400 bài tập toán 7 (bồi dỡng học sinh khá giỏi)
Phần thứ nhất: Đại số
Chơng I: Số nguyên
1 Đ . Tập hợp Z các số nguyên
1. Tóm tắt lý thuyết:
* Tập hợp Z = { . . .; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; . . .}gồm các số tự nhiên 0; 1; 2; 3; . . . và
các số mới -1; -2; -3; . . . gọi là tập hợp các số nguyên.
* Biểu diễn trên trục số:
Điểm biểu diễn số nguyên a gọi là điểm a
* Các số -1 và 1; -2 và 2; -3 và 3; là các số đối nhau. Số đối của số 0 là chính nó.
2. Các bài toán:
Bài 1: Trong các câu sau, câu nào đúng, câu nào sai:
a) Mọi số tự nhiên đều là số nguyên.
b) Mọi số nguyên đều là số tự nhiên.
Bài 2: Đọc nhiệt độ ở các thành phố dới đây:
Hà Nội 18
0
C Bắc Kinh -2
0
C
Huế 20
0
C Matxcơva -7
0
C
TP Hồ Chí Minh 25
0
C Pari 0
0
C
Bài 3: Viết tập hợp M các số nguyên lẻ có một chữ số. Biểu diễn chúng trên trục số.

e. Giá trị tuyệt đối của một số nguyên a là một số nguyên dơng.
g. Giá trị tuyệt đối của một số nguyên a là một số tự nhiên.
h. Giá trị tuyệt đối của một số nguyên a là một số không âm.
1
Bài 6: Cho biết a < b (a 0, b 0). Có tất cả bao nhiêu trờng hợp có thể xảy ra về thứ
tự của ba số a, b, 0?
Bài 7: Tìm tất cả các số nguyên x sao cho:
a. -3 < x < 0 b. x < -3 và x < 3 c. x < -3 và x > 3 d. x < -3 hoặc x > 3
Bài 8: Tìm số nguyên a biết:
a. |a| = 2000 b. |a| = -2001 c. |a| = 1999 (a < 0).
Bài 9: Xác định số nguyên lớn nhất và nhỏ nhất, biết rằng: |x| < 2000
Đ3. Phép cộng trong Z
1. Tóm tắt lý thuyết:
a) Cộng với số 0: a + 0 = 0 + a = a với mọi a thuộc Z.
b) Cộng hai số cùng dấu: Cộng hai số nguyên cùng dấu, ta cộng hai giá trị tuyệt đối
với nhau còn dấu là dấu chung của chúng.
c) Cộng hai số khác dấu:
- Tổng hai số đối nhau luôn bằng 0.
- tổng hai số khác dấu không đối nhau, ta lấy giá trị tuyệt đối lớn trừ giá trị
tuyệt đối nhỏ rồi đặt dấu của số có giá trị tuyệt đối lớn hơn trớc hiệu tìm đợc.
2. Các bài toán:
Bài 10: Trong các câu sau câu nào đúng, câu nào sai:
a. Tổng của hai số dơng là một số dơng.
b. Tổng của hai số âm là một số âm.
c. Tổng của một số âm và một số dơng là một số âm.
d. Tổng của một số âm và một số dơng là một số dơng.
Bài 11: Tìm số nguyên x và y sao cho:
a. |x +2| + |y + 5| = 0 b. ||y| + |x + 2|| + |x| = 0.
Bài 12: Tính:
a. |a| + a nếu a 0 b. |a| + a nếu a < 0.

0a nếua
* Phép trừ: a - b = a + (-b) ; a, b Z
2. Các bài toán:
Bài 16: Chứng minh rằng số đối của
a - b là b - a (a, b Z)
Bài 17: Tìm x, biết:
a. |x| + 5 = 7 b. |x| - 3 = 5 c. 3 - |x| = 5
d. |x + 3| = 0 e. |x - 3| = 1 g. |x + 5| = -3.
Bài 18: Tìm số nguyên lớn nhất và nhỏ nhất, biết rằng:
1996 < |x + 2| < 2000.
Đ6. Quy tắc "dấu ngoặc"
1. Tóm tắt lý thuyết:
* Số đối của một tổng bằng tổng các số đối
-(a + b) = (-a) + (-b) = -a - b
* Tổng đại số:
Một dãy các phép cộng trừ liên tiếp các số nguyên đợc gọi là một tổng đại số.
Trong một tổng đại số:
a) Ta có thể bỏ dấu ngoặc và:
- Giữ nguyên dấu các số hạng nếu trớc dấu ngoặc có dấu cộng.
- Đổi dấu các số hạng nếu trớc dấu ngoặc có dấu
b) Ta có thể thêm dấu ngoặc để nhóm một số hạng tùy ý và:
- Giữ nguyên dấu các số hạng nếu trớc dấu ngoặc có dấu +.
- Đổi dấu các số hạng nếu trớc dấu ngoặc có dấu
2. Các bài toán:
Bài 19: Tính tổng đại số sau:
S = 1 + 2 - 3 - 4 + 5 + 6 - 7 - 8 + - 99 - 100 + 101 + 102
Bài 20: Đơn giản biểu thức sau khi bỏ dấu ngoặc:
a. (a + b) - (-c + a + b) b. -(x + y) + (-z + x + y) c. (m - n + p) + (-m + n + p)
Bài 21: Tìm x, biết:
a. 15 - (3 + x) = 4 b. -11 - (19 - x) = 50

a) a.b là một số nguyên dơng.
b) a.b là một số nguyên âm.
Bài 25: Không thực hiện phép tính hãy điền dấu > hoặc < vào ô trống:
a) -105 . 48 0 b) -250 . (-52) . 7 0 c) -17 . (-159) . (-575) 125 . 72
Bài 26: Tìm x, biết:
a. -x . (x + 3) = 0 b. (x - 2)(3x - 9) = 0 c. (3 - x)(|x + 5|) = 0
d. (|x| + 1) (4 - 2x) = 0.
Bài 27: Cho 11 số nguyên viết trên một vòng tròn trong đó tích của hai số liền nhau
luôn bằng 4. Tìm các số đó. Nếu viết 10 số nh vậy thì kết quả ra sao?
Đ8. Tính chất của phép nhân
1. Tóm tắt lý thuyết:
a. Giao hoán: a.b = b.a với mọi a, b thuộc Z.
b. Kết hợp: a(bc) = (ab)c với mọi a, b, c thuộc Z.
c. Nhân với 1: a.1 = 1.a = a , với mọi a thuộc Z.
d. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:
a(b + c) = ab + ac
(b + c)a = ba + ca với mọi a, b, c thuộc Z.
`* Chú ý: Khi thực hiện phép nhân nhiều số, ta có:
+ Tích mang dấu "+" nếu số thừa số âm là chẵn.
+ Tích mang dấu "-" nếu số thừa số âm là lẻ.
2. Các bài toán:
Bài 28: Bỏ dấu ngoặc:
a. (-a) (b - c + d) a, b, c, d Z
b. (a + b) (1 + x + y) a, b, x, y Z
c. (a - b) (a + b) - (b - a)b a, b Z.
Bài 29: Chứng minh các đẳng thức sau:
a. a(b + c) - b (a - c) = (a + b)c ; a, b, c Z
b. a(b - c) - a(b + d) = -a(c + d) ; a, b, c, d Z.
4
c. (a + b) (c + d) - (a + d) (b + c) = (a - c) (d - b); a, b, c, d Z.

Bài 31:
a. Chứng minh rằng tổng của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 3; tổng của năm số
nguyên liên tiếp chia hết cho 5.
b. Tổng của hai số nguyên liên tiếp có chia hết cho 2 không? Tổng của bốn số nguyên
liên tiếp có chia hết cho 4 không? Có thể rút ra kết luận gì?
Bài 32: Cho a, b, c là những số nguyên chứng minh rằng nếu a - b chia hết cho c thì
có số nguyên t để a = b + ct và ngợc lại.
Bài 33: Cho biết a - b chia hết cho 6. Chứng minh các biểu thức sau đây chia hết cho
6
a. a + 5b; b. a + 17b; c. a - 13b.
Bài 34: Tìm các số nguyên x và y biết:
a. (x + 3)(y + 2) = 1 b. (2x - 5)(y - 6) = 17 c. (x - 1)(x + y) = 33.
Ôn tập chơng I
Bài 35: Cho đẳng thức: 36 = 15 + 12 + 9 + 6 + Hỏi tổng ở vế phải của đẳng thức có
bao nhiêu số hạng và số hạng cuối cùng là bao nhiêu?
Bài 36: Cho 5 số nguyên a
1
, a
2
, a
3
, a
4
, a
5
. b
1
, b
2
, b

(x - 2)
2
. (y - 3) = -4
Bài 39: Tìm các số nguyên x, y sao cho
(x + 2)
2
+ 2((y - 3)
2
< 4
Bài 40: Tìm số nguyên x, biết rằng:
(3x - 1)(4x - 1)(5x - 1)(6x - 1) - 120 = 0
5
Chơng II:
Số hữu tỷ
Đ1. Phân số
1. Tóm tắt lý thuyết
*
b
a
là một phân số với a, b Z; b 0
*
bcad
d
c
b
a
==
*
mb
ma

37
12
và
3
1
b) Cho a và b là hai số nguyên (b 0). Chứng minh rằng các phân số sau bao giờ cũng
bằng nhau:
b
a
và
b
a


;
b
a

và
b
a
Bài 42:
a) Viết các phân số sau dới dạng phân số có mẫu dơng:
12
7


;
4
5

5
3
và
2
7


b) Quy đồng mẫu các phân số:
3
8
và
4
10
;
5
2
,
10
1
và
6
5

Đ2. Tập hợp Q các số hữu tỉ.
1. Tóm tắt lý thuyết:
* Các phân số bằng nhau có cùng một giá trị, giá trị đó gọi là một số hũu tỉ.
Mỗi số hữu tỉ đều có thể viết dới dạng
b
a
với b 0 và a, b Z

3



Bài 45:
a. Tìm |x| , biết: x = -7; x =
12
11
; x =
5
3


; x = 0
b. Tìm x, biết:
|x| =
11
34
; |x| = 0; |x| =
5
2
; |x| =
23
11
Bài 46: Cho các số hữu tỷ:
x
1
=
97
20

Nếu x < y thì trên trục số điểm x ở bên trái điểm y.
* Số hữu tỷ lớn hơn 0 gọi là số hữu tỷ dơng.
Số hữu tỷ nhỏ hơn 0 gọi là số hữu tỷ âm
Số 0 không là số hữu tỷ dơng cũng không là số hữu tỷ âm.
2. Các bài toán:
Bài 47:
a. Sắp xếp các số hữu tỷ sau theo thứ tự tăng dần:
6
5
;
3
11
;
6
7
;
3
2
;
4
7
;
12
11
;
2
3
b. Sắp xếp các số hữu tỷ sau theo thứ tự giảm dần:
5
13

15
d.
2000
2001
và
1999
1998
Bài 49: Cho hai số nguyên a, b trong đó
a <b và b > 0. Chứng minh:
1
1
+
+
<
b
a
b
a
7
Bài 50: Hãy viết ba số hữu tỷ; năm số hữu tỷ; mời số hữu tỷ xen giữa hai số hữu tỷ
2
1

và
2
1
.
Bài 51: Phần nguyên của số hữu tỷ x, ký hiệu là [x] là số nguyên lớn nhất không vợt
quá x, tức là:
[x] x < [x] + 1

.
Đ4. Phép cộng và phép trừ trong Q
1. Tóm tắt lý thuyết:
* x, y Q; x =
m
a
, y =
m
b
(m > 0)
x + y =
m
a
+
m
b
=
m
ba +
* Mỗi số hữu tỷ x đều có một số đối, ký hiệu là -x, sao cho x + (-x) = 0
* Trừ hai số hữu tỷ: x - y = x + (-y).
2. Các bài tập:
Bài 52: Tìm số đối của:
6
5
;
4
1
;
12

1
= 0 c. |x - 3| = 3
Bài 55: Chứng minh rằng:
a.
)1(1 +
=
+

+
bb
a
b
a
b
a
; a, b Z , b > 0.
b.
)1(1 +

=

+
+ bb
a
b
a
b
a
; a, b Z , b > 0.
Bài 56: Tìm [x], biết:


0x nếu x
0x nếu x
* Trong một tổng đại số các số hữu tỷ, ta có thể:
1) Đổi chỗ một cách tùy ý các số hạng kèm theo dấu của chúng.
2) Đặt dấu ngoặc để nhóm các số hạng một cách tùy ý nhng chú ý rằng nếu trớc dấu
ngoặc là dấu "-" thì phải đổi dấu các số hạng trong ngoặc.
2. Các bài toán:
Bài 59: Tính giá trị của biểu thức khi x =
2
1

;
A =
2
3
+x
- |x + 1| +
4
3
x
Bài 60: Làm phép tính sau khi br dấu giá trị tuyệt đối
a.
3
2
+x
+ |x - 3| với x 3
b. -
2
1

+++
b.
100.99
1

3.2
1
2.1
1
+++
.
Đ6. Phép nhân trong Q
1. Tóm tắt lý thuyết:
* Tích của hai số hữu tỷ x =
b
a
; y =
d
c
đợc xác định nh sau:
x . y =
bd
ac
d
c
b
a
=
* Khi nhân nhiều số hữu tỷ, ta có:
+ Tích mang dấu "+" nếu số thừa số âm là chẵn.

1. Tóm tắt lý thuyết:
* Mỗi số hữu tỷ x 0 đều có số nghịch đảo ký hiệu là x
-1
sao cho x.x
-1
= 1.
* Thơng của hao số hữu tỷ x, y (với y 0) ký hiệu là x : y hay
y
x
là tích xy
-1
.
2. Các bài tập:
Bài 66: Cho x, y Q, x 0; y 0. Chứng minh:
a. (x
-1
)
-1
= x ; b. (xy)
-1
= x
-1
.y
-1
; c. (xy
-1
)
-1
= x
-1

a. Chứng minh rằng nghịch đảo của một số dơng là một số dơng, nghịch đảo của một
số âm là một số âm.
b. Tìm tất cả các số nguyên sao cho nghịch đảo của nó cũng là số nguyên.
Bài 69: Tính:
a. -3 +
3
1
; b. -3 +
3
1
1
1
+
; c. -3 +
3
1
1
1
3
1
1
1
+
+
+
Đ8. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng
1. Tóm tắt lý thuyết:
* Phép nhân phân phối đối với phép cộng và phép trừ:
x(y + z) = xy + xz
x(y - z) = xy - yz x, y, z Q

a. a (b + c) - b (a - c) = ( a + b)c
b. a ( b - c) - a (b + d) = -a (c + d)
Bài 73: Tìm x, biết :
a. 3 (x + 2) - x (x + 2) = 0
10
b. 5 (x - 1) + 2x (1 - x) = 0
c.
5
3
(2x - 1) -
15
1
x (1 - 2x) = 0
Bài 74: Tìm các giá trị nguyên của x để các biểu thức sau nhận giá trị dơng
a. x
2
- 4x b. (x - 2) ( 3 - x) c.
( )( )
3
12

+
x
xx
Bài 75: Tìm các số hữu tỉ x, biết :
a.
;52 >+x
b.
;31 <x
c.

3. (x
m
)
n
= x
mn
4. (xy)
n
= x
n
y
n
5. (x : y)
n
= x
n
: y
n
(y 0)
2. Các bài toán :
Bài 76: Tính : a. (-2)
3
+ 2
2
+ (-1)
20
+ (-2)
0
b. (3
2

2
+ 1) (x + 2000) = 0
Bài 78: Tìm n, biết : a.
9
1
. 27
n
= 3
n
b.3
2
. 3
-5
. 3
n
= 3
11
c. 2
-1
. 2
n
+ 2. 2
n
= 5. 2
5
Bài 79: Tính :
a. (a - b) (a + b)
b. 100
2
- 99

2
)
Bài 80: So sánh : a. 2
300
và 3
200
b. 5
300
và 3
500
c. 2
30
+ 3
30
+ 4
30
và 3.24
10
Bài 81: Chứng minh rằng :
a. 7
6
+ 7
5
- 7
4
chia hết cho 11
b. 10
9
+ 10
8

+ 3
n + 1
+ 2
n + 3
+ 2
n + 2
chia hết cho 6
11
Bài 83: Tìm số nguyên dơng n, biết
a. 64 < 2
n
< 256 b. 32

2
0
> 1
c. 9. 27

3
n


243 d.9 < 3 < 27
Bài 84: Tìm số nguyên a sao cho :
a. 2a
2
+ 4a + 5 chia hết cho a +2
b. 4a
3
+ 14a

c
b
a
=
hay a : b = c : d.

Tính chất: Từ tỉ lệ thức
d
c
b
a
=
ta suy ra ad = bc.
Từ đẳng thức ad = bc với a, b, c, d khác 0 cho ta các tỉ lệ thức:
d
c
b
a
=
;
d
b
c
a
=
;
a
c
b
d

.
0,4 :
3
5
và
5
3
; 0,25 : 1,5 và
2
3
:
7
3
.
Bài 88:
a) Có thể lập đợc tỉ lệ thức từ các số nguyên sau đây không? Nếu có hãy viết tỉ lệ thức
đó : 3 ; 9 ; 27 ; 81 ; 243 .
b) Tìm thành phần cha biết của tỉ lệ thức :
2,7
15,0
15,3
=
x
;
42
126,2
=

x
;

12
Đ14. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
1. Tóm tắt lý thuyết :
*
( )
db
cb
ca
cb
ca
b
a
d
c
b
a



=
+
+
==

*
=
b
a
fdb
eca

x
và x + y = - 60
b.
2119
yx
=
và 2x - y = 34
c.
169
22
yx
=
và x
2
+ y
2
= 100
Bài 91: Tìm các số x, y, z biết :
a.
32
zy
x ==
và 4x - 3y + 2z = 36
b.
4
3
3
2
2
1

2
811
37
811
37
dc
cdc
ba
aba

+
=

+
.
Bài 93: Chứng minh rằng nếu a
2
= bc thì
ac
ac
ba
ba

+
=

+
. Điều đảo lại có đúng không?
Bài 94: Cho bốn số khác 0 là a
1

3
3
3
2
3
1
a
a
aaa
aaa
=
++
++
Bài 95: Biết
c
bxay
b
azcx
a
cybz
=

=

Chứng minh rằng :
z
c
y
b
x

1
2
1
1
+
+++
+
+++
Bài 97: Tìm x, y, z biết
x + y =
2
1
; y + z =
3
1
; z + x =
4
1
13
Bài 98: Cho ba số a, b, c thỏa a.b.c = 1. Tính :
S =
cacbcbaba ++
+
++
+
++ 1
1
1
1
1

1998
+ + 4
2
+ 4 + 1) + 25 là số chia hết cho 100
Bài 102: Tìm x, sao cho :
3
1997
4
1996
5
1995
1997
3
1996
4
1995
5 +
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+ xxxxxx
Bài 103: Tìm những giá trị của x sao cho
a. (4 - x) x 4; b. (x - 2) (x - 3) (2x - 1) (x - 3) + 3
Bài 104: Cho biểu thức : A = (x - 4)

=====


1
1
3
3
2
2
1
1

. Và
Cxxx
n
=+++
21
(

1
a
0,

2
a
0, ,

n
a
0,

_________________________________________________________
Chơng III : hàm số
Đ1.2. Đại lợng tỉ lệ thuận - Một số bài toán về đại lợng tỉ lệ
thuận
1. Tóm tắt lý thuyết :
* Định nghĩa : Hai đại lợng tỉ lệ thuận x, y liên hệ với nhau bởi công thức : y =
ax
a là hằng số khác 0, gọi là hệ số tỉ lệ
Ta nói y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ a
* Tính chất : x và y la hai đại lợng tỉ lệ thuận thì :
a
x
y
x
y
x
y
x
y
n
n
=====
3
3
2
2
1
1
2. các bài toán :
14

theo 1 : 2 : 3
Bài 113: Hai ngời đi xe máy khởi hành cùng một lúc từ A và B cách nhau 11 km để
đến C. ( Ba địa điểm A, B, C cùng ở trên đờng thẳng).Vận tốc của ngời đi từ A là
20km/h của ngời đi từ B là 24km/h.Tính quãng đờng mỗi ngời đã đi biết rằng họ đến
C cùng một lúc.
Bài 114: Chia số 210 thành bốn phần sao cho phần thứ nhất và phần thứ hai tỉ lệ với 2
và 3, phần thứ hai và phần thứ ba tỉ lệ với 4 và 5, phần thứ ba và phần thứ t tỉ lệ với 6
và 7.
Bài 115: Nếu
4
1
của 20 là 4 thì
3
1
của 10 sẽ là bao nhiêu?
Đ3.4. Đại lợng tỉ lệ nghịch - Một số bài toán về đại lợng tỉ
lệ nghịch
1. Tóm tắt lý thuyết :
* Định nghĩa : Hai đại lợng tỉ lệ nghịch y và x liên hệ với nhau bởi công
thức :
xy = a hay y =
x
a
; a là hằng số khác 0
* Tính chất : x và y là hai đại lợng tỉ lệ nghịch thì :
axyxyxy ====
332211
; ;;
3
2

15
Hỏi mỗi đơn vị phải trả bao nhiêu tiền cho việc xây dựng cầu, biết rằng số tiền phải
trả tỉ lệ thuận với số xe và tỉ lệ nghịch với khoảng cách từ các đơn vị tới cầu.
Bài 118:Tìm hai số dơng biết tổng, hiệu và tích của chúng tỉ lệ nghịch với 35, 210 và
12.
Bài 119: Chia số 393 thành những phần tỉ lệ nghịch với các số 0,2; 3
5
4
;
3
1
Bài 120: Giá hàng hạ 20%. Hỏi cùng với một số tiền có thể mua thêm bao nhiêu %
hàng ?
Đ5. Hàm Số
1.tóm tắt lý thuyết :
* Định nghĩa hàm số : cho X, Y là hai tập hợp số.
Một hàm số f từ X đến Y là một quy tắc cho tơng ứng mỗi giá tri x X
một và chỉ một giá trị y Y, mà ta kí hiệu là y = f(x). Ta viết :
f : X

Y
x

y = f(x)
X là tập nguồn hay tập xác định của hàm số f
Y là tập đích của hàm số f
x là biến (x X)
y = f(x) là giá trị của f tại x
2. các bài toán :
Bài 121: Trong các tơng ứng

=
;
( )
x
xf
3
2
=
a. Tính
( ) ( )
3;4
21
ff
b. Tính






+






3
1
3

2. các bài toán :
Bài 126: Các điểm sau đây có trùng nhau không ?
a. A (3; 4) ; B (4; 3) b. C (1; 2) ; D (1; 2)
c. M (a; b) ; M (b; a)
Bài 127: Các trục tọa đọ chia mặt phẳng thành bốn phần gọi là các góc phần t đợc
đánh số nh hình 3. Điểm A (x, y) nằm ở góc phần t nào, nếu :
a. x > 0, y > 0 b. x > 0, y < 0
c. x < 0, y > 0 d. x < 0, y < 0
Bài 128: Tìm trên mặt phẳng tọa đô Oxy tất cả các điểm có :
a. Hoành độ bằng 0 b. Tung độ bằng 0
c. Hoành độ bằng 1 d. Tung độ bằng -2
e. Hoành độ bằng số đối của tung độ g. Hoành độ bằng tung độ
Bài 129: Cho hệ trục tọa độ Oxy. Tìm diện tích của một hình chữ nhật giới hạn bởi
hai trục tọa độ và hai đờng thẳng chứa tất cả các điểm có hoành độ bằng 3 và tất cả
các điểm có tung độ bằng 2.
Bài 130: Trên mặt phẳng tọa đô Oxy, hãy dựng tứ giác ABCD với A (2; 1); B (6; 1); C
(6; 5); D (2; 5). Tính diện tích tứ giác này biết rằng mỗi khoảng chia trên các trục số
ứng với 0,5cm.
17
4
2
-2
5
x
IV
III
I
II
N(4; -2)
M(3; 2)

x
c. Tìm tọa độ điểm E trên đồ thị biết
2=
E
y

d. Tìm tọa độ điểm F trên đồ thị biết
FF
xy 2=
Bài 133: Cho hàm số f : X

Q
x

2x + 3
trong đó X = {-1;
2
1

; 0;
2
1
; 1}
a. Liệt kê tất cả các cặp số (x, f(x)).
b. Vẽ đồ thị của hàm số f.
Đ8. Đồ thị hàm số y = ax.
1. tóm tắt lý thuyết :
* Đồ thị hàm số y = ax (a Q, a 0) là tập hoẹp những điểm nằm trên một đ-
ờng thẳng đi qua gốc tọa độ.
* Vẽ đồ thị hàm số y = ax : Ta chỉ cần xác định thêm một điểm nữa : lấy

x
y
.
Hình 8
Bài 135:
a. Vẽ đồ thị hàm số
xy
3
1
=
.
b. Gọi A là điểm trên đồ thị. Tìm tọa độ điểm A, biết y
A
= 2.
c. Gọi B là điểm trên đồ thị. Tìm tọa độ điểm b , biết y
B
+ 2x
B
= 5.
Bài 136: Cho hàm số y : Q R
18
A (
AA
yx ,
) là một điểm của đồ thị
( )
AA
xfy =
y
x

Đ9. Đồ thị hàm số y =
x
a
1. Tóm tắt lý thuyết:
* Đồ thị hàm số y =
x
a
(a 0 , a Q) là những điểm nằm trên đờng cong
hypebol gồm hai nhánh nằm trong hai góc phần t của mặt phẳng tọa độ.
- Nếu a > 0 hai đờng cong nằm trong góc phần t thứ I và III.
- Nếu a < 0 hai đờng cong nằm trong góc phần t thứ II và IV.
2. Các bài toán:
Bài 137: Điểm A (2 ;
4
1
) thuộc đồ thị hàm số y =
x
a
. Trong các điểm B (-3 ;
6
1

);
C(-1 ;
2
1

); D(4 ;
7
1

khác 0 của x. Chứng minh rằng f(x) =
x
a
, với a là một
hằng số nào đó.
_________________________________________________________
Chơng III
Bài 140:
a. Cho hàm số f : Q Q
x {x} (hàm phần lẻ)
Tính f(-2,3); f(-1,5); f(1,35).
Tìm tất cả ccs giá trị của x sao cho f(x) = 0.
b. cho hàm số f : Q Q
x [x] (hàm phần nguyên)
Tính f(-4,3); f(
2
1
); f(10)
Với fía trj nào của x thì f(x) = 5?
Bài 141:
a. Cho hàm số f
1
: Q Q
x 2x
2
+ 1
19
Chứng minh rằng với mọi x Q, ta có f
1
(-x) = f

+
=
x
y
; c)
xx
y

=
1
; d)
xx
y
+
=
1
.
Bài 144: Hàm số f(x) xác định với mọi x Q.
Cho hàm số f(a + b) = f(ab) với mọi a, b và f(
2
1

) =
2
1

. Hãy tính f(2000) .
Bài 145: Tìm các số x, y, z Q, biết rằng:
(x + y) : (5 - z) : (y + z) : (9 + y) = 3 : 1 : 2 : 5 .
Bài 146: Cho hàm số y = -

Một biểu thức đại số không chứa biến ở mẫu gọi là biểu thức nguyên.
Một biểu thức đại số chứa biến ở mẫu gọi là biểu thức phân.
2. Các bài toán:
Bài 147: Viết các biểu thức đại số sau:
a) Tổng các bình phơng của ba số hữu tỉ a, b, c.
b) Tổng các nghịch đảo của ba số hữu tỉ x, y, z.
c) Ba lần tổng của ba số x, y, z trừ đi tổng các tích của ahi trong ba số đó.
d) Tỉ số giữa hiệu của 2 với tích x, y với tổng x, y, z.
e) Thơng của tổng hai số a và b với bình phơng của tích hai số ấy.
Trong các biểu thức trên biểu thức nào nguyên biểu thức nào phân?
Bài 148: Trong các biểu thức đại số sau đây đâu là biểu thức nguyên, đâu là biểu thức
phân (với x, y là biến; a, b là hằng).
a) 2x(y
2
+ 2) + x
2
- y
2
; b)
2
)1)(2(4
2

+
x
yx
; c)
by
yx
yx

.
_________________________________________________________
Đ2. Giá trị của một biểu thức đại số
1. Tóm tắt lý thuyết:
Khi thay các biến trong một biểu thức đại số bằng những số đã cho, ta đợc
một biểu thức số. Kết quả nhận đợc khi thực hiện các phép tính trong biểu
thức số đó gọi là giá trị của biểu thức đại số tại các giá trị cho trớc của các
biến.
Giá trị thích hợp của các biến là tập hợp những giá trị của biến số sao cho
các phép tính trong biểu thức luôn thực hiện đợc.
Một biểu thức đại số nguyên xác định tại mọi giá trị của biến.
Một biểu thức phân không xác định tại những giá trị của biến làm cho mẫu
bằng 0.
2. Các bài toán:
Bài 150: Tính giá trị của biểu thức:
a) A =
34
452
2
2
+
++
xx
xx
với x = 1;
b) B =
1616
44222
2
)2)(2)(2(

xxx
; c)
)1999) (3)(2)(1(
1
xxxx
.
Bài 152: Tìm giá ttrị nhỏ nhất của biểu thức:
a) (x - 3)
2
+ 2 ; b) (x - 1)
2
+ (y + 3)
2
+ 1 .
Bài 153: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
a) 7 - x
2
; b)
4)2(
3
2
++x
.
Bài 154: Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức:
A =
15
1510
+
+
x

21
a) (x + 2)
2
và 2x
2
+ 4 ; b) 3x - 2y và 3y - 2x ; c) (x + y)
2
và x
2
- 2xy + y
2
.
Bài 157: Các biểu thức sau đây đúng trong tập hợp số nào?
a)
2
2
3
1
)1(3
x
x
xx
=
+
+
; b)
22
33
yxyx
yx

.
Bài 159: Cho hai biểu thức:
A =
2
74


x
x
và B =
3
293
2

+
x
xx
;
a) Tìm giá trị nguyên của x để mỗi biểu thức có giá trị nguyên.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để cả hai biểu thức cùng có giá trị nguyên.
Đ4. Đơn thức
1. Tóm tắt lý thuyết:
Một biểu thức đại số trong đó các phép toán thực hiện trên các biến chỉ là
phép nhân hoặc lũy thừa gọi là một đơn thức.
Thu gọn đơn thức:
- Dấu duy nhất là "+" nếu đơn thức không chứa dâu "-" nào hay chứa một số
chẵn lần dấu "-"; dấu duy nhất là "-" trong trơngf hợp ngợc lại.
- Nhóm các thừa số là số cụ thể hay là các hằng và nhân chúng với nhau.
- Nhóm các, xếp chúng theo thứ tự các chữ cái và dùng kí hiệu lũy thừa để
viết tích các chữ cái giống nhau.

1
ax
3
yz
2
; 15x(-3xy
2
)(2xy
3
z); (
2
1
ax
2
y
3
)(-
3
1
abx
3
y
2
);
(3abx
2
y
2
)(-
5

b
2
c
2000
, với a = -2; b = -3; c = -1 .
Bài 164: Quan sát dãy các đơn thức : -x
2
, 2x
3
, -3x
4
, 4x
5
, Hãy viết ra đơn thức thứ
2000, và đơn thức thứ n.
_________________________________________________________
22
Đ5. Bậc của đơn thức
1. Tóm tắt lý thuyết:
Bậc của đơn thức đối với một biến là số mũ của biến đó trong dạng thu gọn của
đơn thức.
Bậc của đơn thức đối với tập hợp các biến, hay đơn giản là bậc của đơn thức, là
tổng các bậc của đơn thức đối với mỗi biến.
2. Các bài toán:
Bài 165: Xác định bậc của các đơn thức sau đối với từng biến số và đối với tập hợp
các biến số ;(a, b là hằng số; x, y là biến số).
a) x
2
ya


3
2
3
4
1
byxyax
.
Bài 166: Tính tích các đơn thức sau:
a)












yxzxyzx
3222
5
4
3
2
8
3
; b)



xyxyyx
3
1
2
6
5
4
1
1
0
2
;
B =
( )
32
3
2
8.4.2
84
1
2
1
yyy
x
xx











2432
2
1
.2 xyzyx
;
E =
10
45
10
2
7
3
.
3
1
2








Đ6. Đơn thức đồng dạng
1. Tóm tắt lý thuyết:
Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức sau khi thu gọn có phần biến giống
nhau.
Để cộng hay trừ đơn thức đồng dạng ta cộng hay trừ các hệ số và giữ
nguyên phần biến.
2. Các bài toán:
Bài 169: Cho các đơn thức:
4
3
ax
2
y ; -5ax
2
y
4
; -
5
2
a
2
x
2
y .
Hãy xét xem các đơn thức nào là đồng dạng, nếu:
a) a là hằng số; x, y là biến số.
b) x là hằng số; a, y là biến số.
c) y là hằng số; a, x là biến số.
23
d) a, x là hằng số; y là biến số.

b) Cũng hỏi nh trên nếu a, x là hằng số, y là biến số; Nếu a, y là hằng số, x là biến số.
Bài 171: Tính:
a) (92x
3
y + 51x
3
y) - (105x
3
y - 7x
3
y) .
b)
2
3a
xy
2
z
3
+
a
6
xy
2
z
3
- 6xy
2
z
3
với a là hằng số khác 0. Xác định a để kết quả thu đợc

số của nhiều đơn thức từng đôi một không đồng dạng với nhau.
Bậc của đa thức đã đợc thu gọn:
- Bậc của đa thức một biến là bậc của số hạng có bậc cao nhất đối với biến
đó.
- Bậc của đa thức đối với tập hợp các biến là bậc của số hạng có bậc cao
nhất đối với tập hợp các biến.
2. Các bài toán:
Bài 173: Trong các biểu thức đại số sau, biểu thức nào là đa thức:
a) axy +
1+a
a
x - xy(x + y) (a là hằng số; x, y là biến số).
b)
1
22
+






++
+
xy
a
b
b
a
yx



++
(y là hằng số; a, x, z là biến số).
e) ab
2
xy +
y
b
x
a
+
+ x
2
+ y
2
(x, y là hằng số; a, b là biến số) .
Bài 174: Hãy viết các đa thức sau đây dới dạng tổng các đơn thức. Thu gọn trong tr-
ờng hợp có các đơn thức đồng dạng:
a) (a + 1)(xy + 1) + xy(x + y) + 1 - a (a là hằng số).
b) xy(x
2
+ y
2
+ 1) - 3x
3
y + 3xy
3
- 3y(x + y) .
24

.
b)
2
1
xy
3
-
5
2
x
4
+ 3x
2
y
4
+ 12y
5
- 9z
8
- y
2
z
5
.
c) 3x
2
y
3
- 2xy
2

2
+ bx
3
z + cxyz.
_______________________________________________________
Đ8. Cộng và trừ đa thức
1. Tóm tắt lý thuyết:
Để cộng hai đa thức ta viết các số hạng cùng với dấu của chúng kề nhau rồi
thu gọn các số hạng đồng dạng (nếu có).
Để tìm hiệu hai đa thức ta viết các số hạng của đa thức thứ nhất cùng với
dấu của chúng rồi viết các số hạng của đa thức thứ hai với dấu ngợc lại dấu
của chúng sau đó thu gọn các số hạng đồng dạng (nếu có).
2. Các bài toán:
Bài 178: Cho các đa thức:
M = 3x
2
- 2y - 2 ; N = x
2
+ 2y + 1 ; P = 1 - 4x
2
.
Tính a) M + N + P ; b) M + N - P ; c) N - P .
Bài 179: Cho x + y - z = a - b
x - y + z = b - c
-x + y + z = c - a
Chứng minh rằng: z + y + z = 0 .
Bài 180: Cho hai đa thức : P = 3m
2
+ 2mn - 4n
2

+ x
2
+ xy + x + y + 5.
_________________________________________________________
Đ9. Đa thức một biến
1. Tóm tắt lý thuyết:
25