Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số
1. Mẫu: Có 4 hàm cơ bản : B3; B4 ;
1
2
1
1
;
B
B
B
B
( B
4
là hàm trùng phơng)
*. TXĐ : D=R-
{ }
*.Sự biến thiên:
-Chiều biến thiên.
+ Tính y=
+ Giải y =0, x=?
+Xét dấu y
+y<0 ; hsnb : x
+ y>0 ; hsđb : x
-Cực trị:
+CĐ tại x=
+CT tại x=
-Giới hạn:
+
lim
x

_Nhận xét tâm ; trục đối xứng.

2. Biến đổi đồ thị: Cho ( C ) : y = f(x) ; suy ra đồ thị các hàm số:
a. (C
1
): y = - f(x); (C
1
) đối xứng với (C) qua Ox.
b. ( C
2
): y = f( -x); ( C
2
) đối xứng với (C) qua Oy
c. (C
3
): y = f(x) +a ; ( C
3
) tịnh tiến (C) theo trục Oy đến đơn vị chiều âm
d. ( C
4
): y =f( x+a); (C
4
) tịnh tiến (C) theo trục Ox đến đơn vị chiều âm
+ +
_

+

e. (C
5

4
+= x
x
y
* TXĐ : R
* Chiều biến thiên:
+ y = 2x
3
- 6x
y = 0



=
=

3
0
x
x
Dấu của y : x

3
0
3
+
y - 0 + 0 - 0 +
Hàm số đồng biến trong
);3()0;3( +
Nghịch biến trong


3
0
3
+
y - 0 + 0 - 0 +
+
y
cđ=5/2
+
y y
ct = -2
y
ct = -2
* Vẽ đồ thị :
+ giao của đồ thị với Oy: x = 0
2
5
= y
+ giao của đồ thị với Ox : y = 0
5&1 == xx
Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng
Vi dụ 2: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số :
y =
2
3 4
1
x x
x
+ +

+ +
+ + + + +
= = = = =
+ + + +
giải: Ta có : y =
2
3 4
1
x x
x
+ +
+
= x+2+
1
2
+x
* TXĐ : R \
{ }
1
* Chiều biến thiên:
210';
)1(
2
1'
2
==
+
= xy
x
y

) = 1-2
2
Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1+
2
; y
ct
= y( -1+
2
) = 1+2
2

* Nhánh vô cực :
==



yy
x
x
limlim
1

+==
+

+
yy
x
x
limlim

2
-1 -1+
2
+


y + 0 - - 0 +
y
cđ =
1-2
2
+

+


y



y
ct =
1+2
2

* Đồ thị:
các bài toán liên quan đến đồ thị
1. Sự tơng giao của 2 đồ thị:y=f(x) và y=g(x).
*Chúng cắt nhau tại k điểm nếu phơng trình hoành độ giao điểm: f(x)=g(x). có k nghiệm phân
biệt.

Vd2)Cho y=x
3
+3x
2
+mx+1
a)CMR đồ thị luôn cắt y=x
3
+2x
2
+7 tại 2 điểm phân biệt với mọi m.
b)Tìm m để đồ thị cắt y=1 tại 3 điểm C(0;1) và D ,E mà tiếp tuyến tại D, E vuông góc.
Ví dụ3 : Tìm m để ĐT : y =x
4
2(m+1)x
2
+ 2m+1 (1) cắt Ox tại 4 điểm cách đều nhau ( Hoành
độ là cấp số cộng )
Giải: t = x
2

0

t
(1) trở thành: y = t
2
2( m+1) t + 2m+1 (2)
Nhận xét : Với 1 giá trị của t: t > 0 cho ta 2 giá trị x =
t
Với t = 0 cho ta giá trị x = 0.
Vậy ycbt



===
===






>+=
>+=
=






=
>+=
>+=+

9
4
4
9
4
;1;
9

3x
2
9x + m cắt Ox tại 3 điểm cách đều nhau
( hoành độ lập thành cấp số cộng)
+ ĐK cần: ĐT Ox tại 3 điểm ( x
1
,y
1
); ( x
2
,y
2
); ( x
3
, y
3
) cách đều nhau: x
1
< x
2
< x
3

và x
2
= x
1
+d; x
3
= x

2
2
2
1
3232
2
3
2
232
2121
2
2
2
121
==
=++
+=+
+++=+++
+++=
+++
xx
xxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxx
x
3
= 1 suy ra điểm uốn thuộc Ox
119310

2
+ m cắt Ox theo 4 điểm cách đều nhau
2) Tìm a,b để đt : y = x
3
3x
2
- 9x + 1 cắt đt : y = ax + b tại 3 điểm cách đều nhau
( HD: Đa về đt: y = x
3
3x
2
(9+a) x b +1 cắt Ox tại 3 điểm cách đều nhau.
Vd4)Cho :
2
2 2
1
x x
y
x
+
=


a)Tìm m để y=-x+m cắt đồ thị tai 2 điểm A , B với A , B đối xứng qua y=x+3
b) Tìm m để y=-x+m cắt đồ thị tai 2 điểm A , B với A , B thuộc 2 nhánh .
c)Tìm k để trên đồ thị có 2 điểm P , Q mà:

P P
Q Q
x y k

a)Tiếp xúc Ox.
b)Trên đồ thị có cặp điểm đối xứng qua O.
c) Cmr trên đồ thị có 2 điểm mà y=x
2
không thể đi qua mọi m.
vd8) y=x
3
-(m-1)x
2
-(2m
2
-3m+2)x+2m(2m-1) tiếp xúc y=-49x+98
vd9)Tìm m để y=1 tiếp xúc với :
( )
( )
2
1 2 4m x x m
y
mx m
+ +
=
+
vd10)Tìm m để y=m(x
2
-1) cắt y=-2x
3
+x+1 tại 3 điểm.
Vd11) Tìm m để y=
2
x x m

=x
2
+y
2
=m, cmr khi đố M,N thuộc cùng 1 nhánh.
Vd 13)Tìm m để
2
1
mx x m
y
x
+ +
=

cắt 0x tại 2 điểm A, B
a) mà AB=4
b) có hoành độ dơng.
Vd 14)Tìm m để y=mx+2-2m cắt đồ thị
2
2 4
2
x x
y
x
+
=

tại 2 điểm thuộc cùng 1 nhánh.
*Bài tập:
1. Tìm a để (C): f(x) =

(*)
<-> Hệ x
2
+ (2m +1)x + m
2
1 = ax + b có nghiệm
2x + (2m+1) = a
m


<-> x
2
+ ( 2m +1 )x + m
2
-1 = (2x+ ( 2m+1))x + b
Có nghiệm
m

<-> x
2
+ (b m
2
+1) = 0 có nghiệm
m

<-> b m
2
+ 1

0 ,

1412
2
2
+=+ bmma
,
m

<-> 4(1-a)m +
( )
( )
[ ]
0112
2
=+++ baa
,
m
<-> 1 a = 0 <-> a = 1
(a - 1)
2
+ (b + 1) = 0 b = -1
5)Cmr các đồ thị của họ sau tiép xúc nhau:
a) y=x
3
+mx
2
-(2m+1)x+m-1 b) y=mx
3
+2(3m+1)x
2
+(12m-1)x+8m+5

5
3
2 2
x
x m + =
Căn cứ vào đồ thị ta có :
+ m >
5
2
phơng trình có 2 nghiệm đơn
+ m =
2
5
phơng trình có 2 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép
+ -2< m <
2
5
phơng trình có 4 nghiệm đơn
+ m=-2 phơng trình có 2 nghiệm kép
+ m< - 2 phơng trình vô nghiệm
2) Biện luận số nghiệm của phơng trình :
)1(
1
43
1
43
22

+
++

+
++
x
xx
+




<
+>
221
221
m
m
phơng trình có 2 nghiệm đơn
+




=
+=
221
221
m
m
phơng trình có 1 nghiệm kép
+ 1-2
2212 +<< m

k
k

21221
21221
==+
+=+=+
km
km
+<< 2121 m
không có giá trị nào của k
Kết luận :
Với
{ }
21;21;1\ + Rk
phơng trình có nghiệm đơn
Với
21=k
phơng trình có 1 nghiệm kép.
* Bài tập:
1) Biện luận số nghiệm của pt: x
3
+ 3x
2
+4 = 2k
2
-1
2) Biện luận số nghiệm của pt:
1
1

+ ( 3-m).e
t
+ 2 ( 3-m) =0 theo m
HD: vẽ (C) :
2
63
2
+
++
=
x
xx
y
đặt x = e
t
> 0
4) Biện luận số nghiệm :
k
x
xx
=
+
++
)1(3
43
2
theo k
5)Khảo sát y=
2
4 3

1
x
y
x
+
=

biện luận số nghiệm : 2x
2
-(m+1)x+m+1=0 và viết pttt song song
2x+y-1=0.
8) Dùng đồ thị
2
2 5 4
1
x x
y
x
+
=

biện luận số nghiệm: 2x
4
(5+m)x
2
+4+m=0
( ) ( ) ( )
[ ]
2 2
2 5 4 0 : 2sin 5 6 0 ; 0;2x m x m va x m cosx m x

3
+(m+2)x
2
-mx+1=0.
biện luận số nghiệm:
1 1 1
( ) 1
2
sinx cosx tanx cotx m
sinx cosx
+ + + + + =
11)Từ y=x
3
-3x biện luận số nghiệm: x
3
-(m+3)x+m-2=0.
12)Từ :
3
2 1
x
y
x
+
=

biện luận số nghiệm ; 2x
2
-2(k+1)x+k+3=0.
13) Từ :
( ) ( )

mxx
4
24
log12 =
có 6 nghiệm phân biệt
HD: Tự vẽ :(C) y = x
4
2x
2
-1
suy ra (C): y =
12
24
xx
căn cứ vào (C) ta có : Phơng trình có 6 nghiệm phân biệt
1642log1
4
<<<< mm
Vd:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
3 2
2 2
1
3 2 2 ; 1 2 1 0 ;
1 2 1 2
m
x x x m

8
;
8
3

đặt t = cos2x
3) Tìm m để ( cos3x cos 2x + m. cosx -1) = 0 có đúng 7 nghiệm trong









2;
2
( đặt t = cosx )
4)Điều kiện tồn tại cực trị và đờng thẳng cực tri hàm đa thức:
y=y(mx+n)+ax+b thì đờng thẳng qua các điểm cđ-ct là y=ax+b.
Ví dụ 1: y=x
3
-3mx
2
+9x+3m-5 ; y=x
3
-6x
2
+3(m+2)x-m-6

Có 2 cực trị
y
cđ
. y
ct
< 0
+ Cắt trục hoành tại 2 điểm

có 2 cực trị và 1 cực trị bằng 0
+ Cắt trục hoành tại 1 điểm

Không có cực trị
Có 2 cực trị cùng dấu
+ Cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ lớn hơn

&0> a
Có 2 cực trị trái dấu: x
cđ
, x
ct
>

y(

) < 0
hoặc a< 0 & Có 2 cực trị trái dấu: x
cđ
, x
ct
>

2
09)99(9'
0)1(9)0(.3
2
222
22
'
2
+<<











<=
>=
>=
>==
>=
m
my
mmmmyy
mS
mm

(*) có 2 nghiệm lớn hơn 1 khác 2
1
2
1
0)142()2(
1
2
13
2
02)1(.1
012)1(8)13(
2
2
22
<









=
>
+
=
>=
>+=++=

Rm

luôn có một nghiệm dơng
b. Tìm m để y = 0 có nghiệm duy nhất
4) Cho y = x
2
(m-x) m (C) và y = kx + k +1 (

)
a. Chứng tỏ (

) và (C) cùng đi qua điểm cố định
b. Tìm k để (

) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt
5)Tìm m để y=mx
4
+(m
2
-9)x
2
+10 có 3 cực trị.
6)Tìm m để y=x
4
+2(m+1)x
2
+1 có CĐ-CT , viết pt đờng cong qua các điểm cực trị.
7) Cho :y=x
4
-2(m+1)x

+4x+6.
3 2
4 2
2
3
. 6 4 6
6 4 6
3 3 6
' 0
3 1
y x x x x
y x x x
y x x
y
x x

= + + +

= + +

= + +

=
=



5)Điều kiện tồn tại cực trị và đờng thẳng cực tri hàm phân thức:
( )
( )

b) Ơ về 2 phía Ox ; Oy ; góc 1/4 thứ I và III.
c)Đối xứng qua y=x.
d)
4
cd ct
y y >
e) Viết pt đ/t qua các điểm CĐ-CT
g)không có cực trị.
Vd2) a)cmr :
( )
2 2 4
1 1x m m x m
y
x m
+ +
=

có cđ-ct với mọi m.
b)Tìm m để 1/x
cđ
+1/x
ct
=1
c)để
8
cd ct
y y =
d)Cmr trên mf tọa độ tồn tại duy nhất một điểm mà điểm đó vừa là điểm CĐ ứng với một
giá trị nào đó của m , vừa là điểm CT ứng với giá trị khác của m.
(là giao điểm của quĩ tích điểm CĐ và CT)

x m x m
y
x
+ +
=
+
có CĐ-CT thì đồ thị không thể cắt 0x tại 2 điểm phân
biệt.Với mỗi giá trị m trên tìm hệ ssố góc tiếp tuyến qua A(-1;0).
Vd 5: Tìm m để :
2
2 5
1
x mx
y
x
+
=

có CĐ-CT ở về 2 phía đ/t :(d): y=2x.
(Gọi
;K d=
là đ/t cực trị thì x
K
=m/2, y=0 có 2 nghiệm x
1
<x
K
<x
2
nên:1.g(x

là nghiệm của phơng trình y
1
=
0
( ) 1 0 0
( ) ( )
x
ý x x y x +
Giải tìm x
0
và quay về
dạng 1.
+Cách 2;
Sử dụng hệ pt : f(x) = k(x-x
1
)+y
1
có nghiệm
f(x) = k
từ đó tìm k suy ra phơng trình của tiếp tuyến.
Dạng 3:Tiếp tuyến biết hệ số góc k.
Có dạng y=kx+b
+Cách 1;gọi tiếp điểm là M(x
0
;y
0
) thì giải pt: y(x
0
)=k tìm x
0

0
) + (x
0
3
3x
0
2
+ 2). Tiếp tuyến đi qua A(
)2,
9
23

nên
-2 = (3x
0
2
6x
0
)(
9
23
x
0
) + (x
0
3
3x
0
2
+ 2). Vậy x

3
1
0
0
0
x
x
x


các tiếp tuyến là :







+=
=
=

27
61
3
5
259
2
xy
xy

1
1 2
x k x
x
k
x
ỡ
ù
ù
+ + = - +
ù
ù
ù
ớ
ù
ù
- =
ù
ù
ù
ợ
suy ra:
( )
( )
1
1 ( 2) 1 1
1
3
x k x
x

-3x
2
+2 đợc 3 tiếp tuyến.Viết pttt qua A(-1;-2)
Vd5) y=x
2
(x
2
-2) qua 0.
Vd6) Viết pttt với :
2
1x x
y
x
+ +
=
qua A(2;1)
2 2
2 2 2
;
1 1
x x x x
y y
x x
+ +
= =

qua A(2;2).
Vd7)Tìm m để trên y=4 kẻ 2 ttuyến tạo góc 45
0
với :

-2x
2
+1 qua A(0;1) , từ đó biện luân số nghiêm pt:
X
4
-2x
2
-ax=0
Vd10) Viết pttt với y=x
4
-4x
3
+3 vuông góc với y=1/8x+3 suy ra số nghiệm pt:
X
4
-4x
3
+8x+m=0
Vd11) Tìm trên đồ thị y=
1
1
1
x
x
+ +

các điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc tiệm cận xiên.Biện
luận số nghiệm x
0;
2


a) Với m=1 viết pttt qua A(2;-1) và tính góc tạo bởi 2 ttuyến.
b) Tìm m để qua A(2;-1) kẻ đợc 2 ttuyến vuông góc.
(Chú ý cách viết pttt qua điểm của hàm phân thức làm theo ví dụ 3)
*Bài tập :
1) Tìm tiếp tuyến qua A(0; -1) của y = 2x
3
+ 3(m-1)x
2
+ 6(m-2)x 1
Cmr tiép tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất.
2) Tìm A

Ox có thể kẻ 3 tiếp tuyến tới y = x
3
3x + 2
3) Tìm điểm trên y = 2 có thể kẻ 3 tiếp tuyến với y = -x
3
+ 3x
2
-2
4) Cho (C): y = x
4
ax
3
(2a+1)x
2
+ ax +1
a. Khảo sát và vẽ đồ thị với a =0
b. Tìm A

1
12
2
C
x
xx

+
a. Biện luận số tiếp tuyến của (C) đi qua 1 điểm trên y = 7
8) Cho y = x
3
+ 3x
2
+ 3x + 5 (C) và k
R
. Tìm số tiếp tuyến của (C) vuông góc với y = kx
10) Chứng tỏ qua mỗi điểm của (C):
1
1
B
B
hoặc
1
2
B
B
chỉ có 1 tiếp tuyến của (C)
11) Chứng tỏ qua mỗi điểm của đờng cong bậc 3 khác điểm uốn có 2 tiếp tuyến của đồ thị ( 1 tại
và 1 đi qua )
12)


=
+
Tìm m để đồ thị cắt 0x tại 2 điểm mà tiếp tuyến tại 2 điểm đó vuông góc.
14)Tìm m để tiếp tuyên tại điểm M có hoành độ x=-1 của h/s:
3 2
1 1
3 2 3
m
y x x= +
Song song với đ/t : 5x-y=0.
15)Viết pttt với
2
3 3
2
x x
y
x
+ +
=
+
a) vuông góc với đ/t : x-3y-6=0.
b)vuông góc với tiệm cận xiên ,cmr tiếp điểm là trung điểm đ/t bị chắn bởi 2 tiệm cận.
16) Viết pttt với y=x
4
+x
2
-2 song song với 6x+y-1=0.
17)tìm những điểm có hoành độ x>1 trên
2

-trục 0y :
2 o
d x=
-đ/t : x=a :
0
x a
-đ/t : y=b :
0
y b
-đ/t : y=ax+b :
0 0
2
1
ax y b
d
a
+
=
+
1) Tìm điểm M trên đồ thị :
2 1
1
x
y
x
+
=
+
có tổng k/c đến 2 tiệm cận nhỏ nhất.
2)Cho :

y
x

=
+
cmr y=x+2 và y=-x là 2 trục đối xứng của đồ thị và tìm điểm M trên đồ
thị có tổng k/c đến 2 trục tọa độ nhỏ nhất.
5) Tìm điểm M trên đồ thị:
2
3
2
x
y
x

=

có tổng k/c đến 2 trục tọa độ nhỏ nhất.
6)Tìm điểm M trên : y=x
2
-1 để OM ngắn nhất , cmr khi đó OM vuông góc với tiếp tuyến tại M
7)Tìm m để tiệm cận xiên của
2
1
1
x mx
y
x
+
=

x x
y
x
+
=

tại 2 điểm A ,B mà AB=1
12)Tìm m để k/c giữa CĐ-CT của
( )
2
1 1
20
1
x m x m
y la
x
+ + + +
=
+

8)Tâm và trục đối xứng:
Điểm M(x
0
;y
0
) là tâmđối xứng khi phép đổi trục:
0
0
X x x
Y y y

1)Tìm tâm đối xứng của:
2
3 2
2 5 4 2 1
, , 3 2
1 1
x x x
y y y x x
x x
+ +
= = = +2)Tìm trục đối xứng : y=x
4
+4x
3
+3x
2
-2x , y=x
4
-4x
3
-2x
2
+12x-1 và giao điểm với 0x.
3)Tìm m để :y=x
3
-3mx
2

x m x m
y x m x mx y y x x m
x
+ +
= + + = = +
+
6)Tìm trên đồ thị
2
1
x
y
x
=

cặp điểm đối xứng qua:I(2;3) ; đ/t : x=-1 ; đ/t : y=2
Y=x-1.
7)Tìm hàm số có đồ thị đối xứng với đồ thị hàm số:
2
1
x
y
x
=

qua:I(2;3) ; đ/t : x=-1 ; đ/t :
y=2
8)Cho h/s :
2
3 4
2 2

y
x
+ +
=
+
cắt đ/t y=-x-4 tại 2 điểm đối xứng qua y=x.
11)Tìm m để y=x
3
-3mx
2
+4m
3
có CĐ-CT đối xứng qua y=x.
9)Điểm cố định và điểm không bao giờ qua của họ đồ thị:
Để tìm điểm cố định của họ đồ thị y=f(m,x) ta giả sử điểm cố định là M(x
0
;y
0
), khi đó đẳng thức
y
0
=f(m,x
0
) thõa mãn với mọi m, đa về đa thức ẩn m:
Am
k
+Bm
k-1
+ +Em+F=0 thõa mãn mọi m khi:A=B= =E=F từ đó tìm đợc x
0

4)
5) 3 1 2 4 1 4 ( 1)
6) 2 2 5 3 5
x m x m
y
x m
x m x m
y
x m
y x m x m m x m m
y x m x mx m
+
=

+ + +
=

= + + + + +
= +

7)
( )
3 2 2
4 ( 2)y x m x m x= + +

tìm điểm cố định và điểm không qua trên đ/t: x=2
2 2
1
8)
m x

3
+m
2
x-2m+1 đi qua.
12)Cmr trên y=x
2
có 2 điểm mà đồ thị của y=2x
3
-3(m+3)x
2
+18mx-8 không qua với mọi m.
13)Tìm trên đ/t x=3 các điểm mà y=x
3
-2mx
2
+(2m
2
-1)x+m
2
-5m+2 không bao giờ qua.
14)Tìm trên đ/t x=2 các điểm mà y=x
3
+(m
2
+1)x
2
-4m
a)Có đúng 1 đồ thị qua.
b)Đúng 2 đồ thị qua.
c)Đúng 3 đồ thị qua.

2 2 4
2
1 1
2 3
,
2
x m m x m
x x m
y y
x x m
+ +
+
= =

5)Tìm quĩ tích giao điểm với các trục tọa độ của:
( )
2 2
2 2
2 2 2
2 1
4 2 2
,
2 3 4 5
x m x m m
x mx m m
y y
x m m x m m
+ +
+ +
= =