Câu 1: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy.
a) Chứng minh tam giác SBC vuông.
b) Gọi H là chân đường cao vẽ từ B của tam giác ABC. Chứng minh (SAC) ⊥ (SBH).
c) Cho AB = a, BC = 2a. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC).
Câ
u
Ý Nội dung
Điểm
4
0,25
a)
SA ⊥ (ABC) ⇒ BC ⊥ SA, BC ⊥ AB (gt)⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB
0,50
Vậy tam giác SBC vuông tại B 0,25
b)
SA ⊥ (ABC) ⇒ BH ⊥ SA, mặt khác BH ⊥ AC (gt) nên BH ⊥ (SAC)
0,50
BH ⊂ (SBH) ⇒ (SBH) ⊥ (SAC)
0,50
c)
Từ câu b) ta có BH ⊥ (SAC) ⇒
d B SAC BH( ,( )) =

BH AB BC
2 2 2
1 1 1
= +
0,50
2 2
2
2 2

= ⇒ =
+
+
0,50
4
0,25
a)
Tam giác ABC đều,
,M BC MB MC AM BC∈ = ⇒ ⊥
(1)
0,25
1
( )
. .SAC SAB c g c SBC∆ = ∆ ⇒ ∆
cân tại S
SM BC⇒ ⊥
(2) 0,25
Từ (1) và (2) suy ra BC ⊥ (SAM)
0,25
b)
(SBC)
∩
(ABC) = BC,
( )
,SM BC cmt AM BC⊥ ⊥
0,50
·
SBC ABC SMA(( ),( ))⇒ =
0,25
AM =

3 .
1 1 1 . 3
4
5
3
3
4
= + ⇒ = ⇒ = =
+
+
0,25
Câu 3: (3,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, đường cao SO =
a 3
. Gọi I
là trung điểm của SO.
a) Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SCD).
b) Tính góc giữa các mặt phẳng (SBC) và (SCD).
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD.
Câu Ý Nội dung Điểm
4
0,25
a) Gọi M, N lân lượt là trung điểm của CD và CB.
S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên có: OM ⊥ CD, SM ⊥ CD ⇒ CD ⊥ (SOM)
Vẽ OK ⊥ SM ⇒ OK ⊥ CD ⇒ OK ⊥(SCD) (*)
0,25
I là trung điểm SO, H là trung điểm SK ⇒ IH // OK ⇒ IH ⊥ (SCD) (**)
Từ (*) và (**) ta suy ra IH =
2
OK
0,25

MQ MS MC a a a
= + = + = ⇒ =
0,25
2
·
MQ NQ MN
MQN
MQ NQ
2 2 2
cos
.
+ −
⇒ =
=
·
0
1
120
2
MQN− ⇒ =
0,25
c)
AC ⊥ BD, AC ⊥SO ⊂ (SBD) (do SO⊥(ABCD)) ⇒AC⊥(SBD).
Trong ∆SOD hạ OP ⊥ SD thì cũng có OP⊥ AC
0,50
a
d AC BD OP
OP SO OD a a a
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 5 30

0,25
( ) ( )
SC AM AC AS AM AD AB AS AM AD AM AB AM AS AM. . . . . .= − = + − = + −
uur uuur uuur uur uuur uuur uuur uur uuur uuuruuuur uuur uuur uur uuur
( )
AB AS AM SD AM SB AM. . 0= − = = ⇒ ⊥
uuur uur uuur uuur uuur
0,25
Vậy
SC AMN( )⊥
0,25
b)
SA ABCD SA BD AC BD BD SAC BD AK SAC( ) , ( ) ( )⊥ ⇒ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⊂
0,50
AK AMN( )⊂
,MN // BD
MN AK⇒ ⊥
0,50
c)
SA ABCD( )⊥

⇒
AC là hình chiếu của SC trên (ABCD) ⇒
( )
·
SC ABCD SCA,( ) =
0,50
·
( )
SA a

0,50
b)
SA ABCD SA a( ),⊥ =
, các tam giác SAB, SAD vuông cân
⇒
FE là đường
trung bình tam giác SBD
FE BD⇒ P
0,25
BD AC FE AC SA ABCD BD SA FE SA, ( )⊥ ⇒ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥
0,50
FE SAC FE AEF SAC AEF( ), ( ) ( ) ( )⊥ ⊂ ⇒ ⊥
0,25
c)
SA ABCD( )⊥
nên AC là hình chiếu của SC trên (ABCD)
·
SCA
ϕ
⇒ =
0,50
SA a
AC
a
0
1
tan 45
2 2
ϕ ϕ
⇒ = = = ⇒ =


các tam giác SAB, SAD vuông tại A
0,25
BC AB
BC SB SBC
BC SA

⊥
⇒ ⊥ ⇒ ∆

⊥

vuông tại B 0,25
4
CD AD
CD SD SDC
CD SA

⊥
⇒ ⊥ ⇒ ∆

⊥

vuông tại D 0,25
b) Tính góc hợp bởi các mặt phẳng (SCD) và (ABCD).
SCD ABCD CD( ) ( )∩ =
AD ABCD AD CD( ),⊂ ⊥
,
SD SCD SD CD( ),⊂ ⊥
0,50

⇒ =
0,25
·
·
2 2 2 2 2 2
0
3
7 3 4 tan 3
2
60
SA AD a
SA SD AD a a a MA a SMH
AM a
AMH
= − = − = ⇒ = = ⇒ = = =
⇒ =
0,25
·
·
0
3
: 90 .sin
2
a
SHM SHM SH SM SMH∆ = ⇒ = =
0,25
Câu 7: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy,
SA =
a 2
.

vuông tại D 0,25
BC AB
BC SB SBC
BC SA

⊥
⇒ ⊥ ⇒ ∆

⊥

vuông tại B 0,25
b) Chứng minh rằng: (SAC)
⊥
(SBD) .
BD AC
BD SAC
BD SA
( )

⊥
⇒ ⊥

⊥

0,50
BD SBD BD SAC SAC SBD( ), ( ) ( ) ( )⊂ ⊥ ⇒ ⊥
0,50
c) Tính góc giữa SC và mp (SAB) .
SA ABCD( )⊥ ⇒
hình chiếu của SC trên (ABCD) là AC

Chứng minh: (SAB) ⊥ (SBC).
BC AB BC SA,⊥ ⊥

BC SAB( )⇒ ⊥
0,50
BC SBC SBC SAB( ) ( ) ( )⊂ ⇒ ⊥
0,25
b)
Chứng minh: BD ⊥ (SAC)
BD AC BD SA,⊥ ⊥
0,50
BD SAC( )⇒ ⊥
0,50
c)
Cho SA =
a 6
3
. Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD)
Vì
SA ABCD( )⊥ ⇒
AC là hình chiếu của SC trên (ABCD)
0,25
( )
·
( )
·
·
SC ABCD SC AC SCA,( ) ,= =
0,25
·

⊥


AD SAB AD SA SAD( )⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ∆
vuông tại A 0,5
b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SD và BC.
*)
BC AD BC SAD( )⇒P P
*) Gọi M,N,Q lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SD, BC ⇒
MN BQ AD
MN BQ AD
,
1
2



= =


P
⇒
MNQB là hình bình hành
NQ MB⇒ P
0,25
AD SAB AD MB( )⊥ ⇒ ⊥
mà BC//AD, NQ//MB nên
BC NQ⊥
0,25
AD MB⊥

µ
µ
¶
µ
0 0
1 1 1 1
90 90C F D F ID CF+ = ⇒ + = ⇒ ⊥
mặt khác
CF SI CF SIK SID SFC( ) ( ) ( )⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥
0,50
Hạ
IH SK d I SFC IH( ,( ))⊥ ⇒ =
AD FD a a a a
KFD AID KD IK ID KD
ID
. 5 5 5 3 5
,
5 2 5 10
∆ ∆ ⇒ = = = − = − =
:
IK a IH SI IK a a a
2 2 2 2 2 2 2 2
1 100 1 1 1 4 20 32
45 3 9 9
⇒ = ⇒ = + = + =
0,50
7
a a
IH IH
2

d BB AC d BB AA C C d B AA C C( , ) ( ,( )) ( ,( ))
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
= =
0,50
AC a
BM AA C C d B AA C C BM
2
( ) ( ,( ))
2 2
′ ′ ′ ′
⊥ ⇒ = = =
0,50
Câu 11: (3,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông tại C, CA = a,
CB = b, mặt bên AA′B′B là hình vuông. Từ C kẻ CH ⊥ AB′, HK // A′B (H ∈ AB′, K ∈ AA′).
a) Chứng minh rằng: BC ⊥ CK, AB′ ⊥ (CHK).
b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (AA′B′B) và (CHK).
c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (CHK).
Câu Ý Nội dung Điểm
4
0,25
a)
Chứng minh rằng: BC ⊥ CK, AB′ ⊥ (CHK).
′ ′ ′
⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥BC AC BC AA BC C C BC CK, (AA )
0,25
8
′ ′
⊥ ⇒ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥AB A B KH A B KH AB CH AB AB CHK, ' ', ' ' ( )P
0,50
b)

AH
AB
AB
a b
⇒ = = =
+
0,25
9