Bấm: MODE 2 xuất hiện chữ CMPLX
Chuyên đề:
GIẢI NHANH tổng hợp dao động điều hoà cùng phương cùng tần số
A.KIẾN THỨC:
1. Tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phương cùng tần số như sau:
x
1
= A
1
cos (ωt + ϕ
1
) và x
2
= A
2
cos (ωt + ϕ
2
) thì: x = x
1
+ x
2
thì ta được x = Acos (ωt + ϕ) . Với:
A
2
=A
1
2
+ A
2
2
+2A

= A
1
cos (ωt + ϕ
1
), x
2
= A
2
cos (ωt + ϕ
2
) và x
3
= A
3
cos (ωt + ϕ
3
) thì dao động tổng hợp cũng là dao động điều hoà
cùng phương cùng tần số: x = Acos (ωt + ϕ) .
Chiếu lên trục Ox và trục Oy trong hệ xOy. Ta được: A
x
= Acos ϕ = A
1
cos ϕ
1
+

A
2
cos ϕ
2

Biên độ: : A =
2 2
x y
A A
+
và Pha ban đầu ϕ : tan ϕ =
y
x
A
A
với ϕ ∈ [ϕ
Min
, ϕ
Max
]
3.Khi biết dao động thành phần x
1
=A
1
cos (ωt + ϕ
1
) và dao động tổng hợp x = Acos(ωt + ϕ) thì dao động thành
phần còn lại là x
2
=x - x
1 .
với

x
2

với ϕ
1
≤ ϕ ≤ ϕ
2
(nếu ϕ
1
≤ ϕ
2
)
4.Nhược điểm của phương pháp trên khi làm trắc nghiệm:
-Xác định A và ϕ  của dao động tổng hợp theo phương pháp trên mất nhiều thời gian và dễ nhầm lẫn.Việc biểu diễn
giản đồ véctơ, đôi khi khó biểu diễn được với những bài toán tổng hợp từ 3 dao động trở lên.
-Xác định góc ϕ hay ϕ
2
thật sự khó khăn đối với học sinh bởi vì cùng một giá trị tanϕ  luôn tồn tại hai giá trị của ϕ
(ví dụ: tanϕ=1 thì ϕ = π/4 hoặc -3π/4), vậy chọn giá trị nào cho phù hợp với bài toán!.
B. PHƯƠNG PHÁP: Dùng máy tính CASIO fx – 570ES, 570ES Plus hoặc CASIO fx – 570MS.
1. Cơ sở lý thuyết :
+Dao động điều hoà  x = Acos(ωt + ϕ) có thể được biểu diễn bằng vectơ quay
ur
A
có độ dài tỉ lệ với biên độ A và
tạo với trục hoành một góc bằng góc pha ban đầu ϕ. Hoặc cũng có thể biểu diễn bằng số phức dưới dạng: z = a + bi
+Trong tọa độ cực: z =A(sinϕ +i cosϕ) (với môđun: A=
2 2
a b+
) hay Z = Ae
j(
ω
t +

-Nhập máy: 8 SHIFT (-) 60 sẽ hiển thị là: 8∠ 60
-Chọn đơn vị đo góc là Rad (R) ta bấm: SHIFT MODE 4 trên màn hình hiển thị chữ R
-Nhập máy: 8 SHIFT (-) (π:3 sẽ hiển thị là: 8∠
1
π
3
Kinh nghiệm: Nhập với đơn vị độ nhanh hơn đơn vị rad
nhưng kết quả sau cùng cần phải chuyển sang đơn vị rad
cho những bài toán theo đơn vị rad. (Vì nhập theo đơn vị
rad phải có dấu ngoặc đơn ‘(‘‘)’nên thao tác nhập lâu hơn,
ví dụ: Nhập 90 độ thì nhanh hơn nhập (π/2)
Bảng chuyển đổi đơn vị góc: ϕ(Rad)=
φ(D).π
180
Đơn vị góc (Độ) 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 360
Đơn vị góc
(Rad)
1
π
12
1
π
6
1
π
4
1
π
3
5

1
π
3
-Chuyển từ dạng A∠ ϕ sang dạng : a + bi : bấm SHIFT 2 4 =
Ví dụ: Nhập: 8 SHIFT (-) (π:3 -> Nếu hiển thị: 8∠
1
π
3
, ta bấm phím SHIFT 2 4 =  kết quả :4+4
3
i
4. Tìm dao động tổng hợp xác định A và
ϕ
bằng cách dùng máy tính thực hiện phép cộng :
a.Với máy FX570ES: Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX.
-Chọn đơn vị đo góc là độ bấm: SHIFT MODE 3 màn hình hiển thị chữ D
(hoặc Chọn đơn vị góc là Rad bấm: SHIFT MODE 4 màn hình hiển thị chữ R )
-Nhập A
1
SHIFT (-) φ
1,
+ Nhập A
2
SHIFT (-) φ
2
nhấn = hiển thị kết quả
(Nếu hiển thị số phức dạng: a+bi thì bấm SHIFT 2 3 = hiển thị kết quả: A∠ϕ)
b.Với máy FX570MS : Bấm chọn MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX.
Nhập A
1

/4 ) (cm) B.x = 5
3
cos(
π
t +
π
/6) (cm)
C. x = 5cos(
π
t +
π
/4) (cm) D.x = 5cos(
π
t -
π
/3) (cm) Đáp án B
Phương pháp truyền thống Phương pháp dùng số phức
Bấm SHIFT 2 màn hình xuất hiện như hình bên
Nếu bấm tiếp phím 3 = kết quả dạng cực (r ∠ θ )
Nếu bấm tiếp phím 4 = kết quả dạng phức (a+bi )
( đang thực hiện phép tính )
Biên độ:
2 2
1 2 1 2 2 1
2. .cos( )= + + −A A A A A
ϕ ϕ
Pha ban đầu ϕ: tan ϕ =
Thế số:(Bấm máy tính)
A=
2 2

3
cos(
π
t +
π
/6) (cm)
(Nếu Hiển thị dạng đề các:
15 5 3
2 2
+ i
thì
Bấm SHIFT 2 3 = Hiển thị: 5
3
∠30 )
Chọn B
Giải 2: Dùng đơn vị đo góc là Rad (R): SHIFT MODE 4
Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện: CMPLX. Tìm dao động tổng hợp:
Nhập: 5 SHIFT (-).∠ (π/3) + 5 SHIFT (-) ∠ 0 = Hiển thị: 5
3
∠
1
π
6
Hay: x = 5
3
cos(
π
t +
π
/6) (cm)

π
π
ϕ
π
ϕ ϕ π
ϕ ϕ
π
π
ϕ ϕ
π
ϕ

= + + − =




=
+


+
= = = − ⇒ ⇒ =


−
+


+

2
tan 3
s s 3
3 cos 1.cos0
2
3
A A A A A cm
HD
A A
A co A co
ϕ ϕ
π
π
ϕ
ϕ ϕ π
ϕ ϕ
π
π
ϕ ϕ
ϕ

= + + − =



−

=
+


2
= 4cos (2πt +
6
π
) cm ;x
3
= 8cos (2πt -
2
π
) cm. Giá trị vận tốc cực đại của vật và pha ban đầu của dao động lần lượt là:
A. 12πcm/s và
6
π
−
rad . B. 12πcm/s và
3
π
rad. C. 16πcm/s và
6
π
rad. D. 16πcm/s và
6
π
−
rad.
2211
2211
coscos
sinsin
ϕϕ

 
= + + ∆ϕ = ⇒ = π −
 ÷
 
2 2
23 23
A 4 8 2.4.8.cos 4 3 x 4 3 sin 2 t
3

Tổng hợp x
23
vµ x
1
có:
π π
 
+ −
 ÷
 
ϕ = = −
π π
 
+ −
 ÷
 
2 3 sin 4 3 sin
1
3 3
tan
3

.cos(2πt - π/2)(cm). Phương trình của dao động tổng hợp
A. x = 2.cos(2πt - 2π/3) (cm) B. x = 4.cos(2πt + π/3) (cm)
C. x = 2.cos(2πt + π/3) (cm) D. x = 4.cos(2πt + 4π/3) (cm)
Giải: Với máy FX570ES : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX
Chọn đơn vị đo góc là rad (R): SHIFT MODE 4
-Nhập máy: 1 SHIFT(-) ∠ π +
3
 SHIFT(-) ∠ (-π/2 = Hiển thị 2∠-
2
π
3
. Đáp án A
Ví dụ 6: Một vật dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng dọc theo trục x’Ox có li độ
)()
2
2cos(
3
4
))(
6
2cos(
3
4
cmtcmtx
π
π
π
π
+++=
. Biên độ và pha ban đầu của dao động là:

>
SHIFT (-). ∠ (π/6) +
4
3
>
>
SHIFT (-). ∠ (π/2 = Hiển thị: 4 ∠
1
π
3
Giải 2: Với máy FX570ES : Chọn đơn vị đo góc là độ Degre(D): SHIFT MODE 3
Nhập máy:
4
3
>
>
SHIFT (-). ∠ 30 +
4
3
>
>
SHIFT (-). ∠ 90 = Hiển thị: 4 ∠ 60
Ví dụ 7: Ba dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình lần lượt là x
1
= 4 cos(πt - π/2) (cm) , x
2
=
6cos(πt +π/2) (cm) và x
3
=2cos(πt) (cm). Dao động tổng hợp của 3 dao động này có biên độ và pha ban đầu là

=
3
cos(5πt +π/2) (cm) và
x
2
=
3
cos( 5πt + 5π/6)(cm). Phương trình dao động tổng hợp là
A. x = 3 cos ( 5πt + π/3) (cm). B. x = 3 cos ( 5πt + 2π/3) (cm).
C. x= 3 cos ( 5πt - 2π/3) (cm). D. x = 4 cos ( 5πt + π/3) (cm) Đáp án B
Câu 2: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số theo các phương trình: x
1
=
4cos(πt )(cm) và x
2
= 4
3
cos(πt + π/2) (cm). Phương trình của dao động tổng hợp
A. x = 8cos(πt + π/3) (cm) B. x = 8cos(πt -π/6) (cm)
C. x = 8cos(πt - π/3) (cm) D. x = 8cos(πt + π/6) (cm) Đáp án A
Câu 3: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số theo các phương trình: x
1
=
acos(πt + π/2)(cm) và x
2
= a
3
cos(πt) (cm). Phương trình của dao động tổng hợp
A. x = 2acos(πt + π/6) (cm) B. x = 2acos(πt -π/6) (cm)
C. x = 2acos(πt - π/3) (cm) D. x = 2acos(πt + π/3) (cm) Đáp án A

1
, bấm SHIFT (-) nhập φ
1 ,
nhấn = kết quả.
(Nếu hiển thị số phức thì bấm SHIFT 2 3 = hiển thị kết quả trên màn hình là: A
2
∠ ϕ
2
b.Với máy FX570MS : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX
Nhập A , bấm SHIFT (-) nhập φ ;bấm - (trừ), Nhập A
1
, bấm SHIFT (-) nhập φ
1
nhấn =
Sau đó bấm SHIFT + = hiển thị kết quả là: A
2.
bấm

SHIFT = hiển thị kết quả là: φ
2

c.Các ví dụ :
Ví dụ 1: Một chất điểm dao động điều hoà có phương trình dao động tổng hợp x=5
2
cos(πt+5π/12)(cm) với các
dao động thành phần cùng phương, cùng tần số là x
1
=A
1
cos(πt + ϕ

2
= 4cos(2πt +π/6) (cm) và x
2
= A
3
cos(πt + ϕ
3
) (cm). Phương trình dao động tổng hợp có dạng
x = 6cos(2πt - π/6) (cm). Tính biên độ dao động và pha ban đầu của dao động thành phần thứ 3:
A. 8cm và - π/2 . B. 6cm và π/3. C. 8cm và π/6 . D. 8cm và π/2. Chọn A
Giải: Với máy FX570ES : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX
Chọn đơn vị đo góc là rad (R) SHIFT MODE 4 . Tìm dao động thành phần thứ 3: x
3
= x - x
1
–x
2

Nhập: 6 SHIFT(-) ∠ (-π/6) - 2
3
 SHIFT(-) ∠ (π/3) - 4 SHIFT(-) ∠ (π/6 = Hiển thị: 8 ∠-
1
π
2
.
d.Trắc nghiệm vận dụng:
Câu 1: Một vật đồng thời tham gia 2 dao động cùng phương, cùng tần số có phương trình dao động: x
1
= 8cos(2πt +
π/2) (cm) và x

= 2a.cos(2πt -π/2) và x
3
= A
3
cos(πt + ϕ
3
). Phương trình dao động tổng hợp có dạng x = a
2
cos(2πt - π/4)
(cm). Tính biên độ dao động và pha ban đầu của dao động thành phần thứ 3:
A. a và 0 . B. 2a và π/3. C. a
2
và π/6 . D. 2a
2
và π/2.
C. BÀI TẬP TỔNG HỢP:
Bài 1. Chuyển động của một vật là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có các phương trình
là:
1
x 4cos(10t )
4
π
= +
(cm) và x
2
= 3cos(10t +
4
3
π
) (cm). Xác định vận tốc cực đại và gia tốc cực đại của vật.

.
Bài 2. Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương có biểu thức x = 5
3
cos(6πt +
2
π
) (cm). Dao
động thứ nhất có biểu thức là x
1
= 5cos(6πt +
3
π
) (cm). Tìm biểu thức của dao động thứ hai.
Hướng dẫn giải:.
Cách 1: Ta có: A
2
=
)cos(2
11
2
1
2
ϕϕ
−−+ AAAA
= 5 cm; tanϕ
2
=
11
11
coscos

3
.Vậy: x
2
= 5cos(6πt +
3
2
π
)(cm).
Bài 2. Một vật tham gia đồng thời ba dao động điều hòa cùng phương với các phương trình: x
1
= 5cos5πt (cm); x
2
=
3cos(5πt +
2
π
) (cm) và x
3
= 8cos(5πt -
2
π
) (cm). Xác định phương trình dao động tổng hợp của vật.
Hướng dẫn giải:.
Cách 1: Ta có: x
1
= 3sin(5πt +
2
π
) (cm) = 3cos5πt (cm); x
2

Câu 1: Hai dao động cùng phương, cùng tần số, có biên độ lần lượt là 3cm và 4cm. Biết độ lệch pha của 2 dao động
là 90
0
, biên độ dao động tổng hợp hai dao động trên là :
A. 1cm B. 5cm C. 7cm D. không tính được
Câu 2: Hai dao động cùng phương, cùng tần số, cùng biên độ và ngược pha nhau. Biên độ dao động tổng hợp hai dao
động trên là :
A. 0 B. 5cm C. 10cm D. không tính được
Câu 3: Hai dao động cùng phương, cùng tần số, có biên độ lần lượt là 2cm và 6cm. Biên độ dao động tổng hợp hai
dao động trên là 4cm khi độ lệch pha của 2 dao động là :
A. 2kπ B. (2k – 1) π C. ( k – ½)π D. (2k + 1 ) π/2 (k nguyên)
Câu 4: Một vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số 10Hz và có biên độ lần lượt là
7cm và 8cm. Hiệu số pha của 2 dao động là π/3 rad. Độ lớn vận tốc của vật khi vật có li độ 12cm là :
A. 314cm/s B. 100cm/s C. 157cm/s D. 120πcm/s
Câu 5: Một vật khối lượng m = 100g thực hiện đồng thời 2 dao động điều hòa cùng phương :
1 2
5 20 12 20
π
= = +
cos ( ); cos( )( )x t cm x t cm
. Năng lượng dao động của vật là :
A. 0,25J B. 0,098J C. 0,196J D. 0,578J
Câu 6: Cho 2 dao động điều hòa :
1 2
3 4 4 4
2
π
π π
= − =cos( )( ); cos ( )x t cm x t cm
. Dao động tổng hợp của 2 dao động

π
= +cos( )( )x t cm
B.
5
8 2 10
12
π
π
= −
cos( )( )x t cm
C.
8 2 10
12
π
π
= −
cos( )( )x t cm
D.
16 10
4
π
π
= +
cos( )( )x t cm
Câu 8: Cho 2 dao động điều hòa :
1 2
2 2 3
3 6
π π
ω ω

2 2
3
3 3
π
π π
= − +
cos( ) cos ( )x t t cm
. Biên độ và pha ban đầu của dao động là :
A. A = 4(cm); ϕ = - π/3(rad) B. A = 4 (cm); ϕ = - π/6(rad)
C. A =
4 3
(cm); ϕ = π/6(rad) D. A =
8
3
(cm); ϕ = 2π/3(rad)
Câu 10: Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số và có phương trình dao động
lần lượt là
1 2
os(20 )( ), 3 os(20 )( )
2
x c t cm x c t cm
π
π
π
= = +
. Phương trình dao động của vật là
A.
14cos(5 )( )
3
x t cm

x t cm
π
π
= −
, phương trình của thành phần dao động thứ nhất là
1
5cos(10 )( )
6
x t cm
π
π
= +
. Phương trình của thành phần dao động thứ hai là
A.
2
8cos(10 )( )
6
x t cm
π
π
= +
B.
2
2cos(10 )( )
6
x t cm
π
π
= +
C.

10 2( / )cm s
C.
10 ( / )cm s
π
D.
10( / )cm s
Câu 13: (ĐH-2009) Cho hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, cùng biên độ và có các pha ban đầu là
3
π
và
6
π
−
. Pha ban đầu của dao động tổng hợp hai dao động trên bằng
A.
2
π
−
B.
4
π
. C.
6
π
. D.
12
π
.
Câu 14: (ĐH-2009) Chuyển động của một vật là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương. Hai dao động này
có phương trình lần lượt là

A. x
2
=
9cos(πt
+
6
π
) (cm). B. x
2
=
cos(πt
+
6
π
) (cm). C. x
2
=
cos(πt
-
6
5
π
) (cm). D. x
2
=
9cos(πt
-
6
5
π

) (cm) có phương trình tổng hợp là
A.x = 4
2
cos(100πt +
4
π
) (cm) B.x = 4
2
cos100πt(cm) C.x = 4cos(100πt +
4
π
) (cm) D.x = 4cos100πt (cm)
Câu 18:Cho 2 dao động
)cos(
1
πω
+= tAx
và
)
3
cos(
2
π
ω
+= tAx
. Biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp
A.
3
;
2

cm/s B. 10
2
cm/s C.10
π
cm/s D. 10cm/s
Câu 20: Một vật đồng thời tham gia 2 dao động cùng phương, cùng tần số có phương trình dao động: x
1
= 8cos(2πt +
π/2) (cm) và x
2
= A
2
cos(2πt + ϕ
2
) (cm). Phương trình dao động tổng hợp có dạng x=8
2
cos(2πt + π/4) (cm). Tính
biên độ dao động và pha ban đầu của dao động thành phần thứ 2:
A. 8cm và 0 . B. 6cm và π/3. C. 8cm và π/6 . D. 8cm và π/2.
Câu 21: Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình li độ
5
3cos( )
6
x t
π
π
= −
(cm). Biết dao động thứ nhất có phương trình li độ
1
5cos( )

= −
(cm). D.
2
5
8cos( )
6
x t
π
π
= −
(cm).
Câu 22: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động cùng phương cùng tần số f=10Hz. Có biên độ A
1
=7cm; A
2
=8cm độ
lệch pha của hai dao động là
π
/3. Vận tốc của vật ứng với li độ tổng hợp x =12cm bằng
A.
10
π
±
m/s B.
10
π
±
cm/s C.
π
±

2
D. 1m/s
2
Câu 25: Cho 3 dao động cùng phương có phương trình lần lượt là x
1
=2Acos(10
π
t+
π
/6), x
2
=2Acos(10
π
t+5
π
/6) và
x
3
=A(10
π
t-
π
/2) (với x tính bằng m, t tính bằng s). Phương trình tổng hợp của ba dao động trên là.
A. x=Acos(10
π
t+
π
/2) cm B. x=Acos(10
π
t-

2
= 2a.cos(2πt -π/2) và x
3
= A
3
cos(2πt + ϕ
3
). Phương trình dao động tổng hợp có dạng x = a
2
cos(2πt - π/4)
(cm). Tính biên độ dao động và pha ban đầu của dao động thành phần thứ 3:
A. a và 0 . B. 2a và π/3. C. a
2
và π/6 . D. 2a
2
và π/2.
Câu 28: Một vật thực hiện đồng thời ba dao động điều hoà cùng phương cùng tần số với phương trình có dạng: x
1
=
3
cos(
π
t) cm; x
2
= 2cos(
π
t +
2
π
) cm; x

= 10 cm, pha ban đầu π/6 và dao
động 2 có biên độ A
2
, pha ban đầu -π/2. Biên độ A
2
thay đổi được. Biên độ dao động tổng hợp A có giá trị nhỏ nhất là
bao nhiêu? A. A = 2
3
(cm) B. A= 5
3
(cm) C. A = 2,5
3
(cm) D. A=
3
(cm)
Giải: Ta biểu diễn các dao động bằng giản đồ véc tơ qauy như hình vẽ bên:
Hình vẽ dễ dàng ta thấy:
A min khi Biên độ dao động tổng hợp A trùng với OM.
A= A
1
cos (π/6) =10
3
/2 = 5
3
(cm) .Chọn B
Và A
2
= A
1
sin (π/6) =10.1/2 = 5 (cm)

A
Sin
αβ
=
2
=>
α
β
Sin
A
SinA .
2
=
.
Theo đề ta có A =5cm, α= π/6. Nên A
2
phụ thuộc vào Sin β.
Trên hình vẽ: A
2
max khi góc đối diện β =π/2 =>
cm
Sin
A
A 10
2
1
5
6
.1
max2

có độ lớn không đổi.
Độ lệch pha giữa 2 dao động thành phần :
3
π
-
12
π
=
4
π
Cạnh OA
1
= 4cm ,OA
2
= 4
2
cm , và góc A
1
OA
2
=π/4
Dễ thấy góc OA
1
A
2
= π/2 và tam giác OA
1
A
2
vuông cân tại A

1
- x
2
= 4cos(4t +5π/6) ( cm) .
Suy ra khoảng cách lớn nhất giữa M
1
và M
2
là x
max
= 4cm( bằng biên độ của x).
Câu 32: Ba con lắc lò xo 1,2,3 đặt thẳng đứng cách đều nhau theo thứ tự 1,2,3. Ở vị trí cân bằng ba vật có cùng độ
cao. Con lắc thứ nhất dao động có phương trình x
1
= 3cos(20πt +
2
π
) (cm), con lắc thứ hai dao động có phương trình
x
2
= 1,5cos(20πt) (cm). Hỏi con lắc thứ ba dao động có phương trình nào thì ba vật luôn luôn nằm trên một đường
thẳng?
A.x
3
= 3
2
cos(20πt -
4
π
) (cm). B.x

hay x
3
= 2x
2
– x
1
→ Dao động của m
3
là tổng hợp của 2 dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số.
Dùng phương pháp giản đồ Fre-nen:
)(2
123
AAA

−+=
Từ giản đồ suy ra: A
3
=
2
1
2
2
)2( AA +
= 3
2
cm
Dễ thấy φ
3
= - π/4 rad → x
3

2
A

2
2A

3
A

O
x’
III
I
A
1
π/4
O
IV
x
II
A2
Hình
Câu 33: Dao động của một chất điểm có khối lượng 100g là tổng hợp
của hai dao động điều hòa cùng phương có phương trình li độ lần lượt
là x
1
=5cos(10
π
t) cm, x
2

B.
2 2 2
1 2
E
A A
ω
+
C.
( )
2 2 2
1 2
E
A A
ω
+
D.
( )
2 2 2
1 2
2E
A A
ω
+
HD: Hai dao động vuông pha :
2
2
2
1
AAA +=
suy ra :

= −
được
6 os( )x c t cm
ω ϕ
= +
. Biên độ A
2
đạt cực đại bằng giaù trò naøo sau ñaâu:
A.
6 3
cm. B.
4 3
cm. C. 12 cm. D. 6 cm.
E.Ý NGHĨA CỦA CHUYÊN ĐỀ :
-Gíup HS giải nhanh trắc nghiệm nhờ sử dụng số phức trên máy tính
-Giúp HS tự tin hơn trong lúc làm bài thi TRẮC NGHIỆM .
-Giúp HS hiểu sâu hơn về kiến thức TỔNG HỢP DAO ĐỘNG.
Các em HS dùng MÁY TÍNH CASIO fx–570ES & Fx- 570ES Plus & Fx-991 ES Plus!
Để GIẢI NHANH TRẮC NGHIỆM TỔNG HỢP DAO ĐỘNG VẬT LÝ 12!
Nguyên tắc thành công: Suy nghĩ tích cực; Cảm nhận đam mê; Hoạt động kiên trì !
Chúc các em học sinh THÀNH CÔNG trong học tập!
Người sưu tầm và chỉnh lý: GV: Đoàn Văn Lượng
 Email: [email protected] ; [email protected]; [email protected];
 Điện Thoại: 0915718188 – 0906848238
Lời giải chi tiết hoặc hướng dẫn
CHUYÊN ĐỀ: TỔNG HỢP DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
Bài 1: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động cùng phương cùng tần số và cùng biên độ có pha ban đầu là
π
/3 và –
π

=
π
/12
Bài 2*: Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình li độ
5
3cos( )
6
x t
π
π
= −
(cm). Biết dao động thứ nhất có phương trình li độ
1
5cos( )
6
x t
π
π
= +
(cm). Dao động thứ hai có
phương trình li độ là
A.
2
8cos( )
6
x t
π
π
= +
(cm). B.

2
suy ra: x
2
=x-x
1
hay x
2
=x+(-x
1
) mà
1
5cos( )
6
x t
π
π
= +
nên –x
1
=
5
5cos( ) 5cos( )
6 6
t t
π π
π π
− + = −
Vậy: x
2
=

±
m/s B.
10
π
±
cm/s C.
π
±
m/s D.
π
±
cm/s
Hd: Áp dụng công thức:
2 2
v A x
ω
= ± −
(1)với
ω
=2
π
f=20
π

2 2 2
1 2 1 2
2 os
2
A A A A A c
π

Bài5: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động cùng phương cùng tần số có phương trình x1=6cos(5
π
t+
π
/3) cm,
x2= 8cos(5
π
t+4
π
/3) cm. Phương trình dao động tổng hợp là
A. x=14cos(5
π
t+
π
/3) cm B. x=2cos(5
π
t+
π
/3) cm.
C. x=10cos(5
π
t+
π
/3) cm D. x=2cos(5
π
t+4
π
/3) cm
Hd:
ϕ

π
/3) x1= -6cos(5
π
t+4
π
/3)
Nên x=x1+x2= - 6cos(5
π
t+4
π
/3) +8cos(5
π
t+4
π
/3) =2cos(5
π
t+4
π
/3) cm
Bài 6: Chuyển động của một vật là tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có phương trình là:
x1=4cos(10t+
π
/4) cm; x2=3cos(10t-3
π
/4) cm. Gia tốc khi nó qua vị trí biên bằng
A. 10cm/s
2
B. 1cm/s
2
C. 10m/s

π
t) cm. Vận tốc của vật lớn nhất bằng
A. 10
2
π
cm/s B. 10
2
cm/s C.10
π
cm/s D. 10cm/s
Hd: V=V
max
=
A
ω
±
. Do độ lệch pha của hai dao động là:
ϕ
∆
=
π
/2 nên 2 dao động vuông pha. Suy ra A=
2 2
1 2
A A+
=2
2
cm. Dễ dàng tính được v=10
2
π

π
/2)
Do đó:
ϕ
∆
=
π
/2 Suy ra A=
2 2
1 2
A A+
=5 cm Và tan
ϕ
=4/3 nên
ϕ

≈
53,1
0
=0,93 rad
Bài 9: Dao động của một chất điểm có khối lượng 100g là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương có
phương trình li độ lần lượt là x1=5cos(10
π
t) cm, x2=10cos(5
π
t) cm (t tính bằng s). Chọn mốc thế năng ở VTCB. Cơ
năng của chất điểm bằng
A. 220J B. 0,1125J C. 0,22J D. 112,5J
Hd: Cơ năng W=
2 2 2

t-
π
/2) cm
C. x=Acos(10
π
t+5
π
/2) cm D. x=Acos(10
π
t-5
π
/2) cm
Hd: Sử dụng phương pháp giản đồ vectơ ta có
1 1 2 2 3 3
sin sin sin
x
A A A A
ϕ ϕ ϕ
= + + =
A
1 1 2 2 3 3
s s s
y
A A co A co A co
ϕ ϕ ϕ
= + + =
0
Từ đó suy ra A
TT
=

π
−
) cm thì dao động tổng hợp là x = Acos(
2
π
t
3
π
−
) cm. Khi năng
lượng dao động của vật cực đại thì biên độ dao động A
2
có giá trị là:
A.
20 / 3
cm B.
10 3
cm C.
10 / 3
cm D. 20cm
Giải:
Vẽ giãn đồ véc tơ như hình vẽ
A = A
1
+ A
2
Năng lượng dao động của vật
tỉ lệ thuận với A
2
Theo định lí sin trong tam giác

1
= 3cos(
3
2
π
t -
2
π
) và x
2
=3
3
cos
3
2
π
t (x
1
và x
2
tính bằng cm, t tính bằng s). Tại các thời điểm x
1
= x
2
li độ
của dao động tổng hợp là:
A. ± 5,79 cm. B. ± 5,19cm. C. ± 6 cm. D. ± 3 cm.
Giải 1: Phương trình dao động tổng hợp
x = 6cos(
3

cos
3
2
π
t
=> tan
3
2
π
t =
3
= tan
3
π
=>
3
2
π
t =
6
π
+ kπ > t =
4
1
+
2
3k
x = 6cos(
3
2

π
t
π
−
5
6
) ; xtổng = 6cos(
2
3
π
t
π
−
6
)
Nhận xét khi x
1
= x
2
thi x
1
-x
2
= 0 khi véc tơ biểu điễn x
hiệu
= x
1
-x
2
vuông góc với trục ngang,

3
π
t
π
−
6
)
Khi x
hiệu
= 0 thì cos(
2
3
π
t
π
−
5
6
) = 0 =>
2
3
π
t
π
−
5
6
=
π
±

2
A
A
1
O
π/3
A
A
1
A
2
π/6
A
1
A
2
A
X
1
x
2
π/6
X
tổng
=x
1
+ x
2
0
X

=2cos(2πt + π/3) cm, x
23
=2
3
cos(2πt +5π/6)mcm, x
31
=2cos(2πt + π)cm. Biên độ dao động của thành phần thứ 2?
A. 1 cm. B. 3 cm. C.
3
cm. D. 2
3
cm.
Giải: Chọn trục Ox như hình vẽ.
Vẽ các giản đồ vec tơ
A
12
=2cm; A
23
= 2
3
cm, A
31
= 2cm
vẽ véc tơ A
A = A
12
+ A
31
Ta thấy A = A
12

23
M

= 2A
1
góc A
23
OM = 30
0
Định lí hàm số cosin: 4A
1
2
= (2
3
)
2
+ 2
2
– 2.2
3
.2 cos30
0
= 4 => A
1
= 1 cm và
Véc tơ A
1
trùng với trục Ox Từ đó suy ra A
2
=

cm B. 9
3
cm C. 7 cm D. 18
3
cm
Giải: Xem hình vẽ
Khi A
2
max , theo ĐL hàm số sin ta có:
2 1
2 1
2
sin / 2 sin / 3
3
A A
A A
π π
= => =
(1)
Tam giác OAA
2
vuông tại A nên ta có:
2 2 2
1 2
9A A
+ =
(2)
Thế (1) vào (2) Ta có:
2 2 2
1 1

x t
π
π
= −
(cm). Biết dao động thứ nhất có phương trình li độ
1
5cos( )
6
x t
π
π
= +
(cm). Dao động thứ hai có
phương trình li độ là
A.
2
8cos( )
6
x t
π
π
= +
(cm). B.
2
2cos( )
6
x t
π
π
= +

π
±
cm/s C.
π
±
m/s D.
π
±
cm/s
Bài 4*: Chuyển động của một vật là tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có phương trình là:
x1=4cos(10t+
π
/4) cm; x2=3cos(10t-3
π
/4) cm. Độ lớn vận tốc khi nó qua vị trí cân bằng là
A. 10cm/s B. 7cm/s C. 20cm/s D. 5cm/s
Bài 5: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động cùng phương cùng tần số có phương trình x1=6cos(5
π
t+
π
/3) cm,
x2= 8cos(5
π
t+4
π
/3) cm. Phương trình dao động tổng hợp là
A. x=14cos(5
π
t+
π

π/6
A
O
Hình vẽ
A
2
π/3
A
1
π/6
C. x=10cos(5
π
t+
π
/3) cm D. x=2cos(5
π
t+4
π
/3) cm
Bài 6: Chuyển động của một vật là tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có phương trình là:
x1=4cos(10t+
π
/4) cm; x2=3cos(10t-3
π
/4) cm. Gia tốc khi nó qua vị trí biên bằng
A. 10cm/s
2
B. 1cm/s
2
C. 10m/s

C. A=1cm;
ϕ
=3
π
/4 rad D. A=5cm;
ϕ
=3
π
/4 rad
Bài 9: Dao động của một chất điểm có khối lượng 100g là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương có
phương trình li độ lần lượt là x1=5cos(10
π
t) cm, x2=10cos(5
π
t) cm (t tính bằng s). Chọn mốc thế năng ở VTCB. Cơ
năng của chất điểm bằng
A. 220J B. 0,1125J C. 0,22J D. 112,5J
Bài 10*: Cho 3 dao động cùng phương có phương trình lần lượt là x1=2Acos(10
π
t+
π
/6), x2=2Acos(10
π
t+5
π
/6)
và x3=A(10
π
t-
π

D. dao động của vật là dao động điều hòa cùng tần số nếu
hai dao động thành phần cùng phương.
Câu 2: Chọn câu đúng. Biên độ dao động tổng hợp của
hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số có
A. giá trị cực tiểu khi hai dao động thành phần lệch pha
π
/2.
B. giá trị bằng tổng biên độ của hai dao động thành phần.
C. giá trị cực đại khi hai dao động thành phần cùng pha.
D. giá trị cực đại khi hai dao động thành phần ngược pha.
Câu 3: Khi tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phương
cùng tần số có biên độ thành phần 4cm và 4
3
cm được
biên độ tổng hợp là 8cm. Hai dao động thành phần đó
A. vuông pha với nhau. B. cùng pha với nhau.
C. lệch pha
3
π
. D. lệch pha
6
π
.
Câu 4: Chọn câu đúng. Khi nói về sự tổng hợp dao động.
A. Biên độ dao động tổng hợp có giá trị cực tiểu, khi độ
lệch pha của hai dao động thành phần bằng một số lẻ của
/ 2
π
.
B. Biên độ dao động tổng hợp có giá trị cực tiểu, khi độ

động tổng hợp lớn nhất là
A.
2
π
α
=
rad. B.
2
π
α
= −
rad.
C.
α π
=
rad. D.
0
α
=
rad.
Câu 6: Hai dao động thành phần có biên độ 4cm và
12cm. Biên độ dao động tổng hợp có thể nhận giá trị
A. 2 cm. B. 4 cm. C. 3 cm. D. 7 cm.
Câu 7: Hai dao động điều hòa (1) và (2) cùng phương,
cùng tần số và cùng biên độ A = 4cm. Tại một thời điểm
nào đó, dao động (1) có li độ x = 2
3
cm, đang chuyển
động ngược chiều dương, còn dao động (2) đi qua vị trí
cân bằng theo chiều dương. Lúc đó, dao động tổng hợp

cm thì
2
0x
=
.
B. Khi
2
2x =
cm thì
1
2 3x
=
cm.
C. Khi
1
2 3x
=
cm thì
2
0x
=
.
D. Khi
1
0x
=
thì
2
2x
= −

2
9 3
cm. C.
15 3
cm. D.
18 3
cm.
II. Các bài toán nên dùng máy tính
1. Bài toán tổng hợp 2 dao động và các tính toán liên
quan
Câu 10: Một vật thực hiện đồng thời 2 dao động x
1
=127cos (ωt-π/3)mm , x
2
=127cos ωt mm .
A. Biên độ dao động tổng hợp là 200mm.
B. Pha ban đầu của dao động tổng hợp là π/6.
C. phương trình dao động tổng hợp là
x = 220cos( ωt - π/6)mm.
D. tần số góc của dao động tổng hợp là ω=2rad/s.
Câu 11: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều
hòa cùng phương theo các phương trình:
x
1
= - 4sin
π
t cm và x
2
= 4
3

lượt là
2
3
π
và
6
π
. Pha ban đầu và biên độ của dao động
tổng hợp của hai dao động trên là
A.
5
12
π
;2cm. B.
3
π
;
2 2
cm.
C.
;2 2
4
π
cm. D.
2
π
; 2cm.
Câu 13: Cho 2 dao ®éng:
x
1

cm; -
2
3
π
rad.
C.
3
cm;
3
π
rad. D. 2
2
cm;
6
π
rad.
Câu 14: Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều
hoà cùng phương, có phương trình lần lượt là
x
1
= 3sin(10t - π/3) (cm); x
2
= 4cos(10t + π/6) (cm) (t đo
bằng giây). Vận tốc cực đại của vật là
A. 50m/s. B. 50cm/s. C. 10m/s. D. 10cm/s.
Câu 15: Hai dao động điều hòa (1) và (2) cùng phương,
cùng tần số và cùng biên độ A = 10cm. Tại một thời
điểm nào đó, dao động (1) có li độ x = 5
3
cm, đang

π
−
. B.
12
π
. C.
4
π
. D.
6
π
.
Câu 18: Chuyển động của một vật là tổng hợp của 2 dao
động điều hòa cùng phương. 2 dao động này có phương
trình lần lượt là:
1
4 os(10 )( )
4
x c t cm
π
= +
và
2
3
3 os(10 )( )
4
x c t cm
π
= −
. Độ lớn vận tốc của vật ở vị

A. 314 cm/s. B. 100 cm/s.
C. 157 cm/s. D. 120π cm/s.
2. Bài toán tổng hợp nhiều dao động
Câu 21: Một vật thực hiện đồng thời ba dao động điều
hòa cùng phương cùng tần số sau:
1 2
3
1,5 os ( ); os( )( );
2 2
x c t cm x c t cm
π
ω ω
= = +
3
5
3 os( )( )
6
x c t cm
π
ω
= −
. Phương trình dao động
tổng hợp của vật là
A.
3 7
os( )
2 6
x c t
π
ω

1
=
3
cos(
π
t) cm; x
2
= 2cos(
π
t +
2
π
) cm;
x
3
= 3cos(
π
t –
2
π
) cm. Phương trình dao động tổng hợp
có dạng
A. x = 2cos(
π
t –
6
π
) cm. B. x = 2cos(
π
t +

+=
tx
.
B.
5 2 os( / 4)x c t
π π
= +

C.
)2/cos(5
ππ
+=
tx
.
D.
)4/cos(5
ππ
−=
tx
.
Câu 24: Có bốn dao động điều hoà cùng phương cùng
tần số có biên độ và pha ban đầu là A
1
=8cm; A
2
=6cm;
A
3
=4cm; A
4

4
cm rad
π
−
.
Câu 25: Một vật thực hiện đồng thời 4 dao động điều
hòa cùng phương và cùng tần số có các phương trình
x
1
= 3sin(πt + π) cm; x
2
= 3cosπt (cm);x
3
= 2sin(πt + π)
cm; x
4
= 2cosπt (cm). Hãy xác định phương trình dao
động tổng hợp của vật
A.
)2/cos(5
ππ
+=
tx
.
B.
5 2 os( / 4)x c t
π π
= +

C.

4
cm rad
π
. B.
3
4 2 ;
4
cm rad
π
.
C.
4 3 ;
4
cm rad
π
−
. D.
3
4 3 ;
4
cm rad
π
−

3. Bài toán tìm một dao động thành phần biết dao
động tổng hợp và các dao động thành phần còn lại
Câu 27: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều
hòa cùng phương
1
6cos(12 / 2)x t

3
2
π
ϕ
=
. C.
A
2
= 12cm,
2
2
π
ϕ
=
. D. A
2
= 12cm,
3
2
π
ϕ
=
.
Câu 28: Một vật tham gia đồng thơi hai dao động điều
hoà cùng phương cùng tần số. Biết phương trình dao
động của vật 1 là
1
8 3 cos( )
6
x t


C.
2
8cos( )( )
6
x t cm
π
ω
= +

D.
2
8cos( )( )
3
x t cm
π
ω
= +
Câu 29 : Cho hai dao động điều hoà cùng phương, cùng
tần số . Biết dao động thứ nhất có biên độ cm và có pha
ban đầu là
2
3
π
. Biết dao động tổng hợp có biên độ và
pha ban đầu lần lượt là 2;
5
12
π
. Biên độ và pha ban đầu

; x
2
=
2 3 os(5 / 2)c t cm
π
+
. Biết phương trình dao động
tổng hợp là:
4 os(5 / 3)x c t cm
π
= +
. Phương trình dao
động x
1
là
A.
2
2cos(5 )
6
x t cm
π
= +

B.
2
2cos(5 )
4
x t cm
π
= +

2
2 3 cos10x t cm
π
=

B.
2
4cos(10 )
4
x t cm
π
π
= +
C.
2
2cos(10 )x t cm
π π
= +
D.
2
2cos(10 )
4
x t cm
π
π
= +
Câu 32: Một vật thực hiên 3 dao động điều hòa. Biết hai
dao động thành phần và một dao động tổng hợp có
phương trình:
1

= +
Câu 33: Một vật tham gia đồng thời vào dao động điều
hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình lần lượt là
1 1
os(20 / 6) .x A c t cm
π
= +
và

2 2
os(20 5 / 6) .x A c t cm
π
= +
Biết tốc độ cực đại trong
quá trình dao động là 140cm/s, biên độ
A
2
=5cm. Biên độ A
1
có giá trị
A. 8cm . B. 7cm. C. 16cm. D.6cm.
4. Bài toán về vận tốc, gia tốc, năng lượng trong dao
động tổng hợp.
Câu 34: Chất điểm m = 50g tham gia đồng thời hai dao
động điều hoà cùng phương cùng biên độ 10 cm và cùng
tần số góc 10 rad/s. Năng lượng của dao động tổng hợp
bằng 25 mJ. Độ lệch pha của hai dao động thành phần
bằng
A. 0. B. π/3. C.π/2. D. 2π/3.
Câu 35 :Một vật nhỏ có khối lượng m = 100g thực hiện

Lấy
2
10
π
=
. Gia tốc của vật ở thời điểm t = 0,25s là
A. -1,4m/s2. B. 1,4m/s2. C. 2,8 m/s2. D. -2,8 m/s2.
Câu 37 : Một vật có khối lượng 200g thực hiện hai dao
động điều hòa cùng phương:

1
6cos(5 )
2
x t
π
π
= −
cm.
2
6cos5x t
π
=
cm. Lấy
2
10
π
=
. Thế năng của vật tại
thời điểm t = 2s là
A. 90mJ. B. 180mJ. C. 900mJ. D. 18mJ.

cos(20t+
π
/6)cm,
x
2
= 3cos(20t + 5
π
/6)cm, Biết vận tốc cực đại của vật là
140cm/s. Biên độ A
1
của dao động thứ nhất là
A. 8cm. B. 6cm. C. 9cm. D. 7cm.
Câu 40: Một vật xuất hiện đồng thời 2 dao động cùng
phương có dạng
1
6cos(20 )
6
x t
π
= −
(cm) và
2 2
cos(2 )
2
x A t
π
π
= +
(cm). Biết dao động tổng hợp có
vận tốc cực đại v

cm. D. 4
3
cm.
Câu 42: Một vật khối lượng m=200g thực hiện đồng thời
2 dao động điều hòa cùng phương có phương trình dao
động
1
3cos(15 )
6
x t
π
= +
(cm) và
2 2
cos(15 )
2
x A t
π
= +
(cm). Biết cơ năng dao động tổng
hợp của vật 0,06075J. Biên độ A
2
là
A. 1cm. B. 3cm. C. 4cm. D.6cm.
Câu 43: Một vật thực hiện 2 dao động điều hòa cùng
phương, cùng tần số có phương trình lần lượt là
1
5
3sin(20 )
6

2max
?
A π/3; 8cm B π /6;10cm
C. π/6; 10cm D.B hoặc C
Câu 45: Hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần
số, dao động 1 có biên độ A
1
= 10 cm, pha ban đầu π/6 và
dao động 2 có biên độ A
2
, pha ban đầu -π/2. Biên độ A
2

thay đổi được. Biên độ dao động tổng hợp A có giá trị
nhỏ nhất là bao nhiêu?
A. A = 2
3
(cm) B. A= 5
3
(cm)
C. A = 2,5
3
(cm) D. A=
3
(cm)