trong dấu căn, chứ không nên suy luận đơn giản là: t =

f (x)
2 t
;
=
a
log f(x) t
;
Với những phép đặt ẩn phụ trên ta cha đợc khẳng định với t 0 thì sẽ tồn tại x, điều này rất
có thể dẫn đến sai lầm. Để tìm miền xác định của t cần phải xem xét đến miền xác định của f(x).
Tiếp đến, học sinh cần nhận thấy trong các giá trị của t dẫn tới tồn tại x trong biểu thức t =
(x), thì ứng với một giá trị t cụ thể bất kỳ nào đó có bao nhiêu giá trị x. Sự t ơng ứng giữa t và x
là rất quan trọng trong những bài toán yêu cầu tìm giá trị tham số để phơng trình có số nghiệm
xác định. Với phép đặt ẩn phụ t = (x), nếu là hàm đơn điệu thì trong miền giá trị của t sự tơng
ứng sẽ là 1 1.
Chẳng hạn, phép đặt ẩn phụ:
t =
+
2
x 1
2
x
2
+ 1 = log
2
t
0
x
2
= log
2

giáo viên cha hoàn thành đợc nhiệm vụ khắc sâu mối tơng quan giữa ẩn phụ và ẩn ban đầu. Để
giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn sự tơng quan giữa ẩn phụ và ẩn ban đầu, giáo viên có thể thay đổi
yêu cầu bài toán, rồi yêu cầu học sinh hoạt động suy luận để giải quyết. Giáo viên có thể đa ra
hoạt động sau:
Với sự suy xét và lập luận trên nếu giáo viên có sự hỗ trợ đúng mực làm sao cho học sinh là
chủ thể hoạt động thì chắc chắn học sinh sẽ nắm bắt, hiểu rõ hơn mối tơng quan giữa ẩn phụ và
ẩn ban đầu. Từ đó hình thành kĩ năng giải các bài toán về phơng trình, bất phơng trình có chứa
tham số bằng phơng pháp đặt ẩn số phụ.
2.3. Rèn luyện cho học sinh khả năng chuyển đổi ngôn ngữ, cách phát biểu bài toán
- 9

Ngôn ngữ toán học là ngôn ngữ khoa học đòi hỏi sự ngắn gọn, chính xác và dễ hiểu.
Học sinh vẫn thờng yếu kém trong việc diễn đạt ngôn ngữ toán học, nên việc rèn luyện cho học
sinh khả năng chuyển đổi ngôn ngữ, cách phát biểu bài toán là hết sức quan trọng.
Khi tiến hành chuyển đổi ngôn ngữ bài toán thì yêu cầu lập luận phải có căn cứ đồng
thời đảm bảo tính chặt chẽ, chính xác. Giải phơng trình, bất phơng trình có chứa tham số bằng
phơng pháp đặt ẩn số phụ thì việc chuyển đổi yêu cầu bài toán sang yêu cầu đối với ẩn phụ là
không thể tránh khỏi. Để rèn luyện kỹ năng chuyển đổi ngôn ngữ cho học sinh, giáo viên cần tiến
hành phân tích, mổ xẻ vấn đề trớc khi đa ra lập luận chuyển đổi.
Ví dụ 12: Cho phơng trình:

+ + =
tgx tgx
(3 2 2) (3 2 2) m
Tìm m để phơng trình có đúng 2 nghiệm thuộc khoảng (- /2; /2)
Để giải phơng trình ta dùng phơng pháp đặt ẩn số phụ:
t =
+
tgx
(3 2 2)

0
=
+
tgx
(3 2 2)
+) Sẽ vô nghiệm x nếu t
0
0.
+) Sẽ có đúng 1 nghiệm x nếu t
0
> 0.
H: Với mỗi nghiệm t
0
> 0 của phơng trình (2) thì sẽ có bao nhiêu nghiệm x tơng ứng?
t
0
=
+
tgx
(3 2 2)

+
= =
0
3 2 2
tgx log t tg
x = + k (k
Â
)
Vậy sẽ có vô số nghiệm x.

, t
2
thỏa mãn: 0 < t
1
< t
2
.
- 10

Nh vậy để phát biểu đợc yêu cầu chuyển đổi bài toán thì một yêu cầu hết sức quan trọng là:
học sinh phải ý thức đầy đủ đợc mối tơng quan giữa ẩn ban đầu và ẩn phụ. ở Ví dụ 12, ta thấy sự
tơng tơng ứng là 1- 1 nên sự chuyển đổi bài toán là khá dễ dàng, tất nhiên có nhiều bài toán có sự
tơng ứng phức tạp thì đòi hỏi khả năng lập luận, suy luận lôgic nhiều hơn. Cũng là Ví dụ 12 nếu
thay yêu cầu bài toán thành: tìm m để phơng trình vô nghiệm, thì phơng pháp lập luận của học
sinh cần có sự thay đổi. Phơng trình (1) vô nghiệm trớc hết là khi (2) không tồn tại t và nếu có
tồn tại t thì các nghiệm t đó đều phải âm. Lập luận chuyển đổi yêu cầu bài toán là rất quan trọng
nó quyết định đến sự đúng sai của lời giải và nói chung nhiều khi việc chuyển đổi yêu cầu là khá
phức tạp bởi nó có nhiều khả năng. Giáo viên cần giáo dục cho học sinh thói quen xem xét kĩ l-
ỡng, cẩn thận trớc khi đa ra phát biểu chuyển đổi yêu cầu bài toán.
3. Biện pháp 3: Trang bị kiến thức về các phép biến đổi tơng đơng cho học
sinh, giúp học sinh ý thức đợc diễn biến của tập nghiệm trong quá trình biến đổi
3.1. Giúp học sinh hiểu và sử dụng đúng các phép biến đổi cơ bản thờng dùng trong dạy
học phơng trình, bất phơng trình
Hai phơng trình (cùng ẩn) đợc gọi là tơng đơng nếu chúng có cùng tập nghiệm. Trong thực
tế khi giải phơng trình, bất phơng trình ta gặp khái niệm hai phơng trình tơng đơng trên D, điều
này đồng nghĩa với việc nghiệm của phơng trình chỉ xét trên D mà thôi. Chẳng hạn, hai phơng
trình: x
2
= 4 và x = 2 là tơng đơng với nhau trên miền D = [0; +).
Để xác định xem 2 phơng trình có tơng đơng với nhau hay không ta cần dựa vào định nghĩa

x 1 x 1
+ = +

là không tơng đơng với nhau. Có thể nói rằng, nếu ta thay thế
điều kiện h(x) xác định trên D bởi h(x) xác định tại mọi nghiệm của phơng trình f(x) = g(x) thì
khi đó Định lý 1 trong SGK Đại số 10, Nâng cao, sẽ biến thành mệnh đề tơng đơng. Tuy nhiên,
mệnh đề này không có ứng dụng trong thực tế, bởi chúng ta cha thể xác định đợc các giá trị
nghiệm của phơng trình f(x) = g(x), để có thể kiểm tra h(x) có xác định với các giá trị nghiệm đó
hay không.
Ngoài phép biến đổi tơng đơng SGK Đại số 10, Nâng cao, còn đa ra khái niệm phơng trình
hệ quả và đa ra định lý về phép biến đổi bình phơng hai vế của phơng trình nh sau:f
1
(x) = g
1
(x)
gọi là phơng trình hệ quả của phơng trình f(x) = g(x) nếu nghiệm của nó chứa tập nghiệm của
phơng trình f(x) = g(x) v Khi bình phơng hai vế của một phơng trình, ta đợc phơng trình hệ
quả của phơng trình đã cho: f(x) = g(x)

[f(x)]
2
= [g(x)]
2
.
Đối với bài toán về phơng trình, bất phơng trình có chứa tham số rất hiếm khi sử dụng phép
biến đổi phơng trình hệ quả. Nên cần lu ý học sinh điều kiện có thể thực hiện phép bình phơng
hai vế, để thu đợc phơng trình tơng đơng.
- 11

Trong phép biến đổi nhằm giải phơng trình, có những phép biến đổi dẫn tới phơng trình hệ

A. B
, tuy nhiên nếu
thay nh vậy thì tập xác định của bài toán sẽ bị thu hẹp và có thể sẽ làm mất nghiệm.
A.B
xác
định khi A.B > 0 tức là A > 0; B > 0 hoặc A < 0; B < 0 còn nếu thay thế
A.B
bởi
A. B
thì
khi đó tập xác định sẽ là A > 0; B > 0, vô tình làm mất đi trờng hợp A < 0; B < 0.
- 14
Đồng nhất thức
2
( A) A=
A. B A.B=
A A
B
B
=
2
A. B A B=
2
A. B A B=
A
B. AB
B
=
A
B. AB

f(x)
log log [-f(x)] log [-g(x)]
g(x)
log
a
f
2k
(x) = 2k log
a
[-f(x)]
Điều kiện
A 0
A 0 và B 0
A 0 và B > 0

A 0 và B 0

A 0 và B 0
A 0 và B > 0
A 0 và B > 0
f(x) > 0 và g(x) > 0
f(x) > 0 và g(x) > 0
f(x) > 0
f(x) < 0 và g(x) < 0
f(x) < 0 và g(x) < 0
f(x) < 0

Ví dụ 16: Giải và biện luận phơng trình:



(3 - x) = m.
H: Có thể biến đổi để làm phơng trình đơn giản hơn đợc không?
Có sự giống nhau log
2
(x 3) và log
2
(3 - x) thử biến đổi xem chúng có triệt tiêu không:
- log
2
(x - 3) = - [log
2
(-1).(3 - x)]
Mâu thuẫn
H: Đúng rồi! Hãy xem xét lại sự tồn tại log
2
(x 3) và log
2
(3 - x)?
Để xác định thì:
>


<

x 3 0
3 x 0
Không tồn tại giá trị x.
H: Nh vậy phép biến đổi đã làm thay đổi điều kiện xác định phơng trình thay đổi! Hãy xem xét
lại phép biến đổi?


(5 x) = m
5 x = 2
m
x = 5 2
m
H: Đây có phải là nghiện của phơng trình hay không?
Cha, bởi nghiệm của phơng trình còn phải thỏa mãn điều kiện: x < 3.
H: Hãy biện luận theo m nghiệm của phơng trình?
x = 5 2
m
< 3 2
m
> 2 m > 1 .
Kết luận:
+) Với m > 1 thì phơng trình có nghiệm là: x = 5 2
m
.
+) Với m 1 thì phơng trình đã cho vô nghiệm.
Thông qua Ví dụ 16, giáo viên cần giáo dục cho học sinh ý thức thận trọng, cẩn thận trong
phép biến đổi. Những sai lầm nh trên cũng là dễ hiểu bởi học sinh thờng vận dụng định lý, phép
biến đổi một cách máy móc mà không chú ý đến điều kiện để có thể thực hiện phép biến đổi ấy.
- 15

Ngoài các phép biến đổi đồng nhất thức nh trên, giáo viên cần hình thành kĩ năng giải ph-
ơng trình, bất phơng trình vô tỷ bằng biến đổi tơng đơng. Đối với các phép biến đổi tơng đơng để
giải các phơng trình, bất phơng trình vô tỷ cơ bản nh:
=f(x) g(x)
;
=f(x) g(x)
;

biến đổi mà thu đợc phơng trình hệ quả thì sau khi tìm ra nghiệm phơng trình cuối cùng thì cần
phải thử lại để loại các nghiệm ngoại lai.
4. Biện pháp 4: Hình thành khả năng nhận dạng, định hớng phơng pháp giải phơng
trình và bất phơng trình có chứa tham số
Trong quá trình giải toán thì khả năng nhận dạng, định hớng phơng pháp giải là điều hết sức
quan trọng. Đây chính là khâu đầu tiên của quá trình t duy tìm lời giải bài toán, nếu bế tắc ở giai
đoạn này thì chắc chắn sẽ không có lời giải đa ra (kể cả là lời giải sai lầm), hay có thể nói học
sinh đã đầu hàng. Tất nhiên, không thể đa ra sự định hớng cho lời giải của mọi bài toán nhng
có thể rèn luyện khả năng này thông qua quá trình tìm tòi, phát hiện lời giải bài toán. Bài tập toán
vô cùng đa dang, phong phú, mỗi bài đều có bản sắc riêng, nhng đối với một dạng toán nào đó thì
phơng pháp giải là không nhiều và có thể kể tên các phơng pháp đó. Đối với dạng toán phơng
trình và bất phơng trình có chứa tham số ở trờng THPT, có thể kể tên một số phơng pháp thờng
dùng để giải nh sau:
+) Phơng pháp biến đổi tơng đơng.
+) Phơng pháp đặt ẩn số phụ.
+) Phơng pháp hàm số.
+) Phơng pháp lợng giác hóa.
+) Phơng pháp đồ thị.
+) Phơng pháp sử dụng điều kiện cần và đủ.
- 16

Phơng pháp giải tuy không nhiều, nhng khi đứng trớc một bài toán để định hớng đợc phơng
pháp giải là điều không đơn giản, bởi phơng pháp giải luôn đợc che giấu bởi những con số, công
thức và những mối liên hệ đợc giấu đi. Trong khi tìm lời giải thì việc định hớng phơng pháp giải
cần phải tự nhiên, hợp lôgic, tránh việc truyền thụ áp đặt, nhồi nhét.
5.1. Giúp học sinh có cái nhìn tổng quan về các phơng pháp
Khi tiếp xúc với một chủ đề toán học, thì việc hình thành cái nhìn tổng quan về nội dung
đó là hết sức quan trọng. Chỉ khi có tổng quan về các phơng pháp, học sinh mới đỡ bỡ ngỡ và có
khả năng ứng phó khi đứng trớc những bài toán khác nhau. Trong t duy con ngời, thì khả năng
bắt chớc cũng là quan trọng, tất nhiên không phải là bắt chớc theo dạng photocopy, mà chỉ bắt

trình thỏa mãn tính chất nào đó, dựa vào tính chất này suy ra các giá trị của tham số.
Điều kiện đủ: Kiểm tra các giá trị của tham số tìm đợc trong điều kiện cần có thỏa mãn yêu
cầu phơng trình có nghiệm duy nhất hay không.
Cơ sở suy luận lôgic của phơng pháp này là: A B và kiểm tra xem B A có đúng
hay không?
H: Giả sử phơng trình (1) có nghiệm là x
0
, từ nghiệm x
0
này liệu có thể suy ra một nghiệm khác
nữa hay không?
.
H: Hãy suy nghĩ bài toán đơn giản hơn: Giả sử x
0
là nghiệm của phơng trình: x
2
m = 0, hãy
chỉ ra một nghiệm khác x
0
của phơng trình ?!
- x
0
cũng là một nghiệm của phơng trình trên bởi (- x
0
)
2
m = x
0
2
m = 0

0
= x, nên nghiệm x vẫn trùng x
0
+) Từ (3) suy ra:
= +


+ =

0
0
4 x x' 5
x 5 4 x'

=


=

0
0
x' 1 x
x' 1 x

( với x
0
là nghiệm nên: - 5 x
0
4)
x = - 1 x

0
= - 1/2 nên ta có :
+ + + =
3 2
1 1
log ( 4 5) a
2 2
a = 1
H: Nêu kết luận về điều kiện cần của tham số để phơng trình có nghiệm duy nhất?
a = 1 là điều kiện cần để phơng trình có nghiệm duy nhất.
H: Bớc tiếp theo ta cần làm gì?
Sang điều kiện đủ: Tức là đi kiểm tra xem với a = 1 thì phơng trình có đúng là có nghiệm
duy nhất hay không! (tới đây học sinh dễ dàng giải phơng trình:
+ + =
3 2
log ( 4 x x 5) 1
,
tìm ra nghiệm duy nhất là: x = - 1/2)
H: Nêu kết luận bài toán?
Vậy với a = 1 thì phơng trình có nghiệm duy nhất.
Sau khi hoàn thành Ví dụ này, giáo viên cần khẳng định hiệu quả của phơng pháp khi giải
bài toán tìm điều kiện để phơng trình, bất phơng trình có nghiệm duy nhất. Cụ thể với bài toán
trong Ví dụ 18, nếu giải bằng phơng pháp khác là rất khó khăn trong khi nếu giải bằng phơng
pháp sử dụng phơng pháp điều kiện cần và đủ sẽ rất thuận lợi, dễ dàng.
5.2. Rèn luyện cho học sinh khả năng phân tích bài toán để từ đó định hình phơng
pháp giải
Bài giảng của giáo viên nếu chỉ dừng lại ở việc đa ra lời giải, thì giáo viên ấy chỉ làm đợc
việc là tái hiện những gì viết trong sách vở. Nhiệm vụ của ngời giáo viên cần làm là thông qua
hoạt động toán học nhằm rèn luyện khả năng t duy cho học sinh, để từ đó giúp học sinh có khả
năng thích ứng khi đứng trớc một vấn đề cần giải quyết. Giáo viên cần làm sao cho lời giải bài

3.2.1. Tổ chức thực nghiệm
Thực nghiệm s phạm đợc tiến hành tại trờng THPT bán công số I Hà trung
Thanh hoá
+) Lớp thực nghiệm : 11B1
+) Lớp đối chứng : 11B10
3.2.2. Nội dung thực nghiệm
Thực nghiệm đợc tiến hành trong bài Phơng trình và bất phơng trình bậc hai (từ
tiết 86 và tiết 87). Sau khi dạy thực nghiệm, chúng tôi cho học sinh làm bài kiểm
tra. Sau đây là nội dung đề kiểm tra:
Đề kiểm tra (thời gian 90 phút)
Câu I: Giải và biện luận theo tham số bất phơng trình
log
3
x + log
x
3 +2cos 0
( Đề 109 câu I
2
- Đề thi tuyển sinh )
Câu II: Với giá trị nào của m thì phơng trình
1
1
3 2
2
x
m

=
có nghiệm duy nhất ?
( Đề 49 Câu III

-) ở lớp thực nghiệm : tỉ lệ học sinh có điểm TB và dới TB thấp hơn ở lớp đối chứng
,tỉ lệ khá và giỏi cao hơn .
-) ở lớp đối chứng : Tỉ lệ học sinh có điểm TB và dới TB cao hơn ở lớp thực
nghiệm, tỉ lệ có điểm khá giỏi thấp hơn
Điều đó cho thấy học sinh ở lớp thực nghiệm lĩnh hội , tiếp thu và vận dụng kiến
thức tốt hơn. Khả năng nhìn nhận và giải quyết bài toán chứa tham số tốt hơn so
với đối chứng
- 21

IV.Kết luận
Sáng kiến kinh nghiệm đã thu đợc một số kết quả sau đây:
1. Đã hệ thống hóa, phân tích, diễn giải đợc khái niệm kĩ năng và sự hình
thành kĩ năng.
2. Thống kê đợc một số dạng toán điển hình liên quan đến phơng trình và bất
phơng trình mũ logarit có chứa tham số.
3. Chỉ ra một số sai lầm thờng gặp của học sinh trong quá trình giải quyết các
vấn đề liên quan đến phơng trình và bất phơng trình mũ logarit có chứa tham
số.
4. Xây dựng một số biện pháp s phạm để rèn luyện kĩ năng giải quyết các vấn
đề liên quan đến phơng trình và bất phơng trình mũ logarit có chứa tham số.
5. Thiết kế các thức dạy học một số ví dụ, hoạt động theo hớng dạy học tích
cực.
6. Đã tổ chức thực nghiệm s phạm để minh học tính khả thi và hiệu quả của
những biện pháp s phạm đợc đề xuất.
Nh vậy có thể khẳng định rằng: mục đích nghiên cứu đã đợc thực hiện, nhiệm
vụ nghiên cứu đã đợc hoàn thành và giả thuyết khoa học là chấp nhận đợc.
H trung 20/04/ 2007
ngi thc hin
nguyn vn trung
- 22