Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN



ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐẶNG VĂN THÀNH

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH
TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CHO HỌC SINH
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thái Nguyên, năm 2016


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN



ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐẶNG VĂN THÀNH

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH
TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CHO HỌC SINH
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG



LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Nguyễn Anh Tuấn, người đã
tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện đề tài.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán – Tin trường Đại
học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Khoa sau đại học trường Đại học
Sư phạm – Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để em hoàn thành
luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu và các bạn đồng nghiệp ở trường THPT
Số 4 Văn Bàn – Lào Cai đã động viên, giúp đỡ tôi hoàn thành nhiệm vụ học tập và
nghiên cứu của mình.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2016
Tác giả luận văn

Đặng Văn Thành

ii


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN



MỤC LỤC
Trang

Trang bìa phụ ..........................................................................................................
Lời cam đoan ........................................................................................................ i
Lời cảm ơn .......................................................................................................... iii



1.3.2. Tình hình dạy và học giải bài toán về khoảng cách trong không gian .... 16
1.4. KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 .................................................................................... 19

CHƯƠNG 2 – MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM RÈN LUYỆN KĨ NĂNG
GIẢI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
LỚP 11..............................................................................................................21
2.1. ĐỊNH HƯỚNG XÂY DỰNG BIỆN PHÁP SƯ PHẠM RÈN LUYỆN KĨ
NĂNG GIẢI BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC
KHÔNG GIAN LỚP 11 .................................................................................... 21
2.2. BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG
CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11..................................... 21
2.2.1. Biện pháp 1: Rèn luyên kĩ năng tính khoảng cách từ một điểm đến một
đường thẳng ....................................................................................................... 21
2.2.1.1. Ý nghĩa tác dụng ................................................................................... 21
2.2.1.2. Cơ sở lý thuyết...................................................................................... 21
2.2.1.3. Phương pháp giải .................................................................................. 22
2.2.1.5. Ví dụ minh họa ..................................................................................... 24
2.2.1.6. Một số bài tập tự luyện ......................................................................... 27
2.2.2. Biện pháp 2: Rèn luyên kĩ năng tính khoảng cách từ một điểm đến một
mặt phẳng........................................................................................................... 27
2.2.2.1. Ý nghĩa tác dụng ................................................................................... 27
2.2.2.2 Cơ sở lý thuyết ....................................................................................... 28
2.2.2.2. Phương pháp giải .................................................................................. 28
2.2.2.4. Những kĩ năng cần thiết: ...................................................................... 30
2.2.2.5. Ví dụ minh họa ..................................................................................... 31
2.2.2.6. Một số bài tập tự luyện ......................................................................... 35
2.2.3. Biện pháp 3: Rèn luyên kĩ năng tính khoảng cách giữa đường thẳng và
mặt phẳng song song ......................................................................................... 36


3.1. MỤC ĐÍCH THỰC NGHIỆM ................................................................... 60
3.2. PHƯƠNG PHÁP THỰC NGHIỆM ........................................................... 60
3.3. GIÁO ÁN THỰC NGHIỆM ...................................................................... 60
3.4. KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM VÀ ĐÁNH GIÁ .......................................... 80
3.5. KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 ........................................................................... 73
KẾT LUẬN ................................................................................................................ 84
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 85

v


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN



vi


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN



DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
Viết đầy đủ

Viết tắt

Đại học


Ví dụ

VD

iv


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Chúng ta đang sống trong thế kỷ 21, thế kỷ của khoa học công nghệ và hội
nhập. Tri thức và kĩ năng của con người là nhân tố vô cùng quan trọng trong sự phát
triển của xã hội, trong đó giáo dục góp phần to lớn trong việc trang bị tri thức, kĩ
năng cho con người.
Toán học – một khoa học có nhiều ứng dụng thực tiễn cũng như đối với các
ngành khoa học khác. Nó ra đời từ lúc bình minh của loài người và ngày càng phát
triển thâm nhập vào hầu hết các lĩnh vực khoa học và đời sống.
Khoảng cách trong không gian là một phần nội dung quan trọng trong chương
trình hình học ở trường THPT. Việc tổ chức dạy học hình học không gian nói chung,
nói riêng là những bài toán về tính khoảng cách trong không gian có vị trí quan trọng
ảnh hưởng nhiều đến kết quả học hình học không gian của học sinh THPT.
Tuy nhiên, trong thực tế, khi học hình học không gian, HS thường gặp không
ít khó khăn. Các em không chỉ nắm chưa vững kiến thức lý thuyết, mà còn hạn chế
trong tư duy hình học, đặc biệt là những kĩ năng hoạt động hình học còn yếu. Chẳng
hạn như các hoạt động tưởng tượng, hình dung và vẽ hình, thiết lập các mối quan hệ
của các yếu tố trong hình như khoảng cách, góc, giao điểm, xác định mặt phẳng thiết
diện. Những khó khăn này khiến HS ngại học, lúng túng khi giải bài toán Hình học
không gian, trong đó có bài toán về xác định, tính toán khoảng cách.
Đã có những công trình nghiên cứu về rèn luyện kĩ năng trong dạy học Hình
học không gian ở trường THPT, tuy nhiên thực tế cho thấy vẫn cần thiết nghiên cứu
giải pháp cụ thể để rèn luyện kĩ năng giải bài toán về khoảng cách trong Hình học

5. Phương pháp nghiên cứu
5.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu về DH kĩ
năng, DH giải toán, phương pháp DH môn Toán.

2


5.2. Phương pháp điều tra, quan sát: Tìm hiểu thực trạng DH chủ đề khoảng cách
trong hình học không gian ở trường THPT hiện nay.
5.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem tính
khả thi và hiệu quả của việc DH giải toán về khoảng cách trong hình học không gian
cho HS THPT.
6. Cấu trúc luận văn
Ngoài các phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm 3
chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và cơ sở thực tiễn.
Chương 2: Biện pháp rèn luyện kĩ năng giải bài toán về khoảng cách trong
hình học không gian 11.
Chương 3: Thử nghiệm sư phạm.

3


CHƯƠNG 1 - CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. KĨ NĂNG VÀ RÈN LUYỆN KĨ NĂNG TRONG MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ
THÔNG

1.1.1. Kĩ năng
“Kĩ năng là khả năng vận dụng tri thức khoa học vào thực tiễn. Trong đó, khả năng
được hiểu là: sức đã có (về một mặt nào đó) để thực hiện một việc gì” [2, tr.548].

như cơ hội thực hành để vận dụng.
Trong thực tế dạy học cho thấy, HS thường gặp khó khăn khi vận dụng kiến
thức vào giải quyết các bài tập cụ thể là do: HS không nắm vững kiến thức, các khái
niệm, định lí, quy tắc, không trở thành cơ sở của kĩ năng. Muốn hình thành được kĩ
năng, đặc biệt là kĩ năng giải toán cho HS, người thầy giáo cần tổ chức cho HS học
toán trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, sáng tạo để HS có thể nắm
vững tri thức, có kĩ năng và sẵn sàng vận dụng vào thực tiễn. Góp phần thực hiện
nguyên lý của nhà trường phổ thông là: Học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao
động sản xuất, nhà trường gắn liền với xã hội.
1.1.2. Kĩ năng giải toán
“Kĩ năng giải toán là khả năng vận dụng các tri thức toán học để giải các bài tập
toán (bằng suy luận, chứng minh)” [4; tr.12].
Để rèn luyện kĩ năng giải toán trường THPT, một trong những yêu cầu được đặt
ra là: “Về tri thức và kĩ năng, cần chú ý những tri thức, phương pháp đặc biệt là tri
thức có tính chất thuật toán và những kĩ năng tương ứng. Chẳng hạn: tri thức và kĩ
năng giải bài toán bằng cách lập PT, tri thức và kĩ năng chứng minh toán học, kĩ năng
hoạt động và tư duy hàm…” [10, tr.41].
Cần chú ý là tùy theo nội dung kiến thức toán học mà có những yêu cầu rèn
luyện kĩ năng khác nhau.
Do tính trừu tượng trên nhiều bình diện của Toán học nên trong dạy học môn
Toán ta cần quan tâm rèn luyện cho HS những KN trên những bình diện khác nhau.
- KN vận dụng tri thức trong nội bộ môn Toán.

5


- KN vận dụng tri thức toán học vào trong những môn học khác.
- KN vận dụng toán học vào đời sống.
KN trên bình diện thứ nhất là sự thể hiện ở mức độ thông hiểu tri thức toán học.
Không thể có một người thông hiểu tri thức toán học mà lại không biết vận dụng vào

M

a 2
. Tính
2
K

diện tích tứ giác ABCD theo a , biết rằng đoạn

d

A

CD  a di động trên giao tuyến t .

B

Bài toán này nếu tuần tự vẽ hình theo

D

C

H

yêu cầu giả thiết thì rất rối và phức tạp. Để giải

t

Hình 1.1

1.1.4. Sự hình thành kĩ năng
Thực chất của việc hình thành kĩ năng trong dạy học chính là cho HS nắm
vững và thực hiện một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ
những thông tin chứa đựng trong câu hỏi, bài tập, nhiệm vụ học tập và đối chiếu
chúng với những hoạt động cụ thể. Muốn vậy, trong dạy học, GV cần phải:
+ Trang bị tri thức, đặc biệt là tri thức phương pháp để HS hiểu được mục đích
của hành động, biết được điều kiện, cách thức để đi đến kết quả, để thực hiện hành
động. Đồng thời các em hiểu những điều kiện để triển khai các cách thức đó.
+ Tổ chức HS luyện tập qua từng thao tác riêng rẽ trong hoạt động (tương ứng
với kĩ năng cần có), cho đến khi thực hiện được hành động theo đúng mục đích, yêu
cầu đặt ra.
+ HS đạt được kết quả phù hợp với mục đích đề ra thông qua quá trình tiến
hành hoạt động.
+ HS tiếp tục tập luyện để có thể hành động có hiệu quả trong những điều kiện
khác nhau.
Cần chú ý rằng: HS có thể tiến hành hoạt động bắt chước theo mẫu, tuy nhiên
rèn luyện để hình thành kĩ năng thì cần phải trải qua thời gian đủ dài với số lần tập
luyện hoạt động cần thiết. Chỉ sau rất nhiều lần thực hành, HS mới có thể thực hiện
một kĩ năng một cách nhanh nhẹn và chính xác.
1.1.5. Vấn đề rèn luyện kĩ năng trong môn Toán
Để rèn luyện kĩ năng về dạy học trong môn Toán, GV cần:
* Tìm hiểu chương trình, sách giáo khoa, sách giáo viên và các sách tham khảo.
* Tìm hiểu đối tượng HS, trước hết là những lớp mà mình chịu trách nhiệm.
giảng dạy.

8


* Lập kế hoạch dạy học, chuẩn bị từng tiết lên lớp.
* Tiến hành một giờ dạy Toán, thực hiện kiểm tra đánh giá HS.



diễn hình giúp HS phát triển trí tưởng tượng không gian và nhận thức tốt hơn những
quan hệ trong hình đó.
* Kĩ năng nhận dạng bài toán
Kĩ năng nhận định xem bài toán được giải quyết theo phương pháp nào, dựa
trên những kiến thức, tri thức phương pháp đã biết về các dạng toán khoảng cách
trong không gian, qua đó có hướng đi cụ thể cho bài toán.
* Nhóm kĩ năng thực hiện giải toán
- Kĩ năng xác định hình chiếu của điểm lên đường thẳng.
- Kĩ năng xác định hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng: Đây là kĩ năng
quan trọng để giải quyết hầu hết các bài toán về khoảng cách trong không gian.
- Kĩ năng chuyển bài toán về dạng toán đã có cách giải.
- Kĩ năng xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau,
đây là kĩ năng đặc trưng của bài toán tính khoảng cách trong không gian.
- Kĩ năng vận dụng các công thức tính toán: Vận dung các hệ thức lượng trong
tam giác, định lý Pitago trong tam giác vuông, định lí Ta – Lét trong tam giác, tam
giác đồng dạng, ... vào tính toán.
1.2. DẠY HỌC GIẢI BÀI TOÁN
1.2.1. Bài tập toán
Trong tiếng Việt, thuật ngữ “Bài toán” có nhiều nghĩa khác nhau. Trong các tài
liệu về lí luận dạy học môn Toán, người ta hầu như không định nghĩa khái niệm này
và do đó có nhiều cách hiểu khác nhau:
Theo G.Polya: “Bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách có ý thức
phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích trông thấy rõ ràng nhưng không thể
đạt được ngay” [15].
- Bách khoa tri thức phổ thông định nghĩa: “Khái niệm bài toán hiểu là một
công việc hoàn thành được nhờ những phương thức đã biết trong những điều kiện cho
trước” [1].
- Bài toán là yêu cầu cần có để đạt được mục đích nào đó.

mình. Vì vậy, việc khai thác một lớp các bài tập nhằm đạt được cùng một mục đích
và ở những mức độ khác nhau góp phần hình thành và phát triển năng lực tư duy cho
HS, rèn luyện được những phẩm chất trí tuệ ở họ qua hoạt động dạy học toán.

11


1.2.2. Dạy học phương pháp giải bài toán
Về vấn đề dạy học giải bài toán, tham khảo tác giả Nguyễn Bá Kim
(2008)[11](Tr391), có thể tóm tắt một số vấn đề lý luận như sau:
Dạy học giải bài tập toán không có nghĩa là GV cung cấp cho HS lời giải bài
toán. Biết lời giải bài toán không quan trọng bằng làm thế nào để giải được bài toán
đó. Để làm tăng hứng thú học tập cho HS, phát triến tư duy, GV phải hình thành cho
HS phương pháp tìm lời giải cho một bài toán.
Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của
Polya(1975) về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học,
tác giả Nguyễn Bá Kim (2008)[11](Tr391) đưa ra phương pháp tìm lời giải cho một
bài toán thường được tiến hành theo 4 bước sau:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài.
Phát biểu đề bài dưới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán;
Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh;
Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để diễn tả cho việc hỗ trợ đề bài.
Bước 2: Tìm cách giải
Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: biến
đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc cái
phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ tương
tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát tổng quát hơn hay một bài toán nào
đó có liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng toán như chứng
minh phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, toán quỹ tích…
Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt hóa

học môn Toán cũng phải tuân thủ các yêu cầu này.
(v) Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật
Yêu cầu đặt ra đối với cả lời văn, chữ viết, hình vẽ, cách sắp xếp các yếu tố
(chữ, số, hình, kí hiệu,…) trong lời giải.
(vi) Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lí nhất.
Ngoài các yêu cầu (i)-(v), cần khuyến khích HS tìm nhiều cách giải cho cùng
một bài toán, phân tích những cách giải khác nhau để tìm ra lời giải ngắn gọn, hợp lí
nhất trong số các lời giải tìm được.
(vii) Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề
Bốn yêu cầu (i), (ii), (iii) và (iv) là các yêu cầu cơ bản, (v) là yêu cầu về mặt
trình bày, còn (vi) và (vii) là những yêu cầu đề cao.

13


1.3. TÌNH HÌNH DẠY VÀ HỌC GIẢI BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH
HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11

1.3.1. Bài toán tìm khoảng cách trong hình học không gian lớp 11 THPT
Trước khi chuyển sang hình học không gian ở lớp 11 thì HS mới chỉ làm việc
chủ yếu với các hình trong mặt phẳng. Mỗi hình đều có thể biểu diễn một cách tường
minh, phản ánh trung thành hình dạng và có thể bằng kích thước bằng hình vẽ trên
giấy. Mọi quan hệ giữa các đối tượng đều được biểu diễn một cách trực quan. Đến
khi HS tiếp xúc với hình học không gian ở chương II, III (Hình học 11) thì những
hình vẽ trong SGK chỉ là hình chiếu - hình biểu diễn (dưới dạng hình phẳng) của
những vật thể trong không gian, nên không thể phản ánh một cách đầy đủ và rõ ràng
các quan hệ như: quan hệ vuông góc, quan hệ bằng nhau của các đối tượng, ví dụ như
hình vuông , hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành thì trong hình học không gian
đều được biểu diễn thành hình bình hành... Từ đó HS bắt buộc phải tượng tưởng ra
hình khối từ hình biểu diễn để nhận thức, suy nghĩ và giải toán. Vì vậy, đây là một

mô tả vị trí tương đối của hai đường thẳng phân biệt.
Tuy nhiên, với những hình không đơn giản và những mỗi quan hệ phức tạp thì
HS tỏ ra khó khăn khi nhận thức, GV cũng khó có thể diễn đạt bằng lời nói làm giảm
sút hiệu quả việc dạy và học. Ví dụ về khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau
trong hình hộp chữ nhật: vì không có hình ảnh trong thực tế nên GV sẽ mô tả qua
hình vẽ bằng nhiều các đường kẻ phụ để có thể kẻ được đường thẳng cùng vuông góc
với hai đường thẳng chéo nhau. Khi đó hình vẽ đã rất rối bởi rất nhiều đường, khiến
HS khó nắm được kiến thức.
Mục tiêu cơ bản của hình học không gian là phát triển tư duy logic và trí tưởng
tượng không gian cho HS nhưng hệ thống bài tập sách giáo khoa lại chưa thực hiện
được điều đó. Hệ thống bài tập sách giáo khoa chưa thật tốt, chưa kết hợp chặt chẽ
với lí thuyết, chưa giúp củng cố và vận dụng lí thuyết. Do thời lượng chương trình
sách giáo khoa lớp 11 mới chỉ đưa ra khái niệm về các loại khoảng cách, nêu lên mối
liên hệ giữa các khái niệm bằng một nhận xét ở cuối bài và 2 ví dụ cơ bản về khoảng
cách, bài tập về phần này cũng ở mức độ kiến thức cơ bản, chưa đầy đủ hết các dạng
toán mà các em HS sẽ phải gặp trong các kì thi đại học. Từ đó, GV cũng không có đủ
thời gian giúp HS luyện tập nhiều các bài tập.

15


Ngoài ra, để giải được các bài toán về khoảng cách, xác định được khoảng
cách thì HS cần phối hợp nhiều kiến thức với nhau, từ những kiến thức ở đầu chương
như xác định giao điểm giữa đường thẳng và mặt phẳng, giao tuyến giữa mặt phẳng
và mặt phẳng… đến cả kiến thức về quan hệ song song, quan hệ vuông góc, nên đối
với HS không nắm được các kiến thức đã học trong hình học không gian sẽ gặp nhiều
khó khăn trong phần này.
1.3.2. Tình hình dạy và học giải bài toán về khoảng cách trong không gian
Qua quá trình giảng dạy của bản thân và trao đổi phỏng vấn trực tiếp với nhiều
giáo viên dạy toán ở các trường THPT số 1 Văn Bàn, THPT số 4 Văn Bàn có thể thấy