Rút gọn biểu thức Nguyễn Bá phúc - gv: trờng THCS mã thành
Rút gọn biểu thức chứa biến

NGuyễn bá phúc - GV: Trờng THCS Mã
thành
Trong chơng trình Toán lớp 9, việc rút gọn các biểu thức là vấn đề vô cùng quan
trọng(chiếm khoảng từ 1,5 đến 3,5 điểm trong các kì thi), vì thế, mà tôi muốn giới thiệu bài
Toán này tới bạn đọc. Mong các em hiểu sâu hơn và nắm vửng cách làm về dạng toán này.
A. lí thuyết.
1) Bài Toán quy đồng mẩu thức các phân thức.
Trong chơng trình lớp 8, SGK đã giới thiệu cho chúng ta phơng pháp quy đồng mẩu thức
các phân thức nh sau.
B ớc 1. Tìm mẩu thức chung(MTC)
Trong bớc này các em cần làm các việc sau:
- Phân tích các mẩu thức thành nhân tử.
- Lập tích gồm các NTC có số mủ cao nhất và các NT riêng để có MTC.
B ớc 2. Tìm NTP của từng phân thức. (để tìm NTP các em cần lấy MTC vừa tìm đợc
chia cho MT riêng của từng phân thức).
B ớc 3. Quy đồng. (Nhân cả tử và mẩu của từng phân thức với NTP tơng ứng).
Ví dụ 1: Quy đồng mẩu thức các phân thức sau:
a)
1
2
1

x
và
1
2
2
1

và: x
2
2x + 1 = (x 1)
2
khi phân tích xong ta thấy Nhân tử chung là (x
1), còn nhân tử riêng là (x + 1)


MTC là: (x 1)
2
. (x + 1)
Tìm đợc MTC rồi, ta tiến hành tìm nhân tử phụ(NTP) của từng phân thức:
Để tìm NTP của phân thức
1
2
1

x
ta lấy MTC là (x 1)
2
. (x + 1) chia cho Mẩu
thức riêng của nó là (x
2
1) hay (x 1)(x + 1)

Vì (x 1)
2
. (x + 1)
M
(x 1)(x + 1) = x 1

= x + 1


NTP của phân thức
1
2
2
1
+
xx
là: (x + 1)
Công việc còn lại của chúng ta là quy đồng các phân thức đã cho.
- Để quy đồng mẩu của phân thức ta lấy tử và mẩucùng nhân với nhân tử
phụ của nó là (x 1). Tức là:
( ) ( ) ( ) ( )
11
1
11
1
22
11
++

==

xx
x
xxx

Tơng tự:

và: x 4
x
+ 4 = (
x
2)
2
MTC là: (
x
2)
2
. (x + 2)
+) NTP của phân thức
4
1

x
là: (
x
- 2)
+) NTP của phân thức
44
1
+
x
x
là: (
x

2
2
1
x
=
( ) ( )
22
2
2
+
+
xx
x
c) Tơng tự.
B. Các dạng toán liên quan.
Dạng 1. Bài toán tìm x để biểu thức P = m (m là hằng số)
Bớc 1. Sử dụng tính chất
cbda
d
c
b
a

==
để làm mất mẩu của phơng trình.
Bớc 2. Giải phơng trình vừa thu đợc để tìm đợc x.
Bớc 3. Đối chiếu điều kiện và chọn nghiệm hợp lí.
Ví dụ: Cho A =
1x
x

x
- 2


2 = 2
x
-
x



x
= 2

x = 4 (TMĐK)
Vậy với x = 4 thì A =2.
b) A =
3
2



1x
x
=
3
2


3



1x
x
=
2
1



2
x
= - (
x
- 1)

2
x
= -
x
+ 1


2
x
+
x
= 1

3

Bớc 3. Giải bất phơng trình trên để tìm đợc x.
Chúc các em học tập tốt ! ! !
2
Rút gọn biểu thức Nguyễn Bá phúc - gv: trờng THCS mã thành
Bớc 4. Đối chiếu điều kiện và chọn nghiệm hợp lí.
Ví dụ: Cho A =
1
1
+

x
x
(với x

0).
Tìm các giá trị của x để:
a) A >
3
1
. b) A <
5
2
c) A


2
1
Giải: Ta có:
a) A >
3

+

x
x
-
)1(3
)1(
+
+
x
x
> 0



)1(3
)1()1(3
+
+
x
xx
> 0


)1(3
133
+

x
xx


x > 4
Vậy với x > 0 thì A >
3
1
.
b) A <
5
2



1
1
+

x
x
<
5
2



1
1
+

x
x



)1(5
2255
+

x
xx
< 0


)1(5
73
+

x
x
< 0 (**)
Vì với điều kiện x

0 thì 5(
x
+ 1) > 0

(**)

3
x
- 7 < 0


c) A


2
1



1
1
+

x
x



2
1



1
1
+

x
x
-
2


0


)1(2
122
+

x
xx


0


)1(2
3
+

x
x


0 (***)
Vì với điều kiện x

0 thì 2(
x
+ 1) > 0


2
1
.
Dạng 3. Bài toán so sánh biểu thức P với m (m là hằng số)
Bớc 1. Tính P m = ?
Bớc 2. Nhận xét dấu của hiệu P m để có kết quả so sánh.
+) Nếu P m > 0 thì P > m.
+) Nếu P m < 0 thì P < m.
+) Nếu P m = 0 thì P = m.
Ví dụ: Cho P =
x
x 1
(với x > 0).
Hãy so sánh P với 1.
Chúc các em học tập tốt ! ! !
3
Rút gọn biểu thức Nguyễn Bá phúc - gv: trờng THCS mã thành
Giải: Ta có: P 1 =
x
x 1
- 1 =
x
x 1
-
x
x
=
x
xx )1(
=

x
=
x
xx + )1(
=
x
1
Vì với x > 0 thì
x
> 0


x
1
> 0

P 1 > 0

P > 1. (đpcm)
Dạng 5. Bài toán tìm x để biểu thức P nhận giá trị nguyên (nguyên dơng)
Bớc 1. Biến đổi biểu thức P về dạng:
P = m +
)(xA
n
(m, n

Z, A(x) là biểu thức chứa x)
Bớc 2. Biện luận:
Vì m


x
x
=
1
3)1(

+
x
x
=
1
1


x
x
+
1
3
x
= 1 +
1
3
x

Để P nhận giá trị nguyên thì
1
3
x
phải nhận giá trị guyên, mà










=
=
=
=
0
2
)(2
4
x
x
VNx
x








=

x
=
2
2)2(

+
x
x
=
2
2


x
x
+
2
2
x
= 1 +
2
2
x

Để P nhận giá trị nguyên thì
2
2
x
phải nhận giá trị guyên, mà
2









=
=
=
=
1
3
0
4
x
x
x
x









=

20
0

=
2
0

= 0 (loại)
Với x = 9 thì M =
29
9

=
23
3

= 3 > 0 (TM)
Với x = 1 thì M =
21
1

=
1
1

= - 1 < 0 (loại)
Vậy với x = 16 và x = 9 thì M nhận giá trị nguyên dơng.
Dạng 6. Bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.
a) Khái niệm:
+) Nếu P(x)

Bớc 3. Tiến hành tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của A(x) để có đợc giá trị lớn
nhất hoặc nhỏ nhất của P
Bớc 4. Tìm điều kiện để xảy ra dấu bằng.
Bớc 5. Kết luận.
Ví dụ 1: Cho P =
1
3
+
+
x
x
(với x

0).
Tìm giá trị lớn nhất của P.
Chúc các em học tập tốt ! ! !
5
Rút gọn biểu thức Nguyễn Bá phúc - gv: trờng THCS mã thành
Giải: Ta có: P =
1
3
+
+
x
x
=
1
2)1(
+
++


1

Giá trị nhỏ nhất của
x
+ 1 là 1


Giá trị lớn nhất của P là: 1 +
1
2
= 3
Mặt khác:
x
+ 1 = 1


x
= 0

x = 0.
Vậy: Giá trị lớn nhất của P là 3, đạt đợc khi x = 0.
Ví dụ 2: Cho M =
1
1
+

x
x
(với x

2
+

x
Ta thấy: Vì ở đây n = - 2 < 0 nên: Để M đạt giá trị nhỏ nhất thì
x
+ 1 phải đạt giá
trị nhỏ nhất.
Vì:
x


0


x
+ 1

1

Giá trị nhỏ nhất của
x
+ 1 là 1


Giá trị lớn nhất của M là: 1 +
1
2
= - 1
Mặt khác:

nghiệm phân biệt không âm.
Tức là: Phơng trình (2) phải có:










>

>
0
0
0
a
c
a
b
+) Để phơng trình (1) có 1 nghiệm phân biệt thì phơng trình (2) phải có hai
nghiệm trái dấu, hoặc phải có một nghiệm âm và một nghiệm bằng không, hoặc
phải có nghiệm kép không âm.
Tức là: Phơng trình (2) phải có (3 trờng hợp):
Trờng hợp 1. Phơng trình (2) có hai nghiệm trái dấu: a.c < 0
Chúc các em học tập tốt ! ! !
6
Rút gọn biểu thức Nguyễn Bá phúc - gv: trờng THCS mã thành

0
2
0
a
b
Ví dụ: Cho phơng trình: x 2(m 1)
x
+ 1 2m = 0 (1) (với m là tham số)
a) Giải phơng trình khi m =
2
1
.
b) Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình (1) có:
1) Hai nghiệm. 2) Một nghiệm.
Giải:
Đặt
x
= y (*) (ĐK: y

0)
Khi đó phơng trình (1) trở thành: y
2
2(m 1)y + 1 2m = 0 (2)
a) Khi m =
2
1
thì phơng trình (2) trở thành: y
2
+ y = 0


= 0

x = 0
Vậy khi m =
2
1
thì phơng trình có nghiệm là x = 0.
b/1) Để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì phơng trình (2) phải có:











>

>
0
0
0'
a
c
a
b







>
>
12
01
0
2
m
m
m











>

2
1
1

>
0
0
0
a
c
a
b



( )
[ ]







=
<
>

021
0)1(2
0)21(
1
2
m





<

2
1
1
0
m
m
m










0
2
1
m
m

Trờng hợp 3. Phơng trình (2) có nghiệm kép không âm:

0)21(
1
2
m
m
m









=
1
0
2
m
m







=
1

1
1.
1
1
1
1

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn A.
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 3 - 2
2
.
c) Tìm các giá trị của x để x.A =
3
8
.
Bài 2. Cho biểu thức : B =






+








+
+

+
a) Rút gọn P . b) Tính giá trị của P với a = 9
Bài 4. Cho biểu thức : Q =
x 2 x 2 x 1
.
x 1
x 2 x 1 x

+ +

ữ
ữ

+ +

,
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn Q.
b) Tìm số nguyên x lớn nhất để Q có giá trị nguyên.
Bài 5. ( 3 điểm ) Cho biểu thức :
1
2
1
.)
1
1
1
1

ữ ữ
ữ ữ

+

a) Rút gọn C. b) Tìm giá trị của x để:
CC
>
c) Tìm giá trị của x để: C
2
= 40C.
Bài 7. Cho biểu thức:
4 3 2 4
:
2 2 2
x x x x
P
x x x x x

+
= +
ữ ữ
ữ ữ


a) Rút gọn P. b) Tìm các giá trị của x để P > 0
c) Tính giá trị nhỏ nhất của
P
d) Tìm giá trị của m để có giá trị x > 1 thoả mãn: m(
x

xx
x
xxx
xx
A
a) Rút gọn biểu thức . b) Tính giá trị của
A
khi
324
+=
x
Bài 9. ( 3 điểm ) Cho biểu thức :
xxxxxx
x
A
++
+
=
2
1
:
1
Rút gọn biểu thức A .
Coi A là hàm số của biến x vẽ đồ thi hàm số A .
Bài 10. ( 2,5 điểm ) Cho biểu thức :
1 1 1 1 1
A= :
1- x 1 1 1 1x x x x

+ +

+ +
+ + + +
a) Rút gọn biểu thức A .
b) Chứng minh rằng biểu thức A luôn dơng với mọi a .
Bài 13. Cho biểu thức
2 3 2 2 4
4
2 2 2 2
( ) : ( )
x x x x
P
x
x x x x x
+ +
= +

+
a) Rút gọn P. b) Cho
2
3
11
4
x
x

=
. Hãy tính giá trị của P.
Bài 14. Xét biểu thức
( )
2 2

( ) ( )
a 3 a 2 a a 1 1
P :
a 1
a 1 a 1
a 2 a 1

+ + += +
ữ


+
+

a) Rỳt gn P. b) Tỡm a
1 a 1
1
P 8
+

Chúc các em học tập tốt ! ! !
9
Rút gọn biểu thức Nguyễn Bá phúc - gv: trờng THCS mã thành
Bài 17. Cho biu thc
x 1 2 x
P 1 : 1
x 1



+
+
+
1
1.
1
1
a
aa
a
aa

a) Rỳt gn P. b) Tỡm a bit P >
2

.
c) Tỡm a bit P =
a
.
Bài 19. Cho biu thc
x 1 x 1 8 x x x 3 1
B :
x 1 x 1
x 1 x 1 x 1

+
=
ữ ữ







+
+
1
1
4
:
1
2
x
x
x
x
x
x
x
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P < 1 c) Tìm x để đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 21. (2 điểm) Cho biểu thức:
ab
ba
aab
b
bab
a

xx
x
x
x
M
a) Rút gọn biểu thức M. b) Tìm x để M 2.
Bài 23. : Cho biểu thức M =
25 25 5 2
1 :
25
3 10 2 5
a a a a a
a
a a a a

+

ữ ữ
ữ ữ

+ +

a) Rút gọn M. b) Tìm giá trị của a để M < 1
c) Tìm giá trị lớn nhất của M.
Bài 24. Cho biểu thức P =
( )
( )
( )
2 2
2








+


+
=
1
2
1
1
:
1
22
1
1
x
xxxxx
x
x
P
Rút gọn biểu thức Nguyễn Bá phúc - gv: trờng THCS mã thành
Bài 25. Cho biểu thức A =
3 1 1 1 8
:

a) Rút gọn A. b) Tìm x để A =
6 6
5

c) Chứng tỏ A
2
3

là bất đẳng thức sai
Bài 27. Cho biểu thức P =
3 1 2
:
2 2
2 2 1 1
x x x x
x
x x x x x

+ +
+ +
ữ ữ
ữ ữ

+ +

a) Rút gọn P. b) Chứng minh rằng P > 1
c) Tính giá trị của P, biết
2 3x x+ =
d) Tìm các giá trị của x để :
( ) ( )( )

P
x
+

Tìm x để Q max.
Bài 29. Cho biểu thức P =
2 2
2 2
1 :
xy x xy y
xy xy
x y x xy y xy

+
+ +
ữ ữ
ữ ữ
+ + +

a) Rút gọn P
b) Tìm m để phơng trình P = m 1 có nghiệm x, y thoả mãn
6x y+ =
Bài 30. Cho biểu thức P =
2 1
.
1
1 2 1 2 1
x x x x x x x x
x
x x x x x





+










+


+

+
+
=
1
2:
3
2
2
3
65




+
+
1
1
4
:
1
2
x
x
x
x
x
x
x
a/ Rút gọn P
b/ Tìm x để P < 1 ; c/ Tìm x để đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 33. Cho biểu thức
a/ Rút gọn P. b/ Tìm x để
2
5
1

P
Bài 34. Cho biểu thức:
1x
2x








+




=
2x
x
x
2x
:
x2
3
x2x
4x
P
a/ Rút gọn P ; b/ Tìm x để
x3 - 3xP =
c/ Tìm các giá trị của a để có x thoả mãn :
ax1)xP( +>+
Bài 36. Cho biểu thức:



1x2
2x
3x
6x5x
9x2
P

+


+

+

=
a. Rút gọn P. b. Tìm các giá trị của x để P<1. c. Tìm
Zx
để
ZP
.
Bài 38. Cho biu thc
( ) ( )
a 3 a 2 a a 1 1
P :
a 1
a 1 a 1
a 2 a 1

+ + +


nhn giỏ tr nguyờn.
Bài 40. Cho biểu thức P =



















+
+
+
1
1
1
1
a
aa

c) Tớnh giỏ tr ca M ti a =
32
3
+
.
2) Tớnh
5724057240
+
Bài 42. Cho biểu thức: N =
a a a a
1 1
a 1 a 1

+
+
ữ ữ
ữ ữ
+


a) Rút gọn biểu thức N.
b) Tìm giá trị của a để N = - 2004.
Bài 43. Cho biểu thức: A =








c) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên dơng.
d) Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình A.x = m có một nghiệm.
Bài 44. Cho biểu thức: M =


















+

+

x
x
x
x
x

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn P.
b) Chứng minh rằng P <
3
1
với mọi giá trị của x thuộc tập xác định.
c) Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình m.P = 1 có nghiệm.
Chúc các em học tập tốt ! ! !
13