SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH 4

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KINH NGHIỆM DẠY HỌC CÁC BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG
CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN NHẰM NÂNG
CAO HIỆU QUẢ HỌC TẬP MÔN TOÁN CHO HỌC SINH
TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH 4

Người thực hiện: Đỗ Thị Diệp
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HOÁ, NĂM 2016


MỤC LỤC
1. PHẦN MỞ ĐẦU...............................................................................................1
2. NỘI DUNG.......................................................................................................2
2.1. Cơ sở lí luận....................................................................................................2
2.2 Thực trạng của vấn đề.....................................................................................3
2.3 giải pháp và tổ chức, thực hiện........................................................................5
2.3.1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.........................................5
2.3.2 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.............................................7
2.3.3 Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song:............13
2.3.4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:............................................14
2.3.5 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:..........................................15
2.4 Kết quả kiểm nghiệm.....................................................................................18
3. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT............................................................................19
3.1. Kết luận........................................................................................................19

trong hình học không gian nhằm nâng cao hiệu quả học tập môn toán cho
học sinh Trường THPT Thạch Thành 4” thông qua việc nghiên cứu tài liệu và
việc đúc rút từ những kiến thức, kinh nghiệm mà tôi có được trong quá trình dạy
học một cách có hệ thống để chia sẻ với bạn bè đồng nghiệp và quan trọng hơn
cả là làm tư liệu dạy học cho bản thân. Nhằm giúp HS có thể giải được các bài

Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành 4

1


Kinh nghiệm dạy học các bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian nhằm
nâng cao hiệu quả học tập môn toán cho học sinh Trường THPT Thạch Thành 4

toán về tính khoảng cách làm cho các em học tốt hơn, cảm thấy hứng thú và tự
tin hơn khi học về phần hình học không gian nói riêng và môn toán nói chung.
2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lí luận
Trong khi học môn toán, việc tìm ra quy luật phương pháp chung để giải
quyết một bài toán là việc vô cùng quan trọng vì nó giúp ta có định hướng để
tìm lời giải cho một lớp các bài toán tương tự nhau. Trong dạy học giáo viên có
vai trò cần thiết điều khiển cho HS thực hiện và luyện tập những hoạt động
tương thích với nội dung dạy học trong điều kiện được gợi động cơ, có hướng
đích, có kiến thức về phương pháp tiến hành và có trải nghiệm thành công. Do
vậy trang bị về phương pháp cho HS là một nhiệm vụ quan trọng của người giáo
viên. Thấy được điều đó nên khi dạy học đến phần tính khoảng cách tôi sẽ
hướng dẫn các em tìm ra phương pháp làm cho từng dạng bài tập, để rồi các em
sẽ vận dụng các phương pháp đó vào việc giải bài tập.
Khi làm SKKN về phần này tôi sử dụng kiến thức nền tảng là nội dung của
bài “ Khoảng Cách” trong SGK hình học 11 mà chủ yếu là các khái niệm.

phương pháp chung để giải các bài tập đó.
2.2 Thực trạng của vấn đề
Trường THPT Thạch Thành 4 là một trường thuộc huyện miền núi Thạch
Thành của tỉnh Thanh Hóa. Trường được thành lập năm 2007, là một ngôi
trường non trẻ, cơ sở vật chất còn nhiều thiếu thốn, nhưng mối quan tâm về chất
lượng học tập của học sinh luôn là một trong những ưu tiên hàng đầu của nhà
trường. Vùng tuyển sinh của trường gồm 7 xã của huyện Thạch Thành, trong đó
có 4 xã là các xã đặc biệt khó khăn. Do đó, điều kiện về kinh tế, cơ sở vật chất đi
lại còn gặp nhiều khó khăn, trình độ dân trí thấp, các bậc phụ huynh chưa thật sự
quan tâm đến việc học tập của con em mình, dẫn đến các em còn lười học, ngại
học, khi học còn học một cách đối phó, hời hợt… Những lí do này ảnh hưởng
không nhỏ đến chất lượng dạy và học của nhà trường. Mặt khác, bản thân môn
toán được đánh giá là môn học khó với học sinh nói chung, còn khó hơn đối với
Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành 4

3


Kinh nghiệm dạy học các bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian nhằm
nâng cao hiệu quả học tập môn toán cho học sinh Trường THPT Thạch Thành 4

học sinh miền núi, vùng sâu vùng xa nói riêng. Năm học 2015-2016 tôi được
phân công dạy 3 lớp 12A3, 12A4, 12A5 và có may mắn được theo sát các em từ
năm lớp 10 tôi nhận thấy cứ mỗi khi dạy đến phần hình học không gian là đa
phần các em HS đều cho đây là phần rất khó, không làm được bài tập, dẫn đến
các em có tư tưởng ngại học, chán học, một số HS còn bỏ, không học những
phần liên quan đến hình học không gian. Lên lớp 12 khi tiến hành ôn luyện để
chuẩn bị cho kì thi học kì và thi tốt nghiệp THPT Quốc gia sắp tới, tôi có dành
thời gian ôn tập cho các em về phần tính khoảng cách và tính thể tích thì thấy
rằng thực trạng học HS học phần này là đáng báo động, cũng như khi học ở lớp


0 (0 %)

10 (27 %)

5 (13,5 %)

26 (70,3 %)

1 (2,7 %)

8 (20,5 %)

5 (12,8 %)

30 (76,9 %)

1 (2,6 %)

Qua bảng trên có thể thấy số lượng HS làm đúng ý a) hay làm đúng cả 2 ý rất
thấp, còn lại là số HS làm sai chiếm tỉ lệ khá cao (69,2% - 76,9%). Trong quá
trình làm bài các em còn kém về phần vẽ hình và trình bày, không nhiều em làm
đúng ý a), còn ở ý b) thì các em lại lúng túng trong việc xác định đường vuông
góc chung của hai đường thẳng chéo nhau dẫn đến không giải được bài toán. Rõ
ràng chúng ta thấy thực trạng nhiều HS của chúng ta hiện nay đang xác định “bỏ
rơi” phần hình học không gian, số còn lại thì học cũng chưa thật sự tốt. Vậy nên,
Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành 4

4


d và SC . Ta có d(O, SC) = OI .
Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành 4

5


Kinh nghiệm dạy học các bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian nhằm
nâng cao hiệu quả học tập môn toán cho học sinh Trường THPT Thạch Thành 4

Bước 3: Tính độ dài đoạn OI :
Do ∆SAC vuông cân tại A ( SA = AC = 2a ) nên ∆OIC vuông cân tại I .
Vậy OI =

OC a 2
a 2
=
hay d ( O, SC ) =
.
2
2
2

b. Tính khoảng cách từ O tới đường thẳng SB .
Bước 1: Xác định mp (α ) đi qua O và vuông góc với SB :
- Trong mp ( ABCD ) kẻ OJ ⊥ AB . Vì SA ⊥ OJ nên OJ ⊥ ( SAB ) hay OJ ⊥ SB
- Trong mp (SAB) kẻ JH ⊥ SB . Khi đó ta có SB ⊥ ( OJH ) hay mp (OJH) là
mp (α ) cần xác định.
Bước 2: Xác định giao điểm của mp (α ) và cạnh SB : dễ thấy H = ( OJH ) ∩ SB
nên d ( O, SB ) = OH .
Bước 3: Tính độ dài đoạn OH :

2

a 30
.
4

Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O cạnh a.
Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a . Gọi I là trung điểm của
SC và M là trung điểm đoạn AB. Tính khoảng cách từ I đến đường thẳng CM.
Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành 4

6


Kinh nghiệm dạy học các bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian nhằm
nâng cao hiệu quả học tập môn toán cho học sinh Trường THPT Thạch Thành 4

Bài 2. Cho hai tia chéo nhau Ax và By hợp với nhau góc 600, nhận AB = a
làm đoạn vuông góc chung. Trên By lấy điểm C sao cho BC = a . Tính khoảng
cách từ C đến đường thẳng Ax .
2.3.2 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Quy trình: Quy trình tính khoảng cách từ một điểm A đến mp (α)
Bước 1: Xác định mp (β) đi qua A và vuông góc với mp (α ) .
Bước 2: Xác định đường thẳng AH kẻ từ A và vuông góc với giao tuyến ∆
của hai mặt phẳng (α) và (β) , H ∈ ∆ . Suy ra d(A, (a)) = AH .
Bước 3: Tính độ dài đoạn AH (dựa vào các hệ thức lượng trong tam giác…).
Ví dụ 1. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh là a . Tính khoảng
cách từ A đến mặt phẳng ( A’BD ) .
Giải:

2
2
AH
AO
AA '
a
a
a
Vậy d ( A, ( A’BD ) ) =

a 3
3

Ví dụ 2. Cho tứ diện D.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AC = 2a
. Mặt bên (DAC) là tam giác đều và vuông góc với mặt đáy (ABC) . Gọi O là
trung điểm cạnh AC .
a. Tính khoảng cách từ điểm D đến mp (ABC) .
b. Tính khoảng cách từ điểm O đến mp (DBC) .
Giải:
a. Tính khoảng cách từ điểm D đến mp (ABC) .
Bước 1: Xác định mặt phẳng đi qua D và vuông góc
với mp (ABC) là mp (DAC) .
Bước 2: Xác định đường thẳng DO kẻ từ D và vuông góc với giao tuyến AC
của hai mặt phẳng ( ABC ) và ( DAC ) , O ∈ AC . Suy ra d ( D, ( ABC ) ) = DO .
Bước 3: Tính độ dài đoạn DO : Vì ∆DAC đều cạnh 2a, đường cao DO nên

DO = a 3 . Vậy d ( D, ( ABC ) ) = a 3 .
b. Tính khoảng cách từ O đến mp ( DBC )
Bước 1: Xác định mặt phẳng đi qua O và vuông góc với mp ( DBC ) : là mp


a 21
.
7

Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho 2 mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau cắt nhau theo giao
tuyến ∆ . Lấy A, B thuộc ∆ , AB = a . Lấy C, D lần lượt thuộc mặt phẳng (P) và
(Q) sao cho AC, BD vuông góc với ∆ và AC = BD = a . Tính khoảng cách từ A
đến (BCD).
Bài 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 3a ,
BC = 4a , mặt phẳng (SBC) vuông góc với (ABC); SB = 2a 3 ,

.

Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) theo a.
Chú ý: Ta có thể sử dụng các cách khác để tính khoảng cách từ một điểm đến
một mặt phẳng như sau:
Cách 1. Sử dụng công thức thể tích
1
3V
Thể tích của khối chóp V = S.h ⇔ h =
. Theo cách này, để tính khoảng cách
3
S
từ đỉnh của hình chóp đến mặt đáy, ta đi tính V và S
Ví dụ 1: Ta có thể giải bài toán trong ví dụ 1 phần khoảng cách từ một điểm đến
một mặt phẳng dựa vào công thức thể tích như sau:
1
1
Ta có: VA.A’BD = SABD .AA’ = SA’BD .d ( A, ( A’BD ) )

Giải:
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, khi đó SO
M

⊥ (ABCD).

N

D

P

Do M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB

C

A

nên SAMN

O

1
1
a2 7
= SANS = SABS =
2
4
16


=
SAMN
7
12 2
2
48

Vậy d ( (P,(AMN)) ) =

a 42
7

Cách 2. Sử dụng phép trượt đỉnh
Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành 4

10


Kinh nghiệm dạy học các bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian nhằm
nâng cao hiệu quả học tập môn toán cho học sinh Trường THPT Thạch Thành 4

- Ý tưởng của phương pháp này là: bằng cách trượt đỉnh O trên một đường
thẳng đến một vị trí thuận lợi O' , ta quy việc tính d(O,(α)) về việc tính
d(O',(α)) . Ta thường sử dụng những kết quả sau:
Kết quả 1: Nếu đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (α) và M, N ∈ ∆ thì
d(M;(α)) = d(N;( α))
Kết quả 2: Nếu đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (α) tại điểm I và M, N ∈ ∆ (M, N
khác I) thì

d(M;(α)) MI

H

B

O
C

hay d ( B, ( SAC ) )
Giải:
a) Ta có: OA ∩ ( SBC ) = C nên:
Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành 4

11


Kinh nghiệm dạy học các bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian nhằm
nâng cao hiệu quả học tập môn toán cho học sinh Trường THPT Thạch Thành 4

d ( O, ( SBC ) )

d ( A, ( SBC ) )

=

OC 1
=
AC 2

1
⇔ d ( O, ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) )

1
a 3
Vậy d ( O, ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) ) = AH =
2
2
4
b) Gọi E là trung điểm AB, G là trọng tâm tam giác SAB.
Do EG ∩ ( SAB ) = S nên:
d ( G, ( SAC ) )
d ( E, ( SAC ) )

=

GS 2
2
= ⇔ d ( G, ( SAC ) ) = d ( E, ( SAC ) )
ES 3
3

Mà BE ∩ ( SAC ) = A nên:
d ( E, ( SAC ) )

d ( B, ( SAC ) )

=

EA 1
1
= ⇒ d ( E, ( SAC ) ) = d ( B, ( SAC ) )
BA 2

Bài 2: Cho hình chóp SABC, góc tạo bởi mặt phẳng (ABC) và (SBC) bằng 600 .
Hai tam giác ABC và SBC đều cạnh a. Tính thể tích hình chóp SABC và khoảng
cách từ B đến mặt phẳng (SAC)
2.3.3 Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song:
Ta có: + ∀M ∈ ∆, N ∈ (α ),MN ≥ d(∆,(α))
+ Việc tính khoảng cách từ đường thẳng ∆ đến mặt phẳng (α) được quy về việc
tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Ví dụ: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc

·
BAD
= 600 , có SO vuông góc mặt phẳng (ABCD) và SO = a.
Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC).
Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC).
Giải:
a) Hạ OK ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SOK )
Trong (SOK) kẻ OH ⊥ SK ⇒ OH ⊥ ( SBC )
⇒ d ( O, ( SBC ) ) = OH .

Ta có ∆ABD đều ⇒ BD = a ⇒ BO =

S

a
; AC = a 3
2

Trong tam giác vuông OBC có:

H


C

13


Kinh nghiệm dạy học các bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian nhằm
nâng cao hiệu quả học tập môn toán cho học sinh Trường THPT Thạch Thành 4

Trong tam giác vuông SOK có:
1
1
1
16
a 3
=
+
= 2 ⇔ OH =
2
2
2
OH
OS
OK
3a
4
Vậy d ( O, ( SBC ) ) = OH =

a 3
4

14


Kinh nghiệm dạy học các bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian nhằm
nâng cao hiệu quả học tập môn toán cho học sinh Trường THPT Thạch Thành 4

(A’B’C’)) mà AH ⊥ (A’B’C’) nên d(A, (A’B’C’)) = AH. Vì AA’ tạo với đáy một
góc bằng 300 nên ∆AHA’ có AH =

AA' a
= .
2
2

a
Vậy d((ABC), (A’B’C’)) = .
2
Bài tập tự luyện:
Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh bằng 1. Một mặt phẳng ( α ) bất kì
đi qua đường chéo B’D. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ACD’) và
(A’BC’)
2.3.5 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
Quy trình: Quy trình tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b
Bước 1: Xác định mp (α) chứa đường thẳng b và song song với đường thẳng
a . Suy ra d ( a, b ) = d(a, (α)) .
Bước 2: Tính khoảng cách từ một điểm M trên đường thẳng a tới mp (α) :
Tính d(M, (α))
Bước 3: Kết luận d ( a, b ) = d(M, (α)) .
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ; SA vuông
góc với đáy và SA = a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD .

AH

góc

với

SI

tại

H

thì

d ( A, ( S, Dx ) ) = d ( A, ( SDI ) ) = AH .

Bước 2.3: Tính độ dài đoạn AH:
Ta có AIDO là hình bình hành nên AI = DO =

nên có

1
1
1
=
+ 2
2
2
AH
SA

Bước 3: Kết luận d ( AC, SD ) = d ( A, ( S, Dx ) ) =
3
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình
vuông cạnh a và SA = SB = SC = SD = a 2 . Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB .
Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành 4

16


Kinh nghiệm dạy học các bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian nhằm
nâng cao hiệu quả học tập môn toán cho học sinh Trường THPT Thạch Thành 4

Giải:
Bước 1: Xác định mặt phẳng chứa cạnh SB và song song với cạnh AD : là mp

( SBC ) . Suy ra d(AD, SB) = d ( AD, ( SBC ) ) .
Bước 2: Tính khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng AD tới mp (SBC) :
Tính d(I, ( SBC ) ) , với I là trung điểm cạnh AD
Bước 2.1: Xác định mặt phẳng đi qua I và vuông góc với mp (SBC) : là mp
(SIJ) , với J là trung điểm cạnh BC .
Bước 2.2: Xác định đường thẳng IH kẻ từ I và vuông góc với giao tuyến SJ
của hai mặt phẳng ( SBC ) và ( SIJ ) , H ∈ SJ .
Suy ra d ( I, ( SBC ) ) = IH .
Bước 2.3: Tính độ dài đoạn IH :
2
2a
a 6
Vì ∆SOC vuông tại O nên SO = SO − OC = 2a −
=

Mà IH = 2OK nên IH =

+

1
2

a
 ÷
 2

=

14
3a 2 hay OK = a 3
14

a 42
7

Bước 3: Kết luận d ( AD, SB ) = d ( I, ( SBC ) ) =

a 42
.
7

Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại
B,AB=BC=2a, hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng
Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành 4


12A3 (39 HS)

22 (56,4 %)

12A4 (37 HS)
12A5 (39 HS)

Lớp

Làm sai

Không làm

18 (46,2 %)

17 (43,6%)

0 (0 %)

19 (51,4 %)

15(40,5 %)

18 (48,6 %)

0 (0 %)

17 (43,6 %)


Sau khi dạy xong chuyên đề này tôi nhận thấy khi dạy học cho học sinh
chúng ta nên hướng dẫn các em tìm ra phương pháp, cách giải cho mỗi dạng bài
toán, khi đã nắm được phương pháp các em sẽ có thể tự mình giải được các
dạng bài tập quen thuộc, qua đó còn có thể tìm ra phương pháp giải, cách giải
cho các dạng bài tập khác. Ngoài ra, trong khi dạy học giáo viên cũng nên rèn
luyện thêm cho học sinh khả năng tính toán để hạn chế các trường hợp các em
biết cách làm nhưng vẫn làm sai do tính toán sai.
Trong quá trình thực hiện, nghiên cứu đề tài còn nhiều thiếu sót, rất mong
nhận được sự đóng góp ý kiến để đề tài ngày càng hoàn thiện hơn.
3.2 Kiến nghị và đề xuất
Thông qua đề tài tôi có vài kiến nghị như sau:
- Đối với tổ bộ môn: Tổ chức thêm các buổi sinh hoạt chuyên môn theo hướng
nghiên cứu bài học và viết các chuyên đề ôn thi tốt nghiệp, ôn thi đại học để làm
tài liệu dùng chung cho tổ.
- Đối với nhà trường: Tăng cường thêm các chủng loại tài liệu tham khảo, tổ
chức thêm các hoạt động ngoại khóa cho học sinh giúp các em có cơ hội giao
Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành 4

19


Kinh nghiệm dạy học các bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian nhằm
nâng cao hiệu quả học tập môn toán cho học sinh Trường THPT Thạch Thành 4

lưu, học hỏi lẫn nhau.
XÁC NHẬN CỦA THỦ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 4 năm 2016

TRƯỞNG ĐƠN VỊ