Điện động lực học lượng tử 1
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010 MỤC LỤC MỞ ĐẦU .................................................................................................................................... 2
1. Phƣơng trình Dirac ..................................................................................................................3
2. Các nghiệm của phƣơng trình Dirac .....................................................................................6
3. Hiệp biến song tuyến tính.................................................................................................... 12
4. Photon .................................................................................................................................... 15
5. Các qui tắc Feynman cho Điện động lực học lƣợng tử ................................................... 18
6. Ví dụ ....................................................................................................................................... 22
7. Thủ thuật Casimir và Định lý vết ....................................................................................... 27
8. Tiết diện va chạm và thời gian sống .................................................................................. 31
9. Sự tái chuẩn hóa.................................................................................................................... 38
KẾT LUẬN .............................................................................................................................. 44
TÀI LIỆU THAM KHẢO..................................................................................................... 45

Điện động lực học lượng tử 2
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010

quang tử. Một điện tích điểm trần trụi không tồn tại trong bức tranh của họ. Điện tích
luôn tạo ra một đám các cặp hạt-phản hạt ảo ở xung quanh nó, do đó, mô men từ hiệu
dụng của nó thay đổi và thế năng Coulomb cũng bị biến đổi tại các khoảng cách ngắn.
Các tính toán từ mô hình này đã tái tạo lại các dữ liệu thực nghiệm của Kusch và Lamb
với một độ chính xác ngạc nhiên và mô hình điện động lực học lƣợng tử mới đƣợc coi là
một lý thuyết chính xác nhất đã từng có. Tomonaga, Schwinger và Feynman cùng nhận
giải Nobel vật lý năm 1965. Phát triển này của điện động lực học lƣợng tử lại có một tầm
quan trọng vĩ đại nhất cho cả việc miêu tả các hiện tƣợng vật lý năng lƣợng cao.
Điện động lực học lượng tử 3
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010
1. Phương trình Dirac

Mẫu ―ABC‖ tuy là một lý thuyết trƣờng lƣợng tử hoàn toàn phù hợp nhƣng nó
không mô tả đƣợc thế giới thực vì các hạt A,B,C có spin bằng 0, trong khi đó các quark
và lepton mang spin 1/2, và các trung tử mang spin bằng 1. Việc tính đến spin có thể là
khá phức tạp về mặt số học; đó là lý do tại sao ta đƣa ra phép tính Feynman trong ngữ
cảnh của một lý thuyết ―đồ chơi‖ hoàn toàn không có những rắc rối trên. Trong cơ học
lƣợng tử phi tương đối tính các hạt đƣợc mô tả bởi phƣơng trình Schrödinger, còn trong
cơ học lƣợng tử tương đối tính các hạt có spin bằng 0 đƣợc mô tả bằng phƣơng trình
Klein – Gordon, các hạt có spin 1/2 bởi phƣơng trình Dirac và các hạt có spin 1 bởi
phƣơng trình Proca. Tuy nhiên một khi các qui tắc Feynman đã đƣợc thiết lập thì phƣơng
trình trƣờng cơ bản mất dần hiệu lực về căn bản. Nhƣng với các hạt có spin 1/2, kí hiệu
của qui tắc Feynman đã giả định về sự tƣơng tự với phƣơng trình Dirac. Thế nên trong ba
phần tiếp theo, ta sẽ nghiên cứu lý thuyết Dirac trong theo đúng nghĩa của nó.
Ta đã thiết lập đƣợc phƣơng trình Schrödinger bằng việc bắt đầu với hệ thức năng
xung lƣợng cổ điển

áp dụng cách mô tả lƣợng tử :

và để toán tử thu đƣợc tác dụng lên hàm sóng



2
) là xác suất tìm thấy hạt ở
điểm (x,y,z)]. Nguồn gốc của sự khó khăn này là do phƣơng trình Klein – Gordon là
phƣơng trình bậc hai theo thời gian t (phƣơng trình Schrödinger là phƣơng trình bậc nhất
theo t). Vì thế Dirac bắt đầu tìm kiếm một phƣơng trình phù hợp với công thức năng –
xung lƣợng tƣơng đối tính bậc nhất theo thời gian. Nhƣng năm 1934 Pauli và Weisskopf
đã chỉ ra rằng ý nghĩa thống kê tự nó đã có vấn đề trong lý thuyết lƣợng tử tƣơng đối tính,
và hoàn trả phƣơng trình Klein – Gordon trở lại đúng vị trí tuyệt vời của nó, trong khi
vẫn duy trì phƣơng trình Dirac cho các hạt có spin 1/2.
Chiến lƣợc cơ bản của Dirac là ―đặt thừa số‖ cho hệ thức năng – xung lƣợng
(1.4). Việc này sẽ trở nên dễ dàng nếu ta chỉ có p
0
(tức nếu p = 0) :

Ta đƣợc hai phƣơng trình bậc nhất :
hoặc
Phƣơng trình nào trong số hai phƣơng trình này đều đảm bảo rằng p

p


- m
2
c
2
=0.
Nhƣng sẽ là một vấn đề khác khi ba thành phần còn lại của p


= 
2
= 
3
= 1, nhƣng dƣờng nhƣ không có cách
nào tránh khỏi ―các số hạng chéo‖. Ở điểm này, Dirac đã có một ý tƣởng sáng giá: nếu 
là các ma trận thay vì các con số thì sẽ nhƣ thế nào ? Khi các ma trận là không giao hoán,
ta có thể tìm thấy một tập hợp sao cho : với

Hay ngắn gọn hơn là:

với g

là ma trận Minkowski, và dấu móc nhọn thể hiện một phản giao hoán tử. Ta có thể tự giải quyết vấn đề này một cách bình thƣờng. Điều này có thể thực hiện đƣợc,
mặc dù ma trận nhỏ nhất là 4  4. Có một số tập hợp tƣơng đƣơng các ―ma trận gamma‖;
ta sẽ sử dụng qui ƣớc chuẩn ― Bjorken và Drell ‖ :

Trong đó 
i
(i = 1,2,3) là các ma trận Pauli đã chỉ ra, 1 biểu thị cho ma trận đơn vị cấp 2
 2, 0 biểu thị cho ma trận cấp 2  2 của các số 0.
Điện động lực học lượng tử 6
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010
Nhƣ một phƣơng trình ma trận cấp 4  4, hệ thức năng – xung lƣợng tƣơng đối


độc lập đối với vị trí :

Cùng với (7.5), phƣơng trình này mô tả một trạng thái có xung lƣợng lƣợng bằng
không( p = 0 ). Phƣơng trình Dirac giản ƣớc thành : Hoặc : Điện động lực học lượng tử 7
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010
Trong đó

mang hai thành phần phía trên, và

mang hai thành phần phía dƣới. Do đó

Và các nghiệm là : Ta xem thừa số

nhƣ là sự phụ thuộc thời gian đặc trƣng của một trạng thái lƣợng tử với năng lƣợng E.
Đối với một hạt đứng thì E = mc
2
, do đó

A
trong trƣờng hợp p = 0 chính xác là cái mà

cho

(x) thỏa mãn phƣơng trình Dirac ( lúc này p

(E/c,p) chỉ đơn giản là một tập hợp
của bốn tham số tùy ý, nhƣng vì chúng biểu diễn cho năng lƣợng và xung lƣợng nên đơn
giản nhất là ta gán cho chúng các kí tự thích hợp ngay từ khi bắt đầu). Do sự phụ thuộc
vào x xác định bởi số mũ

Thay biểu thức này vào phƣơng trình Dirac (7.20), ta có :

hoặc
Phƣơng trình này đƣợc biết đến nhƣ là ―phƣơng trình Dirac trong không gian xung
lƣợng ‖. Lƣu ý rằng đó là một phƣơng trình thuần túy đại số và không có đạo hàm. Nếu u
thỏa mãn phƣơng trình (2.12) thì

(ở phƣơng trình 2.10) thỏa mãn phƣơng trình Dirac
(1.20).
Ta có :

Do đó :

Điện động lực học lượng tử 9
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010
Trong đó chỉ số dƣới A biểu thị cho hai thành phần phía trên và B biểu thị cho hai thành
phần phía dƣới. Để thỏa mãn phƣơng trình (2.12), ta phải có

Thay u
B
vào u
đặt

thì đặt

thì đặt

thì Với (1) và (2) ta phải dùng dấu cộng ở phƣơng trình (2.21), nếu không u
B
sẽ bất
định khi p  0, đây là điều dễ hiểu với hàm sóng các hạt. Với (3) và (4) ta buộc phải
dùng dấu trừ, đó là các trạng thái của phản hạt. Thông thƣờng ta chuẩn hóa các spinor
này theo cách sao cho

Với dấu cộng kí hiệu cho liên hợp chuyển vị (hay ―liên hợp Hermit‖)

Do đó Vậy bốn nghiệm là :

, chẳng hạn, không phải là một trạng thái riêng của 
z
.
Tuy nhiên, nếu ta hƣớng trục z theo chiều chuyển động thì (trƣờng hợp này p
x
= p
y
= 0)
thì u
(1)
, u
(2)
,u
(3)
và u
(4)
là các spinor riêng của S
z
; u
(1)
và u
(3)
là spin hƣớng lên, u
(2)
và u
(4)

là các spin hƣớng xuống.
Nhƣ đã nói ở phần trƣớc thì E và p (trong biểu thức 2.10) là các tham số toán học
tƣơng ứng năng lƣợng và xung lƣợng trong vật lí, và điều này hoàn toàn đúng cho các

Từ đó ta sẽ không đề cập đến u
(3)
và u
(4)
nữa; các nghiệm ta sẽ dùng là u
(1)
, u
(2)

(biểu diễn hai trạng thái spin của một electron với năng lƣợng E và xung lƣợng p) và

(1)
, 
(2)
(biểu diễn hai trạng thái spin của positron với năng lƣợng E và xung lƣợng p).
Lƣu ý rằng trong khi u thỏa mãn phƣơng trình Dirac (2.13) trong không gian xung lƣợng
dƣới dạng Thì  tuân theo phƣơng trình với dấu của p

ngƣợc lại : Một cách ngẫu nhiên, sóng phẳng là các nghiệm đặc biệt của phƣơng trình Dirac.
Chúng mô tả các hạt với các năng lƣợng và xung lƣợng đặc trƣng, và trong một thí
nghiệm đơn giản chúng là các tham số mà ta có thể đo và điều chỉnh đƣợc.

3. Hiệp biến song tuyến tính


là bất biến tƣơng đối tính. Với S
+

0
S = 
0
, và do đó :

Ta đã phân biệt đƣợc vô hƣớng và giả vô hƣớng theo các tính chất của chúng theo
các phép biến đổi chẳn lẽ, P: (x,y,z)

(-x,-y,-z) . Các giả vô hƣớng thay đổi dấu, còn các
vô hƣớng thì không. Vậy là vô hƣớng hay giả vô hƣớng? Trƣớc hết ta cần biết spinor.
Dirac biến đổi nhƣ thế nào theo P. Một lần nữa, ta sẽ không thiết lập nó mà chỉ trích dẫn
kết quả :
Điện động lực học lượng tử 14
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010

Theo đó

Vì thế ( ) là bất biến theo phép biến đổi chẵn- lẽ, nó là một vô hƣớng. Nhƣng ta cũng
có thể đồng thời thực hiện một giả vô hƣớng không có

:

với

Theo phép biến đổi chẵn lẽ

[lƣu ý là (

2
, 
1

0
= - 
0

1
, 
0

0
=
0

0
)
do đó

Tƣơng tự, 
5
cũng phản giao hoán với các ma trận  khác:

Trong bất kì trƣờng hợp nào thì

do đó nó là một giả vô hƣớng.
Nhƣ vậy, có 16 tích có dạng

i

,

,


5
và 

cấu thành một cơ sở của không gian của mọi ma trận cấp 4  4, bất kì
một ma trận 4  4 nào đều có thể viết dƣới dạng phụ thuộc tuyến tính của 16 số hạng này.
Đặc biệt nếu gặp phải tích của năm ma trận chẳng hạn, thì ta có thể chắc chắn rằng nó có
thể đƣợc rút gọn thành tích của không nhiều hơn hai thành phần). Bây giờ ta chú ý đến
các kí hiệu ở (7.68). Đặc tính tensor của các hiệp biến song tuyến tính, và thậm chí là tính
chất của chúng theo toán tử chẳn lẽ đƣợc chỉ ra dễ dàng : giống nhƣ một vectơ
bốn chiều, và nó thực sự là một vectơ bốn chiều. Nhƣng 

tự nó không hẳn là một
vectơ bốn chiều, nó là một tập hợp của 4 ma trận cố định (1.17), chúng không đổi khi ta
dịch chuyển qua một hệ quán tính khác, sự thay đổi là của

.

4. Photon

Trong điện động lực cổ điển điện trƣờng và từ trƣờng (E và B) đƣợc thiết lập bởi
mật độ điện tích

và mật độ dòng J, đƣợc xác định bởi các phƣơng trình Maxwell :

Trong kí hiệu tƣơng đối tính, E và B lập thành một tensor phản xứng bậc hai,


Hoặc theo kí hiệu vectơ 3 chiều,

.J = -
/ t


; đây là một phƣơng trình liên tục
diễn tả sự bảo toàn của điện tích trong trƣờng.
Giống nhƣ với các phƣơng trình Maxwell thuần nhất, (iii) tƣơng đƣơng với cách
phát biểu rằng B có thể đƣợc viết dƣới dạng tích hữu hƣớng của thế vectơ A :

Khi đó (ii) trở thành

cũng tƣơng đƣơng với phát biểu rằng
  
1/ /E c A t  
có thể đƣợc viết nhƣ là một
gradient của thế vô hƣớng V :

Theo kí hiệu tƣơng đối tính, phƣơng trình (4.3) và (4.5) trở thành :

với
Dƣới dạng thế vectơ 4 chiều, các phƣơng trình Maxwell không thuần nhất (4.4)
cho :

Trong điện động lực cổ điển, các trƣờng là các thực thể vật lí, các thế là các công
thức toán học hữu ích đơn giản. Do biểu thức của thế năng luôn tự phù hợp với hệ các
phƣơng trình Maxwell : với các biểu thức (4.3) và (4.4), (ii) và (iii) luôn đƣợc thỏa mãn,
nên V và A ta đã định nghĩa nhƣ trên là có thể hợp lý. Nhƣng ở phƣơng trình (4.8) sự

, nên ta
có thể hoặc là (1) chấp nhận sự bất định, nghĩa là chấp nhận một số bậc tự do không rõ
ràng, hoặc (2) buộc một điều kiện bổ sung, nó phá vỡ tính hiệp biến Lorentz của lý thuyết
này. Cả hai phƣơng pháp này đều đƣợc sử dụng trong việc hình thành điện động lực học
lƣợng tử mà ta sẽ tiếp tục nghiên cứu. Trong không gian tự do, nơi mà J

= 0 , ta chọn

Điều kiện định cỡ Lorentz lúc này là

Cách chọn này (phép định cỡ n Coulomb) là khá đơn giản, nhƣng bằng cách chọn
một thành phần (A
0
) với cho phƣơng pháp đặc biệt ta bị giới hạn ở một hệ quán tính cụ
thể (hoặc nó buộc ta thực hiện một phép biến đổi chuẩn trong trong mối tƣơng quan với
mọi phép biến đổi Lorentz duy trì điều kiện chuẩn Coulomb).
Trong điện động lực lƣợng tử A

trở thành hàm sóng của photon. Photon tự do
thỏa mãn phƣơng trình (4.11) với J

= 0

ta thấy rõ đó cũng chính là phƣơng trình Klein – Gordon cho hạt không khối lƣợng. Nhƣ
trƣờng hợp phƣơng trình Dirac, ta tìm các nghiệm sóng phẳng với xung lƣợng
p = (E/c,p):

trong đó



= + s hoặc m
s
= - s , nói cách khác, độ xoắn của nó chỉ
có thể là + 1 hoặc -1.

5. Các qui tắc Feynman cho Điện động lực lượng tử

Trong phần 2 ta đã tìm thấy rằng các electron và positron tự do có xung lƣợng
p = (E/c,p) với năng lƣợng E = (m
2
c
4
+ p
2
c
2
)
1/2
đƣợc mô tả bởi hàm sóng

với s =1,2 cho hai trạng thái spin. Các spinor u
(s)
và

(s)
thỏa mãn các phƣơng trình Dirac
trong không gian xung lƣợng :

và các liên hiệp của chúng,