SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT ĐÀO DUY TỪ
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
“GIẢI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC
KHÔNG GIAN”
Tác giả: Nguyễn Thị Thu Hiền
Chức vụ: Giáo viênThanh Hóa , Tháng 6/2011
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 11
I. LỜI MỞ ĐẦU:
Qua quá trình dạy hình học không gian 11 và luyện thi Đại học. Tôi nhận thấy
rằng, đa số các em học sinh còn “chưa thạo” trong viêc giải các bài toán về tính
khoảng cách trong hình học không gian. Nguyên nhân cơ bản là do học sinh chưa
phân biệt rõ ràng dạng bài tập để lựa chọn công cụ, phương pháp giải cho phù hợp.
Để góp phần nhỏ của mình vào việc hệ thống lại các phương pháp giải toán, tạo sự
thích thú cho các em học sinh. Giúp các em “không còn ngán ngại” khi gặp bài toán
tính khoảng cách. Tôi xin được phép trình bày hai dạng toán tính khoảng cách
thường gặp trong hình học không gian đó là : khoảng cách từ một điểm đến một mặt
phẳng và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
II. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
Bài toán 1: Trong không gian cho điểm M không thuộc mặt phẳng
( )
α
tính
khoảng cách
( )
d M;( )
α
từ M đến mặt phẳng




⊥
⊥

⇒
CD
⊥
mp(SAC)
Kẻ AH
⊥
SC tại H ta có AH
⊥
CD
Nên AH
⊥
mp(SCD). Vậy AH=
( )
d A;(SCD)
Xét tam giác SAC vuông tại A có AH là đường cao
Do đó
2 2 2
2 2
1 1 1 1 1
AH SA AC
(a 6) (a 3)
= + = +
2
1

với SA=
a 6
. Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC).
Nguyễn Thị Thu Hiền – Trường THPT Đào Duy Từ
2
H
S
DA
B C
E
F
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 11
Nhận xét: Ở ví dụ này ta chưa thể tìm ngay được chân đường vuông góc hạ từ A
đến mp(SBC) mà ta phải làm theo hướng 1.
Giải:
Qua A kẻ AE
⊥
BC
⇒
(SAE)
⊥
BC

⇒
(SAE)
⊥
(SBC) mà (SAE)
∩
(SBC)=AE
Qua A kẻ AF

6a a 6
AF AF
9 3
⇒ = ⇒ =
Vậy
( )
d A;(SBC)
=
a 6
3
Hướng 2: Nếu có 3 điểm A, B, C thuộc mp
( )
α
không thẳng hàng sao cho
MA= MB= MC hoặc MA, MB, MC cùng tạo với đáy một góc bằng nhau thì chân
đường vuông góc H hạ từ M xuống mp
( )
α
là tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác
ABC.
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân AB= AC, cạnh BC= a,
BAC
α
∠ =
. Các cạnh bên SA, SB, SC cùng hợp với đáy góc
ϕ
. Tính thể tích khối
chóp S.ABC
Giải:
Gọi O là hình chiếu của S trên đáy ABC, OA, OB, OC

ABC
1 1 a a
S BC.AI a. cot cot
2 2 2 2 4 2
α α
= = =
Ta có
BC a
2R R
sin A 2sin
α
= ⇔ =
.
Do đó
a tan
SO OA.tan
2sin
ϕ
ϕ
α
= =
2 3
SABC ABC
2
1 1 a a tan a tan
V S .SO . .cot .
3 3 4 2 2sin 48sin
α ϕ ϕ
α α
= = =

⇒
OH=OI=OK => O cách đều ba cạnh của
ABC
∆

tại O ở trong miền trong
ABC∆
, nên O là biên
đường tròn nội tiếp tam giác, bán kính OH=OI=OK
ABC
1
S p.r AB.AC
2
= =
với 2p=AB+CA+BC
AB a cos , CA asin , BC a
α α
= = =
2
AB.AC a sin cos
r
AB BC CA a(1 sin cos )
α α
α α
= =
+ + + +
Tam giác vuông SOH cho ta
SO OH tan r tan
β β
= =

Giải:
Gọi H là hình chiếu của S trên đáy và I, K, J
tương ứng là hình chiếu của H trên AD, DC, CB
Nguyễn Thị Thu Hiền – Trường THPT Đào Duy Từ
4
I
C
A
B
H
K
O
S
S
C
K
D
B
A
I
H
60
0
J
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 11
Khi đó góc tạo bởi các mặt bên (SAD), (SDC), (SCB) với đáy tương ứng là
SIH, SKH,∠ ∠
SJH∠
và
0

2
+
= =
.
Vậy
3
S.ABCD ABCD
1
V SH.S 3a
3
= =
(đvtt)
Phương pháp gián tiếp:
Hướng 1: Tìm đường thẳng
∆
qua M và
∆
cắt mp
( )
α

tại I trên
∆
chọn điểm A
( )
A I,A M≠ ≠
.
Lúc đó
( )
( )

. Gọi G là trọng tâm tam giác SAB. Tính khoảng
cách từ G đến mp(SAC).
Giải: Gọi O là tâm hình vuông ABCD.
Đường thẳng BG cắt mặt phẳng(SAC) tại F.
Khi đó
( )
( )
( )
( )
d G; SAC
FG 1
FB 3
d B; SAC
= =
Mà
OB SA
OB (SAC)
OB AC



⊥
⇒ ⊥
⊥
nên

( )
a 2
d B;(SAC) OB
2

.
Ví dụ 7: Trên mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng
'
Bx
và By lập với nhau một góc
45
0
. Trên đường vuông góc với (P) tại B lấy BA= a, kẻ Ax //
'
Bx
và lấy C thuộc Ax
sao cho AC= c. Gọi D là hình chiếu của C lên By. Tính khoảng cách từ B đến
mp(ACD).
Giải: Kẻ CE// AB,
dễ thấy ABEC là hình chữ nhật và CE
⊥
(P).
Từ đó ED
⊥
BD (định lí 3 đường vuông góc).
Kẻ DF
⊥
BE từ đó ta có tam giác DBE vuông
cân đỉnh D.
Mà BE= AC= c nên BD= DE=
c
2
còn DF=
c
2

2
2
c
a
2
+
nên K là trung điểm của
AC.
Từ đó DK=
2
2 2
2 2 2 2
c c c
AD AK a a
2 2 2
 
 ÷
 
− = + − = +
2
2 2 2
ADC
1 1 c 1
S AC.DK c. a c. 4a c
2 2 4 4
= = + = +
( )
2
2 2
ABCD

D
F
E
45
0
y
x’
x
K
a
c
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 11
Ví dụ 8: Cho hình lăng trụ đứng
1 1 1
ABC.A B C
có tất cả các cạnh đều bằng a. M là
trung điểm của đoạn AA
1
. Chứng minh BM
⊥
B
1
C và tính khoảng cách giữa hai
đường
thẳng BM và B
1
C.
Giải: Lăng trụ đứng
1 1 1
ABC.A B C

C CI C IC 90∠ +∠ =
(2)
Từ (1), (2) suy ra
0
1 1 1
MC A C IC 90∠ +∠ =
⇒
IC
⊥
MC
1
(**)
(*),(**)
⇒
1
MC
⊥
mp(B
1
IC)

⇒
1 1
1 1 1
1 1
MC B C
B C (MBC ) B C MB
BC B C



= a
2 2
1
1 a 2 5a 2a a 3
2,OB BC ,OM
2 2 4 4 2
= = = − =
h= OH=
a 3 a 2
.
OM.OB a 30
2 2
MB 10
a 5
2
= =
.
Hướng 2: Dựng mặt phẳng
( )
α
chứa a và mp
( )
α
// b
Khi đó
( ) ( ) ( )
d a;b d b;( ) d B;( )
α α
= =
với B là một điểm bất kì thuộc b

( )
d B;(AMN)
=BH với H là trực tâm
AMN∆
Nguyễn Thị Thu Hiền – Trường THPT Đào Duy Từ
7
M
C
1
B
O
H
B
C
C1
A
1
B
1
M
O
A
I
A
C
C
1
B
1
A

( )
β
chứa b và mp
( )
β
// a
Khi đó
( ) ( ) ( )
d a;b d ( );( ) d A;( )
α β β
= =
với A là một điểm bất kì thuộc
( )
α

Ví dụ 10: Cho hình lập phương
1 1 1 1
ABCD.A B C D
có cạnh a. Lấy M, N, P lần lượt là
trung điểm của AD, AB, B
1
C
1
. Tính khoảng cách giữa MN và BP.
Giải: Gọi E, F, Q, R, S, T, O lần lượt là trung điểm
CC
1
, DD
1
, PQ, C

1 .
Mà
1 1 1 1
A C B D⊥
nên
1 1 1
A E B D⊥

(định lí 3 đường vuông góc)
Hình chiếu của A
1
E lên
1 1
(AA D D)
là A
1
F mà
1 1
A F MD⊥
⇒
1 1
A E MD⊥
. Từ đó
1 1 1
A E (MNB D )⊥
.
Tương tự
1
A E (BPQD)⊥
.

trong sách giáo khoa, 19% học sinh giải quyết trọn vẹn các bài tập sách giáo khoa.
Riêng bản thân tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu sâu hơn nữa để có những định hướng tốt
hơn.
Tôi viết đề tài nhằm mục đích trao đổi với quý thầy cô dạy bộ môn Toán về
việc “hệ thống” các kiến thức một vài kĩ năng về tính khoảng cách. Vì kiến thức và
thời gian còn nhiều hạn chế chắc rằng tài liệu có thiếu sót, tôi chân thành nhận sự
góp ý của quý thầy cô. Xin chân thành cảm ơn.
Nguyễn Thị Thu Hiền – Trường THPT Đào Duy Từ
8
D
1
D
C
1
Q
E
O
A
1
B
1
M
P
T
SN
B
A
C
I
J