Một số bài toán cực trị trong không gian

Hình học Giải tích

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU

TRƯỜNG THPT NGUYỄN DU

BÁO CÁO KẾT QUẢ SÁNG KIẾN
PHỤC VỤ CHO KHEN THƯỞNG THI ĐUA CẤP CƠ SỞ
NĂM HỌC 2016 – 2017

Giải pháp :

HỆ THỐNG MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ
TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
“NHẰM NÂNG CAO HIỆU QUẢ HỌC HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
CỦA HỌC SINH LỚP 12 TRƯỜNG THPT NGUYỄN DU”

TÁC GIẢ SÁNG KIẾN:
Nguyễn Thanh Tài – Cử nhân sư phạm, Giáo viên

Châu Đức, năm học 2016-2017

Sáng kiến kinh nghiệm

Trang1


Một số bài toán cực trị trong không gian



PHẦN MỞ ĐẦU:
1. Sự cần thiết hình thành giải pháp:
 Toán học là một môn học đòi hỏi tư duy và logic, phải biết vận dụng và
kết hợp nhiều kiến thức lại với nhau. Do đó, việc hình thành phương pháp
giải từng dạng toán cho các em học sinh là rất cần cần thiết, đặc biệt là
trong việc thi trắc nghiệm cần sự nhanh lẹ và chính xác.
 Phương pháp tọa độ trong không gian là một phân môn toán học quan
trọng và nó luôn xuất hiện trong các kì thi THPT Quốc gia và tuyển sinh
Cao đẳng – Đại học. Để lĩnh hội kiến thức của phân môn này được dễ
dàng thì đòi hỏi người học phải tư duy tốt và biết kết hợp giữa tính toán
đại số và các tính chất hình học thuần túy trong không gian.
 Đối với các bài toán hình học không gian liên quan đến cực trị, nếu chỉ
dùng tính toán đại số thì thường gây khó khăn cho học sinh, dễ sai xót
trong quá trình tính toán. Tuy nhiên, nếu chúng ta để ý đến tính chất hình
học thì việc giải quyết bài toán này sẽ dễ dàng hơn, giảm đi việc tính toán.
Vì vậy, trong đề tài này tôi muốn trình bày ‘Hệ thống một số bài toán về
cực trị trong không gian’ cùng phương pháp giải để giúp các em học sinh
nắm được phương pháp giải của một số bài toán cực trị trong không gian
và làm tài liệu tham khảo.
2. Mục tiêu của giải pháp:
 Nhằm hệ thống cho học sinh một số dạng toán của phương pháp tọa độ
trong không gian và góp phần giúp các em giải quyết tốt các bài toán về
hình học giải tích.
 Giúp các em học sinh nâng cao được tư duy cùng kĩ năng tính toán và qua
đây tôi cũng hy vọng sẽ cung cấp cho học sinh một dạng toán nhỏ để bổ
sung vào hành trang kiến thức giúp các em bước vào các kì thi, đặc biệt là
kì thi THPT Quốc gia.
 Qua đề tài này giúp cho bản thân và đồng nghiệp có thêm tư liệu để ôn tập
cho học sinh.

∀
 x ∈ D : f ( x) ≤ m
- m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x) trên D nếu 
∃x ∈ D : f ( x ) = m

 Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là khoảng cách từ điểm M đến
hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (P).
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (d) là khoảng cách từ điểm M
đến hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng (d).
 Gọi H là hình chiếu của M lên mặt phẳng (P). Đoạn MH là khoảng cách
ngắn nhất nối từ điểm M đến một điểm bất kỳ trên mặt phẳng (P).

Sáng kiến kinh nghiệm

Trang4


Một số bài toán cực trị trong không gian

Hình học Giải tích

 Với hai đường thẳng chéo nhau thì độ dài đọan vuông góc chung là
khoảng cách ngắn nhất nối giữa hai điểm bất kỳ lần lượt thuộc hai đường
thẳng này.
5.2. Cơ sở thực tiễn:
 Phần lớn các em học sinh đều hay lúng túng và gặp không ít khó khăn khi
giải các bài toán về hình học tọa độ trong không gian. Bởi lẻ, để giải
quyết các bài toán này đòi hỏi các em cần phải có một kiến thức vững
chắc về hình học không gian.
 Trong hệ thống bài tập của chương trình giáo khoa thì có rất ít bài toán về

2/Nội dung:
Sáng kiến kinh nghiệm

Trang5


Một số bài toán cực trị trong không gian

Hình học Giải tích

Bài toán 1: Cho hai điểm A, B và mặt phẳng ( α ) . Tìm điểm M thuộc mp ( α )
sao cho MA + MB nhỏ nhất.
Phương pháp:
TH: Nếu A, B khác phía đối với mp ( α ) thì M là giao điểm của AB với mp ( α ) .
TH: Nếu A, B cùng phía đối với mp ( α ) :

B

+ Lấy A’ đối xứng với A qua mp ( α ) .

A

Ta có MA’=MA
+ Do đó, MA + MB nhỏ nhất
⇔ MA’ + MB nhỏ nhất
⇔ M, A’, B thẳng hàng

α

⇔ M = A'B I ( α )

Sáng kiến kinh nghiệm

Trang6


Một số bài toán cực trị trong không gian

Hình học Giải tích

Bài toán 2: Cho hai điểm A, B và mp ( α ) . Tìm M thuộc mp ( α ) sao cho
a.MA2 + b.MB 2 ( a + b > 0 ) nhỏ nhất.

Phương pháp:

uur

uur

r

+ Tìm điểm I thỏa a.IA + b.IB = 0 (I là điểm cố định)
2
2
2
2
2
Khi đó, a.MA + b.MB = ( a + b ) MI + a.IA + b.IB

+ Vì a.IA2 + b.IB 2 không đổi nên a.MA2 + b.MB 2 nhỏ nhất
⇔ MI nhỏ nhất

α

M

⇔ MI nhỏ nhất
⇔ M là hình chiếu của I lên mp ( α )

Nhận xét: Bài toán này có thể được mở rộng: Cho n điểm A1 , A2 ,..., An và cho
mp(α ) . Tìm M thuộc mp(α ) sao cho
a1.MA12 + a2 .MA2 2 + ..... + an .MAn 2 ( a1 + a2 + ... + an > 0 ) nhỏ nhất.

Ví dụ 2a: Trong hệ tọa độ (Oxyz), cho A ( 3; 1; 0 ) , B ( 1; 5; − 2 ) và mp. Tìm M
thuộc mp (α ) sao cho MA2 + MB 2 nhỏ nhất.
Sáng kiến kinh nghiệm

Trang7


Một số bài toán cực trị trong không gian

Hình học Giải tích

Bài giải:
+ Gọi I là trung điểm của AB ⇒ I ( 2;3; − 1)
AB 2
Ta có: MA + MB = 2 MI +
2
2

2

Ta có 2 MA2 + 3MB 2 = 2 ( MI + IA ) + 3 ( MI + IB ) = 5MI 2 + 2IA 2 + 2IB 2
2

2

Do đó, 2 MA2 + 3MB 2 nhỏ nhất ⇔ MI nhỏ nhất ⇔ M là hình chiếu của I lên mp

(α)
+ Gọi d là đường thẳng qua I và vuông góc với mp (α )
x = 1+ t

⇒ Pt của (d):  y = −1 − 3t ( t ∈ R )
z = 2 − t


+ Ta có: M = (d ) ∩ ( α ) ⇒ M ( 0;2;3)

Bài toán 3: Cho hai điểm A, B và đường thẳng (d). Tìm điểm M thuộc (d)
Sáng kiến kinh nghiệm

Trang8


Một số bài toán cực trị trong không gian

Hình học Giải tích

sao cho diện tích của ∆MAB có giá trị nhỏ nhất.
Phương pháp:
+ Gọi H là hình chiếu của M lên (d)


1
MH . AB
2

Do đó, S∆MAB nhỏ nhất ⇔ MH nhỏ nhất
⇔ MH là đoạn vuông góc chung của AB và (d).
x = 1+ t
ur

+ Pt tham số (d) :  y = 2t ( t ∈ R ) . Ta có vtcp của d: u1 = ( 1; 2; 1)
 z = −2 + t

 x = −2 + 2 t '
uu
r

( t ' ∈ R ) . Ta có vtcp của AB: u2 = ( 2; 0; 1)
+ Pt tham số (AB):  y = 1
z = 2 + t '


Vì M ∈ d nên M ( 1 + t ;2t ; − 2 + t )
H ∈ ( AB) nên H ( −2 + 2t ';1;2 + t ' )
uuuur ur
 MH . u1 = 0
( −3 + 2t '− t ) + 2 ( 1 − 2t ) + ( 4 + t '− t ) = 0
t = 1
⇔
⇔


N

Ví dụ 4: Trong không gian (Oxyz), cho mp(α ) : x − 2 y − z + 20 = 0 và mặt cầu
(S ) : x 2 + y 2 + z2 − 2 x − 2 y − 2 z − 3 = 0 .Tìm hai điểm M, N lần lượt thuộc mặt cầu (S)

và mp(α ) sao cho MN nhỏ nhất.
Bài giải :
Mặt cầu (S) có tâm I(1 ; 1 ; 1) và bán kính R = 6
Ta có: d ( I ,α ) = 3 6 > R ⇒ mp(α ) và mặt cầu (S) không giao nhau.
 M ∈ (S )

Vì  N ∈ (α ) nên N là hình chiếu của I lên (α ) và M = IN ∩ (S ) ,(M thuộc đoạn
 MN min


IN)
x = 1+ t

+ Pt đt(d) qua I và vuông góc với (α ) :  y = 1 − 2t ( t ∈ R )
z = 1 − t

x = 1+ t
 y = 1 − 2t

⇒ t = −3 ⇒ N ( −2;7; 4 )
+ Tọa độ N thỏa 
z = 1 − t
 x − 2 y − z + 20 = 0



M

Ta có: d ( M ; ( P ) ) = MH ≤ MI (MI không đổi)
Do đó, d ( M ; ( P ) ) lớn nhất khi H trùng với I.
uuu
r

Tức là, mặt phẳng (P) nhận MI làm vectơ pháp tuyến.

Ví dụ 5a: Cho đường thẳng ∆ :

∆

H
I

x −5 y + 2 z +5
=
=
và điểm M(2; 2; 0). Viết
1
−1
−3

phương trình mặt phẳng (P) chứa ( ∆ ) sao cho khoảng cách từ M đến mp(P) là
lớn nhất.
Giải:
+ Gọi I là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng ( ∆ ) . Suy ra I(3; 0; 1).
uuu

uuur
IM = ( 4;2;1) làm vectơ pháp tuyến.

r

Mặt khác, n = ( 2;1; − m ) là một vectơ pháp tuyến của mp ( α )
uuur

r

Từ đó, IM = ( 4;2;1) và n = ( 2;1; − m ) cùng phương. Suy ra m =

−1
.
2

Bài toán 6: Cho mặt phẳng ( α ) và 1 điểm A thuộc mặt phẳng ( α ) và điểm B
không thuộc mp ( α ) . Xác định đường thẳng ( ∆ ) qua A và nằm trong mp ( α ) sao
cho khoảng cách từ B đến đường thẳng ( ∆ ) là nhỏ nhất.
Phương pháp:
+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên mp ( α ) . Suy ra H cố định.
+ Giả sử ( ∆ ) là một đường thẳng bất kỳ qua A, nằm trong mặt phẳng ( α ) và gọi
B

K là hình chiếu vuông góc của B lên đường thẳng ( ∆ ) .
Ta có: d ( B; ∆ ) = BK ≥ BH (BH không đổi).

A

Suy ra d ( B; ∆ ) nhỏ nhất khi K trùng với H.

Vậy phương trình của ( ∆ ) là:

x+ 2 y −5 z
=
= .
1
−2
1

Ví dụ 6b: Cho mặt phẳng (P): x – y – 2z + 5 = 0 và 2 điểm A(3; 0; 2), B(1; 2;
3). Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) qua A, song song với mp(P) sao cho
khoảng cách từ B đến đường thẳng ( ∆ ) là nhỏ nhất.
Giải:
+ Gọi (Q) là mặt phẳng qua A và song song với (P).
Phương trình của mp(Q): x – y – 2z + 1 = 0
Vì ( ∆ ) qua A và song song với mp(P) nên ( ∆ ) thuộc mặt phẳng (Q).

B

Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên mp(Q). Suy ra H(2 ; 1 ; 1).
+ Áp dụng bài toán 6,
A

suy ra ( ∆ ) là đường thẳng qua A và H.
Vậy phương trình của ( ∆ ) là:

x−3 y z −2
=
=
.


Kết quả: M(1; 1; 2)
Bài 3: Cho mặt phẳng ( α ) : x + y + z − 3 = 0 và hai điểm A(1; -1 ; 0), B(0;-4 ;-2).
Tìm tọa độ điểm M thuộc mp ( α ) sao cho 2MA2 − MB 2 nhỏ nhất.
Kết quả: M(1;1;1)
 x = 3 + 2t
x y −1 z −1

; d2 : =
=
Bài 4: Cho hai đường thẳng chéo nhau: d1 :  y = t
. Với
1
2
3
z = 2


A, B là 2 điểm thuộc đường thẳng (d2) mà AB không đổi. Tìm điểm M thuộc
đường thẳng (d1) sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất.
Kết quả: M(1; -1; 2)
 x = −1 + 3t

Bài 5: Cho đường thẳng ∆ :  y = t
và điểm A(1; 3; 0). Viết phương trình
z = 2 − t


mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ( ∆ ) sao cho khoảng cách từ A đến mp(P) là
lớn nhất.


Đề tài này giúp bản thân tôi có thêm một tư liệu để giảng dạy và cũng là
một tài liệu nhỏ để các em học sinh tham khảo.



Các bài toán trên tôi chỉ sử sụng tính chất cực trị trên không gian và sau
đó mới vận dụng vào giải. Tuy nhiên, các bài toán này có thể giải theo các
cách khác.
2. Bài học kinh nghiệm và hướng phát triển :
 Qua bài viết này, tôi hy vọng sẽ hệ thống được cho các em một số bài
toán nhỏ về phân môn hình học giải tích để giúp các em học sinh thuận
tiện hơn khi gặp phải.
 Thông qua các tiết dạy theo chuyên đề, tôi mong muốn được triển khai
rộng rãi cho nhiều khối 12 của trường THPT Nguyễn Du.
3. Đề xuất:



Bài viết của tôi chỉ trình bày theo chủ ý của cá nhân, do đó chắc chắn sẽ
còn nhiều thiếu xót và chưa thật hoàn chỉnh, vì vậy tôi rất mong được sự góp
ý của đồng nghiệp và các em học sinh.

Tài liệu tham khảo :
1. Hình học Nâng cao 12 (SGK)

Sáng kiến kinh nghiệm

Trang15