Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95
Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015!
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B có
3
SA SB SD a
= = =
,
cạnh
; 3
AB a AD a
= = và

0
60
BDC = . Tính thể tích khối chóp S.ABD và khoảng cách từ điểm B đến mặt
phẳng (SCD) theo a.
Lời giải:
Do
3
SA SB SD a
= = =
nên hình chiếu vuông góc của
S lên mặt phẳng đáy trùng với tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABD và là trung điểm H của BD.
Ta có:
2 2

HE CD
⊥
,
HF SE
⊥
ta có:
(
)
HF SCD
⊥ .
Lại có:
0
3
sin 60
2
a
HE HD= = ;
2 2 2
1 1 1
HF HE SH
= +

Suy ra
( )
( )
24 24
2
35 35
HF a d B SCD a= ⇒ = .
Đáp số:

AD DM AM
ADM
AD DM
+ −
= =
.
Do vậy

0
60
ADC = hay tam giác ACD
đều. Khi đó / /
CH AM CD
⊥
.
Ta có:
( )


0
; 45
SCD ABC SCH= = .
Suy ra
3
2
a
SH CH AM= = = .
Vậy
( )
3

6
;
8
a
d O SCD = .
Đáp số:
3
.
6
;
4 8
S ABCD
a a
V d= =
Câu 3: Cho hình chóp .
S ABC
có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A với
2 2
AB a= . Hình chiếu
vuông góc của S lên mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm tam giác ABC, góc giữa SB và mặt đáy bằng
0
60
.
Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB).
Lời giải:
Gọi N là trung điểm của AC ta có:
2
AN a
=
2 2

; 3 ;
d C SAB d G SAB
= . Dựng
GM AB
⊥
và
GK SM
⊥
khi đó
(
)
GK SAB
⊥ .
Lại có:
2 2 2
1 1 1
GK SG GM
= + trong đó
2 2 2 30
3 3 6
a a
GM AN GK= = ⇒ =

Đáp số:
3
8 30 30
;
9 2
a a
V d= = .

cos
5
AB
ABM
BC
= =
.
Khi đó:

2 2 2
2 . .cos
AM AB BM AB BM ABM
= + −
29 1 29
5 2 5
AM a AH a⇒ = ⇒ =
Do đó:
2 2
331
20
SH SA AH a= − = .
Khi đó:
3
.
1 331
. 2
3 20
S ABC ABC
V SH S a= = .
Dựng

2 3
SA a
= và SC tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng
0
30 .
Tính theo a thể tích của khối
chóp S.ABCD và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC).
Lời giải:
Ta có:
2
.
HA AD SA
= ( hệ thức lượng trong tam
giác vuông SAD)

2 2 2
3
12 4
4
AD SA a AD a HD a
⇒ = = ⇒ = ⇒ =
.
Lại có
2
. 3 3
SH HD HA SH a HC a
= ⇒ = ⇒ =
.
Khi đó
2 2

d H SBC
= . Dựng ;
HE CD HF SE
⊥ ⊥
ta có:
2 2
. 6
2
11
HE SH
HF a
SH HE
= =
+
.
Do đó
( )
( )
2 6
;
3 11
d M SCD a= .
Vậy
3
.
8 2 2 6
;
3 3 11
S ABCD
a

+
= = = .
Ta có:
2
2
2
.
3
HS SA
HS BS SA
BS BS
   
= ⇒ = =
   
   

Do vậy
( )
( )
( )
( )
3
; ;
2
d H SCD d B SCD
= .
Lại có:
( )
( )
( )

. 3
4
AC SA
AK a d H SCD a
SA AC
= = ⇒ =
+
.
Vậy
3
2 3
;
2 4
a
V d a
= = .
Câu 7: Cho hình lăng trụ đứng
. ' ' '
ABC A B C
với
AB a
=
và

0
60 .
BAC = Cạnh
' 2 3
A C a
= và tạo với mặt

=

= ⇒

=



Khi đó
3
0
. ' ' '
1 9
'. ' .sin 60
2 4
ABC A B C
a
V AA AB AC= = .
Do
( )
( )
( )
( )
1
3 ; ' ; '
3
AB MB d M A BC d A A CD
= ⇒ =
Dựng
; '

= + − =Do vậy
( )
( )
2 2
3 . ' 3 15
; '
2 5 15
'
a AE A A a
AE AF a d M A BC
AE A A
= ⇒ = = ⇒ =
+
.
Vậy
3
9 15
;
4 15
a a
V d= = .
Câu 8: Cho hình lăng trụ đứng
. ' ' '
ABC A B C
với
AB a
=

=

= ⇒

=



Khi đó
3
0
. ' ' '
1 9
'. . .sin60
2 4
ABC A B C
a
V AA AB AC= = .
Dựng
AH CM
⊥
, khi đó AH là đường vuông góc
chung của A’A và CM.
Mặt khác:

. . .sin 2
MAC
AH CM AM AC MAC S
= = .
2 2 0


Câu 1. [ĐVH]: Cho góc
π
α π;
2
−
 
∈ −
 
 
thỏa mãn:
1
sin α
5
= . Tính
2
cot 2
α tanα
π
sin α
2
A
−
=
 
−
 
 
.
Lời giải:

5 5
2tanα
1 2
2
cos
α 8
5
A
−
−
−
+
+
−
−
= = =
−
.
Vậy
5 5
8
A
−
= là giá trị cần tìm.
Câu 2. [ĐVH]: Cho
2
4tan 4tan .sin 1
x x x
− =
.

.
Tính giá trị của biểu thức
4
2
2cos 5
2cos 5cos sin
2sin 1
x
B x x x
x
−
 
= + − −
 
+
 
.
Lời giải.
Ta có
2 2
2cos 1 6 sin 5cos 2cos 5cos sin 5
x x x x x x
− + = + ⇔ − − = −
.
Lại có
2 2
cos sin 6 5cos sin
x x x x
− + = +
( ) ( )

.
cot
5 1
x
x
−
=
+
Tính
2 2
sin tan cos cot sin 2 .
P x x x
= + +
Lời giải:
Ta có
(
)
2
2 2
3 3 4 4 2 2
sin cos
sin cos sin cos 2sin cos 2
2sin cos
cos sin sin cos sin cos sin 2
x x
x x x x x x
P x x
x x x x x x x
+
+ +

2 2
1 2 2
sin 2 1 cos 2 1 1 sin 2 .
5 5 5
x x x
   
⇒ = − = − = ⇒ = ±
   
   

Mà
3 3 2
; 2 ; sin 2 0 sin 2 .
2 4 2
5
x x x x
π π π
π
   
∈ ⇒ ∈ ⇒ < ⇒ = −
   
   
Thế vào (1) ta có
2
5.
2
5
P = = −
−


+

Lời giải:
Ta có
(
)
( ) ( )
3 2
2 3 2
2 2 5 2 3 2
sin .2sin cos 2cos 1 cos
2sin cos 2cos sin
sin cos sin sin sin cos sin 1 sin
x x x x x
x x x x
P
x x x x x x x x
− −
−
= =
− + − −

(
)
( )
2 2
2 2 4 3
2 3 2 2 2 3
2 2
2sin cos 1 cos

π
 
∈ ⇒ < ⇒ = −
 
 
Thế vào (1) ta có
3
4
128
5
2 .
3
27
5
 
 
= −
 
 
−
 

Đ/s:
128
.
27
P = −
Câu 6. [ĐVH]: Cho góc
α
thỏa mãn

α cos α cosα cos α cos α
A
 
+
 
+
 
= = = + = + + +
Vì
1 15
tan
2 8
A
α
= ⇒ =

Câu 7. [ĐVH]: Cho góc
α
thỏa mãn:
2
π
α π
< <
và
5
sin
3
α
= . Tính
3


2 2
4
cos 1 sin
9
α α
= − =

Vì
;
2
π
α π
 
∈
 
 
nên
( )
2 1 9
cos 0 cos
3 cos 1 cos 2
A
α α
α α
< ⇒ = − ⇒ = = −
+

Câu 8. [ĐVH]: Cho góc
α

sin cos sin cos sin cos 3sin cos 1 3sin cos .
α α α α α α α α α α
= + − = + − = −
Do đó
2 2 3
1 3sin cos sin
P
α α α
= − + (1)
Bài ra có
2
2
2 2
2 2 2 2 1
cos sin 1 cos 1
3 3 3
α α α
 
 
= ⇒ = − = − =
 
 
 
 
 
(2)
Mà
3
sin 0.
2

= − − + − = − − =
 
   
 
   
 

Vậy
2
.
3
P
=

Câu 9. [ĐVH]: Cho góc
π
α ;π
2
 
∈
 
 
thỏa mãn:
4
cosα
5
= −
. Tính
π cosα
tan α

= ⇒ = = −
.
Mặt khác
4
π 3
tanα tan 1
cos
α 5
5
4 4
π 3 3
1 sin
α 14
1 tanα.tan 1 1
4 4 5
A
−
+ − +
= + = + = −
−
+
− − +
.
Vậy
5
14
A
= −
là giá trị cần tìm.
Câu 10. [ĐVH]: Cho góc

.
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95
Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015!
Do
3π
α ;2π
2
 
∈
 
 
nên
1 1
cotα 3 tanα
cot
α 3
= − ⇒ = = −
.
Mặt khác
( )
( )
( )
2
2
2tanα 2
2tan
α 3
1 tan α 3
1
1 cot

3
cos2
5
α
−
= . Tính
3 3
3
8cos
α 2sin α cosα
2cos
α sin α
A
− +
=
−
.
Lời giải:
Ta có:
2 2
2
3
1
1 cos2α 1 1
5
cos
α tan α 1 4
2 2 5 cos
α
−

2 tan α
cos α
A
− +
− − +
= = =
− −
 
−
 
 
.
Vậy
29
18
A = là giá trị cần tìm.
Câu 12. [ĐVH]: Cho
8 5
sin ;tan
17 12
a b= = với
,
a b
là các góc nhọn.
Tính giá trị của biểu thức
(
)
(
)
sin .cos

 

Từ đó suy ra
( ) ( ) ( )( )
2
2940
sin .cos sin .cos sin .cos cos .cos sin .sin
221
P a b a b a b b a a b a b= − + = − − = CHÚC CÁC EM CHINH PHỤC THÀNH CÔNG LƯỢNG GIÁC TRONG ĐỀ THI 2015

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95
Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015!
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

Câu 1. [ĐVH]: Cho số phức
z
thỏa mãn
(
)
(
)
(
)
2 1 3 1 2 .

b

2
1 23 4
2 1 1
5 25 5
 
= + − = +
 
 
w i i
nên phần thực của
w
là
23
25
.

Câu 2. [ĐVH]: Cho số phức
1 3
z i
= − +
. Tính mô-đun của số phức
2
3
w z z z
= + −

Lời giải
Ta có

3 5 5
−
⇔ + + + = − ⇔ + = − ⇔ = ⇔ = −
+
i
i z i i i z i z z i
i

2
4 8
1
5 5
63 16
25 25
 
⇒ = + −
 
 
= − −w i
i

Nên phần ảo của
w
là
16
25
− .
Câu 4. [ĐVH]: Cho số phức
3 2
z i

2
3 2 0.
z z
− + =

Tính giá trị biểu thức
( )
2 2
2
1 2 1 2
A z z z z
= − + +
Lời giải
Theo định lí Vi-et ta có
( ) ( )
1 2
2 2
1 2 1 2 1 2
1 2
1
1 8 23
3
4
2
9 3 9
3

+ =



Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015!
Suy ra
23 2 11
2.
9 3 9
= − + = −
A
Câu 6. [ĐVH]: Cho các số phức
1 2
2 ; 1 3
z i z i
= + = −
.
Tìm phần thực và phần ảo của số phức
1 2 1 2
2 .
w z z z z
= + −
Lời giải
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 1 3 2 1 3 6 8
= + + − − + + = −
w i i i i i

1 2 1 2
3 3 2 1 4 3 3 2 . 1 4 11 36 11 36
= + + = + + + + − − = − − ⇒ = − +
w z z z z i i i i i w iCâu 8. [ĐVH]: Tìm số phức
z
thỏa mãn
1
1
z z
z z
+
+ =

Lời giải
Giả thiết
2 2
z z z zz
⇔ + + =

Đặt
( , )
z a bi a b
= + ∈
ℝ
ta có
(
)

Vậy
1
0
z
=
và
2
1
z
= −
là các số phức thỏa mãn đề bài.
Câu 9. [ĐVH]: Cho số phức
z
thỏa mãn
2 1
iz z i
+ = −
. Tìm phần ảo của số phức
w iz
=
.

Lời giải:
Đặt
(
)
,
z a bi a b z a bi
= + ∈ ⇒ = −
ℝ . Khi đó ta có:

Vậy phần ảo của w bằng 1.
Câu 10. [ĐVH]: Cho
1 2
z i
= +
. Tìm số phức nghịch đảo của
2
.
w z z z
= + .

Lời giải:
Ta có:
( ) ( )( )
2
2 2
1 2 1 2 1 2 4 4 1 1 4 4 2
w i i i i i i i
= + + + − = + + + − = +
.
( )( )
2
1 1 2 4 2 4 2 4 1 1
ω
4 2 2 4 2 4 4 16 20 10 5
i i i
i
w i i i i
− − −
⇒ = = = = = = −


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95
Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015!
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
2 4 2 4 2 4 1
2 19 2 19 2 19
1 1 2
3 2 19 3 3 2 19
3 2 2 2 3
3 4
3 19 4 19 4
i z i a bi i i a bi
z i a bi i a b i
i i
i a bi a b i a b a b i a b i
a b a a b a
z i

(
)
,z a bi a b= + ∈
ℝ

( )
(
)
( )
(
)
( ) ( )
3 3 1 2 3 3 3 3 1 2 3
3 3 3 2 3 2 3 2 3 1
1
3 2 3 2 3 3 2 3
1 3
3
3 3 2 3 1 3 2
z i z i a b i i a bi i
a b i a b b a i
a
a a b a b
z i
b
b b a a b
+ = − − ⇔ + + = + − −
⇔ + + = − + + − +
 
=

x t
d y t
z t
= − +


= −


= − +

. Viết phương trình đường thẳng
∆
đi qua
,
A
cắt và vuông góc với
d
.
Lời giải:
Đường thẳng
d
có véctơ chỉ phương là
(
)
2; 1;4
d
u = −

.

.
Vậy phương trình
∆
là:
4 2 4
.
3 2 1
x y z
+ + −
= =
−

1
1
: 1 2
1 2
x t
d y t
z t
= +


= +


= +


Câu 14. [ĐVH]: Trong không gian với hệ tọa độ
Ox

− + = ⇔ =
.
Ta có:
( )
( )
2 2 2
2 2 2 2 2
2 4 4 4
; 5 3 4 4 4 2 0 0 2
5
a b c b c
d I b bc b c b
a b c b c
α
+ − −
= − = ⇔ = ⇔ = ⇔ + = ⇔ = ∨ = −
+ + +
.

0 0
b a
= ⇔ =
. Chọn
1
c
= ⇒
Phương trình
(
)
α

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95
Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015!
Câu 15. [ĐVH]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
2 1 2
:
1 1 2
x y z
d
+ − −
= =
−
và mặt
phẳng
(
)
: 2 2 7 0.
Q x y z
− − + =
Tìm tọa độ điểm
B
là giao điểm của
d
và
(
)
.
Q
Viết phương trình mặt cầu
(
)

)
(
)
(
)
(
)
2 2 1 2 2 2 7 0 1 1;0;4 .
B Q b b b b B∈ ⇒ − − − − + + = ⇔ = ⇒ −
Do
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2;1 ;2 2 1;1 ;2 2 1 1 2 2 6 1 .
I d I t t t BI t t t BI t t t t∈ ⇒ − − + ⇒ = − − − ⇒ = − + − + − = −


Bài ra
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2
2 2
2
0 2;1;2 : 2 1 2 6
6 6 1 6
2 0; 1;6 : 1 6 6
t I S x y z
BI t
t I S x y z

2 1 2
:
1 1 2
x y z
d
+ − −
= =
−
và hai mặt
phẳng
(
)
(
)
: 2 2 3 0, : 2 2 7 0.
P x y z Q x y z
+ + + = − − + =
Gọi A, B lần lượt là giao điểm của d với (P) và (Q).
Tính độ dài đoạn thẳng AB. Viết phương trình mặt cầu
(
)
S
có tâm
I
là trung điểm của AB và bán kính
.
R AB
=

Lời giải:

A P a a a a A
 
∈ ⇒ − + − + + + = ⇔ = − ⇒ − −
 
 

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 1 2 2 2 7 0 1 1;0;4 .
B Q b b b b B∈ ⇒ − − − − + + = ⇔ = ⇒ −
Bài ra
I
là trung điểm của
8 5 2
; ; .
3 3 3
AB I
 
⇒ −
 
 


( )
2 2 2
8 5 2 188
: .
3 3 3 3
S x y z
     
+ + − + − =
     
     

Câu 17. [ĐVH]: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho các điểm
(
)
(
)
(
)
1;2; 1 , 3;0;1 , 2;3; 2
A B C
− −
. Tính
khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng trung trực của AB.
Lời giải:

Gọi (P) là mặt phẳng trung trực cảu AB. Ta có trung điểm của AB là
(
)

4
;
3
1 1 1
d C P
− − −
= =
+ − +

Vậy
4
3
d = .
Câu 18. [ĐVH]: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho các điểm
(
)
(
)
(
)
2;1;0 , 2;1;2 , 1;1; 3
A B C
− −
.
Chứng minh rằng điểm C không nằm trên mặt phẳng trung trực của AB. Viết phương trình mặt cầu tâm C
tiếp xúc với mặt phẳng đó.
Lời giải:


P

ta có:
2.1 3 1 0
+ + ≠
nên điểm C không thuộc mặt phẳng (P).
Gọi
(
)
S
là mặt cầu cần tìm ta có tâm mặt cầu là
(
)
1;1; 3
C
−
và bán kính
( )
( )
2 2
6
6
;
5
2 1
R d C P= = =
+
.
Khi đó
( ) ( ) ( ) ( )

: 2
3
x t
d y t
z t
= +


= −


= +

.
Chứng minh rằng đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu tâm A, bán kính bằng
5.

Lời giải:

Phương trình mặt cầu tâm
(
)
4;3;4
A bán kính
5
R = là
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
: 4 3 4 5
S x y z

Do đó
(
)
(
)
1; 2;0 ; 5
AH AH d A d R
− − ⇒ = = =

nên đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu tâm A, bán kính
bằng
5.

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95
Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015!
Câu 20. [ĐVH]: Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
điểm
(
)
1; 1;3
A − và mặt phẳng
( ): 2 1 0
P x y z
− + − =
. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (P). Viết phương trình mặt phẳng trung trực
của AH.
Lời giải:
Phương trình đường thẳng AH qua A và vuông góc với
(

)
(
)
1 2 1 2 3 1 0
t t t
+ − − − + + − =

5 1 2 13
6 5 ; ;
6 6 3 6
t t H
 
⇔ = ⇔ = − ⇒
 
 
. Gọi I là trung điểm của AH ta có:
7 1 31
; ;
12 6 12
I
−
 
 
 

Phương trình mặt phẳng trung trực của AH nhân
(
)
1; 2;1
P

nên phương trình đường thẳng AB là:
1
2 4
1
x t
y t
z
= +


= − +


=

.
Gọi
(
)
1 ; 2 4 ;1
M t t
+ − + là giao điểm của AB và (P) ta cho
(
)
M P
∈ ta có:
(
)
1 2 4 2 5 0
t t

4
MH = là giá trị cần tìm.
Câu 22. [ĐVH]: Trong không gian toạ độ Oxy cho điểm
(
)
4; 2;0
A − và đường thẳng
3 1 4
:
2 1 2
x y z
d
− − −
= = . Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc H của A trên đường thẳng d và viết phương trình
mặt cầu tâm A và tiếp xúc với đường thẳng d.
Lời giài:
Phương trình tham số của d:
3 2
1
4 2
x t
y t
z t
= +


= +


= +

Vậy
( ) ( ) ( )
2 2
2
: 4 2 17
S x y z
− + + + =

CHÚC CÁC EM CHINH PHỤC THÀNH CÔNG SỐ PHỨC – OXYZ TRONG ĐỀ THI 2015

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95
Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015!
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

Câu 1: Tính tích phân
( )
2
1
3ln 2
. 2ln 1
e
x
I dx
x x
+
=
+

ln 2 1 ln3
2 2 1 4 4 2 1 4 6
2 1 2 2 1
t
I dt dt t
t t
t t
 
 
+
= = + = + − = +
 
 
 
 
+ +
+ +
 
 
∫ ∫
.
Vậy
3ln3 1
4 6
I
= +
.
Câu 2: Tính tích phân
( )
2

3 2
2
24 8
I
π π
= + +

Tính
2
2
0
cos2
I x xdx
π
=
∫
: Đặt
sin 2
cos2
2
du dx
u x
x
dv xdx
v
=

=



.
Câu 3: Tính tích phân
2
2
0
sin sin
1 cos
x x
I dx
x
π
+
=
+
∫
.
Lời giải :
Ta có :
( )
( )
2 2
2 2 2 2 2
2
0 0 0 0 0
0
cos
sin sin 1 cos
ln 1 cos 1 cos
1 cos 1 cos 1 cos 1 cos
d x

0
3 4
1 2 1
x
I dx
x
+
=
+ +
∫
.
Lời giải:
DỰ ĐOÁN CÂU TÍCH PHÂN TRONG KÌ THI THPTQG 2015
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95
Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015!
Đặt
2
2 1 2 1
t x t x tdt dx
= + ⇒ = + ⇒ =
.
Đổi cận:
0 1
4 3
x t
x t
= ⇒ =
= ⇒ =

1 3 3
t
I t t dt t t t
t
 
 
= − + − = − + − + = −
 
 
+
 
 
∫
.
Vậy
46
3ln 2
3
I = − .
Câu 5: Tính tích phân
2
1
2 3.2 2
x x
dx
I
−
=
− +
∫

= ⇒ =
. Khi đó:
( )( )
4 4 4
2
2 2 2
1 1 1 1 1
ln2 2 3 ln 2 1 3 4ln2 1 3
dt dt
I dt
t t t t t t
 
= = = −
 
+ − − + − +
 
∫ ∫ ∫

4
2
1 1 1 15
ln ln
4ln 2 3 4ln2 7
t
t
−
= =
+

Vậy

2
1 1
1
3 3
2 2 1 2 3ln 5 6ln 2
2
t t t
I tdt t dt t t
t t
 
+ +
 
⇒ = = + + = + + = +
 
 
 
 
∫ ∫
.
Vậy
5 6ln 2
I
= +
là giá trị cần tìm.
Câu 7: Tính tích phân
6
2
1
5 4
I x x dx

2
0
3 cos
I x xdx
π
= −
∫
.
Lời giải:

Ta có:
2 2
0 0
cos 3 cos
I x xdx xdx
π π
= −
∫ ∫
.
2
1
0
cos
I x xdx
π
=
∫
. Đặt
, cos sinx
u x du dx dv xdx v

Vậy
1 2
4
2
I I I
π
= − = −
là giá trị cần tìm.
Câu 9: Tính tích phân
( )
1
2
3
0
x
I x x e dx
= +
∫
.
Lời giải:
Ta có:
1 1
2
3
0 0
x
I x xdx xe dx
= +
∫ ∫
.

1
2
2
0
x
I xe dx
=
∫
. Đặt
2
2
;
2
x
x
e
u x du dx dv e dx v= ⇒ = = ⇒ = .
Do đó:
1 1
1
2 2 2 2 2 2 2
2
0
0 0
1 1
2 2 2 4 2 4 4 4
x x x
xe e e e e e e
I dx
+

2 2
ln 3
I x dx x x dx
− −
= + +
∫ ∫
.
1
1
4
3
1
2
2
15
4 4
x
I x dx
−
−
−
= = =
∫
.
( )
1
2
2
ln 3
I x x dx

2 2 3 2 2 3
x x
x
I dx x dx
x x
− −
−
 
+
= − = − − +
 
+ +
 
 
∫ ∫1
2
2
9ln 3
3 3
ln2 8ln2
4 2 2 4
x
x x
−
 
+
= − − + = − −

)
0;4
B . Gọi M, N lần lượt là
trung điểm các cạnh BC, CD, đường AM đi qua điểm
(
)
5;3
E . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông biết điểm
N có tung độ âm và nằm trên đường thẳng
: 2 6 0
d x y
− − =
.
• Với
(
)
(
)
(
)
(
)
2;2 4;0 ; 0; 4 ; 4;0
M C D A⇒ − − .
• Với
( )
2 6 4 8 24 12
; ; ; ; ; 5;8
5 5 5 5 5 5
M C D A

(
)
(
)
4;0 ; 0;4 ; 4;0 ; 2; 2
A B C D
− −
.
Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD với
2
BC BA
=
. Gọi
(
)
1;1
E là điểm
trên cạnh BC sao cho
1
4
BE BC
= và điểm
4 8
;
5 5
H
 
 
 
là giao điểm của BD và AE. Tìm tọa độ các đỉnh của

E
− −
và điểm
B
thuộc đường thẳng
: 4 0
d x
+ =

Đ/s:
(
)
(
)
(
)
2;2 , 4;0 , 0; 4
A B C
− −

Câu 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại I. Kẻ
AH, BK lần lượt vuông góc với BD, AC. Biết AH, BK cắt nhau tại E. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật
đã cho biết phương trình các đường BK, IE lần lượt là
3 5 0; 1 0
x y x y
− + = + + =
và
3 4
;
5 5


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95
Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015!
vuông góc của M lên các cạnh BC, CD lần lượt là
(
)
(
)
10;6 , 13;4
E F . Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật
đã cho.
• Với
(
)
4 4;4
t D= ⇒ , do đó
(
)
(
)
(
)
: 4; : 10 10;8 ; 10;4 ; 4:8
DF y BC x B C A= = ⇒
• Với
(
)
(
)
(

Câu 8: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD có phương trình đường chéo
:3 13 0
AC x y
+ − =
, điểm B thuộc trục tung, trên các tia đối của tia CB và DC lấy các điểm M và N sao cho
BM DN
=
. Biết
15 11
;
2 2
K
 
 
 
là trung điểm của MN tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông ABCD.
Đ/s:
(
)
(
)
0;3 ; 6;5
B D và
(
)
(
)
2;7 ; 4;1
A C hoặc
(